第14卷 立体几何 陕西省高职分类考试（三校生）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦立体几何核心考点，以“一考一讲”模式整合三视图、表面积体积计算及空间证明，强化空间观念与运算推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三视图|3题|空间几何体视图判断|从空间直观到平面视图转化，培养几何直观| |表面积体积|11题|柱锥球表面积体积计算及比例关系|从几何体性质到公式应用推导，提升运算能力| |空间证明|3题|线面位置关系证明与体积计算|从空间图形构建到逻辑推理证明，发展推理意识|

编写说明：2027年陕西省高职分类考试（三校生）《数学45分钟训练卷》，以真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 陕西省高职分类考试（三校生）《数学45分钟训练卷》 第14卷 立体几何 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将正确答案写在括号内.） 1．如图所示几何体由五个相同的小正方体组成，它的左视图是（ ）    A．   B．   C．   D．   2．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3．下面几何体中，从正面观察得到的平面图形（主视图）为圆的几何体是（ ） A．   B．   C．   D．   4．一个圆锥的底面半径是4.5，母线长为7.5，那么它的高是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，且该圆锥的体积为，则（ ） A． B． C． D．3 6．已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（ ）    A． B． C． D． 7．已知正四棱锥的底面边长为2，且侧面为等边三角形，则该正四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 8．一个长方体的铁盒，长9厘米、宽6厘米、高5厘米，制作这个铁盒（无盖），在铁盒的侧面贴上两条细长的装饰条，问装饰条的长度至少是多少厘米（ ）. A．30 B．60 C．90 D．120 9．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 10．若球的表面积扩大原来的倍，则球的体积扩大原来的（ ）倍. A． B． C． D． 11．一个正方体的外接球与内切球的体积比是（ ） A． B． C． D． 12．正方体的外接球与内切球的表面积之比是（ ） A． B．3 C． D． 13．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 14．正多面体被认为是构成宇宙的基本元素，加上它的多种变体，一直是科学､艺术､哲学灵感的源泉之一.若连接正方体六个面的中心构成一个正八面体，则正方体与所得八面体的表面积之比为（ ） A． B．3 C． D．6 二、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分.) 15．已有OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M． (1)若，求圆M的面积； (2)若圆M的面积为，求OA． 16．已知正方体的棱长为2． （1）证明：． （2）求三棱锥的体积． 17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点分别在线段上，其中E是中点，，连接． （1）当时，证明平面； （2）当为何值时，． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年陕西省高职分类考试（三校生）《数学45分钟训练卷》，以真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 陕西省高职分类考试（三校生）《数学45分钟训练卷》 第14卷 立体几何 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将正确答案写在括号内.） 1．如图所示几何体由五个相同的小正方体组成，它的左视图是（ ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据左视图的概念画出左视图即可得出结果. 【详解】左视图如图所示， 故选：D． 2．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据几何体的特征，以及主视图和左视图判断几何体的形状. 【详解】根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知， 该几何体是一个长为，宽为，高为的长方体， 故该几何体的俯视图不可能是圆和正方形． 故选：B. 3．下面几何体中，从正面观察得到的平面图形（主视图）为圆的几何体是（ ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据空间几何的三视图求解即可. 【详解】因为圆柱的主视图是长方形，长方体的主视图是长方形，球的主视图是圆，圆锥的主视图是等腰三角形. 故选：C. 4．一个圆锥的底面半径是4.5，母线长为7.5，那么它的高是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据圆锥截面的几何性质即可得解. 【详解】由题圆锥底面半径为，母线长为， 圆锥截面的一半为直角三角形， 则由勾股定理可得，圆锥的高. 故选：C. 5．某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，且该圆锥的体积为，则（ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，用表示出圆锥底面圆半径及高，再利用锥体的体积公式求解作答. 【详解】令圆锥底面圆半径为，则，解得， 从而圆锥的高， 因此圆锥的体积，解得. 故选：C 6．已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（ ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易知球心为圆柱高的中点，利用勾股定理求出半径，由球的表面积公式得解. 【详解】由题意，球心为圆柱高的中点， 如图，，则球的半径, ∴球的表面积. 故选：D. 7．已知正四棱锥的底面边长为2，且侧面为等边三角形，则该正四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正棱锥的体积公式求值即可. 【详解】因为正四棱锥的底面边长为2，底面积为， 如图，在与的交点处， 即底面对角线的长为，， 又因为是正方形的中心，即是正四棱锥的高， 即棱锥的高为， 所以该正四棱锥的体积为. 故选：D. 8．一个长方体的铁盒，长9厘米、宽6厘米、高5厘米，制作这个铁盒（无盖），在铁盒的侧面贴上两条细长的装饰条，问装饰条的长度至少是多少厘米（ ）. A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】B 【分析】根据题意，结合棱柱的结构特征，即可求解. 【详解】由题意，当装饰条长度最短时，每条装饰条的长度等于长方体底面的周长， 又底面周长为厘米， 所以两条装饰条长度至少为厘米. 故选：B. 9．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到多面体为正八面体，然后根据正八面体的棱长可得外接球的半径，进而可得体积. 【详解】如图一：所得的多面体为正八面体，这正八面体的球心如图二中点，设外接球半径为， 正八面体的棱长为， 在中，，，， 所以， 所以. 故选：D.      10．若球的表面积扩大原来的倍，则球的体积扩大原来的（ ）倍. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设球的半径为，在由球的表面积公式和体积公式求值即可. 【详解】设球的半径为，则球的表面积为，体积为 扩大后球的半径为，则扩大后的表面积为， 则，，此时体积为， 所以球的体积扩大原来的8倍. 故选：D. 11．一个正方体的外接球与内切球的体积比是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据外接球与内接球的性质求出外接球与内接球的半径，结合体积公式即可得解. 【详解】外接球的直径为正方体对角线，内切球的直径为正方体边长， 设正方体的边长为，外接球的直径为，则内切球的直径为，半径为， 所以，则外接球的半径为 所以外接球的体积为，内接球的体积为， 外接球与内切球的体积比， 故选：. 12．正方体的外接球与内切球的表面积之比是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先求正方体的外接球与内切球的半径易得答案. 【详解】设正方体的棱长为， 则其外接球的半径为，内切球的半径为， 所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是. 故选：B. 13．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的底面半径为，侧面展开图的半圆半径为，根据侧面积得到，，再根据体积公式计算即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，侧面展开图的半圆半径为，则，即， 故圆锥的表面积为，解得， 则圆锥的高为， 故圆锥的体积为. 故选：B. 14．正多面体被认为是构成宇宙的基本元素，加上它的多种变体，一直是科学､艺术､哲学灵感的源泉之一.若连接正方体六个面的中心构成一个正八面体，则正方体与所得八面体的表面积之比为（ ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】根据题意设出正方体的棱长，进而求出正方体的表面积，然后求出该正八面体的棱长并求出其表面积，最后求得答案. 【详解】设正方体的棱长为2，则其表面积. 如图，记该正八面体为，现考虑侧面，取的中点分别为，连接MG,MH,易得：，所以，则该八面体的表面积. 于是，. 故选：C. 二、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分.) 15．已有OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M． (1)若，求圆M的面积； (2)若圆M的面积为，求OA． 【答案】(1);(2)2. 【分析】（1）根据球的半径、圆的半径、球心到圆心的距离构成直角三角形即可求解； （2）由圆的面积得出球的半径，再由上述直角三角形即可求出球的半径得. 【详解】（1）过球心作截面，如图，    因为， 所以, 即圆M的半径为， 圆M的面积为， （2）因为圆M的面积为， 所以圆M的半径. 设球的半径为R, 则， 解得， 所以 . 16．已知正方体的棱长为2． （1）证明：． （2）求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由题意根据直线与平面的判定定理求解平面，由此求解； （2）根据三棱锥体积公式求解即可. 【详解】（1）在正方体中，， 平面，平面，. 又，、平面，平面. 又平面，. （2）在正方体中，平面， . 17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点分别在线段上，其中E是中点，，连接． （1）当时，证明平面； （2）当为何值时，． 【答案】 （1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）方法一：取中点N，连接，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明；方法二：在线段上取一点F，使得F是中点，连接，证明平面平面，再利用面面平行的性质定理即可证明. （2）方法一：由可得，再由即可求解；方法二：根据，代入即可求解. 【详解】解：（1）方法一：取中点N，连接 因为是的中位线，故，且 又且，故四边形为平行四边形， 所以． 又平面平面，所以平面. 方法二： 在线段上取一点F，使得F是中点，连接 是的中位线所以， 平面，平面，所以平面， 在矩形中， 平面，平面，所以平面， 又， 所以平面平面． 又平面，所以平面. （2）方法一：因为，所以 又底面为矩形，所以， 故 由题可知，，因此， 方法二： 因为，且平面，所以 又，代入，可得， 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $