综合测试卷（二）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本套综合训练紧扣教材核心考点，采用AB卷分层巩固与综合测试卷实战模拟，系统整合三角函数、数列、概率统计等跨章节知识，培养数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数与数列|选择1-2、9-12、17-18，解答25、28|含图像变换、通项求和、解三角形|从函数性质到数列递推，体现公式推导与实际应用| |概率统计|选择3-4、14，填空19、23，解答27|涉及分布列、期望方差、正态分布|从数据分析到概率计算，培养数据观念与模型意识| |排列组合与应用|选择5、8，填空20，解答26|含数字组数、计数原理|从基本原理到实际情境转化，提升数学语言表达能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．的值为（ ） A． B． C． D． 2．函数的最大值为5，则A的值为（ ） A．5 B．-5 C．4 D．-4 3．若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量的分布列如下，则的期望（   ） X 3 5 7 P a b a A．3 B．4 C．5 D．6 5．有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A．81 B．64 C．27 D．24 6．已知，的取值如下表所示，若与线性相关，，则（   ） 0 1 3 4 2.2 4.3 4.8 6.7 A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.9 7．在的二项展开式中，若所有项的系数之和为243，则含项的系数为（   ） A．40 B．60 C．80 D．160 8．某兴趣小组由5名高一学生、7名高二学生和8名高三学生组成，选1名代表小组参加比赛，不同的选法有（ ） A．5种 B．7种 C．15种 D．20种 9．在等比数列中，若，则的值为（   ） A． B． C． D．9 10．已知的前项的和，则（   ） A．138 B．192 C．276 D．222 11．已知等差数列的公差为，且，则（   ） A．36 B．48 C．51 D．57 12．数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 13．在中，若，则（   ）. A．或 B．或 C． D． 14．已知离散型随机变量X的分布列如下表： x 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则随机变量X的方差等于（   ） A．0 B．0.8 C．2 D．1 15．若为等比数列的前n项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 16．在中，，，是中点，则（    ） A． B． C．2 D． 17．把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变），再将函数图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ） A． B． C． D． 18．化简的结果为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．若随机变量服从正态分布，则____________． 20．从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有_____个. 21．已知等比数列的前n项和为，若，则______. 22．已知，则_______. 23．给出下列说法： ①回归直线恒过样本点的中心； ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1； ③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变； ④在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位. 其中说法正确的是_____________. 24．函数的单调递减区间为____________ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，，，． (1)求； (2)的面积． 26．(本题10分)用0，1，2，3，4，5这六个数字组数，求符合下列条件的无重复数字的数的个数： (1)比400000大的正整数； (2)个位数字不是5的六位数． 27．(本题12分)某学校组织学生参加技能大赛，计划从3名女生和2名男生中选出3名组成参赛队.求: (1)选出的学生中至少有1名男生的概率; (2)选出的学生中女生人数的概率分布及方差. 28．(本题12分)已知数列是公差为3的等差数列，它的前项和为，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 29．(本题14分)春节期间，城市广场举行无人机表演，无人机群在空中分别按照“图1，图2，图3，图4，…”依次亮灯构造图形，记依次亮灯的无人机数量分别为“”，假设无人机数量足够多且无损坏. (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 30．(本题14分)函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的解析式及单调递增区间； (3)求函数在上的值域. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 2．函数的最大值为5，则A的值为（ ） A．5 B．-5 C．4 D．-4 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以函数的值域为， 所以函数的最大值为A，则由题. 3．若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望与方差公式即可求解. 【详解】因为随机变量，则， 所以，则. 故选：B. 4．已知随机变量的分布列如下，则的期望（   ） X 3 5 7 P a b a A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据概率的性质以及数学期望的公式求解即可. 【详解】根据表格知，，即， . 故选：C. 5．有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A．81 B．64 C．27 D．24 【答案】A 【分析】利用分步计数原理，每封信独立选择信箱，将各步的方法数相乘得到总方法数. 每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法． 故选：A. 6．已知，的取值如下表所示，若与线性相关，，则（   ） 0 1 3 4 2.2 4.3 4.8 6.7 A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.9 【答案】B 【分析】先分别算出，再由回归直线方程经过样本中心，求出的值即可. 【详解】由题意知， . 因为回归直线方程经过样本中心， 所以，解得. 故选：B. 7．在的二项展开式中，若所有项的系数之和为243，则含项的系数为（   ） A．40 B．60 C．80 D．160 【答案】A 【分析】令可得所有项的系数之和求出，再根据通项求解即可. 【详解】令可得所有项的系数之和为：，故， 中含项的系数为. 故选：A. 8．某兴趣小组由5名高一学生、7名高二学生和8名高三学生组成，选1名代表小组参加比赛，不同的选法有（ ） A．5种 B．7种 C．15种 D．20种 【答案】D 【分析】根据已知确定成员总数，分析即可得答案. 由题意，兴趣小组有名成员，从中选1名，有20种不同的选法． 故选：D． 9．在等比数列中，若，则的值为（   ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】∵，且， ∴，即， 设等比数列的公比q，且， ∴，则， ∴. 故选：D. 10．已知的前项的和，则（   ） A．138 B．192 C．276 D．222 【答案】B 【分析】利用数列前n项和的含义，将所求三项和转化为前8项和与前5项和的差，代入公式计算即可. 【详解】数列的前项的和， 则. 故选：B. 11．已知等差数列的公差为，且，则（   ） A．36 B．48 C．51 D．57 【答案】C 【分析】根据题意结合等差数列的求和公式即可求解. 【详解】已知等差数列的公差为，且， 因为， 则. 故选：. 12．数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分子、分母与项数的关系，写出数列的通项公式，据此可得解. 【详解】由题可知，所给数列的分子：，通项为； 分母：，通项为； 故数列通项为，所以. 故选：B 13．在中，若，则（   ）. A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理结合已知条件即可求解. 【详解】在中，若， 由正弦定理可得，解得， 因为，所以或. 故选：A. 14．已知离散型随机变量X的分布列如下表： x 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则随机变量X的方差等于（   ） A．0 B．0.8 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据随机变量的期望与方差公式求解. 【详解】， . 故选：B. 15．若为等比数列的前n项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知等式求出等比数列的公比，再利用等比数列通项公式和前项和公式计算求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，设公比为，且， 所以，因为，所以，解得：， 所以. 故选：C. 16．在中，，，是中点，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由余弦定理结合题干条件代入计算即可. 【详解】在中，，，是中点，则， 在中，由余弦定理得， 因为，所以. 故选：D. 17．把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变），再将函数图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变）得到函数， 再将函数图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数． 18．化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积化和差公式，结合诱导公式化简可得. 故选：B. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．若随机变量服从正态分布，则____________． 【答案】/ 【分析】根据正态分布的性质，分析求解即可. 【详解】因为正态分布的对称轴为， 故． 故答案为：. 20．从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有_____个. 【答案】167 【分析】以百位数为3和小于3两种情况分析即可求解. 当百位数小于3时，共有个； 当百位数为3，十位数小于2时，此时共有个； 当百位数为3，十位数为2时，共有个. 综上所述，共有个. 故答案为：167 21．已知等比数列的前n项和为，若，则______. 【答案】或 【分析】设出等比数列的公比，根据题意列出等式，再根据通项公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，已知，. 则，整理得. 因式分解得，解得或. 时，. 时，. 因此的值为或. 故答案为：或. 22．已知，则_______. 【答案】/ 【分析】令，结合诱导公式和余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】令，则，， 所以. 故答案为：. 23．给出下列说法： ①回归直线恒过样本点的中心； ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1； ③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变； ④在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位. 其中说法正确的是_____________. 【答案】①②④ 【分析】①回归直线恒过样本点的中心； ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1； ③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，平均值不变，方差改变； ④回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位是平均减少，或者估计减少. 【详解】①回归直线恒过样本点的中心，正确； ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，正确； ③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，平均值不变，方差改变，故错误； ④回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位是平均减少，或者估计减少，故正确. 故答案为：①②④. 24．函数的单调递减区间为____________ 【答案】， 【详解】因为， 要求函数的单调递减区间，即求函数的单调递增区间. 由可得， 即函数的单调递减区间为，. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，，，． (1)求； (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出的值； （2）先再根据三角函数关系求出的值，最后利用三角形面积公式求出的面积. 【详解】（1）已知，，， 根据余弦定理. （2）因为是三角形内角，所以，又， 可得：， 所以三角形面积. 26．(本题10分)用0，1，2，3，4，5这六个数字组数，求符合下列条件的无重复数字的数的个数： (1)比400000大的正整数； (2)个位数字不是5的六位数． 【答案】(1)（个） (2)（个） 【分析】（1）要比400000大，首位必须是4或5，其余位数全排列，从而利用分步计数原理即可得解． （2）分两类，个位数字是0和不是0，利用两个计数原理进行求解即可； （1）要比400000大，最高位必须是4或5，其余数位全排列即可， 所以有个． （2）两位及两位以上的自然数最高位不能为0． 因为0是特殊元素，所以根据个位数字是0和不是0分两类， 当个位数字是0时，个位数字不是5的六位数有（个）， 当个位数字不是0时，个位数字不是5的六位数有（个）， 根据分类加法计数原理得，个位数字不是5的六位数有（个）． 27．(本题12分)某学校组织学生参加技能大赛，计划从3名女生和2名男生中选出3名组成参赛队.求: (1)选出的学生中至少有1名男生的概率; (2)选出的学生中女生人数的概率分布及方差. 【答案】(1). (2)分布列见解析，方差为. 【分析】（）根据题意结合对立事件概率的性质即可得解. （）根据题意得出的所有可能取值为，分别求出对应概率写出分布列，代入期望和方差公式即可得解. 【详解】（1）设{选出的3名学生中至少有1名男生}， （2）随机变量的所有可能取值为， ；； ， 所以随机变量的分布列为下表： 1 2 3 ， . 28．(本题12分)已知数列是公差为3的等差数列，它的前项和为，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质建立关于首项的方程，进而求出的值，最后得到数列的通项公式； （2）根据等差数列、等比数列的前项和公式分别求出数列和的前项和，再相加即可得出. 【详解】（1）已知数列是公差为的等差数列， 可得，， 因为成等比数列，     可得，即，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 可得数列的前项和， 已知数列是首项，公比为的等比数列， 可得数列的前项和， 所以数列的前项和 . 29．(本题14分)春节期间，城市广场举行无人机表演，无人机群在空中分别按照“图1，图2，图3，图4，…”依次亮灯构造图形，记依次亮灯的无人机数量分别为“”，假设无人机数量足够多且无损坏. (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图示中无人机的数量分别求解出，再根据规律求解； （2）根据规律可得为等差数列，再根据等差数列的通项公式求解； （3）先求解出数列的通项公式，再根据裂项相消求和法求解. 【详解】（1）由题得，，，， ，则. （2）根据题意，每次增加4台无人机， 故是等差数列，首项为4，公差也为4， ∴； （3）由题得，， 所以. 30．(本题14分)函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的解析式及单调递增区间； (3)求函数在上的值域. 【答案】(1) (2)，； (3) 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，再由求出，即可得到函数解析式； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，再由正弦函数的性质计算可得； （3）利用三角恒等变换公式化简，再由的范围求出的范围，最后由正弦函数的性质计算可得. （1）设该函数的最小正周期为，所以有， 所以，因为，所以，解得， 即函数， 又，所以，解得， 因为，所以令，可得， 所以； （2）依题意将函数图象向左平移个单位长度， 得到， 将图象上每个点的横坐标变为原来的，可得 令，解得 所以的单调递增区间为； （3）因为 . 因为，所以，所以， 所以，即函数在上的值域为. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $