专题1.2 充要条件（讲义）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1.2 ·充要条件 【复习目标】 1.了解充分条件、必要条件、充要条件的概念； 2.了解命题中条件与结论的关系。 【考点 充要条件】 1.命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为 ，判断为假的命题称为 . 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为 ， 简称条件；称 q 为 ，简称结论． 2.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 条件，q是p的 条件 p是q的 条件 p⇒q且qp p是q的 条件 pq且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的 条件 pq且qp 注意：若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A⫌B，则p是q的必要不充分条件； 代表形式,“p(x)”是集合中元素所具有的特征性质,两者之间的竖线不可省略. 【即时训练】 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知命题：，则命题的一个必要不充分条件是（   ）. A． B． C． D． 4．“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知p：，q：，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．“直线与直线的斜率相等”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．已知函数的定义域为，则“关于原点对称”是“函数的图像关于原点对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．若对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，则“”是“”的_____________条件． 12．“x是偶数”是“x能被4整除”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 13．若，，则p是q的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 14．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 15．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为_____. 16．条件，条件. (1)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围. 17．若关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 18．已知集合，集合，判断“”是“”的什么条件，并说明理由. 19．已知，. (1)若是真命题，求对应的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围. 20．已知实数x满足集合，实数x满足集合或． (1)若，求； (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 21．已知，，若p是q的充分而不必要条件，求正实数m的取值范围. 1．（2025湖南对口升学考试第4题）已知，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024湖南对口升学考试第7题）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2022湖南对口升学考试第2题）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2021湖南对口升学考试第7题）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1.2 ·充要条件 【复习目标】 1.了解充分条件、必要条件、充要条件的概念； 2.了解命题中条件与结论的关系。 【考点 充要条件】 1.命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 注意：若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A⫌B，则p是q的必要不充分条件； 代表形式,“p(x)”是集合中元素所具有的特征性质,两者之间的竖线不可省略. 【即时训练】 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】由得，不能推出，故充分性不成立； 而可以推出，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的定义及指数函数的性质判断. 【详解】指数函数在上单调递增， 则． 所以“”是“”的充要条件. 故选：C． 3．已知命题：，则命题的一个必要不充分条件是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合必要不充分条件的概念即可求解. 【详解】因为：等价于，解得. 对A，是的充分不必要条件，故A错误. 对B，是的必要不充分条件，故B正确. 对C，是的既不充分也不必要条件，故C错误. 对D，是的充要条件，故D错误. 故选：B. 4．“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充要条件的概念可判断结果. 【详解】当，时，，故充分性成立； 取，，满足，但，不成立，故必要性不成立. 所以“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．设为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充要条件的定义及特殊角的三角函数值可判断结果. 【详解】取，满足，此时， 即； 取，满足，此时， 即. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 6．“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则或，所以充分性不成立， 若，则，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7．已知p：，q：，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合间的真子集关系即可结合必要条件和充分条件的定义求解. 因为集合是的真子集 ， 所以p是q的必要不充分条件． 故选:B． 8．“直线与直线的斜率相等”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据直线斜率与直线的位置关系以及充分性和必要性的概念判断即可. 【详解】直线与直线的斜率相等时，两条直线可能重合，故充分性不成立； 直线与直线平行时，两直线可能斜率不存在，故必要性不成立， 故“直线与直线的斜率相等”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】方程，即，解得或， 所以，能推出， 而不能推出（还可能）， 综上，是的充分不必要条件. 故选：A. 10．已知函数的定义域为，则“关于原点对称”是“函数的图像关于原点对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】定义域D关于原点对称，函数图像不一定关于原点对称， 若的图像关于原点对称，则为奇函数，其定义域一定关于原点对称， 所以“关于原点对称”是“函数的图像关于原点对称”的必要不充分条件. 故选：B. 11．若对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，则“”是“”的_____________条件． 【答案】必要不充分 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】取，满足“”，但，即，充分性不成立； 如果，则且，那么和的整数部分是相同的， 所以，所以必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 12．“x是偶数”是“x能被4整除”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 【答案】必要不充分 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】当x是偶数时，x不一定被4整除，比如当时，是偶数，但不能被4整除，故充分性不成立； 当x能被4整除时，一定能被整除，所以x是偶数，故必要性成立， 所以“x是偶数”是“x能被4整除”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 13．若，，则p是q的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 【答案】必要不充分 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】，解得或， 当时，或，故充分性不成立； 当时，成立，故必要性成立， 所以p是q的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 14．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据含有绝对值的不等式的解法，结合必要不充分条件的定义分析求解即可. 【详解】， 因为“”是“”的必要不充分条件， 即当时，一定有，但当时，不一定有， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 15．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】求解绝对值不等式，由是的真子集，构造不等式即可求解. 由，可得， 得，即，区间长度为2， 区间长度为1， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 又，区间长度为2，区间长度为1， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为： 16．条件，条件. (1)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】根据充分、必要条件的定义，将问题转化为集合间的基本关系，解不等式即可. （1）设， 若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，即，a的取值范围为； （2）若p是q的必要不充分条件，则B是A的真子集，即，a的取值范围为. 17．若关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求解； （2）由题意可得，分为和两种情况，分别求解即可求出答案. （1）由题意知是方程的两个根， 所以，解得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以. ①当，即时， ，符合条件； ②当时，即时， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 18．已知集合，集合，判断“”是“”的什么条件，并说明理由. 【答案】既不充分也不必要条件，理由见解析. 【分析】根据一元二次不等式的解法以及集合之间关系求解即可. 【详解】“”是“”的既不充分也不必要条件，理由如下： 集合，集合或. 若，无法推出. 若，无法推出. 因此“”是“”既不充分也不必要条件. 19．已知，. (1)若是真命题，求对应的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解不等式可得答案， （2）由（1）知：：，，然后分，和求出，再利用是的必要不充分条件，可得表示的集合是所表示的集合的真子集，从而可求出的取值范围 （1）∵是真命题， ∴，∴， 解得， ∴的取值范围是. （2）由（1）知：：， ， 是的必要不充分条件 当时，，故满足，即， 当时，，满足条件； 当时，，故满足，即. 综上所述的取值范围是. 20．已知实数x满足集合，实数x满足集合或． (1)若，求； (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集概念及运算即可得到结果； （2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，比较端点后列出不等式，得到结果． （1）因为，所以，又或． 所以 （2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，所以或，解得：或， 故实数a的取值范围是. 21．已知，，若p是q的充分而不必要条件，求正实数m的取值范围. 【答案】 【分析】先分别求解出命题和中不等式的解集，再根据是的充分而不必要条件得到两个解集之间的关系，进而求出的取值范围. 【详解】不等式，即，解得或， 所以不等式的解集为或. 不等式，可变形为， 即， 因为，所以， 所以解得或， 所以不等式的解集为或. 因为是的充分而不必要条件， 所以是的真子集，则（等号不同时成立），解得， 综上，正实数的取值范围是. 1．（2025湖南对口升学考试第4题）已知，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合不等式的性质，及充分性和必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若，又，那么一定成立，即充分性成立； 若，又恒成立，所以，即必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：A. 2．（2024湖南对口升学考试第7题）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】因为， 则或， 即或. 而， 则. 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3．（2022湖南对口升学考试第2题）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求方程的解，再判断充分条件与必要条件. 【详解】∵的解为或， ∴能推出， 但不能推出， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2021湖南对口升学考试第7题）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】将代入可判断充分性，求解方程可判断必要性，即可得到结果. 【详解】将代入中可得， 即“”是“”的充分条件， 由可得， 即或，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $