第2单元 第8讲 分式方程及其应用-【名师学案】2026年中考数学复习堂堂清

第8讲分式方程及其应用 8年4考 课 1.能解可化为一元一次方程的分式方程. 标 2.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理 要 3.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效 求 数学模型 教材知识梳理 回顾必备知识 左练 右讲 识X梳X理 1.【新课标·过程性学习】解方程： ★知识点一 分式方程的解法 1=x1-3. 1.解分式方程 2-xx-2 解：方程的两边都乘x一2，得 (1)基本思路 =x一1 一→去 两边同乘 分式方程 整式方程 =x-1-3x →去 去分母 -x+3x= (2)一般步骤 2x= —→合并 整式方程 解整式方程 x= >系数化为 分式方程 检验：当x=3时， 最简公分 →检验 母为0 x=a不是分 x-2= 式方程的解 ∴.原分式方程的解是x= x= 最简公分 2.【串题练透考点】已知关于x的分式方程，二3 母不为0x=a是分式 方程的解 -2=gm为常数). 口诀：一化二解三检验四写根。 【易错警示】(1)去分母时，不要漏乘常数项；(2)移项 (1)以下是小敏同学解该分式方程的部分过 程，请认真阅读，并回答以下问题， 时，符号要改变；(3)解分式方程一定要验根.验根的方 解：去分母，得x一2=m,第一步 法：①代入原分式方程检验；②代入最简公分母检验. 移项，得x=m十2，第二步 2.增根的产生 … 使分式方程的分母为 的根是增根 从第 步开始出错，错误的原因是 【方法点拨】增根问题可按如下步骤进行：①让最简公 分母为0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增 则正确的结果为x= (用含m的 根代入整式方程即可求得相关字母的值， 代数式表示)； 【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一概念.分 (2)若分式方程的解为x=4,则m的值为 式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整 (3)若分式方程有增根，则m的值为； 式方程无解；分式方程的增根是去分母后的整式方程 (4)若分式方程的解为非负数，则m的取值范 围为 的根，也是使分式方程的分母为0的根 引领学案备考新模式 30 3.【串题练透考点】 ★知识点二 分式方程的应用 襄阳市准备对某公园景点进行改造， 1.用分式方程解实际问题的一般步骤 (1)工程队花费45000元用于购买建筑材料， 找等量关系 实际问题 列分式方程 →解方程 一段时间后，又花费21000元第二次购买 设未知数 材料，第二次的购买量是第一次的一半， 答双检验 且第二次的单价（单位：元/t)比第一次少 【注意】双检验：(1)检验是否为分式方程的解；(2)检验 100元，求这两次分别购买材料多少吨； 是否符合实际问题. 2.列分式方程解实际问题的一般类型 (1)购买问题 基本关系式：数量=盘价，或单价=总价 单价 数量 常见应用题中的等量关系： 甲（第一次）总价 乙（第一次）总价=数 甲（第一次）单价 乙（第一次）单价 量差 (2)行程问题 (2)已知购买材料的地点距工地180km,工 基本关系式：时间一路程 速度 程队第二次购买材料后，用卡车运回工 常见应用题中的等量关系： 地，匀速行驶1h后，司机接到工程队命 同一路程 令需提前到达，速度增加到原来的1.5 慢者速度 同一路程=时间差。 快者速度 倍，最终提前40min到达工地.求加速前 (3)工程问题 卡车的平均速度； 基本关系式：工作时间=工作效率， 工作总量 常见应用题中的等量关系： 已做工作量 剩余工作量 原工作效率 改善后工作效率=工作时 间. 甲、乙合作问题： 甲的工作效率×甲的工作时间十乙的工 (3)已知甲工程队单独完成此项工程所需的 作效率×乙的工作时间=“1” 天数是乙工程队的2倍.若甲、乙两个工 【注意】当题干中没有给出具体的工作总量时，默认工 程队合作施工，只需20天即可完成.则乙 作总量为1. 工程队单独完成此项工程需要 天 【方法点拨】列分式方程解应用题时，要验根后作答，不 但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意， 即“双重”验根. 31 中考复习堂堂清·数学 核心考点解读捉升关镜能力 核心考点〈1)分式方程的解法 1三2的解为 4.(2019·孝感)方程2十3 6.(2023·仙桃)解分式方程： 5 1 =0. 5.(2021·荆州)若关于x的方程2x+m+一1 x2+x x2-x x-22-元 =3的解是正数，则m的取值范围为 核心考点②)分式方程实际应用 7.(2021·十堰)某工厂现在平均每天比原计划 球.已知每个篮球的价格比每个足球的价格 多生产50台机器，现在生产400台机器所需 多20元，用1500元购进篮球的数量比用 时间比原计划生产450台机器所需时间少1 800元购进足球的数量多5个.如果设每个足 天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方 球的价格为x元，那么可列方程为 () 程正确的是 A.1500800=5B.1500800-5 A.400 x+20 ”x-20x x-50=1B.450 450 x-50 400=1 x x 、8001500—5D.—12=5■ C.400450 x =50D.450-400=50 x-20 x+1 x+1 x 10.【新课标·数学文化】(2022·襄阳)《九章算 8.(2022·恩施)一艘轮船在静水中的速度为 术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其 30km/h,它沿江顺流航行144km与逆流航 白话译文为：一份文件，若用慢马送到900 行96km所用时间相等，江水的流速为多少？ 里远的城市，所需时间比规定时间多1天； 设江水流速为vkm/h,则符合题意的方程是 若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 () 3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定 14496 A.30千030-0 B 144_96 时间.设规定时间为x天，则可列出正确的 30-v0 方程为 () 144=96 C.30-。30+0 D.144=96 030十) A.900 =2×900 B.900 =2×900 x+3 x-3 x+1 9.(2023·十堰)为了落实“双减”政策，进一步 丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足 C. 900 900 -1 =2X x+3 D 900 x+1 =2×900 x-3 引领学案备考新模式32 11.(2023·随州)甲、乙两个工程队共同修一条 可列出方程为 () 道路，其中甲工程队需要修9km,乙工程队 A.9-121 B.12-9=1 ·xx+12 x+1x2 需要修12km.已知乙工程队每个月比甲工 程队多修1km,最终用的时间比甲工程队 C 9_12=1 x十1x2 D.1291 xx+1=2 少半个月.若设甲工程队每个月修xkm,则 中多新动向 图内化日标 12.【新课标·绿色环保】为了健全分时电价机 基本思想：将分式方程 制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某 为整式方程 市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段 分式方程 1.去分母化为 方程 的解法 (简称峰时)：7：00一23：00，用电低谷时段 2.解 方程 步骤 (简称谷时)：23：00一次日7：00，峰时电价比 3 谷时电价高0.2元/度.市民小萌的电动汽 方程 4.下结论 步骤：审→设→列→解→验→答 车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50 行程问题 元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷 分式方程 工程问题 时用电量相等，求该市谷时电价. 的应用 类型 购买问题 其他问题 备考满分演练 (见进阶作业本) 33中考复习堂堂清·数学导图内化目标 被开方式是非负数1.分母2.开得尽方 1.≥a2.a 第二单元方程（组）与不等式（组） 第6讲一次方程（组）及其应用 教材知识梳理 基础对练 1.A2.(1)①③④⑤⑥③⑥(2)53.(1)① 等号右边的1漏乘了最小公倍数6x一2(2x 1)=6+3(x-3)(2)x=54.15.方法一： 解：由①，得y=3-5x.③把③代入②，得3.x 2(3-5x)=7.解得x=1.把x=1代人③，得y =一2.所以原方程组的解为工二1。 y=-2. 方法二： 解：①X2+②，得13x=13.解得x=1.把x=1 代入①，得5+y=3.解得y=一2.所以原方程组 、的解为x二1”26B7.C8.C9.解：设每 辆大货车一次可以运货xt,一辆小货车一次可 以运货yt,根据题意列方程组，得 得得254X4+3X2.5= 23.5(t).答：4辆大货车与3辆小货车每一次可 以运货23.5t. 知识梳理 知识点一 b 1.c 2.bc c 知识点二 1.等式3.11整式4.(1)最小公倍数分 母括号(2)相反 知识点三 y=4xx+4.x=207x=14 核心考点解读 10.211.112.k<213.A14.A15.A 16.D17.30020018.53 中考新动向 19.3(x+4)=5(.x-4) -4=十4 导图内化目标 性质1性质2一元代入消元法加减消元法 第7讲一元二次方程及其应用 教材知识梳理 基础对练 1.(1)3(2)-5-6(3)B(4)-32.(1)直 接开平方(2)配方(3)因式分解(4)公式 （或者配方)二解：(x十6)2=9，.即x十6= 3,x十6=-3.∴.x1=-3,x2=-9.(5)解：x1 =1,x2=3.(6)解：x=-1十√3，x2=一1一 √3.3.(1)B(2)1(3)m>1(4)m≤1 (5)-3-3(6)①-2-2②-2③8 4.C5.A6.20%7.18.解：.降价1元， 可多售出2件，∴.设降价x元，可多售出2x件， 盈利的钱数为50一x,由题意得：(50一x)(30+ 2x)=2100.化简得：x2-35x十300=0.解得：x =15,x2=20..该商场为了尽快减少库存，∴.降 的越多，越吸引顾客.∴x=20.答：每件商品降价 20元时，商场日盈利可达到2100元. 知识梳理 知识点一 1.一个22.a.x2+b.x十c=03.相等 知识点二 负根 -b±√-4ac 2a 知识点三 1.(1)两个不相等(2)两个相等(3)没有 (4)4≥0且a≠02.-bc a a 知识点四 2.(1)a(1±x)n=b3.（1)(a-2x)(b-2x) (2)(a-x)(b-x)(3)(a-x)(b-x) 4.(1)售价成本进价利润率(2)成本 (3)单件产品的利润销售量 核心考点解读 9.110.-111.2或-112.(1)k>- 子且k ≠0(2)解：x1=3十√14，x2=3-√/14. 13.解：(1)证明：△=（m+2)2-8m=m2-4m+4 =(m-2)2..不论m为何值时，(m-2)2≥0， .△≥0..方程总有实数根；(2)m=1.14.1 3 15.-516.-3 17.2 18.解：(1)k>2; (2):方程的两个根为a,B,∴3=￡=3-k. .2=3一k十3k.解得1=3,2=一1（舍去）. 19.C20.解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长 为xm,可以得出平行于墙的一边的长为(25 2x+1)m,由题意，得x(25一2x+1)=80,化简， 得x2-13x+40=0,解得x1=5,x2=8,当x=5 时，26-2.x=16>12(舍去)，当x=8时，26-2x= 10<12.答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m. 中考新动向 21.36 导图内化目标 ax2+bx十c=0(a≠0)直接开平方配方公 式因式分解>< 第8讲分式方程及其应用 教材知识梳理 基础对练 1.-13(x-2)分母-1+6括号-1 +6十1移项6同类项31103 2.(1)一去分母时，常数项未乘最简公分母 6-m(2)2(3)3(4)m≤6且m≠33.(1)解： 设第二次购买材料xt,则第一次购买材料2xt. 根据题意，得4500-100=21000，解得x=15. 2.x 经检验，x=15是所列方程的解，且符合题意。 ∴.第一次购买材料为2x=30(t).答：第一次购 买材料30t,第二次购买材料15t;(2)解：设 加速前卡车的平均速度为mkm/h,根据题意可 列方程为10-(2+1)=号解得m=60. m （1.5m 经检验，=60是所列方程的解，且符合题意. 答：加速前卡车的平均速度是60km/h;(3)30 知识梳理 知识点一 1.最简公分母 去分母检验2.0 核心考点解读 4.x=15.m>-7且m≠-36.解：原方程变 5 1 形为：x(x+Dx(x-D =0,两边同乘x(x十 1)(x-1),去分母，得5(x-1)-(x+1)=0,去 括号，得5x一5一x一1=0，移项，合并同类项得 4x=6,系数化为1，得x= 多，检验：将x=是代 人x+1D(x-1D中可得：多×（受+1）×（号 -1）=号≠0，侧原方程的解为：x=多.7.B 8.A9.A10.B11.A 中考新动向 12.解：设该市谷时电价为x元/度，则峰时电价 《x+0.2)元度.根据题意得0,2=，解得 x=0.3,经检验x=0.3是原方程的解，答：该市 谷时电价0.3元/度. 导图内化目标 转化1.整式2.整式3.检验 第9讲一元一次不等式（组）及其应用 教材知识梳理 基础对练 1.(1)a+5≥7(2)D(3)B2.C3.B4.C 5.6分母-36括号2+3+611 同类项 >-116.(1)x≥-2(2)x<4 （3)432-101234→ 解：不等式①和 ②的解集在数轴上表示如图；(4)一2≤x<4 (5)37.A 知识梳理 知识点一 1.不等号2.值3.所有 知识点二 >> 知识点三 2 1.(2)去括号(4)合并同类项(5)12.(1)每 一个不等式 (2)公共(3)无解 知识点四 不等 核心考点解读 典例精析 【到】A【2】解：3曲@倍 x>一2.由②，得x≤1.故此不等式组的解集为： -2<x≤1，故不等式组{：+31，D的整数解 2x-1≤x② 为一1、0、1.【例3】解：（1)设A型垃圾桶单 价为x元，B型垃圾桶单价为y元，由题意，可得 3x十4y=580解得100.答：A型垃圾桶单 6x+5y=860. 价为60元，B型垃圾桶单价为100元；(2)设至 少需购买A型垃圾桶a个.由题意，可得60a十 100(200一a)≤15000，a≥125.答：至少需购买 A型垃圾桶125个. 真题对练 8.5≤a<69.D10.(1)x≥-3(2)x<1 43210之解：把不等式①和② (3) 的解集在数轴上表示出来如图所示.(4)一3≤ x<111.解：(1)设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的 单价分别为x元/棵，y元/棵，根据题意，得 侣，10解得怎现谷：脐橙特青和黄 金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵； (2)设购买脐橙树苗α棵，则购买黄金贡柚树苗 (1000一a)棵，根据题意，得50a+30(1000一a) ≤38000，解得a≤400.答：最多可以购买脐橙树 苗400棵。 中考新动向 12.（1)85(2)解：设可购进B型玩具a个，则 购进A型玩具1360一5@个，根据题意，得 8 1360-5a 8 +a≤200.解得a≤80.答：最多可购 进B型玩具80个. 导图内化目标 1.>2.>>3.<<括号移 同类 项2.大小中间 第三单元函数及其图象 第10讲平面直角坐标系及函数 教材知识梳理 基础对练 1.(1)a>2 2-1<a<号 (3)a<-1 (4)3 -1(5)42.(-2,2)(6,6)3.(1)2 2 22√23√2(2)(0,2)2(3)(2,4)或(2，