专题3 不等式的基本性质（讲义）-2027年广西（对口考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广西壮族自治区对口考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义. 专项训练. 综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练. 综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广西壮族自治区对口考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 不等式的基本性质 【复习目标】 1. 掌握作差比较法，会比较两个实数（代数式）的大小，能准确判断实数大小关系。 2. 理解不等式的基本性质，掌握不等式的传递性. 加法单调性和乘法单调性，能运用基本性质进行简单的推理和证明。 3. 初步掌握不等式性质的应用，能运用基本性质判断不等式变形的正确性，为后续学习一元二次不等式和含绝对值不等式打下基础。 【考点1】实数的大小——作差比较法 1. 实数与数轴 实数与数轴上的点之间是_______ 对应的关系。在数轴上，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数_______。 2. 实数大小的等价条件 对于任意两个实数a和b： a > b ⇔ a – b > 0 a = b ⇔ a – b _______ 0 a < b ⇔ a – b _______ 0 由此可见，比较两个数（或式）的大小，只需考察它们的_______的符号即可。这种方法叫做 。 3. 作差比较法的一般步骤 第一步：_______——计算两数（式）的差。 第二步：_______——将差式化为积的形式或判断符号。 第三步：_______——根据差的符号判断两数（式）的大小。 【即时训练】 1.  比较下列各组数的大小（用“＞”或“＜”填空）： （1）3 _______ 7 （2）-1 _______ -4 （3）-5 _______ 0 2.  用“＞”或“＜”填空： （1）若a＞0，b＜0，则a _______ b （2）若a＜b＜0，则|a| _______ |b| 3.  已知x为实数，比较x² 与2x－2的大小。 4.  比较(x + 1)(x + 3)与(x + 2)²的大小。 5.  设a＞b＞0，比较a²与b²的大小。 【考点2】不等式的基本性质 1.性质1（传递性）：如果a＞b，且b＞c，那么a_______c。 2. 性质2（加法性质/同向可加性）：如果a＞b，那么a + c_______b + c。 即不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向_______。 进而推论：若a＞b，且c＞d，则a + c_______b + d（同向不等式可相加）。 3.性质3（乘法性质/可乘性）： 如果a＞b，且c＞0，那么 ac _______ bc。 如果a＞b，且c＜0，那么 ac _______ bc。 即不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号的方向_______；同时乘以同一个负 常用推论： （1）若a＞b，则-a_______ -b（即不等式两边同乘以-1，方向反转）。 （2）若a＞b，且ab > 0，则 _______  （同号时倒数反向）。 【即时训练】 6.  用符号“＞”或“＜”填空： （1）若x＞y，则x + 3 _______ y + 3 （2）若x＞y，则x – 5 _______ y – 5 7.  已知a＜b，用符号“＞”或“＜”填空： （1）3a _______ 3b （2）–2a _______ –2b （3） _______ 8.  已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a² ＞ b² B. ＞ C. a + 1 ＞ b + 1 D. a|c| ＞ b|c| 9.  已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是（ ） A. a² ＜ b² B. ＞ C. a + b ＞ 0 D. –a ＜ –b 10.  判断下列命题是否正确（对的画“√”，错的画“×”）： （1）若a＞b，则ac² ＞ bc²。（ ） （2）若a＞b，且c＞d，则a – c ＞ b – d。（ ） （3）若ac² ＞ bc²，则a＞b。（ ） 11.  已知a＞b，c＜d，则a – c _______ b – d（填“＞”“＜”或“不能确定”）。 12.  证明：若a＞b＞0，则a² ＞ b²。 13.  已知a＞b，用不等号填空： （1）a – b _______ 0 （2）3 – a _______ 3 – b 14.  已知a＜b，比较1 – 2a与1 – 2b的大小。 15. 已知 a, b ∈ R，则 “a > b” 的一个必要不充分条件是（ ） A. a² > b² B. a + 1 > b C. a - 1 > b D. a > b + 1 16.  已知a＜b＜c，则以下不等式一定成立的是（ ） A. ab ＜ bc B. |a| ＜ |c| C. a – b ＜ c – b D. a + b ＜ b + c 17.  证明：a² – ab + b² ≥ 0，并指出等号成立的条件。 18.  用“＞”或“＜”填空： （1）若x＞2，则 2x – 4 _______ 0 （2）若x＜1，则 3 – 3x _______ 0 19.  已知a, b ∈ R，则“a > b”是“a³ > b³”的_______条件。 20.  设2 < a < 5，3 < b < 8，求 a + b 的取值范围，并求 a – b 的取值范围。 1.（2026年广西壮族自治区对口考试第12题）若，则 ______ 0（填“ ”“ ”或“ ”）. 2.（2025年广西壮族自治区对口考试第21题）下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广西壮族自治区对口考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义. 专项训练. 综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练. 综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广西壮族自治区对口考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 不等式的基本性质 【复习目标】 1. 掌握作差比较法，会比较两个实数（代数式）的大小，能准确判断实数大小关系。 2. 理解不等式的基本性质，掌握不等式的传递性. 加法单调性和乘法单调性，能运用基本性质进行简单的推理和证明。 3. 初步掌握不等式性质的应用，能运用基本性质判断不等式变形的正确性，为后续学习一元二次不等式和含绝对值不等式打下基础。 【考点1】实数的大小——作差比较法 1. 实数与数轴上的点之间是一一对应的关系。 在数轴上，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大。 2. 实数大小的等价条件 a = b ⇔ a – b  =  0 a < b ⇔ a – b  <  0 由此可见，比较两个数（或式）的大小，只需考察它们的差的符号即可。这种方法叫做作差比较法。 3. 作差比较法的一般步骤 第一步：作差——计算两数（式）的差。 第二步：变形——将差式化为积的形式或判断符号。 第三步：定号——根据差的符号判断两数（式）的大小。 【即时训练】 1. 比较下列各组数的大小（用“＞”或“＜”填空）： （1）3 _______ 7 （2）-1 _______ -4 （3）-5 _______ 0 答案为：（1）＜ （2） ＞（3）＜ 【解析】：（1）3 < 7，数轴上3在7的左边 （2）-1 > -4，数轴上-1在-4的右边，“负得越多越小” （3）负数小于零 规律：两个正数比较，绝对值大的大；两个负数比较，绝对值大的反而小；正数大于一切负数。 2. 用“＞”或“＜”填空： （1）若a＞0，b＜0，则a _______ b （2）若a＜b＜0，则|a| _______ |b| 答案为：（1）＞（2） ＞ 【解析】：（1）若a＞0，b＜0，则a ＞ b（正数大于负数） （2）若a＜b＜0，则|a| ＞ |b|（两个负数比较，绝对值大的反而小。因为a＜b，即a更小，所以|a|更大） 3. 已知x为实数，比较x² 与2x－2的大小。 答案为：x² > 2x – 2。 【解析】：用作差比较法。 作差：x² – (2x – 2) = x² – 2x + 2 = (x – 1)² + 1。 变形：无论x取何值，(x – 1)² ≥ 0恒成立，∴ (x – 1)² + 1 ≥ 1 > 0。 定号：差恒为正，故 x² – (2x – 2) > 0，即 x² > 2x – 2 恒成立（等号永不成立）。 4. 比较(x + 1)(x + 3)与(x + 2)²的大小。 答案为：(x + 1)(x + 3) < (x + 2)²。 【解析】：作差。 (x + 1)(x + 3) – (x + 2)² 展开：(x² + 4x + 3) – (x² + 4x + 4) = x² + 4x + 3 – x² – 4x – 4 = –1。 差为–1 < 0恒成立，∴ (x + 1)(x + 3) – (x + 2)² < 0，即 (x + 1)(x + 3) < (x + 2)²（恒成立，无论x取何值）。 5. 设a＞b＞0，比较a²与b²的大小。 答案为：a² > b²。 解析】：作差。a² – b² = (a + b)(a – b)。 因为a＞b＞0，故a + b＞0，a – b＞0，两正数相乘仍为正数。 所以 a² – b² > 0，即 a² > b²。 规律提炼：两个正数比较，平方后大小关系不变；两个负数比较，平方后大小关系反转。 【考点2】不等式的基本性质 1. 性质1（传递性）：如果a＞b，且b＞c，那么a ＞ c。 2. 性质2（加法性质/同向可加性）：如果a＞b，那么a + c  ＞  b + c。 即不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。 进而推论：若a＞b，且c＞d，则a + c  ＞  b + d（同向不等式可相加）。 3. 性质3（乘法性质/可乘性）： 如果a＞b，且c＞0，那么 ac ＞ bc。 如果a＞b，且c＜0，那么 ac ＜ bc。 即不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不变；同时乘以同一个负数，不等号的方向改变。 常用推论： （1）若a＞b，则-a ＜ -b。 （2）若a＞b，且ab > 0，则 ＜ （即同号取倒数时，不等号方向改变）。 【即时训练】 6. 用符号“＞”或“＜”填空： （1）若x＞y，则x + 3 _______ y + 3 （2）若x＞y，则x – 5 _______ y – 5 答案为：（1）＞（2）＞ 【解析】：（1）由性质2（加法性质），不等式两边同加3，不等号方向不变。 （2）由性质2，不等式两边同减5，即同加(–5)，方向不变。 7 已知a＜b，用符号“＞”或“＜”填空： （1）3a _______ 3b （2）–2a _______ –2b （3） _______ 答案为：（1） ＜ （2）＞（3）＜ 【解析】：（1）两边同乘以正数3，方向不变。 （2）两边同乘以负数–2，方向改变。 （3）两边同乘以正数，方向不变。 规律口诀：“正乘不变，负乘反转”。 8. 已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a² ＞ b² B. ＞ C. a + 1 ＞ b + 1 D. a|c| ＞ b|c| 答案为： C。 【解析】：：A：不一定成立。若a = 1, b = -2，则a² = 1 ＜ 4 = b²，不成立。 B：缺少c的正负判断。若c＜0，则 ＜ ，方向反转。 C：一定成立。由性质2，两边同加1（正数），方向不变。 D：当c = 0时，a|c| = b|c| = 0，不成立。 9. 已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是（ ） A. a² ＜ b² B. ＞ C. a + b ＞ 0 D. –a ＜ –b 答案为： B。 【解析】：已知a和b均为负数。 A：a² ＞ b²。如：a = -3, b = -2，(-3)² = 9 ＞ (-2)² = 4。因绝对值|a|＞|b|，平方后大的反而大。A错误。 B： ＞ 。a,b同负且a＜b＜0，故 = –（a = -3）＞ –（b = -2）。同负取倒数方向反转，B正确。 C：a + b ＜ 0（两负数之和仍为负），C错误。 D：–a ＞ –b（两边同乘–1，方向反转）。如-(-3)=3 ＞ -(-2)=2。D错误。 10. 判断下列命题是否正确（对的画“√”，错的画“×”）： （1）若a＞b，则ac² ＞ bc²。（ ） （2）若a＞b，且c＞d，则a – c ＞ b – d。（ ） （3）若ac² ＞ bc²，则a＞b。（ ） 答案为：（1）×（2）×（3）✓ 【解析】：（1）考虑c = 0时，ac² = bc² = 0，不成立。 （2）同向不等式不能相减。【反例】a = 5, b = 3, c = 4, d = 1，得5 – 4 = 1，3 – 1 = 2，并不成立。 （3）c² ≥ 0恒成立（平方非负）。若ac² ＞ bc²，则c² ＞ 0（否则不可能严格大于），同除以c²（正数），方向不变，得a＞b。 11. 已知a＞b，c＜d，则a – c _______ b – d（填“＞”“＜”或“不能确定”）。 答案为：＞。 【解析】：已知c ＜ d。两边同乘以–1得：–c ＞ –d（负乘反转）。 已知a ＞ b，且–c ＞ –d。同向不等式可相加（性质2的推论）： a + (–c) ＞ b + (–d)，即 a – c ＞ b – d。 12. 证明：若a＞b＞0，则a² ＞ b²。 答案为：证法一（作差法）：a² – b² = (a + b)(a – b)。由a＞b＞0，得a + b＞0, a – b＞0，所以(a + b)(a – b)＞0，即a² ＞ b²。 13. 已知a＞b，用不等号填空： （1）a – b _______ 0 （2）3 – a _______ 3 – b 答案为：（1）＞（2）＜ 【解析】：（1）a>b，两边同减b：a – b ＞ b – b = 0。 （2）由a＞b，两边同乘–1：–a ＜ –b。再两边同加3：3 – a ＜ 3 – b。 14. 已知a＜b，比较1 – 2a与1 – 2b的大小。 答案为：1 – 2a ＞ 1 – 2b。 【解析】：由a ＜ b，两边同乘以–2（负数，方向反转）：–2a ＞ –2b。 再两边同加1：1 – 2a ＞ 1 – 2b。 15. 已知 a, b ∈ R，则 “a > b” 的一个必要不充分条件是（ ） A. a² > b² B. a + 1 > b C. a - 1 > b D. a > b + 1 答案为：B 【解析】：由 a > b 可得 a + 1 > b，故必要性成立。 但由 a + 1 > b 不能推出 a > b（例如 a=1, b=1.5 时，1+1>1.5 成立，但 1>1.5 不成立），所以是必要不充分条件。 A 项既不充分也不必要；C 项是充分不必要条件；D 项是充分不必要条件。 因此正确选项为 B。 16. 已知a＜b＜c，则以下不等式一定成立的是（ ） A. ab ＜ bc B. |a| ＜ |c| C. a – b ＜ c – b D. a + b ＜ c 答案为： C 【解析】：A：不一定。若a为负. b为负. c为负，则ab, bc均正，需比绝对值。不能保证一定。 B：不一定。例如a = -5, c = 1，|a| = 5 ＞ 1 = |c|。 C：一定成立。由a＜c（传递性：a＜b＜c ⇒ a＜c），两边同减b，得a – b ＜ c – b。 D：不一定。取a=1，b=3，c=4时左右两侧相等。 17. 证明：a² – ab + b² ≥ 0，并指出等号成立的条件。 答案为：证明：a² – ab + b² = a² – ab + ( ) + () = (a – )² + ()b² ≥ 0。当a – = 0 且 b = 0，即 a = b = 0 时，等号成立。 18. 用“＞”或“＜”填空： （1）若x＞2，则 2x – 4 _______ 0 （2）若x＜1，则 3 – 3x _______ 0 答案为：（1）＞（2）＞ 【解析】：（1）＞。x＞2 ⇒ 2x＞4 ⇒ 2x – 4 ＞ 0。 （2）＞。x＜1 ⇒ -3x＞-3 ⇒ 3 – 3x ＞ 0。 19. 已知a, b ∈ R，则“a > b”是“a³ > b³”的_______条件。 答案为：充要条件。 【解析】：函数 f(x) = x³ 在R上严格单调增。因此 a > b ⇔ a³ > b³。两边等价，故为充要条件。 20. 设2 < a < 5，3 < b < 8，求 a + b 的取值范围，并求 a – b 的取值范围。 答案为：a + b的取值范围为 (5, 13)；a – b的取值范围为 (–6, 2)。 【解析】：（1）求a + b。两不等式为同向，可直接相加： 2 < a < 5，3 < b < 8 ⇒ 2 + 3 < a + b < 5 + 8，即 5 < a + b < 13。 （2）求a – b。先转化b的范围：由3 < b < 8 ⇒ –8 < –b < –3（乘以–1，方向反转）。再与a的范围相加： 2 < a < 5，–8 < –b < –3 ⇒ 2 + (–8) < a – b < 5 + (–3)，即 –6 < a – b < 2。 1.（2026年广西壮族自治区对口考试第12题）若，则 ______ 0（填“ ”“ ”或“ ”）. 【答案】> 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质即可解答. 【详解】因为不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变， 由，两边加6得，显然. 故答案为：>. 2.（2025年广西壮族自治区对口考试第21题）下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合不等式的性质，利用作差法，即可判断求解. 【详解】若，则当时，，故选项A错误； 若，当，或且时，，故选项B错误； 若，又，所以一定成立，故选项C正确； 若，则，且，所以，即， 故选项D正确； 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $