专题2 充要条件（讲义）-2027年广西（对口考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广西壮族自治区对口考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广西壮族自治区对口考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充要条件 【复习目标】 1、理解命题的基本概念，能够识别简单命题的条件（题设）和结论，会判断命题的真假。 2、掌握充分条件、必要条件的概念，能够用符号“⇒”正确表示推出关系，准确判断条件与结论之间的充分性或必要性。 3、理解充要条件的概念，能够对具体的条件与结论关系做出正确判断（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件），解决简单的逻辑推理问题。 【考点1】命题 1. 命题的定义 可以判断真假的陈述句叫做命题。命题常用小写字母p, q, r, s等表示。 2. 命题的分类 （1）正确的命题称为真命题； （2）错误的命题称为假命题。 3. 命题的结构 许多命题都可以写成“ 如果p，那么q ”的形式。其中“如果”后接的部分p是题设（也称条件），“那么”后接的部分q是结论。 【即时训练】 1. 判断下列语句中，哪些是命题？如果是命题，判断其真假。 （1）2 + 3 = 7 （2）x > 5 （3）对顶角相等 （4）请开门 答案为：（1）是命题，假命题。（2）不是命题。 （3）是命题，真命题。 （4）不是命题。 【解析】：（1）2 + 3 = 5 ≠ 7，所以为假命题。 （2）含有变量x，无法判断真假。 （3）对顶角相等的几何性质正确。 （4）祈使句，不是陈述句，无法判断真假。 2. 命题“如果两条直线平行，那么同位角相等”中，条件是_______________，结论是_______________，该命题是_______命题（填“真”或“假”）。 答案为：条件是两条直线平行，结论是同位角相等，该命题是真命题。 【解析】：由平行线的性质可知，“两直线平行，同位角相等”是正确的命题。 3. 判断下列命题的真假： （1）若a² = b²，则a = b。（ ） （2）若三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形。（ ） 答案为：（1）假命题。（2）真命题。 【解析】：（1）反例：a = 2，b = -2时，a² = b² = 4，但a ≠ b。 （2）等腰三角形的判定定理——“等角对等边”。 【考点2】充分条件与必要条件 1. 推出关系 一般地，如果“若p，则q”是真命题，即由条件p成立可以推出结论q成立，则记作p ⇒ q，读作“ p推出q ”。 如果“若p，则q”是假命题，即由条件p成立不能推出结论q成立，则记作p ⇏ q，读作“ p推不出q ”。 2. 充分条件 如果p ⇒ q成立，那么p是q的充分条件。 也就是说，为了使结论q成立，具备条件p就足够了（所以p是“充分的”）。 3. 必要条件 如果q ⇒ p成立，即由结论q能推出条件p，那么p是q的必要条件。 也就是说，要使结论q成立，条件p是必须具备的（“缺它不可”，所以p是“必要的”）。 4. 记忆口诀 充分条件：有它一定行；必要条件：没它绝对不行。 【即时训练】 4. 用符号“⇒”或“⇏”填空： （1）x = 2 _______ x² = 4 （2）x² = 4 _______ x = 2 （3）a = 0 且 b = 0 _______ a² + b² = 0 答案为：（1）⇒（2） ⇏（3）⇒ 【解析】：（1）x = 2 ⇒ x² = 4（解析：由x = 2能推出x² = 4，可推出） （2）x² = 4 ⇏ x = 2（解析：由x² = 4推不出x = 2，因为x还可能等于-2，不可推出） （3）a = 0 且 b = 0 ⇒ a² + b² = 0（解析：两个零的平方和为零，可推出） 关键提醒：注意推出方向与命题真假的关系。 5. 指出下列各组中p是q的什么条件： （1）p：x = 1，q：x² – 1 = 0 （2）p：两直线平行，q：同位角相等 答案为：（1）p是q的充分不必要条件。（2）p是q的充要条件。 【解析】：（1）p ⇒ q：x = 1能推出x² – 1 = 0（代入得1 – 1 = 0），所以p充分。q ⇏ p：x² – 1 = 0推不出x = 1（还可能x = -1），所以p不必要。 故p是q的充分不必要条件。 （2）p ⇒ q：两直线平行能推出同位角相等（真命题），所以p充分。 q ⇒ p：同位角相等能推出两直线平行（真命题），所以p必要。 故p是q的充要条件。 6. 填空： （1）若p是q的充分条件，则p_______q。 （2）若p是q的必要条件，则q_______p。 答案为：（1）⇒（2）⇒ 【解析】：直接根据充分条件与必要条件的定义，充分条件对应p⇒q，必要条件对应q⇒p。记住口诀：“充分前推后，必要后推前” 。 7. “两三角形全等”是“两三角形面积相等”的_______条件。 答案为：充分不必要条件。 【解析】：两三角形全等 ⇒ 两三角形面积相等（真命题，形状大小完全相同），所以充分。 两三角形面积相等 ⇏ 两三角形全等（等底等高的三角形面积相等但形状不一定相同），所以不必要。故是充分不必要条件。 【考点3】充要条件 1. 充要条件的定义 一般地，如果既有p ⇒ q成立，又有q ⇒ p成立，则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件，记作p ⇔ q，读作“p与q等价”或“p当且仅当q”。 2. 充要条件的理解 （1）充要条件意味着条件p与结论q之间是等价关系——p成立“当且仅当”q成立。 （2）互为充要条件的两个命题，本质上说的是同一件事情。 【即时训练】 8. 在下列各题中，p是q的什么条件？（填写：充分不必要 / 必要不充分 / 充要 / 既不充分也不必要） （1）p：x = 0，q：xy = 0 （2）p：|a| = |b|，q：a = b （3）p：a 和 b 都是偶数，q：a + b 是偶数 答案为：（1）充分不必要条件。（2）必要不充分条件。（3）充分不必要条件。 【解析】：（1）p ⇒ q：x = 0 ⇒ xy = 0（0乘以任何数都得0，真命题），所以p充分。 q ⇏ p：xy = 0 ⇏ x = 0（可能y = 0而x ≠ 0），所以p不必要。 （2）p ⇏ q：|a| = |b| ⇏ a = b（反例：a = 2, b = -2），所以p不充分。 q ⇒ p：a = b ⇒ |a| = |b|（相等则绝对值必相等，真命题），所以p必要。 （3）p ⇒ q：a和b都是偶数 ⇒ a + b是偶数（两偶数之和必为偶数，真命题），所以p充分。 q ⇏ p：a + b是偶数 ⇏ a和b都是偶数（反例：a = 1, b = 3，和为偶数4，但a、b均为奇数），所以p不必要。 9. “x < 3”是“x < 1”的_______条件；而“x < 1”是“x < 3”的_______条件（填“充分”或“必要”）。 答案为：必要条件；充分条件。 【解析】：利用数轴或范围大小判断。 “x < 1”的范围是x < 1，“x < 3”的范围是x < 3。x < 1的范围小于x < 3的范围。 由范围小的可推出范围大的：x < 1 ⇒ x < 3（真命题）。 由范围大的推不出范围小的：x < 3 ⇏ x < 1（反例：x = 2）。 “x < 3”是“x < 1”的必要条件：因为x < 1 ⇒ x < 3，即q ⇒ p，所以x < 3是x < 1的必要条件。 “x < 1”是“x < 3”的充分条件：因为x < 1 ⇒ x < 3，即p ⇒ q，所以x < 1是x < 3的充分条件。 判断技巧：范围大小法——小范围 ⇒ 大范围。即小范围是大范围的充分条件，大范围是小范围的必要条件。 10. 写出下列各组中p与q的关系（p是q的什么条件）： （1）p：x²=0，q：x = 0 （2）p：x²–3x + 2 = 0，q：x = 1 答案为：（1）p是q的充要条件。（2）p是q的必要不充分条件。 【解析】：（1）p ⇒ q：x²=0 ⇒ x = 0（真命题），所以p充分。 q ⇒ p：x = 0 ⇒ x² 0（真命题），所以p必要。 因此p ⇔ q。 （2） p ⇏ q：x² – 3x + 2 = 0 ⇒ (x – 1)(x – 2) = 0 ⇒ x = 1或x = 2，推不出x = 1，所以p不充分。 q ⇒ p：x = 1 ⇒ x² – 3x + 2 = 0（代入：1 – 3 + 2 = 0，真命题），所以p必要。 【考点4】四种条件的判断方法 四种条件关系的基本判断步骤： 第①步：确定条件p和结论q分别是什么。 第②步：检验p ⇒ q是否成立（即检查“充分性”）。 第③步：检验q ⇒ p是否成立（即检查“必要性”）。 第④步：根据检验结果，按下表确定条件关系： 是否p⇒q 是否q⇒p 结论 ✓ 是 ✓ 是 p是q的充要条件 ✓ 是 ✗ 否 p是q的充分不必要条件 ✗ 否 ✓ 是 p是q的必要不充分条件 ✗ 否 ✗ 否 p是q的既不充分也不必要条件 记忆口诀：“充分看前推后，必要看后推前；两个方向都成立，充要条件就到手。” 【即时训练】 11. 判断下列说法是否正确： （1）若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件。（ ） （2）若p是q的充分条件，则q一定是p的必要条件。（ ） 答案为：（1）✓ 正确。（2）✓ 正确。 【解析】：（1）充要条件具有对称性：若p ⇔ q，则q ⇔ p。 （2）若p是q的充分条件，即p ⇒ q。反过来看，由q能推出p吗？不一定。但根据定义，p ⇒ q与“q是p的必要条件”等价。实际上，若p ⇒ q，则q ⇒ p不一定成立。但“q是p的必要条件”指的是p ⇒ q，与已知一致。所以正确。 12. 已知p：a > 3，q：a > 0。则p是q的_____________条件（填“充分不必要 / 必要不充分 / 充要 / 既不充分也不必要”）。 答案为：充分不必要条件。 【解析】：第①步：p：a > 3，q：a > 0。 第②步：检验p ⇒ q是否成立？a > 3 ⇒ a > 0（真命题），所以p充分 ✓。 第③步：检验q ⇒ p是否成立？a > 0 ⇏ a > 3（反例：a = 1），所以p不必要 ✗。 第④步：结论：充分不必要条件。 技巧总结：判断两个不等式条件的关系时，经常用到“范围大小比较法”：范围小的是范围大的充分条件，范围大的是范围小的必要条件。 13. 下列条件中，是“x < 2”的充分条件的是（ ） A. x = 1　　 B. x < 5　　C. x > 3　　D. x < 0 答案为：A 和 D。 【解析】：“是充分条件”即要求选项 ⇒ x < 2 是真命题。 A：x = 1 ⇒ x < 2（1 < 2，真），✓ B：x < 5 ⇏ x < 2（如x = 3，不满足x < 2），✗ C：x > 3 ⇏ x < 2（如x = 4，不满足x < 2），✗ D：x < 0 ⇒ x < 2（小于0的数必定小于2，真），✓ 因此A和D都是x < 2的充分条件。说明一个结论可以有多个充分条件。 14. “x² + 5x + 6 = 0”是“x = -2”的_____________条件。 答案为：必要不充分条件。 【解析】：整理条件。 p：x² + 5x + 6 = 0 ⇒ (x + 2)(x + 3) = 0 ⇒ x = -2或x = -3。 第②步：p ⇒ q？即x = -2或x = -3 ⇒ x = -2（假，可能x = -3），所以p不充分 ✗。 第③步：q ⇒ p？即x = -2 ⇒ x² + 5x + 6 = 0（代入：4 – 10 + 6 = 0，真），所以p必要 ✓。 第④步：结论：必要不充分条件。 易错提醒：含绝对值、完全平方、二次方程等条件，需先解出所有可能的取值范围，判断条件关系就会更清晰。 15. 设命题p：x – 3 < 4，命题q：x < 2，则p是q的_____________条件。 答案为：必要不充分条件。 【解析】：化简p：x – 3 < 4 ⇒ x < 7。 第②步：p ⇒ q？x < 7 ⇏ x < 2（反例：x = 3），所以p不充分 ✗。 第③步：q ⇒ p？x < 2 ⇒ x < 7（显然成立），所以p必要 ✓。 第④步：结论：必要不充分条件。 16. 已知p：m < -3，q：m < -1，则p是q的_____________条件。 答案为：充分不必要条件。 【解析】：第②步：m < -3 ⇒ m < -1（真命题，小于-3的数必定小于-1），所以p充分 ✓。 第③步：m < -1 ⇏ m < -3（反例：m = -2 < -1，但m < -3不成立），所以p不必要 ✗。 第④步：结论：充分不必要条件。 17. 设A = {x | x > 0}，B = {x | x > 1}。判断下列说法是否正确： （1）“x ∈ B”是“x ∈ A”的充分条件（ ） （2）“x ∈ A”是“x ∈ B”的必要条件（ ） 答案为：（1）✓ 正确。（2）✓ 正确。 【解析】：（1）B = {x | x > 1}，A = {x | x > 0}。显然B ⊆ A，所以x ∈ B ⇒ x ∈ A，因此“x ∈ B”是“x ∈ A”的充分条件。 （2）“x ∈ A”是“x ∈ B”的必要条件，根据定义需检验x ∈ B ⇒ x ∈ A是否成立。由于B ⊆ A，所以x ∈ B ⇒ x ∈ A（真），因此“x ∈ A”是“x ∈ B”的必要条件。正确。 集合视角理解：条件p和q可看作集合P和Q。p是q的充分条件 ⇔ P ⊆ Q；p是q的必要条件 ⇔ Q ⊆ P；p是q的充要条件 ⇔ P = Q。 18. 设a, b ∈ R，则“a > b”是“a² > b²”的________________条件。 答案为：既不充分也不必要条件。 【解析】：第1步：a > b ⇏ a² > b²。反例：a = 0, b = -1，则a > b成立，但a² = 0 < 1 = b²，∴不充分。 第2步：a² > b² ⇏ a > b。反例：a = -2, b = 1，则a² = 4 > 1 = b²成立，但a < b，∴不必要。 第3步：结论：既不充分也不必要。 特别提醒：比较两个数的平方大小，必须结合绝对值来判断！|a| > |b| ⇔ a² > b²（充要条件），但a > b与a² > b²没有必然的推出关系。 19. 在△ABC中，判断“A = B”是“a = b（a和b为A、B的对边）”的__________条件。 答案为：充要条件。 【解析】：在三角形中，根据“等角对等边”和“等边对等角”的性质： A = B ⇒ a = b（等角对等边，真命题），充分 ✓。 a = b ⇒ A = B（等边对等角，真命题），必要 ✓。 因此是充要条件。 1．（24-25高三上·广西南宁·一模）直线与直线垂直的充要条件是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据两直线垂直，则两直线方程的系数关系结合充要条件即可求解. 【详解】由题意得，直线与直线垂直， 则，解得. 又时，直线与直线垂直. 所以直线与直线垂直的充要条件是. 故选：D. 2．（24-25高三·全国·对口/高职单招）若，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件与必要条件的概念进行分析即可. 【详解】当时，，故充分性成立； 当时，或，故必要性不成立． 故“”是“0”的充分不必要条件． 故选：C. 3．（24-25高三·全国·对口/高职单招）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系，结合必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】由题意得，设集合，所以是的真子集， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（24-25高三·全国·对口/高职单招）“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的概念，即可求解. 【详解】由得，则不能推出，故充分性不成立； 可以推出，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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q成立，那么p是q的_____________条件。 也就是说，为了使结论q成立，具备条件p就__________了（所以p是“充分的”）。 3. 必要条件 如果q ⇒ p成立，即由结论q能推出条件p，那么p是q的__________条件。 也就是说，要使结论q成立，条件p是_____________具备的（“缺它不可”，所以p是“必要的”）。 4. 记忆口诀 充分条件：有它_______行；必要条件：没它_______不行。 【即时训练】 4.  用符号“⇒”或“⇏”填空： （1）x = 2 _______ x² = 4 （2）x² = 4 _______ x = 2 （3）a = 0 且 b = 0 _______ a² + b² = 0 5.  指出下列各组中p是q的什么条件： （1）p：x = 1，q：x² – 1 = 0 （2）p：两直线平行，q：同位角相等 6.  填空： （1）若p是q的充分条件，则p_______q。 （2）若p是q的必要条件，则q_______p。 7. “两三角形全等”是“两三角形面积相等”的_______条件。 【考点3】充要条件 1. 充要条件的定义 一般地，如果既有_________成立，又有_________成立，则称p是q的充分且必要条件，简称_________条件，记作_________，读作“p与q等价”或“p当且仅当q”。 2. 充要条件的理解 （1）充要条件意味着条件p与结论q之间是_______关系——p成立“当且仅当”q成立。 （2）互为充要条件的两个命题，本质上说的是_______事情。 【即时训练】 8. 在下列各题中，p是q的什么条件？（填写：充分不必要 / 必要不充分 / 充要 / 既不充分也不必要） （1）p：x = 0，q：xy = 0 （2）p：|a| = |b|，q：a = b （3）p：a 和 b 都是偶数，q：a + b 是偶数 9. “x < 3”是“x < 1”的_______条件；而“x < 1”是“x < 3”的_______条件（填“充分”或“必要”）。 10. 写出下列各组中p与q的关系（p是q的什么条件）： （1）p：x²=0，q：x = 0 （2）p：x²–3x + 2 = 0，q：x = 1 【考点4】四种条件的判断方法 四种条件关系的基本判断步骤： 第①步：确定条件p和结论q分别是什么。 第②步：检验p ⇒ q是否成立（即检查“充分性”）。 第③步：检验q ⇒ p是否成立（即检查“必要性”）。 第④步：根据检验结果，按下表确定条件关系： 是否p⇒q 是否q⇒p 结论 ✓ 是 ✓ 是 p是q的充要条件 ✓ 是 ✗ 否 p是q的充分不必要条件 ✗ 否 ✓ 是 p是q的必要不充分条件 ✗ 否 ✗ 否 p是q的既不充分也不必要条件 记忆口诀：“充分看前推后，必要看后推前；两个方向都成立，充要条件就到手。” 【即时训练】 11. 判断下列说法是否正确： （1）若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件。（ ） （2）若p是q的充分条件，则q一定是p的必要条件。（ ） 12.  已知p：a > 3，q：a > 0。则p是q的_____________条件（填“充分不必要 / 必要不充分 / 充要 / 既不充分也不必要”）。 13. 下列条件中，是“x < 2”的充分条件的是（ ） A. x = 1　　 B. x < 5　　C. x > 3　　D. x < 0 14 . “x² + 5x + 6 = 0”是“x = -2”的_____________条件。 15. 设命题p：x – 3 < 4，命题q：x < 2，则p是q的_____________条件。 16.  已知p：m < -3，q：m < -1，则p是q的_____________条件。 17.  设A = {x | x > 0}，B = {x | x > 1}。判断下列说法是否正确： （1）“x ∈ B”是“x ∈ A”的充分条件（ ） （2）“x ∈ A”是“x ∈ B”的必要条件（ ） 18.  设a, b ∈ R，则“a > b”是“a² > b²”的________________条件。 19.  在△ABC中，判断“A = B”是“a = b（a和b为A、B的对边）”的__________条件。 1．（24-25高三上·广西南宁·一模）直线与直线垂直的充要条件是（   ） A．1 B． C． D．0 2．（24-25高三·全国·对口/高职单招）若，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高三·全国·对口/高职单招）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高三·全国·对口/高职单招）“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $