专题4 区间与一元一次不等式（讲义）-2027年广西（对口考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广西壮族自治区对口考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广西壮族自治区对口考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 区间与一元一次不等式 【复习目标】 1. 掌握区间的概念与表示方法，理解区间与不等式解集、数轴表示之间的对应关系，能熟练进行有限区间、无限区间的规范书写。 2. 掌握一元一次不等式（组）的解法，能灵活运用移项、系数化1等步骤求解，并能将解集用区间形式表示。 3. 能正确在数轴上表示区间的范围，理解端点是否包含与括号“（ ）”“[ ]”的对应关系，能准确进行区间与集合的相互转化。 【考点1】区间的概念与表示 1. 区间的定义 在数学中，区间是指介于某两个实数之间的全体实数所组成的集合。 2. 有限区间 开区间：不等式表示 a < x < b，区间表示 (a, b)，数轴两端空心。 闭区间：不等式表示 a ≤ x ≤ b，区间表示 [a, b]，数轴两端实心。 左开右闭区间：不等式表示 a < x ≤ b，区间表示 (a, b]，数轴左空心右实心。 左闭右开区间：不等式表示 a ≤ x < b，区间表示 [a, b)，数轴左实心右空心。 3.无限区间 名称 不等式表示 区间表示 大于a的所有实数 x > a (a, +∞) 大于或等于a的所有实数 x ≥ a [a, +∞) 小于a的所有实数 x < a (-∞, a) 小于或等于a的所有实数 x ≤ a (-∞, a] 全体实数 x∈R (-∞, +∞) x > a → (a, +∞)；x ≥ a → [a, +∞)；x < a → (-∞, a)；x ≤ a → (-∞, a]；x∈R → (-∞, +∞)。 4.区间的注意事项 （1）区间是一种表示集合的方法。 （2）区间左端点的数值一定小于右端点的数值（有限区间）。 （3）无穷符号“∞”只与小括号搭配使用，即“+∞”和“-∞”处只能是小括号，不能使用中括号。 （4）区间表示中，括号内的两个数之间用逗号隔开。 【即时训练】 1. 用区间表示下列集合： （1）{x | -2 < x < 5} = _______ （2）{x | 0 ≤ x ≤ 3} = _______ （3）{x | -1 < x ≤ 4} = _______ （4）{x | x > 2} = _______ 答案为：（1）(-2, 5)　　（2）[0, 3]　　（3）(-1, 4]　　（4）(2, +∞) 【解析】：根据不等式符号选择括号类型：严格不等号“<”“>”用小括号，带等号“≤”“≥”用中括号。无限区间一端用无穷符号，且只能用小括号。 2. 用集合的描述法表示下列区间： （1）[1, 6] = _______ （2）(-3, 4) = _______ （3）[-2, +∞) = _______ （4）(-∞, 0) = _______ 答案为：（1）{x | 1 ≤ x ≤ 6}　　（2）{x | -3 < x < 4}　　（3）{x | x ≥ -2}　　（4）{x | x < 0} 【解析】：区间转集合的关键——中括号“[ ]”对应“≤”或“≥”，小括号“( )”对应“<”或“>”。无限区间一侧无界限，只需写一个不等式。 3.  在数轴上表示区间 [-1, 3)，并指出端点处用空心点还是实心点。 答案为：在 -1 处画实心点，在 3 处画空心点 【解析】：数轴表示：从左端点 -1 到右端点 3，在 -1 处画实心点（因为中括号，包含端点），在 3 处画空心点（因为小括号，不包含端点），两点之间用线段连接。 4. 判断正误：区间 (2, 5] 表示 2 < x < 5。（ ） 答案为：✗ 错误。 【解析】：左小括号表示不包含2，右中括号表示包含5，正确的不等式应为 2 < x ≤ 5。 5. 已知集合 A = (-2, 4]，B = [0, 6)，求 A∩B 和 A∪B，并用区间表示。 答案为：A∩B = [0, 4]，A∪B = (-2, 6)。 【解析】：画数轴分析。 A：(-2, 4]（-2到4，含4不含-2） B：[0, 6)（0到6，含0不含6） 交集取重叠部分：两个范围重叠在0到4之间。0∈B 且 0∈A（0 > -2），4∈A 且 4∈B（4 < 6），两端都包含，所以 A∩B = [0, 4]。 并集取覆盖范围：从最左-2（不含）到最右6（不含），覆盖所有点，所以 A∪B = (-2, 6)。 6. 已知全集 U = R，集合 A = [1, 5]，求 ∁ᵤA（用区间表示）。 答案为：∁ᵤA = (-∞, 1) ∪ (5, +∞)。 【解析】：补集是全集U中不属于A的元素组成的集合。A = [1, 5] 包含1到5之间的所有实数（含端点）。不属于A的实数即小于1的所有实数加上大于5的所有实数。注意：1和5属于A，所以不在补集中，端点用小括号。 答案应写为 (-∞, 1) ∪ (5, +∞)，“∪”表示并集。 【考点2】一元一次不等式 1.一元一次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，称为一元一次不等式。 2. 不等式的基本性质回顾 （1）若 a > b，则 a + c  >  b + c。（可加性，两边同时加上同一个数，不等号方向不变） （2）若 a > b，c > 0，则 ac  >  bc。（两边乘以同一个正数，不等号方向不变） （3）若 a > b，c < 0，则 ac  <  bc。（两边乘以同一个负数，不等号方向改变） 3. 一元一次不等式的解法步骤 解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似： 第①步：去分母（如果有分母，两边同乘各分母的最小公倍数。注意：乘的是正数时不等号方向不变）； 第②步：去括号（如果有括号，按照去括号法则展开）； 第③步：移项（将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边） 第④步：合并同类项（化为 ax > b 或 ax < b 等形式） 第⑤步：系数化为1（两边同除以未知数的系数）。 特别注意：在第⑤步中，若除以的系数为负数，不等号方向要改变。 4. 解集的表示方法 （1）集合法　（2）区间法　（3）数轴法 【即时训练】 7.  解下列一元一次不等式，并用区间表示解集： （1）2x + 3 > 7 （2）5 – 3x ≥ 2 答案为：（1）解集为 (2, +∞)。（2）解集为 (-∞, 1]。 【解析】：（1）2x + 3 > 7 → 2x > 4 → x > 2，用区间表示为 (2, +∞)。 （2）5 – 3x ≥ 2 → -3x ≥ -3 → 两边同除以 -3（负数，不等号方向改变）→ x ≤ 1。用区间表示为 (-∞, 1]。 8.  解不等式 3(x – 1) < 5x + 7，并用区间表示解集。 答案为：解集为 (-5, +∞)。 【解析】：去括号：3x – 3 < 5x + 7 移项（将含x项移到左边，常数项移到右边）：3x – 5x < 7 3 合并同类项：-2x < 10 系数化为1：两边同除以 -2（负数，不等号方向改变）→ x > -5 用区间表示为 (-5, +∞)。 9.  解不等式 ≥ ，并用区间表示解集。 答案为：解集为 (-∞, 5]。 【解析】：去分母（两边同乘6，正数方向不变）：3(x+1) ≥ 2(2x-1) 去括号：3x 3 ≥ 4x – 2移项：3x – 4x ≥ -2 – 3合并同类项：-x ≥ -5，系数化为1（同除以-1，负数，方向改变）：x ≤ 5。用区间表示为 (-∞, 5]。 10.  不等式 2x – 1 ≤ 3 的正整数解为_______。 答案为：正整数解为 1, 2。 【解析】：解不等式 2x – 1 ≤ 3 → 2x ≤ 4 → x ≤ 2。 在 x ≤ 2 的正整数范围中，正整数有1和2。注意：0不是正整数，3 > 2不满足 x ≤ 2。 11.  已知不等式 (a – 1)x > 2 的解集为 x < ，则 a 的取值范围是_______。 答案为：a < 1。 【解析】：原不等式为 (a – 1)x > 2。要得到解集 x < ，两边需除以 (a – 1)。注意解集中不等号方向由“>”变成了“<”，说明除以的是负数。因此 a – 1 < 0，即 a < 1。 12. 解不等式 - ≥ ，并将解集用区间表示。 答案为： [2, +∞) 【解析】：原不等式两边乘以4（公分母）： (3x-2) - 2(x-1) ≥ 2 3x-2 -2x + 2 ≥ 2 x ≥ 2 13.  某商店以每件5元的进价购进一批商品，售价为每件10元，每天可售出60件。经调查发现，售价每降低1元，每天可多售出20件。若想每天的利润不低于300元，则每件售价应定在什么范围内？（列不等式求解，并用区间表示） 答案为：售价应定在[8, 10] 范围内。 【解析】：1. 设每件售价为 x 元。降价金额为 (10 - x) 元，多售出数量为 20(10 - x) 件。 每日总销量 = 60 + 20(10 - x) = 260 - 20x (件)。 每件利润 = x - 5 (元)。 每日总利润 L = (x - 5)(260 - 20x)。 2. 列不等式：L ≥ 300 (x - 5)(260 - 20x) ≥ 300 展开：260x - 20x² - 1300 + 100x ≥ 300 -20x² + 360x - 1300 ≥ 300 移项：-20x² + 360x - 1600 ≥ 0 两边同除以 -20（注意变号）：x² - 18x + 80 ≤ 0 3. 解二次不等式：因式分解为 (x - 8)(x - 10) ≤ 0 解得 8 ≤ x ≤ 10。 故售价应定在每件8元至10元之间（含两端）。 14.  解不等式组，并用区间表示解集： 答案为：解集为 (2, 5]。 【解析】：解第一个不等式：2x – 1 > 3 → 2x > 4 → x > 2，解集 A = (2, +∞)。 解第二个不等式：x 2 ≤ 7 → x ≤ 5，解集 B = (-∞, 5]。 不等式组的解集为 A∩B = (2, 5]，即 2 < x ≤ 5。 15. 不等式组  的整数解为 。 答案为：整数解为 -1, 0, 1, 2。 【解析】：解第一个不等式：3x2 ≥ -1 → 3x ≥ -3 → x ≥ -1，解集 A = [-1, +∞)。 解第二个不等式：2x – 5 < 1 → 2x < 6 → x < 3，解集 B = (-∞, 3)。 不等式组的解集为 A∩B = [-1, 3)，即 -1 ≤ x < 3。 在此范围内的整数有：-1, 0, 1, 2。 1.（2025年广西壮族自治区对口考试第10题）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求解. 【详解】设第三边长为，由题意得，，即，因为第三边为整数，所以. 则该三角形的周长为. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广西壮族自治区对口考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广西壮族自治区对口考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 区间与一元一次不等式 【复习目标】 1. 掌握区间的概念与表示方法，理解区间与不等式解集、数轴表示之间的对应关系，能熟练进行有限区间、无限区间的规范书写。 2. 掌握一元一次不等式（组）的解法，能灵活运用移项、系数化1等步骤求解，并能将解集用区间形式表示。 3. 能正确在数轴上表示区间的范围，理解端点是否包含与括号“（ ）”“[ ]”的对应关系，能准确进行区间与集合的相互转化。 【考点1】区间的概念与表示 1. 区间的定义 在数学中，区间是指介于某两个实数之间的_______ 所组成的集合。 2. 有限区间 设a，b∈R，且a < b。 名称 不等式表示 区间表示 数轴表示要点 开区间 a < x < b (a, b) 两端空心 闭区间 a ≤ x ≤ b [a, b] 两端_______ 左开右闭区间 a < x ≤ b (a, b] 左空心右实心 左闭右开区间 a ≤ x < b [a, b) 左实心右空心 3. 无限区间 名称 不等式表示 区间表示 大于a的所有实数 x > a (a, +∞) 大于或等于a的所有实数 x ≥ a [a, +∞) 小于a的所有实数 x < a (-∞, a) 小于或等于a的所有实数 x ≤ a (-∞, a] 全体实数 x∈R (-∞, +∞) 4. 区间的注意事项 （1）区间是一种表示_______的方法。 （2）区间左端点的数值一定_______右端点的数值（有限区间）。 （3）无穷符号“∞”只与_______括号搭配使用，即“+∞”和“-∞”处只能是_______括号，不能使用_______括号。 （4）区间表示中，括号内的两个数之间用_______隔开。 【即时训练】 1.  用区间表示下列集合： （1）{x | -2 < x < 5} = _______ （2）{x | 0 ≤ x ≤ 3} = _______ （3）{x | -1 < x ≤ 4} = _______ （4）{x | x > 2} = _______ 2.  用集合的描述法表示下列区间： （1）[1, 6] = _______ （2）(-3, 4) = _______ （3）[-2, +∞) = _______ （4）(-∞, 0) = _______ 3.  在数轴上表示区间 [-1, 3)，并指出端点处用空心点还是实心点。 4.  判断正误： （1）区间 (2, 5] 表示 2 < x < 5。（ ） （2）区间 (-∞, 3] 可以与 +∞ 搭配使用中括号。（ ） 5. 已知集合 A = (-2, 4]，B = [0, 6)，求 A∩B 和 A∪B，并用区间表示。 6. 已知全集 U = R，集合 A = [1, 5]，求 ∁ᵤA（用区间表示）。 【考点2】一元一次不等式 1. 一元一次不等式的定义 只含有_______个未知数，并且未知数的最高次数是_______的不等式，称为一元一次不等式。其一般形式为 ax + b > 0（a≠0）或 ax + b < 0（a≠0）等。 2. 不等式的基本性质回顾 （1）若 a > b，则 a + c _______ b + c。 （2）若 a > b，c > 0，则 ac _______ bc。 （3）若 a > b，c < 0，则 ac _______ bc。 3. 一元一次不等式的解法步骤 解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似： 第①步：去分母（如果有分母，两边同乘各分母的最小公倍数。注意：乘的是正数时不等号方向不变）； 第②步：去括号（如果有括号，按照去括号法则展开）； 第③步：_______（将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边）； 第④步： （化为 ax > b 或 ax < b 等形式）； 第⑤步：系数化为1（两边同除以未知数的_______）。 特别注意：在第⑤步中，若除以的系数为_______数，不等号方向要_______。 4. 解集的表示方法 不等式的解集通常有三种表示方法： （1）_______法：如 {x | x > 3} （2）_______法：如 (3, +∞) （3）_______法：在数轴上标出解的范围 【即时训练】 7.  解下列一元一次不等式，并用区间表示解集： （1）2x + 3 > 7 （2）5 – 3x ≥ 2 8.  解不等式 3(x – 1) < 5x + 7，并用区间表示解集。 9.  解不等式 ≥ ，并用区间表示解集。 10  不等式 2x – 1 ≤ 3 的正整数解为_______。 11. 已知不等式 (a – 1)x > 2 的解集为 x < ，则 a 的取值范围是_______。 12.  解不等式 - ≥ ，并将解集用区间表示。 13.  某商店以每件5元的进价购进一批商品，售价为每件10元，每天可售出60件。经调查发现，售价每降低1元，每天可多售出20件。若想每天的利润不低于300元，则每件售价应定在什么范围内？（列不等式求解，并用区间表示） 14.  解不等式组，并用区间表示解集： 15. 不等式组 的整数解为 。 1.（2025年广西壮族自治区对口考试第10题）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $