第七章 数列（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学《拓展模块下册》第七章数列B卷（能力提升），以文化传承与实际应用为特色，适配单元复习，强化知识整合与解题能力，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|等差数列通项（3题）、等比数列性质（16题）、《算法统宗》古算题（1题）|文化情境与基础能力结合| |填空题|6/24|等比数列前n项和（19题）、沈括隙积术堆垛计数（21题）|实际问题与数学抽象融合| |解答题|6/72|数列递推关系（25题）、蛋糕切割数列探究（29题）、《九章算术》良马驽马相遇问题（18题）|探究性与应用能力并重|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第七章 数列 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十四里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，七朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共要走254里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地，在这个问题中，此人第四天走的里数是（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】根据题意得到每天走的路程为等比数列，再根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】设第天走里，则根据题意数列是公比为的等比数列. 已知一共要走254里路，则前7项和，解得， 故第四天走. 故选：B. 2．已知数列满足.设，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义和一元二次函数的性质，分析求解即可. 【详解】因为，所以， 即是以2为首项、2为公比的等比数列，所以， 所以， 因为数列是单调递增数列，所以对于任意的恒成立， 即， 即， 即，令， 其图像开口朝上，对称轴为， 所以函数在上单调递增，因为， 所以当时，， 所以，即. 故选：C. 3．在等差数列中，已知，则（     ） A．9 B．18 C．36 D．72 【答案】C 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，及前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中， ， 所以. 故选：C. 4．在等差数列中，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式求值即可. 【详解】在等差数列中，设公差为， 已知， 则， 即，得， 所以. 故选：C. 5．已知数列的前n项和为，且满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用与之间的关系，证明为等比数列，然后根据等比数列通项公式可求. 【详解】，则， ，，则， ，即，即， 又，，，得， 为首项，公比的等比数列， ， 故选：D. 6．等差数列的前n项和为，且，若对任意，总有，则k的值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由条件中和的关系和等差数列求和公式求出，再由等差数列的前项和性质求解即可. 【详解】在等差数列中，设公差为， 则 ， 即， 所以， 所以前n项和， 故前7项和最大，故总有，所以. 故选：C. 7．在等差数列满足，则= （    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先根据等差数列通项公式表示出，结合已知条件列出关于首项和公差的方程，进而求解即可． 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，， 因为，可得， 所以， 所以，解得， 故选：B． 8．记为等差数列的前项和.若，则（ ） A．50 B．44 C．40 D．36 【答案】B 【分析】利用等差数列性质计算可得，得出首项和公差，再由等差数列前项和公式计算即可， 根据题意可知， 又，可得， 所以公差，可知首项； . 故选：B. 9．已知数列满足，且，则（    ） A．13 B．11 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义求解即可. 【详解】因为，即， 又因为，所以，解得， 所以数列是以为公差，为首项的等差数列， 故，因此选项B正确. 故选：B. 10．若，则（    ） A．55 B．56 C．45 D．46 【答案】D 【分析】在数列递推式中依次取，得到个等式，累加后求出数列的通项公式，即可求出答案. 【详解】由， 得，， ，，， 累加得， ， 当时，上式成立， 则， 所以. 故选：D 11．小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还多少万元（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知购房贷款还款构成等比数列，利用等比数列的前n项和公式即可得解. 【详解】设每年应还万元，由题意知购房贷款等额还款构成等比数列， 则， 即， 则． 故选：B. 12．如图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形.已知第个图案中黑色与白色三角形的个数之和为，数列满足，那么下面各数中是数列中的项的是（    ） A．121 B．122 C．123 D．124 【答案】A 【分析】根据已知，利用构造法以及等比数列求数列的通项，再根据选项进行计算求解. 【详解】因为，所以， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以， 对于A，当时，，解得，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B错误； 对于C，当时，，此时，故C错误； 对于D，当时，，此时，故D错误. 故选：A. 13．等差数列、的前项和分别为和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等差数列的前n项和和等差数列的性质即可得解. 【详解】因为等差数列、的前项和分别为和， 所以，又已知， 故，即. 故选：A. 14．在等差数列中，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】在等差数列中，因为，所以，进而. 则通项公式为，则. 故选：C. 15．数列中，，则此数列最大项的值是（    ） A． B．30 C．31 D．32 【答案】B 【分析】结合二次函数的性质，通过配方法即可求出最值. 【详解】， 所以当时，取得最大值， 又， 所以当或6时， 取最大值， 故选：B. 16．在等比数列中，则的值是 （      ） A．5 B．4 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质，求解即可. 【详解】因为， 又比数列中，， 即，则， 又因为，所以. 故选：B. 17．在数列中，已知，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】通过取倒数的方法，证得数列是等差数列，求得，进而求出，解决问题即可. 【详解】由，，取倒数得：， 则是以为首项，为公差的等差数列． 所以，所以； 由于，故． 故选：C. 18．(九章算术)是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．” 其大意为:“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去， 已知长安和齐的距离是 1125 里．良马第一天行 103 里，之后每天比前一天多行 13 里.驽马第一天行 97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马．” 问两马相遇需几日？（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据题意，易知良马和驽马每天行走的路程都构成等差数列，结合等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】由题意，得良马和驽马每天行走的路程都构成等差数列，分别设为数列， 则， 所以良马天行走的总路程， 驽马天行走的总路程， 所以，即， 所以，即， 即 ，解得或（舍）. 所以两马相遇需9日. 故选：B. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．设正项等比数列的前项和为，若，，则公比__________，__________. 【答案】 2 63 【分析】利用等比数列的片段和性质，结合等比数列的定义即可得解. 【详解】因为数列为正项等比数列， 故，且，，成等比数列且公比为， 所以，则. 所以，解得. 故答案为：2，63. 20．设数列的前项和为，若，，则________. 【答案】 【分析】利用与的关系式，结合构造法推得是等比数列，从而利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】因为， 所以，则，所以， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以. 故答案为：. 21．沈括是北宋一名卓越的科学家，出生于浙江钱塘，也就是如今的浙江杭州，他博学多才、善于观察，在天文、数学、地理、生物、医学、物理领域都有研究，在数学上开创了“隙积术”．如图，这是一底层为长方形的“堆垛”，堆垛每层长、宽的球的个数都比相邻下层少一个，其中，为底层长、宽的球的个数，为总层数．若，，则该堆垛球的总个数为________，若，，则该堆垛球的总个数为________．（用表示，参考公式：）    【答案】 371 【分析】理解题意，时，总个数为，，时，总个数为，利用所给参考公式求解即可. 【详解】若，， 则该堆垛球的总个数为； 若，， 则该堆垛球的总个数为 ． 故答案为：； 22．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为__________. 【答案】 【分析】由题意结合之间的关系进行运算即可. 【详解】由题意， 当时，， 而， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 23．若数列是各项均为正数的等比数列，数列满足，且，，则数列的前项和为______. 【答案】 【分析】根据，，求出的通项公式，即可求出的通项公式，然后利用等差数列的前项和公式计算可得. 解：设正项等比数列的首项为，公比为， ，且， ， 即， ，， 故答案为： 【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，等差数列前项和公式，属于基础题. 24．若数列的前n项和，则的通项公式___________. 【答案】 【分析】把代入之中可得数列的首项，由时，可得改数列为等比数列，且公比为，代入等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为，则当又时，，解得， 当时，，两式相减， 得，所以当时，，即， 故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则当时，，经验证，当时，也满足式， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知等差数列的前项和为，，. (1)数列的通项公式和前项和； (2)若数列满足，，求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于的方程组，进而求得，从而得解； （2）结合（1）中结论，利用累加法与等差数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）因为等差数列的前项和为，，， 所以，解得， 所以等差数列的通项公式为， 前项和为. （2）由得， 所以， ， ， ， 累加得， 因为，所以， 即数列的通项公式. 26．(本题10分)等比数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的前10项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知先求出首项和公比，即可求出通项公式. （2）由（1）的通项公式求出，即等差数列的第3项和第5项，求出首项和公差，结合等差数列前n项和公式即可求解. 【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为q， 由已知得，解得：， 所以． （2）由（1）得，，则，， 设等差数列的公差为d，则有，解得， 所以数列的前10项和． 27．(本题12分)等比数列中，，. (1)求等比数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程求解即可. （2）根据等差数列的定义和前项和公式求值即可. 【详解】（1）在等比数列中，设公比为， 由，， 可得，解得， 所以. （2）由（1）可知，， 因为， 则，， 由，可得数列为公差为的等差数列， 所以. 28．(本题12分)已知数列的前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，在数列中剔除掉数列中的项，并且把剩余的项从小到大排列，构成数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系式，分类讨论与两种情况推得是等比数列，再利用等比数列的通项公式即可得解； （2）分析的前6项与的前105项，从而得到的前100项的情况，再利用等差数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）因为， 当时，，即， 当时，， 则， 所以，即， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以. （2）因为， 所以数列的前6项为3，9，27，81，243，729， 数列的前105项为3，6，9，12，，309，312，315， 故数列为首项为，公差为的等差数列， 所以相同的5项为：3，9，27，81，243， 所以的前100项为的前105项剔除掉的前5项. 因为数列的前105项和为， 两数列的相同的前5项和为， 所以新数列的前100项和为. 29．(本题14分)某职业技术大学计算机专业举行集体生日聚会，聚会餐桌上有一个大蛋糕，准备用刀切的方式，把切割的各块蛋糕分给到场的37位同学．由此思考一个数学问题：蛋糕近似看成平面上的圆，切1次（）把圆最多分成2块（见图①）；切2次（）把圆最多分成4块（见图②）；切3次（）把圆最多分成7块（见图③），…，切次（）把圆最多分成块，由此得到数列．注意：不考虑均匀切割．   (1)试分别写出和的值； (2)根据数列的前五项观察分析规律，写出与的关系式（且）； (3)求数列的通项公式，若要使得每人都分得一块蛋糕，则至少要切几刀？ 【答案】(1)， (2)且 (3)，8刀 【分析】（1）为了使蛋糕快最多，则需要与前面每一条线相交，由此得到和. （2）观察分析规律，得到与的关系式. （3）根据（2）得到数列的通项公式，再根据不等式求解即可. 【详解】（1）画图可知，第4刀切痕与前3刀切痕都相交，得到最多块的蛋糕，故． 同理，第5刀切痕与前4刀切痕都相交时得到最多，即． （2）数列的前五项分别为2，4，7，11，16， ∴与的关系式为且． （3）由（且）得 ，， … ，， 以上个等式相加得． 解得或（舍去）， ∴，即至少要切8刀． 30．(本题14分)已知各项都是正数的数列的前项和． (1)求，，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据的关系求解； （2）根据的关系及等差数列的定义与通项公式求解； （3）对分类讨论，结合分组求和法与等差数列的前项和公式求解. 【详解】（1）由，即，解得． 由，即，解得或（舍去），故. 由，即，解得或（舍去），故． 由，即，解得或（舍去），故． （2）由，， 两式作差得， ， ， ． ，，， ，即，又， ∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ． （3），． 当为偶数时， ； 当时，； 当为大于1的奇数时，为偶数， ， 当，也适合上式， 综上所述， 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第七章 数列 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十四里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，七朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共要走254里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地，在这个问题中，此人第四天走的里数是（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 2．已知数列满足.设，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．在等差数列中，已知，则（     ） A．9 B．18 C．36 D．72 4．在等差数列中，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列的前n项和为，且满足，则（    ）． A． B． C． D． 6．等差数列的前n项和为，且，若对任意，总有，则k的值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．在等差数列满足，则= （    ） A．3 B． C．1 D． 8．记为等差数列的前项和.若，则（ ） A．50 B．44 C．40 D．36 9．已知数列满足，且，则（    ） A．13 B．11 C．9 D．12 10．若，则（    ） A．55 B．56 C．45 D．46 11．小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还多少万元（   ） A． B． C． D． 12．如图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形.已知第个图案中黑色与白色三角形的个数之和为，数列满足，那么下面各数中是数列中的项的是（    ） A．121 B．122 C．123 D．124 13．等差数列、的前项和分别为和，已知，则（   ） A． B． C． D． 14．在等差数列中，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．数列中，，则此数列最大项的值是（    ） A． B．30 C．31 D．32 16．在等比数列中，则的值是 （      ） A．5 B．4 C．或 D．或 17．在数列中，已知，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．(九章算术)是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．” 其大意为:“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去， 已知长安和齐的距离是 1125 里．良马第一天行 103 里，之后每天比前一天多行 13 里.驽马第一天行 97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马．” 问两马相遇需几日？（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．设正项等比数列的前项和为，若，，则公比__________，__________. 20．设数列的前项和为，若，，则________. 21．沈括是北宋一名卓越的科学家，出生于浙江钱塘，也就是如今的浙江杭州，他博学多才、善于观察，在天文、数学、地理、生物、医学、物理领域都有研究，在数学上开创了“隙积术”．如图，这是一底层为长方形的“堆垛”，堆垛每层长、宽的球的个数都比相邻下层少一个，其中，为底层长、宽的球的个数，为总层数．若，，则该堆垛球的总个数为________，若，，则该堆垛球的总个数为________．（用表示，参考公式：）    22．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为__________. 23．若数列是各项均为正数的等比数列，数列满足，且，，则数列的前项和为______. 24．若数列的前n项和，则的通项公式___________. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知等差数列的前项和为，，. (1)数列的通项公式和前项和； (2)若数列满足，，求数列的通项公式. 26．(本题10分)等比数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的前10项和． 27．(本题12分)等比数列中，，. (1)求等比数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 28．(本题12分)已知数列的前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，在数列中剔除掉数列中的项，并且把剩余的项从小到大排列，构成数列的前项和. 29．(本题14分)某职业技术大学计算机专业举行集体生日聚会，聚会餐桌上有一个大蛋糕，准备用刀切的方式，把切割的各块蛋糕分给到场的37位同学．由此思考一个数学问题：蛋糕近似看成平面上的圆，切1次（）把圆最多分成2块（见图①）；切2次（）把圆最多分成4块（见图②）；切3次（）把圆最多分成7块（见图③），…，切次（）把圆最多分成块，由此得到数列．注意：不考虑均匀切割．   (1)试分别写出和的值； (2)根据数列的前五项观察分析规律，写出与的关系式（且）； (3)求数列的通项公式，若要使得每人都分得一块蛋糕，则至少要切几刀？ 30．(本题14分)已知各项都是正数的数列的前项和． (1)求，，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $