第六章 三角计算（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本试卷为中职数学《拓展模块下册》第六章三角计算B卷（能力提升），聚焦三角函数性质、解三角形等核心考点，通过文化情境与实际应用设计，适配单元复习能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|三角函数单调性（第2题）、三角恒等变换（第5题）|第6题融入刘徽割圆术文化素材，培养数学眼光| |填空题|6/24|三角形边角关系（第19题）、函数周期（第20题）|第22题结合图像变换考查运算能力，体现数学思维| |解答题|6/72|解三角形综合应用（第27题）、三角函数最值（第29题）|第17题测量建筑高度体现应用意识，第29题方程根问题培养推理能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第六章 三角计算 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．在三角形中，，，，则三角形的面积为（   ） A．12 B．16 C． D．32 2．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 3．若函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在上有最小值 D．的图象关于直线对称 4．函数的最小正周期与最大值分别是（   ） A．， B．，1 C．，1 D．， 5．若，则 等于（ ） A．cos α－sin α B．cos α＋sin α C．－cos α＋sin α D．－cos α－sin α 6．刘徽（约公元225年—约公元295年），魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，当变得很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可以得到的近似值为（    ） A． B． C． D． 7．设，，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，已知，，，则（    ） A． B． C．或 D． 9．给出下列命题： （1）函数的图象关于点对称； （2）函数在区间内是增函数； （3）函数是偶函数； （4）存在实数，使. 其中正确的命题的序号是（   ） A．（1）（3）（4） B．（1）（2）（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（3）（4） 10．化简：（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的部分图像如图所示，则（   ） A． B． C．1 D． 12．函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）. A．处取得最大值 B．的最小值是 C．的最小正周期为 D．的单调递增区间是      13．若，，则（     ） A． B． C． D． 14．已知，，则（   ） A． B． C． D． 15．已知，则（    ） A． B． C． D． 16．某同学用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 17．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（    ）（精确到1m.参考数据：，，，）    A．28m B．34m C．37m D．46m 18．已知角是第二象限角，且，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．中角A，B，C对应边分别为a，b，c，，则边_________． 20．函数的最小正周期为________． 21．函数的最小值是_____. 22．若为实数，且，定义函数，现将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为______． 23．若_________ 24．函数的值域是__________，最小正周期是__________. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知，角、均为锐角．求： (1)的值； (2)当时，的值． 26．(本题10分)如图，是等边三角形，点在边的延长线上，且，． (1)求长度； (2)求的值． 27．(本题12分)在中，. (1)求； (2)若，求点B到边的距离. 28．(本题12分)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求B； (2)若的面积为，且，求c的值． 29．(本题14分)已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最值以及对应的值； (3)若方程在上有两个不同的根，求的取值范围． 30．(本题14分)已知函数的最小正周期为，且． (1)求函数的单调递增区间； (2)设，，，求的值． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第六章 三角计算 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．在三角形中，，，，则三角形的面积为（   ） A．12 B．16 C． D．32 【答案】B 【分析】由余弦定理和三角形的面积公式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 即，又，所以， 所以. 故选：B. 2．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出周期，再根据其最值的情况求出，得出，将代入求值即可. 【详解】∵直线和为函数的图象的两条相邻对称轴， ∴函数的周期为， ∴，解得， 由题意，函数在同一周期内，分别在和时取最小值和最大值， 当时，，则， 解得， ∴， ∴， 当时，，则， 即，不可能同时满足同一个 值，无解， 综上，. 故选：D. 3．若函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在上有最小值 D．的图象关于直线对称 【答案】D 【分析】根据三角函数的周期性、对称性、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， 最小正周期，A选项错误. ，所以B选项错误. 若， 所以在上没有最小值，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：D 4．函数的最小正周期与最大值分别是（   ） A．， B．，1 C．，1 D．， 【答案】A 【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为正弦型函数，再利用正弦型函数的性质求解即可. 【详解】由于， 所以函数的最小正周期，最大值. 故选：A. 5．若，则 等于（ ） A．cos α－sin α B．cos α＋sin α C．－cos α＋sin α D．－cos α－sin α 【答案】D 【分析】利用降次公式化简求得表达式，求得正确答案. 依题意， . 故选：D 6．刘徽（约公元225年—约公元295年），魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，当变得很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可以得到的近似值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】充分理解题干内容，利用三角形面积公式即可推导. 【详解】利用割圆术的思想，将单位圆分成360个扇形，则扇形的圆心角为， 由题设每个扇形所对应的等腰三角形的面积为即有， 可得 故选：B 7．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数的值域、正切函数的单调性进行求解即可. 【详解】， 因为，所以当时取等号，即当； ，其中， 因为，所以当时取等号，即当； ，其中， 因为，所以当时取等号，即当； 因为， 所以当且仅当，，时取等号， 因为，， 所以有 所以，即， 故选：D 8．在中，已知，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理公式，将数值代入求出，最后根据内角和求出. 【详解】因为，，， 所以，即，则或； 因为三角形内角和为，所以， . 故选：D. 9．给出下列命题： （1）函数的图象关于点对称； （2）函数在区间内是增函数； （3）函数是偶函数； （4）存在实数，使. 其中正确的命题的序号是（   ） A．（1）（3）（4） B．（1）（2）（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（3）（4） 【答案】A 【分析】根据正余弦函数的性质，两角和与差的正弦公式，诱导公式即可求解. 【详解】对（1），当时，. 即点是函数与轴的交点. 所以函数图像关于点对称，故（1）正确. 对（2），令得. 即函数在是减函数，当时，. 即函数在区间内是减函数，故（2）错误. 对（3），，因为，又. 所以函数是偶函数，故（3）正确. 对（4），. 因为，又. 所以存在实数，使，故（4）正确. 综上，（1）（3）（4）正确. 故选：A. 10．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦和余弦二倍角公式结合同角三角函数基本关系式即可判断. 【详解】. 故选：C. 11．已知函数的部分图像如图所示，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据图像可确定的值，再由图像过点求出的值，再使代入解析式中求值即可. 【详解】由图可知，最小值为，所以， 由图可知，，所以周期， 即，所以， 又图像过点， 所以，即， 解得，， 因为，所以， 即，， 故选：B. 12．函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）. A．处取得最大值 B．的最小值是 C．的最小正周期为 D．的单调递增区间是      【答案】D 【分析】根据函数图像易得正弦型函数,再判断其性质易得答案. 【详解】由题意得,, 所以过点, 即,所以,所以, 所以, A:当时,,故说法正确, B:当时,最小值是,故说法正确, C:说法正确, D:因为单调递增区间,所以,解得,故说法错误. 故选:D. 13．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦的倍角公式和同角三角函数基本关系即可求解. 【详解】，， ，， ，， . 故选：C. 14．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式将已知等式进行化简得到，利用同角三角函数基本关系式即可得解. 【详解】， 因为，则， 所以，则，解得或（舍）， 故选：. 15．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦的二倍角公式和同角三角函数的平方关系化简可得结果. 【详解】. 故选：A. 16．某同学用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据表格中的数据，列出关于的方程组，解方程组得出函数的解析式，根据三角函数图象的变换规则即可得出结果. 由表中的数据可得， ，解得， 所以， 将图象向左平移单位后， 得到的图象. 故选：A 17．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（    ）（精确到1m.参考数据：，，，）    A．28m B．34m C．37m D．46m 【答案】C 【分析】设m，通过在两个直角三角形中利用正切函数建立关于的方程求解即可. 【详解】设m， 在中，， 在中，， 由题意可得，， 即，解得， 故该建筑物AB的高度约为37m. 故选：C. 18．已知角是第二象限角，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二倍角公式化简可得的值，再结合角是第二象限角，可得的值. 【详解】由得， 所以， 又因为角是第二象限角， 所以， 故选：. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．中角A，B，C对应边分别为a，b，c，，则边_________． 【答案】 【分析】根据题意结合诱导公式求出，代入余弦定理即可得解. 【详解】中，， 又因为， 则， 所以， 故答案为：. 20．函数的最小正周期为________． 【答案】 【分析】根据二倍角的正弦公式化简，再由正弦函数的周期公式求值即可. 【详解】 ， 所以最小正周期为， 故答案为：. 21．函数的最小值是_____. 【答案】 【分析】先用辅助角公式将函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数的性质求解即可. 【详解】 ，其中. 因为， 所以， 所以函数的最小值为. 故答案为：. 22．若为实数，且，定义函数，现将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为______． 【答案】 【分析】根据题意，结合二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式，函数图像平移的原则，诱导公式即可求解. 【详解】由题意得，， 将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 则. 故答案为：. 23．若_________ 【答案】/ 【分析】利用已知条件求出，利用正切的二倍角公式计算即可得出结果. 【详解】由已知得： ∴ ． 故答案为：. 24．函数的值域是__________，最小正周期是__________. 【答案】 【分析】利用两角和差的正弦公式进行化简，再利用最小正周期公式即可得解. 【详解】函数. 整理得. 因为. 所以. 所以函数的值域为. 最小正周期为. 故答案为：；. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知，角、均为锐角．求： (1)的值； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系式求出的值，再利用两角和与差的余弦公式即可得解； （2）先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系式和二倍角的正切公式计算即可得解. 【详解】（1）∵，角、均为锐角， ∴， ∴ ， ∵， ∴，∴. （2）由（1）知，∴， 将代入，化简得， ， ∵角是锐角，∴， ∴， ∴， ∴. 26．(本题10分)如图，是等边三角形，点在边的延长线上，且，． (1)求长度； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，可设，则，结合余弦定理，即可求解； （2）根据题意，结合正弦定理，即可求解. 【详解】（1）由题意，设，则， 又是等边三角形，所以， 所以，即， 所以，解得或（舍）， 即； （2）由（1）知，则， 由正弦定理得，即， 所以. 27．(本题12分)在中，. (1)求； (2)若，求点B到边的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知和正弦定理分别表示出之间的等量关系，再由余弦定理即可解得. （2）根据正弦定理求出边长，再由三角形面积公式即可解得三角形的高. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 设，， 所以， 所以， 所以， （2）由题可知， 所以，所以，所以， 所以， 设点B到的距离为， 所以，所以. 28．(本题12分)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求B； (2)若的面积为，且，求c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理，即可求解. （2）利用正弦定理求面积公式，即可求解. 【详解】（1）由题意知， 所以由余弦定理得， 因为，所以， 又因为， 所以， 因为，所以. （2）由题意知的面积为， 所以由正弦定理得， 将和代入上式，得，解得. 29．(本题14分)已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最值以及对应的值； (3)若方程在上有两个不同的根，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，此时；，此时 (3) 【分析】（1）根据题意，结合降幂公式及辅助角公式，将函数化为正弦型函数，结合正弦型函数的周期性，即可求解； （2）根据题意，结合正弦型函数的图像和性质，即可求解； （3）根据题意，可作出函数在区间上的图像，将方程在上有两个不同的根，转化为函数与的图像在上有两个不同的交点，结合函数图像，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期； （2）由（1）知， 因为，所以， 所以当时，函数取得最大值，即，此时； 当时，函数取得最小值，即，此时； （3）由题意，作出函数，的图像：    又方程在上有两个不同的根， 等价于函数与的图像在上有两个不同的交点， 由图像可知，    所以的取值范围是. 30．(本题14分)已知函数的最小正周期为，且． (1)求函数的单调递增区间； (2)设，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求得，再由解出，得出，然后利用正弦函数的单调性即可求出结果； （2）由条件分别求出和，进而利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）依题意得， ， 由得，即， ，， 由得：， 所以函数的单调递增区间为：. （2）由， 得，即， ，又，， 由， 得，即， ，又，， . 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $