第十三章 数据的分析（复习讲义）数学新教材青岛版八年级下册

该初中数学《数据的分析》复习讲义通过分层梳理构建知识体系，将平均数、中位数、众数、方差、四分位数与箱线图等核心知识点按“定义-性质-应用”逻辑串联，并用对比表格呈现算术与加权平均数的计算差异，框架图展示数据集中趋势与离散程度的内在联系。 讲义亮点在于“情境化问题链”练习设计，如通过征文比赛评分（加权平均数）、销售部门收入分析（中位数与众数）等真实案例，培养数据意识与推理能力。19类题型覆盖基础计算到综合决策，附易错点提示，基础生可掌握方法，优秀生能深化思维，助力教师实施精准分层教学。

第十三章 数据的分析（复习讲义） 知识点一 平均数 1.算术平均数 1）算术平均数：一般地，有n个数x1，x2，…，xn，那么=.简称平均数. 算术平均数反映了这一组数据的集中趋势，表示了这组数据的平均水平. 注：当任一数据变化时，都会影响算术平均数. 2）结论：若=；=. 则：①x1±y1，x2±y2，…，xn±yn的平均数为±；②x1，y1，x2，y2…，xn，yn的平均数为（+）. ③ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b. ∵ax1，ax2，…，axn的平均数为a； ∴x1+b，x2+b，…，xn+b的平均数为+b. 2.加权平均数 加权平均数：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则叫做这n个数的加权平均数．前面求算术平均数，是将每个数据认为同等重要，即每个数据的权重都是1. 注意：计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆. 知识点二 中位数与众数 1.中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，如果数据是奇数个，则处于中间的数为中位数；若数据是偶数个，则中间两个数据的平均数为中位数. 注：①所有数据需排列（从大到小或从小到大）；②中位数有可能不是这组数据中的数；③中位数反映了中间水平. 2.众数：一组数据中出现次数最多的数据. 注：①众数不一定唯一；②众数反映了一组数据中的趋势量，即数据出现频次最高的量. 知识点三 方差、标准差 1）方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.通常用“”表示，即 结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2. 方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定. 2）标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 知识点四 四分位数与箱线图 1.在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，记为m25，m50，m75，统称四分位数。它们把一组数据分为个数相等的四部分。 2.用一组数据中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值来反映数据分布的中心位置和散布范围的统计图。画法为先找出这5个值，用横线对应，连接下四分位数和上四分位数画出“箱体”，再将最小值和最大值与“箱体”相连，中位数在“箱体”中间。箱线图可粗略观察数据是否对称，不受异常值影响。 题型一 已知平均数求未知数据的值 【例1】（2026·安徽合肥·一模）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校开展主题为“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”的征文比赛评委从征文的文学价值、思想深度、表达技巧三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计算，进入决赛的前三名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示： 选手 文学价值 思想深度 表达技巧 平均分 甲 86 a 80 80 乙 82 80 90 84 丙 80 85 81 b (1)_________， _________； (2)如果评委将文学价值、思想深度、表达技巧的成绩按照的比例确定，以此计算三名选手的平均成绩（百分制）并确定谁是第一名． 【变式】（25-26九年级下·辽宁鞍山·阶段检测）一组数据1，2，的平均数为3，另一组数据，，1，2，的唯一众数为，则数据，，，1，2，4的中位数为________． 题型二 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【例2】有7个数排成一列，它们的平均数是20，前5个数的平均数是15，后3个数的平均数是30，那么第5个数是　　 A．15 B．20 C．25 D．30 【变式】（24-25八年级下·浙江湖州·期末）某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 题型三 利用平均数做决策 【例3】（25-26八年级下·浙江温州·期中）某校在一次班班有歌声评比活动中，A，B两班各项得分如表． 精神面貌 演唱质量 整体规范 A 86 91 87 B 90 85 92 (1)如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两个班级的排名顺序怎样？ (2)若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“精神面貌”“演唱质量”“整体规范”三个项目在总分中的占比为，那么两个班级的排名顺序又怎么样？ 【变式】（25-26九年级下·山东淄博·阶段检测）一个小饭店所有员工的月收入情况如表： 经理 领班 迎宾 厨师 厨师助理 服务员 清洁工 人数/人 月收入/元 (1)该饭店所有员工的月平均收入是多少元？月收入的中位数、众数呢？ (2)你觉得用以上三个数据中的哪一个来描述该饭店员工的月收入水平更为恰当？说说你的理由． (3)某天，一个员工辞职了，若其他员工的月收入不变，平均收入升高了．你认为辞职的可能是哪个岗位上的员工？ 题型四 利用加权平均数求未知数据的值 【例4】（24-25八年级下·福建泉州·期末）德化陶瓷因其造型精美和釉色独特而享誉世界．为继承和推广陶艺文化，七年级举办了一场“陶瓷文化研学”活动．活动期间，甲、乙两名学生创作了陶艺作品各一件，结束后从“造型设计、工艺技巧和文化内涵”三个部分进行评分，权重比例为（满分10分），并绘制甲、乙两名学生的作品得分情况统计表，如下： 甲、乙两名学生的作品得分情况统计表： 造型设计 工艺技巧 文化内涵 得分 甲作品 8 8.4 9.3 8.5 乙作品 7.8 6.6 8 根据以上信息，回答下列问题． (1)求的值； (2)若仅从“造型设计”进行评价，问哪位学生较为突出？请说明理由． 【变式】（2025·山东威海·中考真题）为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，某区市开展了科技素养测评活动，内容包括知识测试和实践创新两部分．所有参赛学生的总成绩均不低于70分；总成绩x（单位：分）分为三个等级：优秀，良好，一般；总成绩80分及以上人数占总人数的百分比是优良率． 阳光中学为了解本校参赛学生科技素养测评情况，整理了这次活动本校及所在区市参赛学生测评总成绩的相关数据，部分信息如下： 测评总成绩统计表 平均数 中位数 优秀率 优良率 阳光中学 84.6 88 a 区市 85.3 87 请根据所给信息，解答下列问题： (1)求阳光中学参赛人数及a的值，并补全统计图； (2)请你对比区市测评总成绩，选择两个角度，对阳光中学参赛学生科技素养测评情况做出评价： (3)每位参赛学生的总成绩是由知识测试和实践创新成绩按一定的百分比折合而成．小红同学知识测试成绩为80分，实践创新成绩为90分，她的总成绩为87分，求知识测试成绩和实践创新成绩各占自百分比． 题型五 运用加权平均数做决策 【例5】（24-25八年级下·河北唐山·月考）某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如表： 项目作品 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 【变式】（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）在学校举行的一次广播操比赛中，八年级三个班的各项得分（单位：分）如表． 班别 服装统一 动作整齐 动作标准 八（1）班 80 84 85 八（2）班 97 78 80 八（3）班 90 77 85 (1)根据表中信息，三个班得分的平均数分别是________ 、________、________． (2)如果服装统一、动作整齐、动作标准三方面的重要性分别占，，，求这三个班的成绩排名顺序． (3)在（2）的条件下，你对三个班级中排名最后的班级有何建议？ 题型六 出错情况下的平均数问题 【例6】．（25-26八年级下·全国·课后作业）小颖使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，另一个数据65输入56，由此求得的平均数为61，求实际平均数． 【变式】（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 题型七 求中位数 【例7】（2026八年级下·浙江·专题练习）某公司销售部招聘新员工，对外宣称“加入我们，月薪8000+，心动者速速报名！”．据内部人士透露，该销售部门真实的收入情况如下（前12个月每月月均收入） 收入/月 3000 5000 6000 7000 8000 10000 20000 40000 人数 2 5 10 2 2 2 1 1 (1)求该销售部门真实收入的平均数、众数与中位数．并说说公司对外宣称的口号的依据是什么？ (2)你的朋友想要报名，你有什么话要跟他解释的吗？请你联系数学知识进行作答． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图： 请根据以上提供的信息解答下列问题： (1)求出下表中a，b，c的值； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 a b 90 二班 87.6 80 c (2)请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析： ①从平均数和中位数方面来比较一班和二班的成绩； ②从平均数和众数方面来比较一班和二班的成绩； ③从B等级以上（包括B等级）的人数方面来比较一班和二班的成绩． 题型八 利用中位数求未知数据的值 【例8】（25-26八年级下·全国·单元测试）某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟．初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示．为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计．若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（ ） A．分钟，分钟 B．分钟，分钟 C．分钟，分钟 D．分钟，分钟 【变式】（25-26九年级下·河北沧州·月考）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，并对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级中各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制成如图所示的统计图表． 已知七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)______，______； (2)样本中，八年级活动成绩为7分的学生有______名，八年级活动成绩的众数为______分； (3)若活动成绩不低于9分为“优秀”，请根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 题型九 求众数 【例9】某店铺展开了顾客满意度调查，满意度评分由低至高依次为1分、2分、3分、4分和5分，评分越高表示顾客对店铺的服务质量越满意，根据调查结果绘制的统计图如图所示，其中评分为5分的有816人，则下列说法正确的是（    ） A．调查总人数为1000人 B．评分为2分的人数最少 C．评分的众数为4分 D．大多数顾客对店铺的服务不满意 【变式】（25-26九年级下·河南南阳·月考）启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】 小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 乙组 7.5 9 【数据应用】请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____，_____． (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由； (3)小华认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小华的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 题型十 利用众数求未知数据的值 0（2022·河北邯郸·二模）如图，已知嘉嘉五次党史测试的成绩如条形统计图所示，现再测试一次，若六次测试成绩的众数为7分，则六次测试成绩的中位数是（    ） A．7分 B．7.5分 C．8分 D．10分 【变式】（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）植树节当天，某校九年级一班学生去植树，已知该班 6 个小组的植树棵数分别是：5、7、3、x、6、4，已知这组数据的众数是 5，则这组数据的平均数是 （    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型十一 根据要求选择合适的统计量 【例11】（25-26八年级上·全国·课后作业）苦荞饸饹条细，色泽金黄，绵软筋韧，清香利口，因糖分含量少，粗纤维多，利于消化，对糖尿病有一定的防治作用，为某地区著名小吃．