专题04 反比例函数（期末复习知识清单，6常考题型7易错归因8方法技巧）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题04 反比例函数 考点1：反比例函数的概念 1. 形如________（为常数，________）的函数叫做反比例函数，其中叫做________。 2. 反比例函数的三种等价形式：、________、________。 3. 反比例函数自变量取值范围：________，函数值取值范围：________，图像与坐标轴________交点。 考点2：反比例函数图像与性质 1. 反比例函数的图像是________，图像关于________中心对称，对称轴为直线________和________。 2. 当时，函数图像分布在第________象限，在每一象限内，随的增大而________。 3. 当时，函数图像分布在第________象限，在每一象限内，随的增大而________。 考点3：k的几何意义 1. 双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成的矩形面积为________。 2. 双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成的直角三角形面积为________。 考点4：待定系数法求解析式 四步解题法：设：________；代：代入________；求：________；写：________。 考点5：函数综合应用 1. 两个函数的交点坐标，通过________解析式求解，交点坐标同时满足________函数。 2. 比较两个函数值大小，可观察图像，图像________方的函数值更大，对应横坐标范围即为不等式解集。 考点6：实际应用 常见反比例应用场景：________、________、________问题，解题时必须注意自变量的________。 题型1：概念辨析题（选择/填空高频） 例1．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列函数一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级上·上海·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（    ） A．   B．   C．  D．   变式3．（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 题型2：图像与性质应用题（象限、增减性） 例2．（2025·上海金山·二模）下列对反比例函数的图像的描述，正确的是（   ） A．经过 B．经过第一、三象限 C．在每个象限内，函数值随的增大而增大 D．关于轴对称 例3．（24-25八年级上·上海崇明·期中）在函数的图象上有三点，已知，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25八年级上·上海普陀·期末）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么 例5．（24-25八年级上·上海·期中）已知点、、都在反比例（）的图像上，用“”表示、、的大小关系是______． 变式1．（24-25八年级上·上海普陀·期末）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么 变式2．（24-25八年级上·上海·期末）已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）． A． B． C． D． 变式3．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）反比例函数的图象在第一、三象限，那么______． 变式4．（24-25八年级上·上海·阶段检测）已知反比例函数的图像在第一、三象限，则的值为________． 变式5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 题型3：k的几何意义·面积计算（必考） 例6．（24-25八年级上·上海·期末）如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 例7．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，点A在反比例函数图象上，轴，垂足为B，且，则___________． 例8．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标为4，曲线上有一动，过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接． (1)求k的值． (2)设与的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式． (3)连接，当第（2）问中S的值为1时，求的面积． 变式1．（22-23八年级上·上海·期中）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 变式2．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25八年级上·上海·期中）如图，轴于点A，点B在y轴的正半轴上，，点D为线段与反比例函数图象的交点，若直线将面积分成的两部分，则k的值为_________． 变式4．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 变式5．（22-23八年级上·上海青浦·期中）如图，A为反比例函数的图象上一点，轴，垂足为P． (1)联结，当时，求反比例函数的解析式； (2)联结，若，y轴上是否存在点M，使得，若存在，求出M的坐标：若不存在，说明理由， (3)点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图象于点C，若的面积为4，求k的值． 题型4：待定系数法求解析式 例9．（25-26八年级下·上海·月考）已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时， (1)求关于的函数表达式； (2)若点在这个函数图像上，求的值 例10．（25-26八年级下·上海·期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图像交于，，连接、． (1)求的值； (2)的面积． 例11．（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A；直线：与x轴交于点B，且与直线交于点C． (1)求点A、点B、点C的坐标； (2)若反比例函数经过点C，求反比例函数解析式． 变式1．（25-26八年级·上海·寒假作业）已知是的反比例函数，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)若，求的值． 变式2.时，；当时，． (1)求关于的函数解析式： (2)求时的函数值． 变式3.过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． (1)若点E是中点，求反比例函数的表达式； (2)连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标； (3)当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程． 变式4．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段检测）如图．已知直线与双曲线交于A、B两点．点C在x轴正半轴上，为等腰直角三角形，． (1)求k的值； (2)若双曲线上一点D的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（点P在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为12．求点P的坐标（直接写出答案）． 题型5：反比例函数与一次函数综合（中档压轴） 例12．（25-26八年级下·上海·月考）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，则的面积是（    ） A．2 B． C． D． 例13．（25-26八年级下·上海·阶段检测）函数与在同一坐标平面内的大致图象是（    ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（2）和（4） 例14．（25-26八年级上·上海·期中）若正比例函数的图像与双曲线交于两点，则___________． 例15．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，点A坐标为，点B在双曲线的图象上． (1)当面积为12时，求点B的坐标； (2)点C在y轴负半轴，点D在线段的延长线上，当四边形为矩形时，求直线解析式． 例16．（24-25八年级下·上海金山·阶段检测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、两点． (1)求出两函数解析式； (2)根据图像回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？ 变式1．（24-25八年级下·上海静安·期末）双曲线与直线（且）在一、三象限分别相交于A、C两点，与直线在一、三象限分别相交于B、D两点，那么四边形的形状一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．非矩形和菱形的任意平行四边形 变式2．（24-25八年级下·上海·阶段检测）如图，直线与坐标轴分别交于点，，与双曲线交于点，根据图像求出不等式的解集（　　） A． B． C． D． 变式3．（24-25八年级下·上海金山·阶段检测）反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点，当时，请写出自变量x的取值范围_________． 变式4．（24-25八年级下·上海杨浦·月考）已知直线和双曲线，把直线向左平行移动5个单位． (1)求平移后所得的直线的函数解析式． (2)平移后所得的直线与已知双曲线是否相交？如果相交，求出交点的坐标，如果不相交，请说明理由． 变式5．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移后与反比例函数在第一象限内的图像相交于点C，且的面积为18，求平移后的直线的表达式； (3)在（2）的条件下，点D是坐标平面内一点，当四边形是等腰梯形时，请直接写出点D的坐标． 变式6．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数（）的图像上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数（）的图像于点． (1)当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式； (2)当四边形是正方形时，求点的坐标． 题型6：反比例函数实际应用题 例17．（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 例18．（25-26八年级上·上海·阶段检测）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 变式1．（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 变式2．（22-23八年级上·上海普陀·期中）已知反比例函数（为常数，）． (1)其图像与正比例函数的图像的一个交点为，若点的纵坐标是2，求的值； (2)求正比例函数与反比例函数的另一个交点； (3)已知点和，点在反比例函数的图像上，若三角形的面积为6，求点的坐标． (4)直接写出当正比例函数大于反比例函数时自变量的取值范围． 变式3．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由． 变式4．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题： (1)施工过程中关于的函数解析式是______； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ (3)施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到） 易错点1：反比例函数定义理解不完整（遗漏系数不为0） 核心概念：反比例函数标准形式：（，为常数）。必须同时满足两个条件：自变量次数为、比例系数。 典型例题：若是反比例函数，求的值。 错解：由题意得，解得，。 正解：需同时满足次数与系数条件：，解得（舍去），。所以。 易错点拨：判断反比例函数不能只看指数，必须保证比例系数不为0，忽略系数限制是考试高频丢分点。 易错点2：直接跨象限判断增减性，忽略“同一象限内”前提 核心性质：当，图象在一、三象限，每个象限内随增大而减小；当，图象在二、四象限，每个象限内随增大而增大。跨象限不能使用增减性比较。 典型例题：已知反比例函数，若，则，判断该说法是否正确。 错解：，随增大而增大，说法正确。 正解：说法错误。举反例：当时，；当时，。此时，但，跨象限不满足增减规律。 易错点拨：反比例函数增减性只对同一支、同一象限的点成立，无象限前提不可随意判断。 易错点3：比较函数值大小不分区象限，直接代序比较 典型例题：已知反比例函数，图象上三点、、，比较的大小。 错解：，随增大而减小，由，得。 正解：在第三象限，函数值为负；在第一象限，函数值为正。代入得：，，，故。 易错点拨：比较函数值优先分象限、判正负，正数永远大于负数，同象限再用增减性比较。 易错点4：误用k的几何意义，只算绝对值、忽略符号 核心几何意义：过反比例函数图象上任意一点作坐标轴垂线，所得矩形面积；面积恒正，但的正负由图象象限决定。 典型例题：点在反比例函数图象上，所作坐标轴矩形面积为4，图象分布在二、四象限，求。 错解：，得。 正解：由面积得，即；图象在二、四象限，则，故。 易错点拨：面积等于，不能直接等同于，必须结合图象位置确定正负。 易错点5：实际应用题型遗漏自变量取值范围 核心要求：反比例函数实际应用中，自变量代表长度、面积、速度、时间等物理量，必须满足取值大于0。 典型例题：矩形面积为20㎡，设长为，宽为，求关于的函数解析式。 错解：。 正解：由题意得。 易错点拨：实际应用题写函数解析式，必须附带自变量取值范围，缺少范围会扣分。 易错点6：概念混淆，误将变式函数当作反比例函数 核心定义：严格反比例函数只有形式，分母只能是单一自变量，不含加减、不含高次。 典型例题：下列属于反比例函数的是（ ） A. ; B. ; C. ; D. 错解：选A 正解：选B。A分母为多项式、C为正比例函数、D自变量为-2次，均不是反比例函数。 易错点拨：只有分母是单独、次数为-1、系数非零，才是标准反比例函数。 易错点7：一次函数与反比例函数联立漏解，只求一个交点 核心规律：一次函数与反比例函数联立得到一元二次方程，一般有两个实数根，对应两个交点，极易漏解。 典型例题：求与的交点坐标。 错解：联立得，整理得，解得，交点为。 正解：联立整理得，因式分解得，解得。代入得两个交点：、。 易错点拨：一元二次方程有两个根，函数交点题型务必求出全部解，防止漏点丢分。 一、反比例函数判定（三种等价式） 核心技巧：反比例函数标准形式为 ，包含两种等价变形：、；定义域、值域均满足，分母只能是单独的x，不能是含x的代数式。 配套例题：下列函数中，属于反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 详细解答：A为正比例函数，C为二次函数，D分母为，不符合反比例函数定义；只有B满足反比例函数标准形式。答案：B 二、待定系数法求反比例函数解析式 核心技巧：遵循“设→代→求→写”四步解题法。先设反比例函数解析式 ，再将函数图像上已知点的坐标代入解析式，求出常数k的值，最后回代写出完整解析式。 配套例题：已知一个反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的解析式。 详细解答：设反比例函数解析式为，将点代入解析式得：，解得。因此该反比例函数解析式为。 三、反比例函数图像与性质（象限、增减性） 核心技巧：函数图像为双曲线，性质由比例系数k的符号决定，增减性仅在单个象限内成立，不能跨象限讨论。 ：图像分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； ：图像分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 配套例题：已知反比例函数的图像位于第二、四象限，求m的取值范围。 详细解答：由图像在二、四象限可知，比例系数小于0，即，解得。 四、反比例函数函数值大小比较 核心技巧：先判断各点所在象限，再分情况比较：①两点在同一象限，直接利用函数增减性比较；②两点在不同象限，第一象限函数值恒为正，第二、四、三象限函数值恒为负，正数大于负数。 配套例题：已知点、、都在反比例函数的图像上，比较的大小。 详细解答：由可知，函数图像在一、三象限，且每个象限内y随x增大而减小。点A、B在第三象限，函数值为负，且，故；点C在第一象限，函数值。综上大小关系：。 五、反比例函数k的几何意义（高频考点） 核心技巧：若点在反比例函数图像上，过该点分别作x轴、y轴的垂线： 垂线与坐标轴围成的矩形面积：； 垂线、坐标轴、原点连线围成的直角三角形面积：。 配套例题：点P是反比例函数图像上一点，过点P作轴于点M，连接OP，已知，求k的值。 详细解答：根据k的几何意义可得，解得。若图像在一、三象限，；若图像在二、四象限，。 六、反比例函数的对称性 核心技巧：反比例函数双曲线是中心对称、轴对称图形，核心对称规律：若点在图像上，则点（关于原点对称）、（关于直线对称）、（关于直线对称）均在函数图像上。 配套例题：已知反比例函数的图像经过点，求该点关于原点的对称点坐标。 详细解答：根据原点对称规律，横、纵坐标均互为相反数，可得对称点坐标为。 七、反比例函数与一次函数综合（交点问题） 核心技巧：两个函数图像的交点坐标，同时满足两个函数解析式，解题核心为联立方程组，通过解方程求出交点横、纵坐标，是解决图像交点、面积、取值范围问题的基础。 配套例题：求一次函数与反比例函数的图像交点坐标。 详细解答：联立两个函数解析式得方程组：，化简得，整理为整式方程，因式分解得，解得。分别代入，得。因此交点坐标为。 八、反比例函数实际应用建模 核心技巧：实际问题中，若两个变量的乘积为固定定值，则两个变量成反比例关系，可设解析式；实际应用中变量均为正数，需注明自变量取值范围。 配套例题：已知固定路程为120km，行驶速度v与行驶时间t成反比例关系，求v关于t的函数解析式。 详细解答：根据路程公式，可得，变形得函数解析式为。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 反比例函数 考点1：反比例函数的概念 1. 定义：形如（为常数，）的函数，叫做反比例函数，其中为比例系数。 2. 三种等价必考形式 分式形式： 负指数形式： 乘积形式： 3. 自变量与函数值范围 定义域： 值域： 函数图像永不与轴、轴相交 4. 高频易错点 判断反比例函数必须满足两个核心条件：自变量的次数为、比例系数；注意区分两个量成反比例关系和反比例函数的概念差异。 考点2：反比例函数的图像与性质 1. 图像特征：图像为双曲线，由两支曲线组成；图像关于原点成中心对称，关于直线、成轴对称。 2. k值决定象限与增减性（核心考点）· 符号 图像分布象限 增减性（每一象限内） 第一、三象限 随的增大而减小 第二、四象限 随的增大而增大 关键易错提醒：增减性必须限定“在每一个象限内”，跨象限取值时，函数不具备单调增减性。 考点3：k的几何意义（高频压轴考点） 设点是反比例函数图像上任意一点： 1. 过点作轴、轴，围成的矩形面积：。 2. 过点作坐标轴垂线，形成的直角三角形面积：。 3. 过原点的直线与反比例函数双曲线交于两点，则两点关于原点中心对称。 考点4：待定系数法求反比例函数解析式 通用四步解题法： 1. 设：设反比例函数解析式为； 2. 代：将函数图像上任意一组已知点坐标代入解析式； 3. 求：解方程求出比例系数的值； 4. 写：将代入，写出完整的函数解析式。 考点5：反比例函数与一次函数综合 1. 求交点坐标：联立反比例函数与一次函数解析式，组成二元方程组求解，方程组的解即为两个函数的交点坐标，交点坐标同时满足两个函数解析式。 2. 函数值大小比较与不等式求解：通过图像位置判断，图像在上方的函数值更大，对应横坐标取值范围即为不等式的解集。 3. 图形面积计算：常用割补法、坐标法求底和高，结合的几何意义简化计算，规避复杂运算。 考点6：反比例函数的实际应用 1. 常见反比例模型 行程问题：路程定值时，速度与时间成反比（）； 面积问题：图形面积定值时，长与宽、底与高成反比； 工程问题：工作总量定值时，工作效率与工作时间成反比。 2. 解题步骤：分析题意列函数关系式→结合实际意义确定自变量取值范围→代入数值求解问题、检验结果。 题型1：概念辨析题（选择/填空高频） 例1．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列函数一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，函数不是反比例函数，不符合题意； B、不是反比例函数，不符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意； 故选：D． 变式1．（24-25八年级上·上海·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 反比例函数的定义是（k为常数），判断各选项是否符合此形式． 【详解】解：∵ 反比例函数的标准形式为， 选项A：，为一次函数，不符合； 选项B：，为正比例函数，不符合； 选项C：，为y与成反比，不符合； 选项D：，符合形式，其中； 故选：D． 变式2．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（    ） A．   B．   C．  D．   【答案】C 【知识点】判断（画）反比例函数图象、正比例函数的图象 【分析】本题考查反比例函数的图象、正比例函数的图象，根据得到反比例函数的图象、正比例函数的图象所在的象限即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数的图象经过第二、四象限，函数的图象位于第二、四象限， 故选项C中图像符合题意， 故选：C． 变式3．（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【答案】 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 题型2：图像与性质应用题（象限、增减性） 例2．（2025·上海金山·二模）下列对反比例函数的图像的描述，正确的是（   ） A．经过 B．经过第一、三象限 C．在每个象限内，函数值随的增大而增大 D．关于轴对称 【答案】C 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】本题主要考查反比例函数的性质及图像的特点，理解和掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式可知，函数图像经过第二，四象限，根据图形特点即可求解． 【详解】解：A选项，当时，选项不符合题意； B选项，反比例函数的，函数图像经过第二，四象限，B选项不符合题意； C选项，函数图像在第二，四象限内，随的增大的增大，C选项符合题意； D选项，函数图象关于直线对称，D选项不符合题意． 故选：C． 例3．（24-25八年级上·上海崇明·期中）在函数的图象上有三点，已知，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，正确判断反比例函数的图像所在的象限和增减性是解题的关键．首先判断反比例函数的图像所在的象限和增减性，再由增减性比较大小即可． 【详解】已知函数的图象经过二，四象限， 由图象上有三点， 且， 可得点在第二象限， 在第四象限， ， 函数的图象在第二象限内，随的增大而增大， ， ， ， 故选：C． 例4．（24-25八年级上·上海普陀·期末）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据的符号，结合反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，比例系数为，故选项B错误，不符合题意； ∴图象在第二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 在每一个象限内，随着的增大而增大，故选项C错误，不符合题意； 如果点和点在该函数的图象上，那么；故选项D正确，符合题意； 故选D． 例5．（24-25八年级上·上海·期中）已知点、、都在反比例（）的图像上，用“”表示、、的大小关系是______． 【答案】 【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质即可解题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、、都在反比例（）的图像上， ∴，，， ∵， ∴函数图象在第二和第四象限内，在每个象限内，随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．（24-25八年级上·上海普陀·期末）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据的符号，结合反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，比例系数为，故选项B错误，不符合题意； ∴图象在第二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 在每一个象限内，随着的增大而增大，故选项C错误，不符合题意； 如果点和点在该函数的图象上，那么；故选项D正确，符合题意； 故选D． 变式2．（24-25八年级上·上海·期末）已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、正比例函数的图象 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案． 【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴，则， ∴双曲线在第一、三象限， ∴函数的图象经过第二、四象限， 故选：A． 变式3．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）反比例函数的图象在第一、三象限，那么______． 【答案】/ 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，二次根式的性质化简．先根据反比例函数的性质得出，可知，再根据即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴，即：， 则， 故答案为：． 变式4．（24-25八年级上·上海·阶段检测）已知反比例函数的图像在第一、三象限，则的值为________． 【答案】3 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据反比例函数的定义求参数 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义和反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．直接利用反比例函数的定义结合反比例函数图象分布得出m的值． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， 解得：， ∵它的两个分支分别在第一、三象限， ∴，即， 则． 故答案为：3． 变式5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】对于反比例函数（，为常数），当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大．据此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大， ∴， 解得：． 题型3：k的几何意义·面积计算（必考） 例6．（24-25八年级上·上海·期末）如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．过点A作轴于点C，轴于点D，与的延长线交于点E，则四边形是矩形，设点，其中，依题意得点，则，由此解出，进而得点，点，然后再分别求出，，，由此可得的面积． 【详解】解：过点A作轴于点C，轴于点D，与的延长线交于点E，如图所示： ， ∴四边形是矩形， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴设点A的坐标为，其中， 又∵A在点B左侧，且A、B两点横、纵坐标都相差2， ∴点B的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点B， ， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴点，点， ， ∵四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 故选：． 例7．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，点A在反比例函数图象上，轴，垂足为B，且，则___________． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数与几何应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．设点的坐标为，则，先根据三角形的面积公式可得，再将点代入计算即可得． 【详解】解：设点的坐标为， ∵轴，且点在第二象限， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 将点代入反比例函数得：， 故答案为：． 例8．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标为4，曲线上有一动，过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接． (1)求k的值． (2)设与的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式． (3)连接，当第（2）问中S的值为1时，求的面积． 【答案】(1)8 (2) (3)6 【知识点】求反比例函数解析式、已知比例系数求特殊图形的面积、一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数的几何意义，正确地求得的值是解题的关键． （1）首先将A点横坐标代入求出，然后代入求解即可； （2）点的坐标为，则，由即可建立函数解析式； （3）根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标是4 ∴将代入 ∴ ∴将代入，得， 的值为8； （2）解：如图，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 点的坐标为， ， ， （3）解：由题意得，， 解得或（舍去）， ， ， 点在函数的图象上， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 变式1．（22-23八年级上·上海·期中）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数的几何意义，根据题意得出，再结合反比例函数的图象在第一象限，得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴， ， ， 反比例函数的图象在第一象限， ， ， 故选：C． 变式2．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，记交轴于点，根据求出，再由求出，即可解题． 【详解】解：记交轴于点，如图所示： 由知，, 的面积是， , ， ， 故选：B． 变式3．（24-25八年级上·上海·期中）如图，轴于点A，点B在y轴的正半轴上，，点D为线段与反比例函数图象的交点，若直线将面积分成的两部分，则k的值为_________． 【答案】或 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义的运用．计算求得或，根据反比例函数系数k的几何意义即可得到k的值． 【详解】解：连接， ∵直线将面积分成的两部分， ∴点D是线段的三等分点， 当时， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； 当时， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； 故答案为：或． 变式4．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】（1）利用正方形的性质得到点坐标，再把点坐标代入即可得到的值；然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）设正方形的边长为，利用正方形的性质易表示点的坐标为， 然后把点坐标代入反比例函数解析式中，再解关于的一元二次方程即可得到正方形的边长． 【详解】（1）解：正方形的面积为， ， 点坐标为， 把代入得，， ； 设直线的解析式为， 把代入得， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：设正方形的边长为，则点的坐标为， 把代入得，， 解得，（负值，舍去）， 正方形的边长为． 变式5．（22-23八年级上·上海青浦·期中）如图，A为反比例函数的图象上一点，轴，垂足为P． (1)联结，当时，求反比例函数的解析式； (2)联结，若，y轴上是否存在点M，使得，若存在，求出M的坐标：若不存在，说明理由， (3)点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图象于点C，若的面积为4，求k的值． 【答案】(1) (2)存在， (3)k的值为或 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求解； （2）求得，即可求得从而求得点； （3）当B点在P点右侧，如图，设，则可表示出，，利用三角形面积公式得到；当B点在P点左侧，设，则可表示出，，利用三角形面积公式得到，然后分别解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：∵轴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为 ； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当B点在P点右侧，如图， 设， ∵， ∴， ∵轴， ∴，   ∵的面积为4， ∴，解得； 当B点在P点左侧，如图 设， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵的面积为4， ∴，解得； 综上所述，k的值为或． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 题型4：待定系数法求解析式 例9．（25-26八年级下·上海·月考）已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时， (1)求关于的函数表达式； (2)若点在这个函数图像上，求的值 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】（1）与成反比例，可设，与成正比例，可把看成一个整体，设，利用待定系数法即可求解； （2）把代入解析式解答即可． 【详解】（1）解：设，，则， 当时，；当时， 可得， 解得：． ； （2）解： 例10．（25-26八年级下·上海·期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图像交于，，连接、． (1)求的值； (2)的面积． 【答案】(1)3 (2)4 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】（1）先由点求出，进而求出、的坐标，再将点的坐标代入，即可得的值； （2）根据求解． 【详解】（1）解：直线交轴于点， ∴， ∴直线， ∵点，在上， ∴，， ∴， ∴，， ∵点在上， ∴； （2）解：∵， ∴， ． 例11．（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A；直线：与x轴交于点B，且与直线交于点C． (1)求点A、点B、点C的坐标； (2)若反比例函数经过点C，求反比例函数解析式． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、两直线的交点及反比例函数的待定系数法.解题的关键是掌握求直线与坐标轴交点的方法及联立方程组求交点坐标． （1）先分别求出两条直线与轴的交点坐标，再联立两条直线的方程组求出交点的坐标，先令求出与轴交点，再联立方程组求出两直线交点； （2）设反比例函数解析式为，将点的坐标代入求出的值，从而得到反比例函数解析式． 【详解】（1）解：对于直线， 令, 得， 解得， ， 对于直线， 令, 得， 解得， ， 联立两直线方程：， 解得，， ； （2）解：设反比例函数解析式为， 反比例函数经过点， ， 解得， 反比例函数解析式为． 变式1．（25-26八年级·上海·寒假作业）已知是的反比例函数，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值、由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查反比例函数的解析式确定及代入求值，核心是利用待定系数法求反比例函数表达式，再根据函数与自变量的对应关系进行计算． （1）利用待定系数法，设出反比例函数的一般形式，代入已知的、值求出比例系数，即可得到函数表达式； （2）将代入已求出的反比例函数表达式，计算得到对应的值； （3）将代入反比例函数表达式，通过解方程求出对应的值． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， ∵当时，， ∴将，代入表达式得， 解得， ∴关于的函数表达式为； （2）解：将代入， 得； （3）解：将代入， 得，解得． 变式2时，；当时，． (1)求关于的函数解析式： (2)求时的函数值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求自变量的值或函数值、求反比例函数解析式、正比例函数的定义 【分析】本题主要考查正比例函数，反比例函数，函数值的计算，掌握正比例、反比例函数的计算是解题的关键． （1）设，则，把时，；当时，，代入计算即可求解； （2）把代入（1）中函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得，， ∴； （2）解：当时，． 变式3过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． (1)若点E是中点，求反比例函数的表达式； (2)连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标； (3)当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）首先根据题意确定点P的坐标，根据点E是中点，求出点E的坐标，直接代入解析式求解即可； （2）当E在P右边时，作轴于M，设，则，然后分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可；当E在P左边时，作轴于M，设，则，分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当，时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意， ∵点E是中点， ∴， ∴把代入得到， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：①如图2中，当E在P右边时，作轴于M． 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵E在P右边， ∴， ∴此时； ②如图3中，当E在P左边时，作轴于M． 设，则， 同理可得， 解得：或， ∵E在P左边， ∴， ∴此时； 综上所述，当或时，的面积为面积的2倍． （3）解：设，则， ∵当E在P点左边， ∴； ①如图，当，时，作于S点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 即：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当，时，作轴于T点， 则同①可证得， ∴， ∴， ∴； ③如图，当，时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴，， ∴此时 综上，或或． 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合运用，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，等腰三角形的性质，理解反比例函数的基本性质，以及反比例函数图象上点坐标的特征是解题关键． 变式4．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段检测）如图．已知直线与双曲线交于A、B两点．点C在x轴正半轴上，为等腰直角三角形，． (1)求k的值； (2)若双曲线上一点D的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（点P在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为12．求点P的坐标（直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标是或 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．利用数形结合的思想，求得三角形的面积． （1）设，过A作于H，等腰直角三角形的性质得到，求得，把代入得即可得到结论； （2）根据双曲线上一点D的纵坐标为8，得到，如图，过D作轴于G，则，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么的面积就应该是四边形面积的四分之一即3．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后表示出的面积，由于的面积为3，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标． 【详解】（1）解：设， 过A作于H， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 把代入得，， ∴； （2）解：∵双曲线上一点D的纵坐标为8， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作轴于G， 则， ∴的面积=四边形的面积； （3）解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设点P的横坐标为且， 得， 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴， 若，如图， ∵， ∴． ∴． ∴（舍去）， ∴； 若，如图， ∵， ∴． ∴， 解得（舍去）， ∴． ∴点P的坐标是或． 题型5：反比例函数与一次函数综合（中档压轴） 例12．（25-26八年级下·上海·月考）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，则的面积是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】把点代入和可求出、的值，即可得到正比例函数和反比例函数的解析式，过点作轴交于点，结合点的坐标即可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ，， ，， 正比例函数为，反比例函数为：， 如图，过点作轴交于点， 点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3， ， ， 点的纵坐标为， 可得， 解得， ， ． ． 例13．（25-26八年级下·上海·阶段检测）函数与在同一坐标平面内的大致图象是（    ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（2）和（4） 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】分两种情况讨论直线和双曲线的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，函数经过第一，三象限，函数位于第一，三象限，则（2）符合题意； 当时，函数经过第二，四象限，函数位于第二，四象限，则（4）符合题意， 所以函数与在同一坐标平面的大致图象是（2）和（4）． 例14．（25-26八年级上·上海·期中）若正比例函数的图像与双曲线交于两点，则___________． 【答案】256 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的交点性质及代数式化简求值，解题的关键是利用交点的对称性和反比例函数的性质进行推导． 先根据正比例函数与反比例函数的对称性得出，再结合反比例函数的性质，对代数式进行化简求值． 【详解】解：设正比例函数的解析式为，将其与双曲线联立，可得，整理得， 由于正比例函数与双曲线的交点关于原点对称，所以， 又因为点在双曲线上，所以， 将代入，可得 原式 ， 把代入上式，可得， 故答案为：256． 例15．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，点A坐标为，点B在双曲线的图象上． (1)当面积为12时，求点B的坐标； (2)点C在y轴负半轴，点D在线段的延长线上，当四边形为矩形时，求直线解析式． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合问题． （1）设点B的横坐标为m，根据面积为12可得的值，根据点在反比例函数的图象上即可求解． （2）由矩形性质可知，设，则，根据勾股定理可得的值和点的坐标，设直线的解析式为 ，代入点的坐标即可求解． 【详解】（1）解：设点B的横坐标为m，根据题意得：， 解得， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，四边形为矩形， 由矩形性质可知：， 设，则， 由勾股定理可得， 解得（已舍去负值）， ∴， 设直线的解析式为 ， 则， 解得． ∴直线的解析式为． 例16．（24-25八年级下·上海金山·阶段检测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、两点． (1)求出两函数解析式； (2)根据图像回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？ 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，比较函数值的大小，解题的关键是正确理解图像中的信息． （1）用待定系数法求解析式即可； （2）观察图像，写出一次函数图像在反比例函数图像上方的的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵、在一次函数的图像上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∵在反比例函数的图像上， ∴， 解得，， ∴反比例函数的解析式为， 答：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）解：由图像可知，一次函数图像在反比例函数图像上方对应的的取值范围是或， ∴当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值， 答：当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 变式1．（24-25八年级下·上海静安·期末）双曲线与直线（且）在一、三象限分别相交于A、C两点，与直线在一、三象限分别相交于B、D两点，那么四边形的形状一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．非矩形和菱形的任意平行四边形 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知两点坐标求两点距离、判断三边能否构成直角三角形、证明四边形是矩形 【分析】通过联立方程求出双曲线与直线的交点坐标，确定四边形各顶点的位置．利用勾股定理确定对边相等且证明出四边形为矩形． 【详解】∵双曲线与直线（且）在一、三象限分别相交于A、C两点， ∴联立得， 解得或 ∴（第一象限），（第三象限）． ∵双曲线与直线在一、三象限分别相交于B、D两点， 联立得， 解得或 ∴（第一象限），（第三象限）． ∴； ； ∴，即 ∴； ； ∴，即 ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 变式2．（24-25八年级下·上海·阶段检测）如图，直线与坐标轴分别交于点，，与双曲线交于点，根据图像求出不等式的解集（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想成为解题的关键． 本题先把点代入，求得，然后观察函数图象即可求解； 【详解】解：把代入，解得：， ∴， 观察函数图象得到当时，， 由题意可得：， ∴不等式的解集为； 故选：D； 变式3．（24-25八年级下·上海金山·阶段检测）反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点，当时，请写出自变量x的取值范围_________． 【答案】或 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用交点坐标确定不等式的解集，待定系数法，利用数形结合法解答是解题的关键． 先利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式，然后根据交点坐标确定不等式的解集即可． 【详解】解：将代入得， ， ∴反比例函数的解析式为； ∴将代入得， ， 解得， ∴， 将，代入得， 解得， ∴； 根据函数解析式画出图象得， 当时，或， 故答案为：或． 变式4．（24-25八年级下·上海杨浦·月考）已知直线和双曲线，把直线向左平行移动5个单位． (1)求平移后所得的直线的函数解析式． (2)平移后所得的直线与已知双曲线是否相交？如果相交，求出交点的坐标，如果不相交，请说明理由． 【答案】(1) (2)相交，交点坐标为和 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，根据“左加右减，上加下减”的平移规律，结合直线向左平行移动5个单位，进而可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）所求解析式和反比例函数解析式联立方程组进而计算可得交点坐标． 【详解】（1）解：由题意，根据“左加右减，上加下减”的平移规律， 直线为， 又直线向左平行移动5个单位， 平移后所得的直线的函数解析式为，即 （2）解：由题意，结合（1）联立方程组， 整理得 解得：， 当，代入得， 当，代入得 ∴平移后所得的直线与已知双曲线相交,交点坐标为和 变式5．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移后与反比例函数在第一象限内的图像相交于点C，且的面积为18，求平移后的直线的表达式； (3)在（2）的条件下，点D是坐标平面内一点，当四边形是等腰梯形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，用待定系数法求出反比例函数的解析式和函数图象上点的坐标特征等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）先求出点的坐标，即可求出答案； （2）先设出、的坐标，求出，再根据三角形面积公式求出值，即可求出答案； （3）分两种情况：当时，先求点C点的坐标为：，再设，再根据，求出值，即可求出答案；当时，同理求解即可． 【详解】（1）把代入得：， 解得：， 所以， 把点坐标代入得：， 所以反比例函数关系式是； （2）过点作轴，交线段于点， 设平移后的直线的解析式是， ∵点在直线上，在直线上， ∴可设，则，则 ， ， ， 解得：， ∴平移后的直线的函数关系式是； （3）如图：当时， 直线的解析式是，与反比例函数交于点C， 联立解得：（舍去）， 当时， 点C点的坐标为：， 设， ， 解得或， 或； 当时， ∵，， ∴直线的解析式是， ∵， ∴直线的解析式是， 设点， ∵， ∴， 解得：，（舍去，此时四边形是平行四边形）， ∴； 综上，的坐标为或或． 变式6．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数（）的图像上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数（）的图像于点． (1)当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式； (2)当四边形是正方形时，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，直线： (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）如图所示，过点C作于点D，首先求出，得到，，然后根据等腰直角三角形的性质得到，即可求出点的坐标为；然后利用待定系数法求解即可； （2）首先画出图形，设，根据题意得到是等腰直角三角形，点P和点C关于对称，表示出，然后代入求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点C作于点D ∵当点的横坐标为时， ∴ ∴， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∴点C的横坐标为 ∴点的坐标为； 设所占直线表达式为 ∵， ∴ 解得 ∴ ∵ ∴设直线的表达式为 将代入得， 解得 ∴直线的表达式为； （2）如图所示，当四边形是正方形时， 设 ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∵四边形是正方形 ∴是等腰直角三角形 ∵轴 ∴点P和点C关于对称 ∴ ∵点在反比例函数（）的图像上 ∴ 解得或（舍去） ∴． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数和一次函数交点问题、等腰直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键． 题型6：反比例函数实际应用题 例17．（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、实际问题与反比例函数 【分析】仔细观察图象，得出与的积为定值，从而得出满足反比例函数关系，利用函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象中数据发现： ， 拉力与距离的乘积不变， 拉力的大小与之间满足反比例函数关系，故A正确，不符合题意； 由图象可得，当的长增大时，拉力在减小，故B正确，不符合题意； 由图象知，当时，，当时，，当时，， ， 的长每增大，所施加的拉力不一定减小，故C错误，符合题意； 当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故D正确，不符合题意． 例18．（25-26八年级上·上海·阶段检测）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)加速段：，自变量取值范围 ．衰减段： 解析式为，自变量取值范围 ． (2)两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【知识点】求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数自变量取值范围的确定及方程的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、结合自变量取值范围分析实际问题是解题的关键． （1）加速段设一次函数，代入两点求解析式及定义域；衰减段设反比例函数，代入点求解析式及定义域． （2）另一辆车速度用延续的一次函数，分两段列速度差方程，验证解是否在对应定义域内． 【详解】（1）解：加速段：设解析式为，代入，得 ， 解得，， ∴，自变量取值范围 ． 衰减段：设解析式为，代入得 ， ∴解析式为，自变量取值范围 ． （2）解：由题意可得另一辆车速度函数：（）． 当 时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10． 当 时，有， ， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原分式方程的解． ∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 变式1．（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【答案】(1)100， (2)打6折促销，优惠100元 (3)当时，甲商场更优惠；当时，乙商场更优惠． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型． （1）把代入中即可求得，然后根据始终为0.4可得与m的关系； （2）根据（1）的结论和图象即可得出结果； （3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的的值，再结合图象分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得， 由于始终为0.4，即， ； 故答案为：100，； （2）解：由（1）及优惠率的含义可知：当购买总金额都为元，且在的条件下时 甲家商场采取的促销方案是：打6折促销， 乙家商场采取的促销方案是：优惠100元， 故答案为：打6折促销，优惠100元； （3）解：由（2）题可知， 当时，甲家商场需花元，乙家商场需花元， 当时，解得，即当时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图象易知，当时，乙商场更优惠；当时，甲商场更优惠． 变式2．（22-23八年级上·上海普陀·期中）已知反比例函数（为常数，）． (1)其图像与正比例函数的图像的一个交点为，若点的纵坐标是2，求的值； (2)求正比例函数与反比例函数的另一个交点； (3)已知点和，点在反比例函数的图像上，若三角形的面积为6，求点的坐标． (4)直接写出当正比例函数大于反比例函数时自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)， 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据点的纵坐标是2，代入正比例函数解出y，将x，y代入反比例函数即可得到答案； （2）联立两个函数解方程即可得到答案； （3）设点C的坐标为根据点到坐标轴距离直接代入求解即可得到答案； （4）根据交点直接可得到答案． 【详解】（1）解：当 ，， 将，代入反比例函数得， ， 解得； （2）由（1）得， ， 联立正比例函数与反比例函数可得， ， 解得：或， ∴； （3）解：设点C的坐标为，由题意可得， ， 解得：或， 当时， ， 当时，， ∴点C的坐标为：或； （4）解：由题意可得， ，在及上都是随x增大而减小， 随x增大而增大， ∴，函数大于反比例函数． 【点睛】本题考查反比例函数与正比例函数图像共存问题，解题的关键是先利用一个交点求出反比例函数的解析式，再根据交点判断不等式的解． 变式3．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、含30度角的直角三角形 【分析】（1）已知正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，，可知点的坐标，设反比例函数为，利用待定系数法即可求解； （2）设，设点到距离为，根据已知条件可知，则，，所以，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，则点的纵坐标为，且点在函数， ∴，解方程得，， ∴，设反比例函数解析式为， ∴，解方程得，， ∴反比例函数解析式为． （2）解：设，设点到距离为， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即，解方程得，，， ∴，． 【点睛】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，注意距离要加绝对值．数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键． 变式4．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题： (1)施工过程中关于的函数解析式是______； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ (3)施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到） 【答案】(1) (2)个月 (3) 【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、增长率问题(一元二次方程的应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图象获得所需信息是解题关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用待定系数法求出反比例函数解析式为，当时，，解得，即可求出答案； （3）当时，，当时，，设这个降低的百分率为，根据题意得到一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）当时，设直线解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以施工过程中关于的函数解析式是， （2）当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以施工结束后关于的函数解析式为， 当时，，解得， 答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住； （3）当时，， 当时，， 设这个降低的百分率为，根据题意得， ， 解得或（不合题意，舍去） ∴这个降低的百分率为． 易错点1：反比例函数定义理解不完整（遗漏系数不为0） 核心概念：反比例函数标准形式：（，为常数）。必须同时满足两个条件：自变量次数为、比例系数。 典型例题：若是反比例函数，求的值。 错解：由题意得，解得，。 正解：需同时满足次数与系数条件：，解得（舍去），。所以。 易错点拨：判断反比例函数不能只看指数，必须保证比例系数不为0，忽略系数限制是考试高频丢分点。 易错点2：直接跨象限判断增减性，忽略“同一象限内”前提 核心性质：当，图象在一、三象限，每个象限内随增大而减小；当，图象在二、四象限，每个象限内随增大而增大。跨象限不能使用增减性比较。 典型例题：已知反比例函数，若，则，判断该说法是否正确。 错解：，随增大而增大，说法正确。 正解：说法错误。举反例：当时，；当时，。此时，但，跨象限不满足增减规律。 易错点拨：反比例函数增减性只对同一支、同一象限的点成立，无象限前提不可随意判断。 易错点3：比较函数值大小不分区象限，直接代序比较 典型例题：已知反比例函数，图象上三点、、，比较的大小。 错解：，随增大而减小，由，得。 正解：在第三象限，函数值为负；在第一象限，函数值为正。代入得：，，，故。 易错点拨：比较函数值优先分象限、判正负，正数永远大于负数，同象限再用增减性比较。 易错点4：误用k的几何意义，只算绝对值、忽略符号 核心几何意义：过反比例函数图象上任意一点作坐标轴垂线，所得矩形面积；面积恒正，但的正负由图象象限决定。 典型例题：点在反比例函数图象上，所作坐标轴矩形面积为4，图象分布在二、四象限，求。 错解：，得。 正解：由面积得，即；图象在二、四象限，则，故。 易错点拨：面积等于，不能直接等同于，必须结合图象位置确定正负。 易错点5：实际应用题型遗漏自变量取值范围 核心要求：反比例函数实际应用中，自变量代表长度、面积、速度、时间等物理量，必须满足取值大于0。 典型例题：矩形面积为20㎡，设长为，宽为，求关于的函数解析式。 错解：。 正解：由题意得。 易错点拨：实际应用题写函数解析式，必须附带自变量取值范围，缺少范围会扣分。 易错点6：概念混淆，误将变式函数当作反比例函数 核心定义：严格反比例函数只有形式，分母只能是单一自变量，不含加减、不含高次。 典型例题：下列属于反比例函数的是（ ） A. ; B. ; C. ; D. 错解：选A 正解：选B。A分母为多项式、C为正比例函数、D自变量为-2次，均不是反比例函数。 易错点拨：只有分母是单独、次数为-1、系数非零，才是标准反比例函数。 易错点7：一次函数与反比例函数联立漏解，只求一个交点 核心规律：一次函数与反比例函数联立得到一元二次方程，一般有两个实数根，对应两个交点，极易漏解。 典型例题：求与的交点坐标。 错解：联立得，整理得，解得，交点为。 正解：联立整理得，因式分解得，解得。代入得两个交点：、。 易错点拨：一元二次方程有两个根，函数交点题型务必求出全部解，防止漏点丢分。 一、反比例函数判定（三种等价式） 核心技巧：反比例函数标准形式为 ，包含两种等价变形：、；定义域、值域均满足，分母只能是单独的x，不能是含x的代数式。 配套例题：下列函数中，属于反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 详细解答：A为正比例函数，C为二次函数，D分母为，不符合反比例函数定义；只有B满足反比例函数标准形式。答案：B 二、待定系数法求反比例函数解析式 核心技巧：遵循“设→代→求→写”四步解题法。先设反比例函数解析式 ，再将函数图像上已知点的坐标代入解析式，求出常数k的值，最后回代写出完整解析式。 配套例题：已知一个反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的解析式。 详细解答：设反比例函数解析式为，将点代入解析式得：，解得。因此该反比例函数解析式为。 三、反比例函数图像与性质（象限、增减性） 核心技巧：函数图像为双曲线，性质由比例系数k的符号决定，增减性仅在单个象限内成立，不能跨象限讨论。 ：图像分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； ：图像分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 配套例题：已知反比例函数的图像位于第二、四象限，求m的取值范围。 详细解答：由图像在二、四象限可知，比例系数小于0，即，解得。 四、反比例函数函数值大小比较 核心技巧：先判断各点所在象限，再分情况比较：①两点在同一象限，直接利用函数增减性比较；②两点在不同象限，第一象限函数值恒为正，第二、四、三象限函数值恒为负，正数大于负数。 配套例题：已知点、、都在反比例函数的图像上，比较的大小。 详细解答：由可知，函数图像在一、三象限，且每个象限内y随x增大而减小。点A、B在第三象限，函数值为负，且，故；点C在第一象限，函数值。综上大小关系：。 五、反比例函数k的几何意义（高频考点） 核心技巧：若点在反比例函数图像上，过该点分别作x轴、y轴的垂线： 垂线与坐标轴围成的矩形面积：； 垂线、坐标轴、原点连线围成的直角三角形面积：。 配套例题：点P是反比例函数图像上一点，过点P作轴于点M，连接OP，已知，求k的值。 详细解答：根据k的几何意义可得，解得。若图像在一、三象限，；若图像在二、四象限，。 六、反比例函数的对称性 核心技巧：反比例函数双曲线是中心对称、轴对称图形，核心对称规律：若点在图像上，则点（关于原点对称）、（关于直线对称）、（关于直线对称）均在函数图像上。 配套例题：已知反比例函数的图像经过点，求该点关于原点的对称点坐标。 详细解答：根据原点对称规律，横、纵坐标均互为相反数，可得对称点坐标为。 七、反比例函数与一次函数综合（交点问题） 核心技巧：两个函数图像的交点坐标，同时满足两个函数解析式，解题核心为联立方程组，通过解方程求出交点横、纵坐标，是解决图像交点、面积、取值范围问题的基础。 配套例题：求一次函数与反比例函数的图像交点坐标。 详细解答：联立两个函数解析式得方程组：，化简得，整理为整式方程，因式分解得，解得。分别代入，得。因此交点坐标为。 八、反比例函数实际应用建模 核心技巧：实际问题中，若两个变量的乘积为固定定值，则两个变量成反比例关系，可设解析式；实际应用中变量均为正数，需注明自变量取值范围。 配套例题：已知固定路程为120km，行驶速度v与行驶时间t成反比例关系，求v关于t的函数解析式。 详细解答：根据路程公式，可得，变形得函数解析式为。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $