中档题专项突破(4) 图形的设计与作图-【名师学案】2026年中考数学复习堂堂清

中档题专项突破（四） 考情分析 图形的设计与作图依据几何图形的性质和 考基础题型之一· 考向一根据作图痕迹计算或证明 ③解题策略 根据作图痕迹要能判断是哪种尺规作图， 进而根据其性质解题，因此，熟练掌握每种作图 方法是关键， 【例1】(2024·湖北模拟)阅读以下作图步 骤： ①在OA和OB上分别截取OC,OD,使OC =OD; ②分别以C,D为圆心，以大于CD的长为 半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M; ③作射线OM,连接CM,DM,如图所示， 根据以上作图，一定可以推得的结论是 A.∠1=∠2且CM=DM B.∠1=∠3且CM=DM C.∠1=∠2且OD=DM D.∠2=∠3且OD=DM 【方法指导】本题考查作图一基本作图，全等 三角形的判定和性质，关键是由作图得到 △OCM≌△ODM(SSS). 【解答】解：A、以C,D为圆心画弧的半径相等， 因此CM=DM,又OC=OD,OM=OM,因此 △OCM≌△ODM(SSS)得到∠1=∠2，故A符 合题意； 17 图形的设计与作图 判定进行几何推理和代数推理及证明，它是中 B、因为OC,CM的长在变化，所以OC和CM不 一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合 题意； C、因为OD,DM的长在变化，所以OD和DM 不一定相等，故C不符合题意； D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平 行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意. 故选：A. 对点训练 1.(2021·孝感)在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠B=30°，以顶点A为圆心，适当长为半 径画弧，分别交AC,AB于点E,F;再分别 以点E,F为圆心，大于，EF的长为半径 画弧，两弧交于点P,作射线AP交BC于 点D.则CD与BD的数量关系是 第1题图 第2题图 2.(2020·荆州)已知：△ABC,求作：△ABC 的外接圆.作法：①分别作线段BC,AC的 垂直平分线EF和MN,它们相交于点O: ②以点O为圆心，OB的长为半径画圆.如 图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学 依据有： .(只 需写一条) 3.(2020·襄阳)如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90°，根据尺规作图 的痕迹判断以下结论错误的是 ( A.DB=DE B.AB=AE C.∠EDC=∠BAC D.∠DAC=∠C 考向二图形设计（用无刻度的直尺完成画图） ○解题策略 图形设计要充分利用几何图形的性质或判 定来作出图形 【例2】(2020·仙桃)在平行四边形ABCD 中，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺 完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹. (1)如图1，在BC上找出一点M,使点M是 BC的中点； (2)如图2，在BD上找出一点N,使点N是 BD的一个三等分点. B 图1 图2 【方法指导】解决此类题目的关键是熟悉基 本几何图形的性质，结合几何图形的基本性 质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作. 也考查了平行四边形的性质。 (1)连接AC和BD,它们的交点为O,延长EO 并延长交BC于点M,则M点为所作； (2)连接CE交BD于点N,则N点为所作. 【解答】解：(1)如图1，M点就是所求作的点； (2)如图2，N点就是所求作的点， 对点Y训练 4.(2020·荆州)如图，矩形ABCD的顶点 A,B,C分别落在∠MON的边OM,ON 上，若OA=OC,要求只用无刻度的直尺 1 作∠MON的平分线.小明的作法如下：连 接AC,BD交于点E,作射线OE,则射线 OE平分∠MON.有以下几条几何性质： ①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角 线互相平分，③等腰三角形的“三线合 一”.小明的作法依据是 () M BC N A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 5.(2021·武汉)如图是由小正方形组成的5 ×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 矩形ABCD的四个顶点都是格点.仅用无 刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图 过程用虚线表示. (1)在图1中，先在边AB上画点E,使AE =2BE,再过点E画直线EF,使EF 平分矩形ABCD的面积； (2)在图2中，先画△BCD的高CG,再在 边AB上画点H,使BH=DH. E…B B D… 图1 图2 考向三尺规作图并应用作图证明或计算 ○解题策略 尺规作出的图形是基础，一定要按照题目 要求完成，作图的结论是后面计算或证明的已 知条件， 【例3】(2021·宜昌)如图，在△ABC中， ∠B=40°，∠C=50°. (1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直 线DF是线段AB的 ,射线AE 是∠DAC的 (2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数. 【方法指导】(1)根据作图痕迹判断即可； (2)想办法求出∠CAD,可得结论. 【解答】解：(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以 发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线 AE是∠DAC的角平分线. 故答案为：垂直平分线，角平分线； (2),DF垂直平分线段AB, .DA=DB.∴.∠BAD=∠B=40 ,∠B=40°，∠C=50°， ∴.∠BAC=90°.∴.∠CAD=50°. AE平分∠CAD,∴∠DAE= 2∠CAD=25 对点/训练 6.(2021·襄阳)如图，BD为□ABCD的对 角线： (1)作对角线BD的垂直平分线，分别交 AD,BC,BD于点E,F,O(尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接BE,DF,求证：四边形BEDF为 菱形 18 走进中考 7.(2024·绥化)已知：△ABC (1)尺规作图：画出△ABC的重心G;(保 留作图痕迹，不要求写作法和证明) (2)在(1)的条件下，连接AG,BG.已知 △ABG的面积等于5cm,则△ABC 的面积是 cm2. 8.(2024·江西)如图，AC为菱形ABCD的 对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成 以下作图（保留作图痕迹）. (1)如图1，过点B作AC的垂线； (2)如图2，点E为线段AB的中点，过点 B作AC的平行线. D 图 图2 0中档题专项突破（三）与三角形、四边形 有关的计算或证明 对点训练 1.(1)二(2)证明：.∠ADC=∠AEB=90°， ∴.∠BDO=∠CEO=90.在△DOB和△EOC (∠BDO=∠CEO, 中，∠DOB=∠EOC,∴.△DOB≌△EOC OB=OC, (AAS)..OD=OE.在Rt△ADO和Rt△AEO 中，8A-OS:R△AD0≌R△AB0HL. ∴.∠1=∠2.2.(1)证明：：四边形BEDF为 正方形，.DF=EB.,四边形ABCD是平行四 边形，.DC=AB.∴.DC-DF=AB-EB.∴.CF =AE,即AE=CF;(2)解：.·平行四边形ABCD 的面积为20，AB=5,四边形BEDF为正方形， ∴.5DE=20,DE=EB..DE=EB=4.∴.AE= AB-EB=5-4=1.由(1)知AE=CF,∴.CF= 1. 3. D (1)证明：四边形 ABCD是平行四边形，.AD∥BC,且AD=BC. .AF∥EC.BE=DF,∴AF=EC..四边形 AECF是平行四边形；（2)解：如图.四边形 AECF是菱形，∴.AE=EC.∴.∠1=∠2. ∠BAC=90°，.∠3=90°-∠2，∠4=90° ∠1.∴.∠3=∠4..AE=BE.∴.BE=AE=CE -号BC=5. 走进中考 4.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∴.AB= AD=BC,∠DAM=∠ABN=90°..BM=CN, .BC-CN=AB-BM,即BV=AM,在△ABN AB=DA, 和△DAM中，∠ABN=∠DAM,∴.△ABN≌ BN-AM, △DAM(SAS).(2)解：由(1)知△ABN≌ △DAM,∴.∠MAP=∠ADM.∴.∠MAP+ ∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°.∴.∠APM= 180°-（∠MAP+∠AMP)=90°.5.(1）选择 ①，证明：，AB∥CD,AD∥BC,∴.ABCD是平 行四边形.又∠ABC=90°，.四边形ABCD是 矩形；选择②，证明：，AD=BC,AD∥BC, ∴.ABCD是平行四边形.又∠ABC=90°，.四边 形ABCD是矩形；(2)解：∠ABC=90°，∴.BC =√AC-AB=√52-32=4.'.矩形ABCD 的面积为3×4=12.6.(1)证明：平行四边 形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,∴.AO =CO.又点M,N分别为OA,OC的中点，∴.AM =CN..四边形ABCD是平行四边形，.AB∥ -3 CD,AB=CD.∴.∠BAM=∠DCN.∴.△AMB ≌△CND(SAS);(2)解：'△AMB≌△CND, ∴.BM=DN,∠ABM=∠CDN.又BM=EM, ∴.DN=EM..AB∥CD,∴.∠ABO=∠CDO. ∴.∠MBO=∠NDO.∴.ME∥DN..四边形 DEMN是平行四边形..'BD=2AB,BD 2BO,∴.AB=OB.又M是AO的中点，∴.BM1 AO.∴.∠EMN=90°..四边形DEMN是矩形. .AB=5,DN=BM=4,.'.AM=3=MO..'.MN =6..矩形DEMV的面积=6×4=24. 7.解：(1).AB=AC,∠BAC=40°，∴.∠ABC= 2(180°-409)=3×140=70.：BD平分 ∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=号∠ABC-ZX 70°=35°.AF⊥AB,∴∠BAF=90°.∴.∠AFE =∠ABD+∠BAF=35°+90°=125°；(2).AE ∥BC,∴.∠E=∠DBC.在△ADE和△CDB中， I∠E=∠DBC, ∠ADE=∠CDB,∴.△ADE≌△CDB(AAS). AD=DC, ∴.AE=BC.∠E=∠DBC,∠ABD=∠DBC, ·∠E=∠ABD.∴.AB=AE.∴.AB=BC.,AB =AC,.AB=AC=BC.∴.△ABC是等边三角 形..∠ABC=60°.∴.∠ABF=30°..AD=DC =2,.AB=AC=4.在Rt△ABF中，AF=AB ·tan∠ABF=4Xtan30°=4X5=43 3 3 中档题专项突破（四）图形的设计与作图 对点训练 1.BD=2CD2.线段的垂直平分线的性质 3.D4.C5.解：(1)如图1，直线EF即为所 求；(2)如图2，线段CG,点H即为所求. E 图1 图2 6 (1)解：如图，EF为所作； (2)证明：EF垂直平分BD,∴.OB=OD,EB ED,FB=FD..四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC.∴.∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO. ∠DEO=∠BFO, 在△ODE和△OBF中，∠EDO=∠FBO, OD=OB, ∴.△ODE≌△OBF(AAS).∴.DE=BF..BE= DE=BF=DF..四边形BEDF为菱形. 走进中考 7 (1)解：如图所示点G即为所 求.(2)158.解：(1)如图1，连接BD..四边 形ABCD为菱形，.BD⊥AC.则BD即为所求； (2)如图2，连接CE并延长，交DA的延长线于 点F,作直线BF.四边形ABCD为菱形， .DF∥BC..∠AFE=∠BCE,∠FAE= ∠CBE.点E为线段AB的中点，.AE=BE. ∴.△AEF≌△BEC(AAS).∴.AF=BC.∴.四边 形ACBF为平行四边形.，BF∥AC.则直线BF 即为所求 图1 图2 中档题专项突破（五）锐角三角函数的应用 对点训练 1.解：(1)法一：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠BAC=75°，AC=30,∴.BC=AC·tan∠BAC =30×tan75°≈30×3.732≈112(m).法二：在 BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则 AD=BD,.∠BAC=75°，∴.∠DAB=∠B= 15°，∠CDA=30°.在Rt△ACD中，∠ACD= 90°，AC=30,∠CDA=30°，∴.AD=60,CD= 30√3，BC=60+30√3≈112(m).答：B,C两点 间的距离为112m;(2),此车速度=112÷8= 14(m/s)<16.7(m/s)=60(km/h).此车没有 超过限制速度.2.解：(1)如解图1，过点C作 CF⊥I于点F,过点B作BM⊥CF于点M, ∴.∠CFA=∠BMC=∠BMF=90° E D M--3B 图1 图2 由题意，得∠BAF=90°，.四边形ABMF为矩 形.∴.MF=AB=2cm,∠ABM=90°.，∠ABC =150°，∴.∠MBC=60°..BC=18cm,∴.CM= BC·sin60°=18XYg=9V3(cm).∴.CF=C 十MF=(93+2)cm.答：支点C离桌面l的高 度为(9W3+2)cm;(2)如解图2，过点C作CN∥ I,过点E作EH⊥CN于点H,∴.∠EHC=90 'DE=24 cm,CD=6 cm,.'.CE=18 cm. ∠ECH=30时，EH=CE·sin30=18X合 9(cm);当∠ECH=70°时，EH=CE·sin70°≈ 3 18×0.94=16.92(cm);.∴.16.92-9=7.92≈ 7.9(cm).答：当a从30°变化到70°的过程中，面 板上端E离桌面！的高度是增加了，增加了约 7.9cm.3.解：由题意，得CE=32m,EF=BD =4m,∴.CF=CE-EF=28(m).,四边形BFCG 是矩形，∴.BG=CF=28m.,∠BCG=63.4°， ∠FBC-∠0G=68.÷gg-iam6a,4 2.00..BF=14m..CG=BF=14m. .∠ACG=45°，∴.CG=AG=14m.∴.AB=BG -AG=14m.答：铜像AB的高度是14m. 4.北 B 解：如图，过点A作AD⊥ 十 D 南 15 160 OB于D.在Rt△AOD中，，·∠ADO=90°， ∠A0D=30,0A=4km,∴AD-20A=2km 在Rt△ABD中，，∠ADB=90°，∠B=∠CAB -∠AOB=75°-30°=45°，.BD=AD=2km. 'AB=√2AD=2√2km.答：该船航行的距离为 2√2km.5. 北 解：如图，过点 60 459 H A P作PH⊥AB于H,由题意，得AB=30×2= 60(海里)，∠PBH=90°-60°=30°，∠PAH= 90°一45°=45°，则△PHA是等腰直角三角形， .AH=PH.在Rt△PHA中，设AH=PH=x 海里，在Rt△PBH中，PB=2PH=2x海里， BH=AB-AH=(60-x)海里，∴.tan∠PBH= 1n0-器-停-产解得 30(√3-1).∴.PB=2x=60(W3-1)≈44（海 里).答：此时船与小岛P的距离约为44海里. 走进中考 6.解：选择“测角仪”方案：如图：过C作CF⊥AB 于F,则CF=DB=10,FB=CD=1.6, 在R△ACF中.tan∠ACF=S,∠ACF=32.5. .AF=CF·tan∠ACF≈10X0.64=6.4...AB =AF十FB=6.4+1.6=8(m).选择“平面镜”方 案：由题意，得CD⊥DB,AB⊥DB,∴.∠CDE= ∠ABE=90°.又∠CED=∠AEB,∴.△CEDp △AEB.器-距即8品AB=8m 答：树AB的高度为8m.7.解：(1)在Rt△ABC