随机抽取某苦荞饸饹销售商一周的营业额（单位：元）如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 营业额/元 700 750 700 800 700 1200 1100 (1)这一周营业额的平均数是________元，中位数是________元，众数是________元； (2)如果要估计该苦荞饸饹销售商一个月（按30天计算）的营业额，你认为平均数、中位数、众数中，哪一个最适合用来估计？并用最适合的数据估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额 【变式】（2025·河南周口·二模）跳绳是一种古老的汉族民俗娱乐活动，起源于古代，清末以后称作“跳绳”，作为一种简便易行的健身活动，跳绳不仅可以强身健体，还具有观赏性和协调性．某跳绳教练对自己任教的①②两个组（每个组均为40人）的学生进行跳绳检测，并对成绩进行统计，得出相关统计表和统计图．成绩等级分为：A（160次及以上），B（次），C（次），D（120次以下），其中A为优秀级别． 第①组成绩数据 第②组成绩数据 特别备注 平均数，众数，中位数，优秀率 158，152，152， 第②组中B等级的成绩分别是：140，142，146，146，146，148，152．154，156．158． 根据以上信息，回答下列问题， (1)第②组成绩在（次）区间的数据个数为 ，第②组成绩的中位数为 ； (2)从优秀率来看，哪组的成绩更好一些？ (3)已知第①组每种成绩最多有2人相同，则成绩是152次的学员，在第 （选填“①”或“②”）组的名次更好些． 题型十二 求四分位数 【例12】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（%）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（%） 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： (1)计算，，的值，并填入表格． 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 (2)根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的第三四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 题型十三 画箱线图 【例13】（25-26八年级下·浙江台州·期中）某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司 A 3.195 a 4.44 B b 3.890 c 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 【变式】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)图1中甲的众数为________环，乙的平均数为_______环； (2)在图2中，A反映________的成绩；（填“甲”或“乙”） (3)图2中，直接写出A的和B的，并判断甲和乙谁的成绩比较好． 题型十四 利用方差求未知数据的值 【例14】（25-26八年级下·浙江温州·期中）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【变式】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知一组数据的方差为：，则____． 题型十五 根据方差判断稳定性 【例15】（25-26九年级下·北京·阶段检测）为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度得分统计图 b．信息识别准确度得分统计图 c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 AI软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 乙 根据以上信息、解答下列问题： (1)表格中的值为________；的值为________； (2)若软件信息识别准确度得分的方差越小，则认为该软件识别度越高、更方便、据此推断：甲、乙两款软件中，在使用时识别度更高、更方便的软件是________（填“甲”或“乙”）； (3)若用户对软件评分大于分视为高分，否则视为低分．甲软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这名用户做进一步的测试，该公司准备了两套优化方案．方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升分；方案二：针对低分组用户定向提升准确度，低分组每位用户的评分将提升分，高分组不变．为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案________（填“一”或“二”）；采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将________．（填“增大”“减小”或“不变”） 【变式】（25-26八年级下·浙江·期中）为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (3)根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 题型十六 运用方差做决策 【例16】（2026·北京海淀·一模）某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： (1)课程甲的满意度评分的众数为______； (2)表中m的值为______，信息b中x的值为______； (3)考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 【变式】（25-26八年级下·全国·期末）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的平均成绩更高；通过计算方差，，__________，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的射击水平更稳定． (2)小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 表格中，①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 题型十七 求离差平方和 【例17】（25-26八年级下·全国·课后作业）晓慧同学为了在明年的中考体育考试中取得最好的成绩，每天自己在家里练习一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（   ） A． B． C． D．5 【变式】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试，已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级： 八年级： 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 离差平方和 七年级 84 90 444 八年级 84 87 87 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____；_____； (2)A同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是_________年级的学生，请说明理由； (3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出相应理由． 题型十八 离差平方和的应用 【例18】（25-26八年级上·福建宁德·期末）已知有8个苹果，它们的直径（单位：）分别为：71，72，73，76，78，80，80，81． (1)直接写出这8个苹果直径的众数、中位数和上四分位数； (2)现要将这8个苹果按直径大小分成两组，使得每组苹果的“个头”差不多．下表是两种不同的分法，请按照“组内离差平方和最小”原则，判断下表哪种分法更合理． 分法 第一组苹果直径（mm） 第二组苹果直径（mm） 组内离差平方和 第一种分法 71，72，73，76 78，80，80，81 18．75 第二种分法 71，72，73 76，78，80，80，81 【变式】（25-26八年级上·山西晋中·期末）下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 题型十九 随机现象的变化趋势 【例18】（25-26八年级上·河北保定·期末）在篮球选修课上，男、女各有名编号分别为，，，，的学生进行投篮练习，每人投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（   ） A．男生投篮水平比女生投篮水平高 B．男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为 D．男生、女生投篮命中次数平均数相同，但女生比男生稳定 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校舞蹈队共10名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下：161，162，162，163，166，168，168，168，169，169． (1)上述数据中，中位数为__________，众数为__________． (2)通常组内学生身高越整齐则认为该组舞台呈现效果越好，按照“组内离差平方和最小”的方法，将学生按身高分为两组．嘉嘉和琪琪的分组方法如下： 嘉嘉的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163，166； 乙组学生的身高：168，168，168，169，169． 琪琪的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163； 乙组学生的身高：166，168，168，168，169，169． 请通过计算，比较嘉嘉和琪琪谁的分组方法更好． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如图所示表格，如果每个评委打分都提高0.15，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（   ） 平均数 众数 中位数 方差 9.15 9.35 9.25 0.15 A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）现有一组数据分别为： ，则上四分位数是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·云南大理·一模）某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（   ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．无法确定 4．（2026八年级下·浙江·专题练习）某班级将组织活动，去往新能源汽车实践基地学习．全班统计周六日空余时间，以下是每位学生周末最方便时间的扇形统计图，那么应该选________去最合适，你判断的依据来自于这个统计图中的________（填“平均数”、“中位数”或“众数”）． 5．（25-26八年级下·福建福州·期中）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是______． 6．（2026·山东青岛·一模）如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 7．（2026·安徽阜阳·二模）随着技术发展，为提升学生指令能力，某学校开展专项培训．培训后，随机抽取50名学生进行测试，整理成绩（百分制）如下： a．成绩频数分布表： 成绩（分） 频数 5 10 12 18 5 b．成绩在这一组的是：（单位：分） 71  72  73  74  74  75  76  76  77  78  78  79 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ． (2)这次测试成绩的平均分是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均分，所以甲的成绩高于一半学生的成绩，”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． (3)请对该校学生“指令能力”的掌握情况作出合理的评价． 8．（2026八年级下·浙江·专题练习）游泳培训中心特训班进行毕业考试，100米蛙泳24名成员的成绩如下（单位：秒）： 158  149  145  128  140  135  142  150 155  132  136  150  142  152  130  136 140  144  166  142  144  150  132  138 据此回答： (1)填写四分位数表 四分位数 数值 136 142 150 说说本次成绩所反映的总体情况 (2)如下图所示，将这一年的成绩绘制成箱线图，并与去年的成绩进行比较，说说你对这一年成绩的评价． 9．（2026八年级下·浙江·专题练习）有6个水蜜桃测出了他们的值（糖度值，值越大越甜）如下：16、17、18、18、18、19；以下是计算各种情况的组内离差平方和表（精确到）： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 5 16、17、18、18、18 19 (1)将表格补充完整 (2)如果要将这组水蜜桃分为“优品”和“精品”，应该如何分，为什么？ 10．（2026八年级下·浙江·专题练习）某校开展以“持续弘扬长征精神”为主题的演讲比赛，选手的成绩由演讲内容、语言表达、临场表现三项组成，每项成绩均由7位评委打分，取平均分作为该项的实际成绩，再将演讲内容、语言表达、临场表现三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中，甲、乙两位选手的三项实际成绩和总评成绩（单位：分）如下表． 演讲内容 语言表达 临场表现 总评成绩 甲 86 76 82 乙 84 82 已知7位评委给乙的临场表现打出的分数（单位：分）为78、82、79、82、76、83、80． (1)将7位评委给乙的临场表现打出的分数看作一组数据，则该组数据的中位数是___________分，众数是___________分； (2)求乙临场表现的实际成绩； (3)若根据总评成绩从高到低确定最终名次，则两位选手谁的最终名次比较靠前？ 能力提升进阶练 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）数据2，3，5，5，6这组数据的众数是（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）小明记录了自己10分钟内每分钟的心跳次数，并绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（    ） A．下四分位数是80 B．平均数是79 C．中位数是80 D．10分钟内总心跳次数是790次 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校为了解在校学生的视力情况，随机抽取了40名同学检查视力，检查结果如表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 3 4 9 6 7 7 3 估计该校学生的视力的方差是________． 5．（2026八年级下·浙江·专题练习）某女子合唱组合的身高分别是、、、和，那么这个合唱组合身高的离差平方和是___________；如果新加入一名成员的身高为，新的组合身高的方差为___________． 6．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，6，4，8，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能的值为______． 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）为进一步加强中小学生对于民族文化的认同感，某中学开展了形式多样的传统文化教育培训活动．为了解培训效果，该校组织全校学生参加了传统文化主题知识竞赛，并在赛后随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x（单位：分），分数如下： 七年级10名学生竞赛成绩：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83； 八年级10名学生竞赛成绩中分布在的成绩如下：84，85，85，85，86． 【整理数据】： 年级 七年级 2 m 4 1 八年级 1 3 5 1 【分析数据】： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 ▲ a 81 71.6 八年级 80 85 b 59.8 根据以上提供的信息，回答下列问题： (1)填空：m＝ ，a＝ ，b＝ ． (2)求七年级10名学生竞赛成绩的平均分． (3)根据以上统计结果，从不同角度说明七年级与八年级中哪个年级成绩更优秀． 8．（2026·北京密云·二模）某校为探索美术创作能力培养模式，在八年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数）． 数据收集与整理 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如下表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数 4 11 ▲ 10 3 二班人数 1 7 ▲ 13 5 数据分析与运用 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差（方差保留3位小数）进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 m 8 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 (1)表中m的值为______，n的值为______； (2)对于这次评分，成绩比较整齐的是______班（填“一”或“二”）； (3)在第二学期，八年级一班的美术教学也增设了“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动，学期结束后再次对一班的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数），并对评分数据进行整理与分析，若已知全班同学评分的最低分为7分，最高分为10分，中位数为8.5分，众数为9分，若要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有______人． 9．某学校举办了七、八年级智能机器人应用比赛，比赛包括机器人基础知识、结构搭建、编程控制、综合应用四个分项，采用百分制记录比赛成绩（成绩取整数，单位：分），比赛分为两个阶段． (1)第一阶段为机器人基础知识比赛，该校七、八两个年级智能机器人应用代表队各有8名学生参赛，对他们的成绩进行描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的折线图： b．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的中位数分别为，91，方差分别为，18． 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为________； ②________18；（填“”“”或“”） (2)七、八年级各选派基础知识比赛成绩前三名的学生，参加第二阶段结构搭建、编程控制、综合应用的比赛，部分数据如下： 年级 学生 基础知识 结构搭建 编程控制 综合应用 平均数 方差 七年级 A 91 93 96 95 93.75 3.6875 B 92 92 92 97 93.25 4.6875 C 96 92 88 八年级 D 98 90 92 96 10 E 95 92 93 95 93.75 1.6875 F 94 91 91 95 92.75 3.1875 ①表中的值为________； ②根据比赛成绩，学校对这六名学生进行最后的排序，排序标准为：平均数较大的优先；若平均数相等，则综合应用成绩较高的优先；若综合应用成绩也相等，则方差较小的优先．按上述标准排序后，这六名学生的排序由高到低依次为，，，，，，则表中所有可能的值为________． 10．某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了A，B两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息： a．A队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： 其中组的数据是：80，82，82，84，85，88． b．B队成绩如下： 61，67，72，72，74，76，78，80，81，81， 83，83，83，83，85，85，87，92，93，95． c．A，B两队成绩的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 A队 81.55 76 m B队 80.55 n 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后B队的平均分______（填“增大”“不变”“减小”），方差______（填“增大”“不变”“减小”）； (3)为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 96 93 96 90 乙 93 94 94 94 95 丙 95 91 93 92 t 排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前． 若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数t的最小值为______，最大值为______． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 数据的分析（复习讲义） 知识点一 平均数 1.算术平均数 1）算术平均数：一般地，有n个数x1，x2，…，xn，那么=.简称平均数. 算术平均数反映了这一组数据的集中趋势，表示了这组数据的平均水平. 注：当任一数据变化时，都会影响算术平均数. 2）结论：若=；=. 则：①x1±y1，x2±y2，…，xn±yn的平均数为±；②x1，y1，x2，y2…，xn，yn的平均数为（+）. ③ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b. ∵ax1，ax2，…，axn的平均数为a； ∴x1+b，x2+b，…，xn+b的平均数为+b. 2.加权平均数 加权平均数：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则叫做这n个数的加权平均数．前面求算术平均数，是将每个数据认为同等重要，即每个数据的权重都是1. 注意：计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆. 知识点二 中位数与众数 1.中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，如果数据是奇数个，则处于中间的数为中位数；若数据是偶数个，则中间两个数据的平均数为中位数. 注：①所有数据需排列（从大到小或从小到大）；②中位数有可能不是这组数据中的数；③中位数反映了中间水平. 2.众数：一组数据中出现次数最多的数据. 注：①众数不一定唯一；②众数反映了一组数据中的趋势量，即数据出现频次最高的量. 知识点三 方差、标准差 1）方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.通常用“”表示，即 结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2. 方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定. 2）标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 知识点四 四分位数与箱线图 1.在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，记为m25，m50，m75，统称四分位数。它们把一组数据分为个数相等的四部分。 2.用一组数据中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值来反映数据分布的中心位置和散布范围的统计图。画法为先找出这5个值，用横线对应，连接下四分位数和上四分位数画出“箱体”，再将最小值和最大值与“箱体”相连，中位数在“箱体”中间。箱线图可粗略观察数据是否对称，不受异常值影响。 题型一 已知平均数求未知数据的值 【例1】（2026·安徽合肥·一模）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校开展主题为“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”的征文比赛评委从征文的文学价值、思想深度、表达技巧三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计算，进入决赛的前三名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示： 选手 文学价值 思想深度 表达技巧 平均分 甲 86 a 80 80 乙 82 80 90 84 丙 80 85 81 b (1)_________， _________； (2)如果评委将文学价值、思想深度、表达技巧的成绩按照的比例确定，以此计算三名选手的平均成绩（百分制）并确定谁是第一名． 【答案】(1)74；82 (2)乙选手是第一名． 【规范解答】（1）解：由题意得，解得， ； （2）解：甲选手：； 乙选手：； 丙选手：； ∵， ∴乙选手是第一名． 【变式】（25-26九年级下·辽宁鞍山·阶段检测）一组数据1，2，的平均数为3，另一组数据，，1，2，的唯一众数为，则数据，，，1，2，4的中位数为________． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了平均数、众数及中位数的定义，解题的关键是正确的利用其定义求得未知数的值． 根据平均数求得的值，然后根据众数求得的值后再确定新数据的中位数． 【规范解答】解：∵1，2，的平均数为3， ∴， 解得， ∴数据，，1，2，应为，，1，2，， ∵唯一众数为， 故， 则数据，，，1，2，4应为数据，，，1，2，4， 按从小到大排列为，，1，2，4，6， ∴中位数为． 题型二 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【例2】有7个数排成一列，它们的平均数是20，前5个数的平均数是15，后3个数的平均数是30，那么第5个数是　　 A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【思路引导】本题考查了平均数的定义，解决本题的关键是明确：总数量平均数总个数， 根据前5个数的和与后三个数的和加起来比7个数的和多计算了第五个数的值． 【规范解答】解： 答：第5个数是25． 故选：C． 【变式】（24-25八年级下·浙江湖州·期末）某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【思路引导】本题考查了算术平均数，加权平均数． 根据题意即可判断A；设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、，求出即可判断C，根据已知条件无法判断B、D． 【规范解答】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 题型三 利用平均数做决策 【例3】（25-26八年级下·浙江温州·期中）某校在一次班班有歌声评比活动中，A，B两班各项得分如表． 精神面貌 演唱质量 整体规范 A 86 91 87 B 90 85 92 (1)如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两个班级的排名顺序怎样？ (2)若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“精神面貌”“演唱质量”“整体规范”三个项目在总分中的占比为，那么两个班级的排名顺序又怎么样？ 【答案】(1) 排名顺序为B班第一，A班第二 (2) 排名顺序为A班第一，B班第二 【思路引导】（1）分别计算两个班级的平均数，通过比较平均数大小确定排名顺序； （2）分别计算两个班级的加权平均数，通过比较平均数大小确定排名顺序. 【规范解答】（1）解：；， ， 排名顺序为B班第一，A班第二； （2）解： ；， ， 排名顺序为A班第一，B班第二. 【变式】（25-26九年级下·山东淄博·阶段检测）一个小饭店所有员工的月收入情况如表： 经理 领班 迎宾 厨师 厨师助理 服务员 清洁工 人数/人 月收入/元 (1)该饭店所有员工的月平均收入是多少元？月收入的中位数、众数呢？ (2)你觉得用以上三个数据中的哪一个来描述该饭店员工的月收入水平更为恰当？说说你的理由． (3)某天，一个员工辞职了，若其他员工的月收入不变，平均收入升高了．你认为辞职的可能是哪个岗位上的员工？ 【答案】(1)元；元；元； (2)用中位数或众数来描述更为恰当，理由见解析； (3)辞职的人可能是清洁工、服务员、厨师助理、迎宾． 【思路引导】（1）根据平均数的计算方法（总收入除以总人数即可）；根据中位数的计算方法（先将所有员工的月收入进行排序，然后取最中间的两个数求其平均数）即可；根据众数的意义（数据中出现次数最多的）即可得； （2）根据平均数、中位数、众数的意义看是否能代表大多数人的收入来判断即可； （3）由于此人辞职后平均工资升高了，说明此人的工资低于平均工资，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：该饭店所有员工月收入的平均数是：（元）； 共有个员工，中位数是第个与个数的平均数，则中位数是（元）； 元出现了次，出现的次数最多，则众数是元； （2）解：用中位数或众数来描述更为恰当，理由： 平均数受极端值元的影响，只有个人的工资达到了元，不恰当， 所以用用中位数或众数来描述更为恰当； （3）解：辞职的人可能是清洁工、服务员、厨师助理、迎宾，理由： 因为平均工资升高了，故辞职的员工工资在平均工资以下，因此辞职的人可能是清洁工、服务员、厨师助理、迎宾． 题型四 利用加权平均数求未知数据的值 【例4】（24-25八年级下·福建泉州·期末）德化陶瓷因其造型精美和釉色独特而享誉世界．为继承和推广陶艺文化，七年级举办了一场“陶瓷文化研学”活动．活动期间，甲、乙两名学生创作了陶艺作品各一件，结束后从“造型设计、工艺技巧和文化内涵”三个部分进行评分，权重比例为（满分10分），并绘制甲、乙两名学生的作品得分情况统计表，如下： 甲、乙两名学生的作品得分情况统计表： 造型设计 工艺技巧 文化内涵 得分 甲作品 8 8.4 9.3 8.5 乙作品 7.8 6.6 8 根据以上信息，回答下列问题． (1)求的值； (2)若仅从“造型设计”进行评价，问哪位学生较为突出？请说明理由． 【答案】(1) (2)乙，见解析 【思路引导】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数公式是解答本题的关键． （1）根据甲作品的得分以及加权平均数公式可得x的值； （2）求出m的值即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意得， 经检验：是原方程的解，且符合题意． （2）解：由（1）可知权重比例为3:1:2， 所以， 解得，， 所以， 所以乙学生在“造型设计”方面比较突出 【变式】（2025·山东威海·中考真题）为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，某区市开展了科技素养测评活动，内容包括知识测试和实践创新两部分．所有参赛学生的总成绩均不低于70分；总成绩x（单位：分）分为三个等级：优秀，良好，一般；总成绩80分及以上人数占总人数的百分比是优良率． 阳光中学为了解本校参赛学生科技素养测评情况，整理了这次活动本校及所在区市参赛学生测评总成绩的相关数据，部分信息如下： 测评总成绩统计表 平均数 中位数 优秀率 优良率 阳光中学 84.6 88 a 区市 85.3 87 请根据所给信息，解答下列问题： (1)求阳光中学参赛人数及a的值，并补全统计图； (2)请你对比区市测评总成绩，选择两个角度，对阳光中学参赛学生科技素养测评情况做出评价： (3)每位参赛学生的总成绩是由知识测试和实践创新成绩按一定的百分比折合而成．小红同学知识测试成绩为80分，实践创新成绩为90分，她的总成绩为87分，求知识测试成绩和实践创新成绩各占自百分比． 【答案】(1)100，，见解析 (2)见解析 (3)知识测试成绩占的百分比为，实践创新成绩占的百分比为． 【思路引导】此题考查了条形统计图，中位数和加权平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）首先根据阳光中学的优秀率求出参赛人数，然后求出良好的人数，然后除以总人数即可求出优良率a的值，然后补全统计图即可； （2）从中位数和优良率分析判断即可； （3）设知识测试成绩占的百分比为，则实践创新成绩占的百分比为，根据加权平均数列方程求解即可． 【规范解答】（1）∵阳光中学的优秀率 ∴阳光中学参赛人数为（人） ∴∴阳光中学良好的人数为 ∴阳光中学的优良率； 补全统计图如下： （2）从中位数看，阳光中学的中位数大于区市的中位数 ∴阳光中学参赛学生科技素养测评情况更好； 从优良率看，阳光中学的优良率大于区市的优良 ∴阳光中学参赛学生科技素养测评情况更好； （3）设知识测试成绩占的百分比为，则实践创新成绩占的百分比为 根据题意得， 解得， ∴知识测试成绩占的百分比为，实践创新成绩占的百分比为． 题型五 运用加权平均数做决策 【例5】（24-25八年级下·河北唐山·月考）某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如表： 项目作品 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 【答案】B 【思路引导】分别计算甲、乙、丙三项作品的总成绩，比较总成绩大小后择优推荐即可． 【规范解答】解：根据加权平均数公式，分别计算三项作品的总成绩： 甲的总成绩 （分）， 乙的总成绩 （分）， 丙的总成绩 （分）， ∵ ， ∴ 乙的总成绩最高，应推荐乙． 【变式】（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）在学校举行的一次广播操比赛中，八年级三个班的各项得分（单位：分）如表． 班别 服装统一 动作整齐 动作标准 八（1）班 80 84 85 八（2）班 97 78 80 八（3）班 90 77 85 (1)根据表中信息，三个班得分的平均数分别是________ 、________、________． (2)如果服装统一、动作整齐、动作标准三方面的重要性分别占，，，求这三个班的成绩排名顺序． (3)在（2）的条件下，你对三个班级中排名最后的班级有何建议？ 【答案】(1)83，85，84 (2)八（1）班获得第一名，八（3）班获得第二名，八（2）班获得第三名 (3)加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础 【思路引导】（1）按算术平均数的计算方法计算即可； （2）按加权平均数的计算方法计算再比较大小即可； （3）根据各数据给出合理建议即可，答案不唯一． 【规范解答】（1）解：八（1）班的平均分为：83（分）， 八（2）班的平均分为：85（分）， 八（3）班的平均分为：84（分）， 故答案为：83，85，84； （2）解：八（1）班的加权成绩（分）， 八（2）班的加权成绩（分）， 八（3）班的加权成绩（分）， ， ∴八（1）班获得第一名，八（3）班获得第二名，八（2）班获得第三名； （3）解：加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础． 题型六 出错情况下的平均数问题 【例6】．（25-26八年级下·全国·课后作业）小颖使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，另一个数据65输入56，由此求得的平均数为61，求实际平均数． 【答案】 【思路引导】先通过输入的数据得到总数比正确的总数多加了81，然后得到平均数多加了，进而可得到实际平均数． 【规范解答】解：由题意知，错将其中一个数据15输入为105，则多加了， 错将另一个数据65输入56，则少加了9， 故总的多加了， ∴平均数多了， 此时求得的平均数为61， ∴实际平均数为． 【变式】（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平均数， 关键是要理清各数量间的关系， 明白“多输入的数值”就是“ 个 ” ．根据平均数的定义可得： 最大的一个数的错误数据与实际数据相差元， 据此求出错误数据 ． 【规范解答】解： 由题意得， 输入错误的数据为：． 故答案为： ． 题型七 求中位数 【例7】（2026八年级下·浙江·专题练习）某公司销售部招聘新员工，对外宣称“加入我们，月薪8000+，心动者速速报名！”．据内部人士透露，该销售部门真实的收入情况如下（前12个月每月月均收入） 收入/月 3000 5000 6000 7000 8000 10000 20000 40000 人数 2 5 10 2 2 2 1 1 (1)求该销售部门真实收入的平均数、众数与中位数．并说说公司对外宣称的口号的依据是什么？ (2)你的朋友想要报名，你有什么话要跟他解释的吗？请你联系数学知识进行作答． 【答案】(1)平均数8040元，众数6000元，中位数6000元．依据是平均数． (2)见解析． 【思路引导】（1）先求出三个数据，显然超过8000元的依据来自于平均数，但这是比较片面的说辞； （2）需要强调平均数的缺陷，然后以众数为依据进行建议． 【规范解答】（1）解： 元，平均数为8040元； 众数为6000元，其频数为10； 中位数为从小到大排列第13个数，即6000元． 因为，而． 所以口号依据为平均数； （2）解：该公司宣传的月薪8000+是用平均数作为依据的，实际上只有个别人月薪超过了8000元； 众数是6000元，所以绝大部分人收入只有6000元，甚至更低，需要重新慎重考虑． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图： 请根据以上提供的信息解答下列问题： (1)求出下表中a，b，c的值； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 a b 90 二班 87.6 80 c (2)请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析： ①从平均数和中位数方面来比较一班和二班的成绩； ②从平均数和众数方面来比较一班和二班的成绩； ③从B等级以上（包括B等级）的人数方面来比较一班和二班的成绩． 【答案】(1)；； (2)见解析 【思路引导】（1）分别利用平均数、中位数及众数的计算方法即可求解； （2）①两班的平均数相等，一班的中位数大；②两班的平均数相等，二班的众数大；③一班B级以上 （包括B级）的人数为18人，二班B级以上 （包括B级）的人数为12人． 【规范解答】（1）解：（1）由一班竞赛成绩统计图可得，一班的平均数； 由一班竞赛成绩统计图可得，按数据从小到大排列， D级，C级的总人数为（人），D级，C级，B级的总人数为（人）， ∴数据从小到大排列后第13个数据是90， ∴一班的中位数； ∵由二班竞赛成绩统计图可得，A级的占比最大为， ∴二班的众数． （2）解：①，从平均数和中位数的角度：一班和二班平均数相等，一班的中位数大于二班的中位数，故一班成绩好于二班； ②从平均数和众数的角度：一班和二班平均数相等，二班的众数大于一班的众数，故二班成绩好于一班； ③从B等级以上（包括B等级）的人数的角度：一班有（人），二班有（人），故一班成绩好于二班．（任选一个即可） 题型八 利用中位数求未知数据的值 【例8】（25-26八年级下·全国·单元测试）某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟．初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示．为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计．若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（ ） A．分钟，分钟 B．分钟，分钟 C．分钟，分钟 D．分钟，分钟 【答案】A 【思路引导】首先根据散点图确定原来5名选手演讲时长的中位数范围，然后根据中位数不变的条件，分析新增2名选手时长的可能取值． 【规范解答】解：由图可知，编号为3、4的选手演讲时长均在分钟以下，编号2的选手演讲时长为分钟，编号为1、5的选手演讲时长在分钟以上， ∴原来5名选手演讲时长的中位数为， 若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，即新中位数仍为，则一个应小于，一个应大于， A、，，故选项符合题意； B、，中位数变小，故选项不符合题意； C、、，中位数变大，故选项不符合题意； D、、，中位数变大，故选项不符合题意； 【变式】（25-26九年级下·河北沧州·月考）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，并对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级中各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制成如图所示的统计图表． 已知七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)______，______； (2)样本中，八年级活动成绩为7分的学生有______名，八年级活动成绩的众数为______分； (3)若活动成绩不低于9分为“优秀”，请根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】(1)2，3 (2)2，8 (3)本次活动中优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由见解析 【思路引导】（1）根据中位数的定义，得出第5名学生为8分，第6名学生为9分，进而求得a，b的值； （2）将七年级活动成绩为7分的比例乘以10即可得到成绩为7分的学生数，根据众数的定义可得八年级活动成绩的众数； （3）分别求出七，八年级的平均分和优秀率，再比较即可． 【规范解答】（1）解：∵七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分， ∴成绩由低到高排列第5位的成绩为8分，第6位的成绩为9分， ∴，； （2）解：样本中，八年级活动成绩为7分的学生有： （人）， 成绩为8分的占比最多，故八年级活动成绩的众数为8分； （3）解：本次活动中优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下： 结合（1）（2）中所求可得七年级的优秀率为：， 八年级的优秀率为：， 七年级的平均成绩为：（分）， 八年级的平均成绩为：（分）． 因为七年级的优秀率高于八年级，但七年级的平均成绩低于八年级，所以本次活动中优秀率高的年级不是平均成绩也高． 题型九 求众数 【例9】某店铺展开了顾客满意度调查，满意度评分由低至高依次为1分、2分、3分、4分和5分，评分越高表示顾客对店铺的服务质量越满意，根据调查结果绘制的统计图如图所示，其中评分为5分的有816人，则下列说法正确的是（    ） A．调查总人数为1000人 B．评分为2分的人数最少 C．评分的众数为4分 D．大多数顾客对店铺的服务不满意 【答案】A 【规范解答】解：人， A、调查总人数为1000人，说法正确，该选项符合题意； B、评分为1分的人数最少，原说法错误，该选项不符合题意； C、评分的众数为5分，原说法错误，该选项不符合题意； D、大多数顾客对店铺的服务比较满意，原说法错误，该选项不符合题意． 【变式】（25-26九年级下·河南南阳·月考）启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】 小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 乙组 7.5 9 【数据应用】请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____，_____． (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由； (3)小华认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小华的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 【答案】(1)7.5；8 (2)乙，理由见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据中位数、众数的定义即可解答； （2）根据中位数的定义即可解答； （3）从两组成绩的众数角度进行分析即可解答． 【规范解答】（1）解：乙组学生成绩从低到高排列，处于第4、5位的分别是7、8，则乙组的中位数； 甲组学生成绩8分学生数最多，故甲组的众数； （2）解：由甲、乙两组学生竞赛成绩的统计分析表可知，甲组的中位数为8分，乙组的中位数为分，由于小明的描述可知小明的成绩大于自己所在组的中位数，即小明是乙组的学生； （3）解：虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但乙组成绩的众数大于甲组的众数，说明乙组优秀学生多于甲组，因此从众数的角度看，乙组成绩比甲组好；所以不能仅甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，即小华的观点比较片面． 题型十 利用众数求未知数据的值 0（2022·河北邯郸·二模）如图，已知嘉嘉五次党史测试的成绩如条形统计图所示，现再测试一次，若六次测试成绩的众数为7分，则六次测试成绩的中位数是（    ） A．7分 B．7.5分 C．8分 D．10分 【答案】B 【思路引导】根据众数推出第六次的测试成绩，再求出中位数即可． 【规范解答】解：由条形统计图可知，前五次的测试成绩为7、7、8、8、10， 若六次测试成绩的众数为7分，则第六次的测试成绩为7分， 所以，六次测试成绩的中位数是分． 【变式】（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）植树节当天，某校九年级一班学生去植树，已知该班 6 个小组的植树棵数分别是：5、7、3、x、6、4，已知这组数据的众数是 5，则这组数据的平均数是 （    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【思路引导】本题考查了众数和平均数，掌握一组数据中出现次数最多的数是众数是解题关键．由于众数为5，则x必须为5，使5出现两次，其他数各出现一次，计算所有数据的和再除以6，可得平均数． 【规范解答】解：∵众数为5，且数据中已有1个5， ∴，使5出现两次，成为众数， 此时数据为：5、7、3、5、6、4， 和为，个数为6， ∴平均数， 故选：B． 题型十一 根据要求选择合适的统计量 【例11】（25-26八年级上·全国·课后作业）苦荞饸饹条细，色泽金黄，绵软筋韧，清香利口，因糖分含量少，粗纤维多，利于消化，对糖尿病有一定的防治作用，为某地区著名小吃．随机抽取某苦荞饸饹销售商一周的营业额（单位：元）如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 营业额/元 700 750 700 800 700 1200 1100 (1)这一周营业额的平均数是________元，中位数是________元，众数是________元； (2)如果要估计该苦荞饸饹销售商一个月（按30天计算）的营业额，你认为平均数、中位数、众数中，哪一个最适合用来估计？并用最适合的数据估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额 【答案】(1)850，750，700 (2)平均数最适合用来估计，25500元． 【思路引导】本题考查的是平均数、众数和中位数，熟练掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义、平均数定义进行解答即可； （2）可用平均一天的营业额乘以总天数即可得出答案． 【规范解答】（1）解：这一周营业额的平均数为元． 把这些数从小到大排列为：700，700，700，750，800，1100，1200，则中位数是750元； ∵700出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是700元； 故答案为：850，750；700． （2）解：平均数最适合用来估计． （元）． 答：估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额为25500元． 【变式】（2025·河南周口·二模）跳绳是一种古老的汉族民俗娱乐活动，起源于古代，清末以后称作“跳绳”，作为一种简便易行的健身活动，跳绳不仅可以强身健体，还具有观赏性和协调性．某跳绳教练对自己任教的①②两个组（每个组均为40人）的学生进行跳绳检测，并对成绩进行统计，得出相关统计表和统计图．成绩等级分为：A（160次及以上），B（次），C（次），D（120次以下），其中A为优秀级别． 第①组成绩数据 第②组成绩数据 特别备注 平均数，众数，中位数，优秀率 158，152，152， 第②组中B等级的成绩分别是：140，142，146，146，146，148，152．154，156．158． 根据以上信息，回答下列问题， (1)第②组成绩在（次）区间的数据个数为 ，第②组成绩的中位数为 ； (2)从优秀率来看，哪组的成绩更好一些？ (3)已知第①组每种成绩最多有2人相同，则成绩是152次的学员，在第 （选填“①”或“②”）组的名次更好些． 【答案】(1)3，144 (2)第①组的成绩更好一些 (3)② 【思路引导】本题主要考查了求中位数，运用中位数做决策，频数分布直方图等等，正确理解题意是解题的关键． （1）用40减去其他等级区间的人数即可得到第一空答案；根据中位数的定义可得第二空的答案； （2）求出第②组的优秀率即可得到答案； （3）成绩是152次的学员在第①组最好成绩是第20名，在第②组是第16名，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：， ∴第②组成绩在（次）区间的数据个数为3； 把第②组40人的跳绳成绩按照从低到高的顺序排列，中位数为第20名和第21名的成绩， ∵， ∴第②组成绩的中位数为； （2）解：第②组的优秀率为， ∵， ∴从优秀率来看，第①组的成绩更好一些； （3）解：∵①组每种成绩最多有2人相同，且第①组成绩的中位数为152次， ∴成绩是152次的学员在第①组的最好成绩为第20名， ∵成绩是152次的学员在第②组的成绩为第16名， ∴成绩是152次的学员，在第②组的名次更好些． 题型十二 求四分位数 【例12】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（%）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（%） 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： (1)计算，，的值，并填入表格． 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 (2)根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 【答案】(1)3.185，3.92，4.46 (2)1．收益率最低为2.10%，最高为4.89%；2．收益率的中位数是3.925% 【思路引导】（1）根据四分位数的公式分别列式计算下四分位数、中位数、上四分位数，即可求解； （2）根据箱线图即可得出结论． 【规范解答】（1）解：下四分位数； 中位数， ∴； 上四分位数， ∴； 填表如下： 团队 收益率的平均值 A 3.185 3.925 4.450 3.92 4.46 3.769 （2）解：由箱线图可得，1．收益率最低为，最高为；2．收益率的中位数是． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的第三四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【思路引导】对比两班箱线图的箱体长度和整体数据跨度，可判断成绩集中程度，再根据箱线图的相关定义依次判断即可． 【规范解答】解：选项A：由图2可知，一班成绩的极差（最大值减最小值）更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中，因此A错误； 选项B：一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端（第一四分位数），因此B错误； 选项C：一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分，因此C正确； 选项D：由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班，因此D错误． 题型十三 画箱线图 【例13】（25-26八年级下·浙江台州·期中）某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司 A 3.195 a 4.44 B b 3.890 c 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 【答案】(1)，， (2)通过箱线图可知，A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健． 【思路引导】（1）根据四分位数和中位数的计算公式进行计算即可； （2）从箱线图获取信息作答即可． 【规范解答】（1）解：将A公司的数据排序：2.02，2.15，3.18，3.21，3.64，3.85，3.98，4.10，4.11，4.77，4.88，4.89， ∵第6个和第7个数据分别为3.85，3.98， ∴； B公司的数据排序：3.18，3.40、3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44， ∵第3个和第4个数据为3.60和3.67，第9个和第10个数据为4.10和4.15， ∴； （2）解：由图可知：A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健． 【变式】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)图1中甲的众数为________环，乙的平均数为_______环； (2)在图2中，A反映________的成绩；（填“甲”或“乙”） (3)图2中，直接写出A的和B的，并判断甲和乙谁的成绩比较好． 【答案】(1)7；8 (2)乙 (3)A的为7，B的为8，乙的成绩比较好 【思路引导】（1）根据众数，平均数的定义解答即可； （2）直接根据箱线图解答即可； （3）根据上四分位数，下四分位数的定义，平均数的意义解答即可． 【规范解答】（1）解：∵甲的成绩中7环出现的次数最多， ∴甲的众数为7环， 由题意得，乙的平均数为环； （2）解：根据题意得：在图1中乙的成绩波动较小，在图2中，的数据比较集中，故反映乙的成绩； （3）解：根据（2）可知反映乙的成绩，反映甲的成绩， 的； 的， ∵甲的平均数为， ∴甲的平均数小于乙的平均数， ∴乙的成绩比较好． 题型十四 利用方差求未知数据的值 【例14】（25-26八年级下·浙江温州·期中）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【答案】D 【思路引导】根据方差计算公式确定原数据和数据个数，再结合中位数、众数定义判断各选项即可． 【规范解答】解：∵方差计算公式为， ∴这组数据为，，，，，数据个数，故B正确； ∵这个数的第个数据是， ∴中位数为，故A正确； ∵数据中出现次，次数最多， ∴众数为，故C正确； 计算平均数得， 代入方差公式得， ∴D不正确． 【变式】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知一组数据的方差为：，则____． 【答案】14 【思路引导】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和平均数的定义． 由可知平均数和数据数量，从而得出答案． 【规范解答】解：由方差表达式可知，数据的平均数为10． 数据包括11，13，4，m，8，共5个数据． 根据平均数的定义，有： 解得 故答案为：14． 题型十五 根据方差判断稳定性 【例15】（25-26九年级下·北京·阶段检测）为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度得分统计图 b．信息识别准确度得分统计图 c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 AI软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 乙 根据以上信息、解答下列问题： (1)表格中的值为________；的值为________； (2)若软件信息识别准确度得分的方差越小，则认为该软件识别度越高、更方便、据此推断：甲、乙两款软件中，在使用时识别度更高、更方便的软件是________（填“甲”或“乙”）； (3)若用户对软件评分大于分视为高分，否则视为低分．甲软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这名用户做进一步的测试，该公司准备了两套优化方案．方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升分；方案二：针对低分组用户定向提升准确度，低分组每位用户的评分将提升分，高分组不变．为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案________（填“一”或“二”）；采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将________．（填“增大”“减小”或“不变”） 【答案】(1)，； (2)甲； (3)二，减小． 【思路引导】（）根据众数，中位数定义，结合信息处理速度得分统计图中的数据进行计算即可； （）根据折线统计图，方差的定义分析即可； （） 根据平均数和方差的定义分析即可． 【规范解答】（1）解：根据信息处理速度得分统计图中可以得到甲款软件分人数最多， ∴甲的众数， 根据中位数的定义，乙款软件信息处理速度的中位数是第个数据的平均数，第个是分，第个是分， ∴ ， 故答案为：，； （2）解：从折线图可看出，乙的信息识别准确度得分波动更大，甲得分更集中，因此甲的方差更小， 因为“方差越小，识别度越高”， 所以识别度更高的是甲， 故答案为：甲； （3）解：方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升分， 虽然平均数提升分，但方差不变； 方案二：∵低分组每位用户的评分将提升，高分组不变将会提升平均数，采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将减小， ∴分数波动变小， ∴方差将减小， ∴该公司应该选用方案二，采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将减小， 故答案为：二，减小． 【变式】（25-26八年级下·浙江·期中）为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (3)根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】(1)90；92 (2)70；96；补图见解析 (3)乙组竞赛成绩较好．理由：平均分更高，成绩更稳定．（答案不唯一） 【思路引导】（）根据众数，中位数的定义即可求解． （）根据数值计算前后各个数的中位数即可求出上四分为数和下四分位数即可． （）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【规范解答】（1）解：甲组个数，排序后第五和第六位分别是89 和91， ∴中位数 ， 众数是出现次数最多的，乙组排序后最多， ∴众数． （2）解：前半部分为前个数（, , , , ），中位数是第个为，则下四分位数为，后半部分数据为（, , , , ），中位数是第个为，则上四分位数为， 所以，箱线图为： （3）解：乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好． 题型十六 运用方差做决策 【例16】（2026·北京海淀·一模）某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： (1)课程甲的满意度评分的众数为______； (2)表中m的值为______，信息b中x的值为______； (3)考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】(1)8 (2)，9 (3)丙，乙 【思路引导】（1）根据出现次数最多的数据是众数即可得解； （2）先把数据从小到大排序，中间两个数据的平均数即为中位数，根据平均数的定义列方程即可求出x； （3）将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，先比较平均数，丙的平均数最大，即可判断满意度最高的课程，再比较甲乙的平均数与方差，即可得解； 【规范解答】（1）解：由折线统计图可知：课程甲的满意度评分中8分出现次数最多，众数为8； （2）解：学生对课程乙的满意度评分从小到大排序为：5，5，6，6，7，8，8，9，9，10， 中位数为， 学生对课程丙的满意度评分的平均数为， ， 解得：； （3）解：对于甲课程：，， 甲课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是3， 则甲课程剩余数据从小到大排序为4，6，6，6，8，8，8，8，9， 中位数为8，平均数为； 方差为； 对于乙课程：，， 乙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是10， 则乙课程剩余数据从小到大排序为5，5，6，6，7，8，8，9，9， 中位数为7，平均数为； 方差为； 对于丙课程：，， 丙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是4， 则丙课程剩余数据从小到大排序为5，6，6，7，8，9，9，9，10， 中位数为8，平均数为 ， 方差为， 因为丙的平均数大于甲，乙的平均数，所以这三门课程中满意度最高的是丙； 因为甲、乙的平均数都是7，方差都是，但甲的中位数8高于乙的中位数7，所以这三门课程中满意度最低的是乙． 【变式】（25-26八年级下·全国·期末）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的平均成绩更高；通过计算方差，，__________，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的射击水平更稳定． (2)小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 表格中，①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】(1)9；B；0.75；B (2)7.5；9；10 (3)选择选手B参加青少年射击比赛，见解析 【思路引导】（1）根据平均数、方差计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数、下四分位数的定义求解，然后比较大小即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【规范解答】（1）解：由图可得：， ， ∴选手的平均成绩更高．； ， ∵， ∴选手的射击水平发挥更稳定； （2）解：选手的数据从小到大排列为， 则下四分位数为，即；中位数为，即； 选手的数据从小到大排列为， 则上四分位数为，即； 可以发现选手射击成绩的中位数选手射击成绩的中位数； （3）解：选择选手B参加青少年射击比赛． 理由：因为A，B两名选手的中位数相等，但选手B的方差更小，成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 题型十七 求离差平方和 【例17】（25-26八年级下·全国·课后作业）晓慧同学为了在明年的中考体育考试中取得最好的成绩，每天自己在家里练习一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【思路引导】先将数据从小到大排序，枚举所有合理分组，分别计算各组的组内离差平方和（组内每个数据与组平均数差的平方和），比较后得到最小值. 【规范解答】解：将数据从小到大排列得：， 当分组为， 则， 的平均数为， ， ∴， 当分组为时，同法可得：； 当分组为3个数和3个数时，要使“组内离差平方和达到最小”，则应分组为和， 第一组平均数， ， 第二组平均数， ， 总离差平方和； 当分组为时，同法可得， 当分组为时，同法可得； 组内离差平方和的最小值为. 【变式】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试，已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级： 八年级： 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 离差平方和 七年级 84 90 444 八年级 84 87 87 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____；_____； (2)A同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是_________年级的学生，请说明理由； (3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出相应理由． 【答案】(1) (2)七，理由见解析 (3)八年级，理由见解析 【思路引导】（1）由中位数的求法、离差平方和的求法代入计算即可； （2）比较七年级成绩和八年级成绩的中位数即可得到答案； （3）分别求出七年级、八年级成绩的方差，比较大小即可得到答案． 【规范解答】（1）解：将七年级名学生的测试成绩按照由小到大的顺序排列：， 七年级成绩的中位数为 ，即； ； （2）解：由（1）知七年级成绩的中位数为分、八年级成绩的中位数为分，若A同学这次测试得了分，大于分，位于年级中等偏上水平，则他是七年级学生； （3）解：八年级， 理由如下： 七年级成绩的方差为；八年级成绩的方差为， 七年级成绩的平均数与八年级成绩的平均数相等，八年级成绩的中位数大于七年级成绩的中位数，八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差， 八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好． 题型十八 离差平方和的应用 【例18】（25-26八年级上·福建宁德·期末）已知有8个苹果，它们的直径（单位：）分别为：71，72，73，76，78，80，80，81． (1)直接写出这8个苹果直径的众数、中位数和上四分位数； (2)现要将这8个苹果按直径大小分成两组，使得每组苹果的“个头”差不多．下表是两种不同的分法，请按照“组内离差平方和最小”原则，判断下表哪种分法更合理． 分法 第一组苹果直径（mm） 第二组苹果直径（mm） 组内离差平方和 第一种分法 71，72，73，76 78，80，80，81 18．75 第二种分法 71，72，73 76，78，80，80，81 【答案】(1)众数为80，中位数为77，上四分位数为80 (2)按照“组内离差平方和最小”原则，第二种分法更合理 【思路引导】本题主要考查了众数、中位数、方差等知识点，理解相关定义是解题的关键． （1）分别按照众数、中位数、上四分位数的定义求解即可； （2）根据方差的方程求得组内离差平方和，再运用方差的意义决策即可． 【规范解答】（1）解：苹果直径（单位：）分别为：71，72，73，76，78，80，80，81， 80出现了两次、次数最多，则众数为80； 处于中间的第4、5两个数据分别是76和78，则中位数为； 第5-8个数据的中间的两个数据为80和80，则上四分位数为． （2）解：在第二种分法中，第一组的平均数， 第二组的平均数． 这两组的组内离差平方和分别为： 第一组的离差平方和， 第二组的离差平方和． ∴第二种分法的组内离差平方和为：． ∵， ∴按照“组内离差平方和最小”原则，第二种分法更合理． 【变式】（25-26八年级上·山西晋中·期末）下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 【答案】C 【思路引导】本题考查了平均数、中位数的意义及统计分组的基本概念，需结合各概念逐一分析选项判断正误． 【规范解答】解：A、平均数反映一组数据的整体平均水平，不能代表个体情况仅通过班级平均身高无法比较小明和小亮的具体身高，原说法错误，不符合题意； B、计算两家网站所有用户的日人均上网时间，需用总上网时间除以总用户数，不能直接对两个日人均值取平均（两家用户数不一定相等），原说法错误，不符合题意； C、中位数是将数据排序后位于中间位置的数，篮球队身高中位数为，说明至少一半队员身高，而，故小军的身高在队里中等偏上，原说法正确，符合题意； D、统计学中常用分组方法是使“组内离差平方和达到最小”， 原说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型十九 随机现象的变化趋势 【例18】（25-26八年级上·河北保定·期末）在篮球选修课上，男、女各有名编号分别为，，，，的学生进行投篮练习，每人投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（   ） A．男生投篮水平比女生投篮水平高 B．男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为 D．男生、女生投篮命中次数平均数相同，但女生比男生稳定 【答案】D 【思路引导】本题考查统计量的计算，统计图表的读取，数据稳定性分析，准确提取数据是解题关键． 先从折线图中提取男、女生的投篮命中次数，再分别计算平均数、方差和中位数，然后对选项依次进行判断． 【规范解答】解：选项：男生投篮的平均数为，女生投篮的平均数为，则男生和女生的投篮水平一样，错误； 选项：男生投篮的离差平方和为，女生投篮的离差平方和为，则男生和女生投篮的离差平方和不一样，错误； 选项：男生的投篮数据为，，，，，中位数为，女生的投篮数据为，，，，，中位数为，男生和女生的中位数均为，错误； 选项：男生投篮的方差为，女生投篮的方差为，则男生和女生投篮成绩平均数相等，男生投篮的方差比女生高，故女生投篮更稳定，正确． 故选：． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校舞蹈队共10名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下：161，162，162，163，166，168，168，168，169，169． (1)上述数据中，中位数为__________，众数为__________． (2)通常组内学生身高越整齐则认为该组舞台呈现效果越好，按照“组内离差平方和最小”的方法，将学生按身高分为两组．嘉嘉和琪琪的分组方法如下： 嘉嘉的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163，166； 乙组学生的身高：168，168，168，169，169． 琪琪的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163； 乙组学生的身高：166，168，168，168，169，169． 请通过计算，比较嘉嘉和琪琪谁的分组方法更好． 【答案】(1)167  168 (2)琪琪的分组方法更好，计算过程见解析 【思路引导】本题考查求中位数，众数和离差平方和，熟练掌握相关计算方法，是解题的关键． （1）根据中位数，众数的计算方法，进行求解即可； （2）求出两组的离差平方和，进行判断即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：中位数， 出现的次数最多，有次，众数是， 故答案为：，． （2）解：嘉嘉的分组方法： 甲组学生身高的平均值为， ． 乙组学生身高的平均值为， ． 组内离差平方和为． 琪琪的分组方法： 甲组学生身高的平均值为， ． 乙组学生身高的平均值为 ，． 组内离差平方和为． ， 琪琪的分组方法更好． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如图所示表格，如果每个评委打分都提高0.15，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（   ） 平均数 众数 中位数 方差 9.15 9.35 9.25 0.15 A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【答案】D 【思路引导】本题考查统计量的性质，需掌握所有数据同时加同一个常数时各统计量的变化规律，明确方差是反映数据波动程度的统计量. 【规范解答】解：∵每个评委打分都提高 ， ∴这组数据的平均数、众数、中位数均会增加 ，这三个统计量都会发生变化， 又∵方差是衡量数据波动幅度的统计量，所有数据同时加上同一个常数，数据间的差值不变，波动幅度不变， ∴方差不会发生变化， 因此答案选D 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）现有一组数据分别为： ，则上四分位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先将数据从小到大排序，再求出上半部分数据的中位数即可求解． 【规范解答】解：∵数据从小到大排序为， ∵上四分位数是排序后上半部分数据的中位数，上半部分数据为， ∴上四分位数． 3．（2026·云南大理·一模）某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（   ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】本题考查方差的意义，方差越小，数据的波动越小，身高越整齐，只需比较三个班身高数据的方差大小即可得出结论． 【规范解答】∵ ，，，且 ， ∴ ． ∵ 方差越小，数据的波动越小，身高越整齐， ∴ 参赛学生的身高比较整齐的班级是丙班． 4．（2026八年级下·浙江·专题练习）某班级将组织活动，去往新能源汽车实践基地学习．全班统计周六日空余时间，以下是每位学生周末最方便时间的扇形统计图，那么应该选________去最合适，你判断的依据来自于这个统计图中的________（填“平均数”、“中位数”或“众数”）． 【答案】 周六下午 众数 【思路引导】选择合适的时间需要符合更多人的需求，因此要选的时间是更多学生方便去的，即选择众数．在扇形统计图中，扇形越大，频数越大，才是众数． 【规范解答】解：从扇形统计图可知，“周六下午”方便的人数最多，所占比例最大，因此选“周六下午”去最合适，依据是众数． 5．（25-26八年级下·福建福州·期中）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是______． 【答案】{7，9}，{12，13，15} 【思路引导】根据组内离差平方和越小，组内数据相差越小，得到第2个间隔组内离差平方和最小，据此解答即可． 【规范解答】解：将5名同学的引体向上个数从小到大排列为：7，9，12，13，15， 观察表格，4种分法中最小的组内离差平方和为， 因此，正确的分组是：{7，9}，{12，13，15}． 6．（2026·山东青岛·一模）如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 【答案】 【规范解答】解： ∵ ∴ 7．（2026·安徽阜阳·二模）随着技术发展，为提升学生指令能力，某学校开展专项培训．培训后，随机抽取50名学生进行测试，整理成绩（百分制）如下： a．成绩频数分布表： 成绩（分） 频数 5 10 12 18 5 b．成绩在这一组的是：（单位：分） 71  72  73  74  74  75  76  76  77  78  78  79 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ． (2)这次测试成绩的平均分是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均分，所以甲的成绩高于一半学生的成绩，”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． (3)请对该校学生“指令能力”的掌握情况作出合理的评价． 【答案】(1)， (2)不正确，理由见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据中位数可求出中位数，用成绩不低于80分的人数除以测试人数，即可求解； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）根据成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比以及平均数的意义解答即可． 【规范解答】（1）解：这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据的平均数为（分）， 所以这组数据的中位数是78分， 成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为； （2）解：不正确，理由如下： 因为甲的成绩77分低于中位数78分， 所以甲的成绩不高于一半学生的成绩； （3）解：测试成绩不低于80分的人数占测试人数的，且平均分为分， 说明该校学生对“指令能力”的掌握情况整体良好，多数学生能较好掌握相关技能． 8．（2026八年级下·浙江·专题练习）游泳培训中心特训班进行毕业考试，100米蛙泳24名成员的成绩如下（单位：秒）： 158  149  145  128  140  135  142  150 155  132  136  150  142  152  130  136 140  144  166  142  144  150  132  138 据此回答： (1)填写四分位数表 四分位数 数值 136 142 150 说说本次成绩所反映的总体情况 (2)如下图所示，将这一年的成绩绘制成箱线图，并与去年的成绩进行比较，说说你对这一年成绩的评价． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）先将24名成员的成绩从小到大排序，再分别计算出，再根据数据特征分析即可； （2）根据（1）将今年箱线图补充完整，再将箱线图比较两组数据特征分析即可． 【规范解答】（1）解：将24名成员的成绩从小到大排列为： 128，130，132，132，135，136，136，138，140，140，142，142，142，144，144，145，149，150，150，150，152，155，158，166； ，，； 填表如下： 四分位数 数值 136 142 150 四分位数反映了本次考试成绩中，有不少于的学员的成绩在136秒及以内；有至少一半的学员的成绩在142秒及以内；但是还有不少于的学员的成绩至少有150秒，仍需努力； （2）箱线图如图所示： 通过箱线图可知，今年总体成绩超过去年，不但最少用时和最多用时均比去年要短，而且中位数也提高了8秒，除此之外，这一成绩段的学员成绩更加集中，表示了总体上成绩的集中体现． 9．（2026八年级下·浙江·专题练习）有6个水蜜桃测出了他们的值（糖度值，值越大越甜）如下：16、17、18、18、18、19；以下是计算各种情况的组内离差平方和表（精确到）： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 5 16、17、18、18、18 19 (1)将表格补充完整 (2)如果要将这组水蜜桃分为“优品”和“精品”，应该如何分，为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)优品：16、17；精品：18、18、18、19；理由见解析 【思路引导】（1）根据组内离差平方和的计算公式，计算即可； （2）小题核心是比较表格中5种分组方案的组内离差平方和的大小，要想将水蜜桃分为优品和精品两种，需要两个分组中值尽可能接近，使得分组合理，所以选出组内离差平方和最小即可． 【规范解答】（1）解：第1组数据为16、17，则平均数为， 第2组数据为：18、18、18、19，则平均数为， ∴组内离差平方和为：； 第1组数据为16、17、18，则平均数为， 第2组数据为：18、18、19，则平均数为， ∴组内离差平方和为：； 填报如下： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 5 16、17、18、18、18 19 （2）解：因为前2个一组，后4个一组时的组内离差平方和为最小，所以分组如下： 优品：16、17 精品：18、18、18、19． 10．（2026八年级下·浙江·专题练习）某校开展以“持续弘扬长征精神”为主题的演讲比赛，选手的成绩由演讲内容、语言表达、临场表现三项组成，每项成绩均由7位评委打分，取平均分作为该项的实际成绩，再将演讲内容、语言表达、临场表现三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中，甲、乙两位选手的三项实际成绩和总评成绩（单位：分）如下表． 演讲内容 语言表达 临场表现 总评成绩 甲 86 76 82 乙 84 82 已知7位评委给乙的临场表现打出的分数（单位：分）为78、82、79、82、76、83、80． (1)将7位评委给乙的临场表现打出的分数看作一组数据，则该组数据的中位数是___________分，众数是___________分； (2)求乙临场表现的实际成绩； (3)若根据总评成绩从高到低确定最终名次，则两位选手谁的最终名次比较靠前？ 【答案】(1)80，82 (2)80 (3)乙排在甲的前面 【思路引导】（1）把78，82，79，82，76，83，80，按从小到大的顺序排列找出中位数，众数； （2）实际成绩是7位评委打分的平均分； （3）利用加权平均数的计算方法计算乙的总评成绩，与甲的总成绩比较做出判断即可． 【规范解答】（1）解：把78，82，79，82，76，83，80，按从小到大的顺序排列：76，78，79，80，82，82，83， ∴中位数为80分，众数为82分； （2）解：乙临场表现的实际成绩为： （分）； （3）解：乙的总评成绩为：（分）． ∵， ∴乙排在甲的前面． 能力提升进阶练 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【思路引导】根据箱线图的信息解答即可． 【规范解答】解：由题意可知： 三个班级中，甲班分数的方差最小，故选项A说法正确，不符合题意； 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大，故选项B说法正确，不符合题意； 丙班的中位数比80分稍多，所以丙班得分低于80分的人数不可能多于得分高于80分的学生人数，故选项C说法错误，符合题意； 根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大， ∴若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，最高的是丙班，故选项D说法正确，不符合题意． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）数据2，3，5，5，6这组数据的众数是（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】众数就是一组数据中出现次数最多的数据，根据定义即可确定． 【规范解答】解：数据2，3，5，5，6中5出现2次，出现的次数最多，因而众数是5． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）小明记录了自己10分钟内每分钟的心跳次数，并绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（    ） A．下四分位数是80 B．平均数是79 C．中位数是80 D．10分钟内总心跳次数是790次 【答案】A 【思路引导】下四分位数是将一组数据按照从小到大的顺序排列前半部分数据的中位数；算术平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据由小到大（由大到小）排序后，位于中间位置的数据，当有偶数个数据时，取中间两数的平均数． 【规范解答】解：A．根据绘制的条形统计图，将数据按照从小到大的顺序排列为， 由，下四分位数是，故本选项结论错误，符合题意； B．平均数为（次），故本选项结论正确，不符合题意； C．将10个数据按从小到大排列后，第5、第6个数据都是80， ∴中位数是80次，故本选项结论正确，不符合题意； D．∵（次）， ∴10分钟内心跳总次数为790（次），故本选项结论正确，不符合题意； 故选：A． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校为了解在校学生的视力情况，随机抽取了40名同学检查视力，检查结果如表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 3 4 9 6 7 7 3 估计该校学生的视力的方差是________． 【答案】/ 【思路引导】先计算样本的平均数，再根据方差公式计算样本方差，用样本方差估计总体方差即可． 【规范解答】解： ， ． ∴用样本方差估计总体方差，可得该校学生视力的方差为． 5．（2026八年级下·浙江·专题练习）某女子合唱组合的身高分别是、、、和，那么这个合唱组合身高的离差平方和是___________；如果新加入一名成员的身高为，新的组合身高的方差为___________． 【答案】 【思路引导】先求出平均数，再运用公式直接求出离差平方和和方差，注意带单位，计算方差时，注意人数从5个变成了6个． 【规范解答】平均数为：， 离差平方和为：； 当新增一人的身高为时，与平均数相等，因此离差平方和不变还是； 方差为：． 6．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，6，4，8，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能的值为______． 【答案】或5或19 【思路引导】设丢失的数据为x，根据题意，这组数据的众数一定是4，平均数为，考查学生的运算能力和思维的严密性;分情况讨论是求解本题的关键． 本题主要考查样本的数字特征中平均数、众数和中位数的计算． 【规范解答】解：设丢失的数据为x，根据题意，这组数据的众数一定是4，平均数为， 若时，中位数是4，众数为4，根据题意，得， 解得； 若是中位数时，根据题意，得， 解得； 若时，中位数是6，根据题意，得， 解得； 综上所述，丢失的数据可能是或5或19； 故答案为：或5或19． 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）为进一步加强中小学生对于民族文化的认同感，某中学开展了形式多样的传统文化教育培训活动．为了解培训效果，该校组织全校学生参加了传统文化主题知识竞赛，并在赛后随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x（单位：分），分数如下： 七年级10名学生竞赛成绩：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83； 八年级10名学生竞赛成绩中分布在的成绩如下：84，85，85，85，86． 【整理数据】： 年级 七年级 2 m 4 1 八年级 1 3 5 1 【分析数据】： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 ▲ a 81 71.6 八年级 80 85 b 59.8 根据以上提供的信息，回答下列问题： (1)填空：m＝ ，a＝ ，b＝ ． (2)求七年级10名学生竞赛成绩的平均分． (3)根据以上统计结果，从不同角度说明七年级与八年级中哪个年级成绩更优秀． 【答案】(1)3；83；84.5 (2)80分 (3)八年级成绩更优秀 【思路引导】本题考查了中位数，众数，算术平均数和方差等知识，掌握中位数，众数，方差等概念是关键． （1）根据中位数，众数定义可得a，b的值，由七年级学生总人数可求出m的值； （2）根据算术平均数公式计算即可； （3）根据平均分，中位数，众数，方差可得答案． 【规范解答】（1）解：； 在75，83，79，89，79，83，95，70，64，83中，出现次数最多的是83，即众数； 八年级成绩中处于中间的两个数据为84和85，则中位数； （2）解：（分） （3）解：我认为八年级成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，均为80，而八年级的成绩的中位数（84.5）和众数（85）均大于七年级，说明八年级中大部分人比七年级获得的分数高；且八年级的方差比七年级小，说明八年级的成绩更加稳定． 8．（2026·北京密云·二模）某校为探索美术创作能力培养模式，在八年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数）． 数据收集与整理 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如下表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数 4 11 ▲ 10 3 二班人数 1 7 ▲ 13 5 数据分析与运用 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差（方差保留3位小数）进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 m 8 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 (1)表中m的值为______，n的值为______； (2)对于这次评分，成绩比较整齐的是______班（填“一”或“二”）； (3)在第二学期，八年级一班的美术教学也增设了“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动，学期结束后再次对一班的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数），并对评分数据进行整理与分析，若已知全班同学评分的最低分为7分，最高分为10分，中位数为8.5分，众数为9分，若要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有______人． 【答案】(1)8；8.35 (2)二 (3)19 【思路引导】（1）根据众数和平均数的定义解答即可； （2）比较方差大小即可； （3）根据中位数、众数和平均数的定义列式解答即可． 【规范解答】（1）解：一班和二班各40名学生， 一班得分为8分的人数为； 二班得分为8分的人数为； 一班得分为8分的人数为12，是出现次数最多的， ； 二班的平均分（分）； （2）解：， 一班成绩的方差大于二班成绩的方差， 二班的成绩比较整齐． （3）解：由题意知一班总人数为40， 中位数为8.5分，众数为9分， 将所有同学的成绩按从大到小（或从小到大）的顺序排列后， 第21，20（或20，21）名同学的成绩只能为8分和9分， 评分前7分和8分的总人数为20，评分为9分和10分的总人数为20， 又众数为9，若要使平均数尽可能大，则评分10分的学生人数应尽可能多， 评分为9分的人数为11，评分为10分的人数为9，则评分为7分和8分的人数均为10， 要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有19人． 9．某学校举办了七、八年级智能机器人应用比赛，比赛包括机器人基础知识、结构搭建、编程控制、综合应用四个分项，采用百分制记录比赛成绩（成绩取整数，单位：分），比赛分为两个阶段． (1)第一阶段为机器人基础知识比赛，该校七、八两个年级智能机器人应用代表队各有8名学生参赛，对他们的成绩进行描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的折线图： b．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的中位数分别为，91，方差分别为，18． 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为________； ②________18；（填“”“”或“”） (2)七、八年级各选派基础知识比赛成绩前三名的学生，参加第二阶段结构搭建、编程控制、综合应用的比赛，部分数据如下： 年级 学生 基础知识 结构搭建 编程控制 综合应用 平均数 方差 七年级 A 91 93 96 95 93.75 3.6875 B 92 92 92 97 93.25 4.6875 C 96 92 88 八年级 D 98 90 92 96 10 E 95 92 93 95 93.75 1.6875 F 94 91 91 95 92.75 3.1875 ①表中的值为________； ②根据比赛成绩，学校对这六名学生进行最后的排序，排序标准为：平均数较大的优先；若平均数相等，则综合应用成绩较高的优先；若综合应用成绩也相等，则方差较小的优先．按上述标准排序后，这六名学生的排序由高到低依次为，，，，，，则表中所有可能的值为________． 【答案】(1)①；②； (2)①94；②96，97 【思路引导】（1）①根据中位数的定义即可得； ②方法一：先求出平均数，再求出方差即可；方法二：根据折线图观察七、八年级的成绩波动的大小关系即可； （2）①根据算术平均数的计算公式即可得； ②先求出的取值范围，再结合为整数求出的值，然后根据排序标准逐个分析即可． 【规范解答】（1）解：①七年级参赛学生基础知识比赛成绩从小到大排序为， ∴其中位数； ②方法一：七年级基础知识比赛成绩的平均数为， ∴其方差． 方法二：从折线图可看出七年级成绩波动比八年级小，所以七年级成绩的方差更小，即． （2）解：①． ②由题意得：， 解得， ∵为整数， ∴或或， 当时，学生C成绩的平均数为， 方差为， 此时C会排在F后面，不符合题意，舍去； 当时，学生C成绩的平均数为， ∵， ∴此时后面三名学生的排序为B，C，F，符合题意； 当时，学生C成绩的平均数为， 方差为， ∴此时后面三名学生的排序为B，C，F，符合题意； 综上，表中所有可能的值为96，97． 10．某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了A，B两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息： a．A队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： 其中组的数据是：80，82，82，84，85，88． b．B队成绩如下： 61，67，72，72，74，76，78，80，81，81， 83，83，83，83，85，85，87，92，93，95． c．A，B两队成绩的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 A队 81.55 76 m B队 80.55 n 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后B队的平均分______（填“增大”“不变”“减小”），方差______（填“增大”“不变”“减小”）； (3)为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 96 93 96 90 乙 93 94 94 94 95 丙 95 91 93 92 t 排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前． 若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数t的最小值为______，最大值为______． 【答案】(1)81，83 (2)增大，减小 (3)94，99 【思路引导】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的定义求解即可； （3）分别求出甲、乙、丙的平均数，甲和乙的方差然后分三种情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：B队成绩中的数据出现的次数最多，故众数； A队中，两组的人数分别为2和7，而20个数据的中位数是第10，11个数据的平均数，那么第10，11个数据在这一组，是80，82， 因此中位数； （2）解：B队原来平均分为 则去掉一个最高分95和一个最低分61后平均数为，故平均数增大； 而方差反映的是数据波动程度，当去掉最高分和最低分两个极端值之后，数据更加集中，波动减小，故方差减小； （3）解：，； ，； ， ∴， 丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，即丙排第2名， ∴①，， 解得 ∵为整数， ∴可取； ②， 则，解得 此时， 故符合题意； ③， 则，解得， 则， 故符合题意， 综上：的取值为， 故最小值为，最大值为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $