微专题2 函数的对称性 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的对称性”微专题，依据高考评价体系梳理了轴对称（自对称、互对称）、中心对称及对称性与周期性综合应用三大核心考点，通过真题分析明确其在选择、填空及解答题中的高频考查权重，归纳出不等式求解、交点坐标和等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题探源+题型变式+素养提升”策略，如以新高考Ⅰ卷中心对称证明题为例，提炼“f(a+x)+f(b-x)=2c”对称关系判断法，培养学生的数学思维与推理能力。结合学霸笔记中的对称性质推论，通过跟踪训练强化对称条件转化技巧，助力学生高效突破考点，教师可据此精准开展专题复习，提升备考针对性。

微专题2　函数的对称性 1 视角一　轴对称 题型1　一个函数的自对称 例1 已知函数f(x＋2)是偶函数，f(x)在(－∞，2]上单调递增，则不等式f(3x＋2)<f(x＋1)的解集为(　　) A．(－∞，－，＋∞) B．(－) C．(－∞，－，＋∞) D．(－) 答案：C 返回导航 2 解析：因为函数f(x＋2)是偶函数，所以f(x)的对称轴是x＝2，因为f(x)在(－∞，2]上单调递增，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，由f(3x＋2)<f(x＋1)，有或x>，所以不等式的解集为∪.故选C. 返回导航 3 学霸笔记：(1)若函数＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝＝对称． 推论1：f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； 推论2：f(x)＝f(2a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； 推论3：f(－x)＝f(2a＋x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称，则函数f（x）在关于x＝a对称的两个区间上的单调性相反． 返回导航 4 　　跟踪训练　定义在R上的函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，且当x≥2时，f(x)单调递增，则不等式f(2－x)≥f(x＋1)的解集为(　　) A．[，＋∞) B．(0，] C．(－∞，] D．(－∞，－] 答案：A 解析：由f(4－x)＝f(x)，得f(x)图象的对称轴为x＝2，又当x≥2时，f(x)单调递增，且f(2－x)≥f(x＋1)，∴|(2－x)－2|≥|(x＋1)－2|，即x2≥(x－1)2，解得x≥.故选A. 返回导航 5 题型2　两个函数的互对称 例2 (2026·盐城模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若y＝|x－2|与y＝f(x)图象的交点为)，(x5，y5)，(x6，y6)，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝(　　) A．－4 B．0 C．8 D．12 答案：D 返回导航 6 解析：因为f(x)＝f(4－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因为y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称，所以函数y＝|x－2|与y=f(x)图象的交点也关于直线x＝2对称，故x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝4×3＝12.故选D. 返回导航 7 学霸笔记：函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a成轴对称，特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，推广：两个函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称． 返回导航 8 跟踪训练　已知函数y＝f(3－x)与y＝f(1＋x)关于直线x＝a对称，则a＝________． 答案：1 解析：设点P(x0，y0)是函数y＝f(3－x)图象上的任意一点，则有y0＝f(3－x0)，又点P(x0，y0)关于直线x＝a的对称点Q(2a－x0，y0)在y＝f(1＋x)的图象上，∴y0＝f(1＋x0)＝f[1＋(2a－x0)]，即有f[1＋(2a－x0)]＝f(3－x0)，∴1＋2a－x0＝3－x0，∴a＝1. 返回导航 9 视角二　中心对称 例3 (新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3，证明： 曲线y＝f(x)是中心对称图形． 答案：方法一　因为f(2－x)＝＝－[ln x－ln (2－x)＋ax＋b(x－1)3]＋2a＝－f(x)＋2a，即f(2－x)＋f(x)＝2a， 所以曲线y＝f(x)是关于(1，a)成中心对称的图形． 方法二　f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3的定义域为(0，2)， 设P(m，n)为y＝f(x)图象上任意一点， P(m，n)关于(1，a)的对称点为Q(2－m，2a－n)． 返回导航 10 因为P(m，n)在y＝f(x)图象上，故n＝ln ＋am＋b(m－1)3， 而f(2－m)＝ln ＋a(2－m)＋b(2－m－1)3 ＝－＋2a ＝－n＋2a，所以Q(2－m，2a－n)也在y＝f(x)的图象上， 由P的任意性可得y＝f(x)图象为中心对称图形，且对称中心为(1，a)． 返回导航 11 真题探源　(源自人教A版必修一P87T13改编)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．则函数y＝x3－3x2图象的对称中心为________． 答案：(1，－2) 返回导航 12 解析：f(x)=,若函数f(x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)2－b为奇函数，则有f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，变形得f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，则有(－x＋a)3－3(－x＋a)2＋(x＋a)3－3(x＋a)2＝2b，即－x3＋3ax2－3a2x＋a3＋x3＋3ax2＋3a2x＋a3－3(x2－2ax＋a2＋x2＋2ax＋a2)＝2b，即＋a3－3a2＝b，所以解得 返回导航 13 学霸笔记： (1)若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． (2)f(a＋x)＋f(b－x)＝2c⇔y＝f(x)的图象关于点(，c)对称． 推论1：f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称； 推论2：f(x)＋f(2a－x)＝2b⇔y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称； 推论3：f(－x)＋f(2a＋x)＝2b⇔y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． 返回导航 14 跟踪训练　(2026·日照模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，其中m∈N*，则 ＝(　　) A．0 B．m C．2m D．4m 答案：B 返回导航 15 解析：因为函数f(x)满足f(－x)＝2－f(x)，即函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，所以y＝f(x)关于点(0，1)对称，函数y＝等价于y＝1＋，所以函数y＝也关于点(0，1)对称，所以函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，也关于点(0，1)对称，故交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对点都关于点(0，1)对称，所以＝(x1＋x2＋…＋xm)＋(y1＋y2＋…＋ym)＝0＋×2＝m.故选B. 返回导航 16 视角三　中心对称与轴对称的应用 例4 (新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数， f(2x＋1)为奇函数，则(　　) A．f(－)＝0 B．f(－1)＝0 C．f(2)＝0 D．f(4)＝0 答案：B 返回导航 17 解析：因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其他三个选项未知． 返回导航 18 学霸笔记： (1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a＜b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同)． (2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)． (3)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心点B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|. 返回导航 19 跟踪训练　(2026·芜湖期末)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)－1为奇函数，y＝f(x＋1)为偶函数，若f(2 025)＝2，则f(3)＝(　　) A．1 B．－1 C．0 D．－3   答案：C 返回导航 20 解析：由y＝f(x)－1为奇函数有f(－x)＋f(x)＝2，y＝f(x＋1)为偶函数有f(1－x)＝f(1＋x)⇒f(x)＝f(2－x)，所以有f(－x)＋f(2－x)＝2，即f(x)＋f(2＋x)＝2⇒f(x＋2)＋f(x＋4)＝2，所以f(x＋4)＝f(x)函数f(x)的周期为T＝4，所以f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝2，又f(1)＋f(3)＝2⇒f(3)＝0.故选C. 返回导航 21 1．已知函数y＝|x|的图象与函数y＝|x－m|的图象关于直线x＝1对称，则m＝(　　) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 答案：D 解析：依题意，在函数y＝|x|的图象上取点A(0，0)，点A关于直线x＝1的对称点A′(2，0)必在函数y＝|x－m|的图象上，则有|2－m|＝0，解得m＝2，此时函数y＝|x－m|即y＝|x－2|，相当于将函数y＝|x|的图象向右平移2个单位长度得到，符合题意．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 22 2．函数y＝3x与y＝32-x的图象(　　) A．关于x＝对称 B．关于x＝对称 C．关于x＝1对称 D．关于x＝2对称 答案：C 解析：设函数y＝3x与y＝32-x的图象关于直线x＝a对称，因为函数y＝3x的图象关于直线x＝a对称图象的函数解析式为y＝32a－x，所以32a－x＝32-x，解得a＝1.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 23 3．已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝2对称，当0<x≤2时，f(x)＝2x，则f(6)＝(　　) A．2 B．－2 C．－4 D．4 答案：C 解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(x)关于直线x＝2对称，∴f(x＋2)＝f(－x＋2)，∴f(6)＝f(4＋2)＝f(－4＋2)＝f(－2)＝－f(2)．∴f(6)＝－f(2)＝－22＝－4.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 24 4．若曲线f(x)＝关于点(1，－2)中心对称，则a＝(　　) A．3 B．4 C．－3 D．－4 答案：D 解析：因为函数f(x)的定义域为R，且曲线f(x)＝关于点(1，－2)中心对称，所以f(1)＝＝－2，即a＝－4.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 25 5．(2026·绥化模拟)已知函数f(x＋1)是定义在R上的偶函数，且f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　) A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1) C．f(1)<f(－1)<f(2) D．f(2)<f(1)<f(－1) 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 26 解析：因为函数f(x＋1)是定义在R上的偶函数，所以对∀x∈R，f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以y＝f(x)关于直线x＝1对称，所以f(－1)＝f(3)，又因为y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(1)<f(2)<f(3)＝f(－1)．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 27 6．(2026·沈阳模拟)已知奇函数f(x)的定义域为R，且函数y＝f(x)图象关于直线x＝2对称．当x∈[0，2]时，f(x)＝x，则f(13)＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2   答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 28 解析：因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(2＋x)＝f(2－x)，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2－x)＝－f(x－2)，即f(x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为8，所以f(13)＝f(5＋8)＝f(5)＝f(－3＋8)＝f(－3)＝－f(3)，而f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝f(1)，又因为当x∈[0，2]时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，即f(3)＝f(1)＝1，所以f(13)＝－f(3)＝－f(1)＝－1.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 29 7．我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，则函数f(x)＝2x3＋6x2图象的对称中心为(　　) A．(－1，4) B．(－1，－4) C．(1，4) D．(1，－4) 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 30 解析：由题意得，设函数f(x)＝2x3＋6x2图象的对称中心为(a，b)，则函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，即y＝f(x＋a)－b＝＋6(x＋a)2－b＝2x3＋(6a＋6)x2＋(6a2＋12a)x＋2a3＋6a2－b，则解得故函数f(x)＝2x3＋6x2图象的对称中心为(－1，4)．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 31 8．(2026·六安模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(－x＋1)－f(x＋1)＝0，函数y＝·f(x)的图象关于直线x＝－对称，则 ＝(　　) A．－2 028 B．0 C．1 014 D．2 028 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 32 解析：因为f(－x＋1)－f(x＋1)＝0，即f(－x)＝f(x＋2)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称．由y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称得f(x)＝f(－1－x)，即f(x)＝－f(－1－x)对任意x恒成立，则f(x)＝－f(－x－1)，又f(－x)＝f(x＋2)，所以f(x＋2)＝－f(x－1)，即f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数．所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]×338＝0.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 33 9．下列函数的图象中，是中心对称图形的是(　　) A．y＝cos B．y＝x＋ C．y＝|x| D．y＝x3－x＋1 答案：ABD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 34 解析：对于A，y＝cos 是由函数y＝cos x向左平移个单位得到，因为y＝cos x是中心对称图形，所以y＝cos 也是中心对称图形；对于B，f(－x)＝－＝－f(x)，故对号函数y＝x＋关于原点中心对称；对于C，易知y＝|x|是偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，不是中心对称图形；对于D，三次函数y＝x3－x＋1关于(0，1)中心对称，因为f(x)＋f(－x)＝2.故选ABD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 35 10．设函数f(x)＝2x-1＋21-x，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．f(x)为奇函数 C．f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．f(x)的图象关于点(1，0)对称 答案：ABD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 36 解析：∵f(x)＝2x-1＋21-x，∴f(2－x)＝21-x＋2x-1＝f(x)，即f(2－x)＝f(x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，AD错误；∵f(x)＝2x-1＋21-x的定义域为R，但f(0)＝＋2≠0，∴f(x)不是奇函数，故B错误．故选ABD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 37 11．(2026·南阳模拟)已知函数y＝f(x＋1)－2为定义在R上的奇函数，又函数g(x)＝，且f(x)与g(x)的函数图象恰好有2 026个不同的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P2 026(x2 026，y2 026)，则下列叙述中正确的是(　　) A．f(x)的图象关于点(2，2)对称 B．g(x)的图象关于点(1，2)对称 C．x1＋x2＋…＋x2 026＝2 026 D．y1＋y2＋…＋y2 026＝2 026 答案：BC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 38 解析：对于A，方法一　函数y＝f(x＋1)－2为定义在R上的奇函数，则有f(－x＋1)－2＝－[f(x＋1)－2]，即＝2，又＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，2)中心对称，无法判断是否关于点(2，2)对称，故A错误；方法二　函数y＝f(x＋1)－2为定义在R上的奇函数，则函数y＝f(x＋1)－2的图象关于坐标原点(0，0)对称．函数y＝f(x)的图象可由函数y＝f(x＋1)－2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，因此函数y＝f(x)的图象关于点(1，2)对称．无法判断是否关于点(2，2)对称，故A错误； 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 39 对于B，函数g(x)＝，因此函数y＝g(x)的图象可由反比例函数y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到．因为反比例函数y＝的图象关于坐标原点(0，0)对称，所以函数y＝g(x)的图象关于点(1，2)对称，故B正确；对于CD，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象都关于点(1，2)对称，且函数y＝g(x)的图象不过点(1，2)，所以它们的所有交点关于点(1，2)对称，不妨设x1<x2<…<x2 026，则有x1＋x2 026＝x2＋x2 025＝…＝x1 013＋x1 014＝2，y1＋y2 026＝y2＋y2 025＝…＝y1 013＋y1 014＝4，所以x1＋x2＋…＋x2 026＝2 026，y1＋y2＋…＋y2 026＝4 052，故C正确，D错误．故选BC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 40 12．已知奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(m)＝3，则f(m－4)的值为________． 答案：－3 解析：∵奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(2＋x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，即f(4＋x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(x－4)，则f(m)＝－f(m－4)＝3，即f(m－4)＝－3. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 41 13．已知函数y＝f(x)满足f(2)>5，且以(1，1)点为对称中心，写出一个符合条件的函数y＝________.   答案：＋1(答案不唯一) 解析：因为函数的对称中心为点(1，1)，不妨设为分式函数f(x)＝＋1，因为f(2)>5，所以f(2)＝a＋1>5，解得a>4，取a＝5，即y＝＋1. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 42 14．(2026·周口模拟)若函数f(x)＝(x－1)·的图象关于直线x＝1对称，则b＝________． 答案：2 解析：因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)＝f(2－x)对x∈R恒成立，所以(x－1)＝(2－x－1)恒成立，所以(x－1)＝(1－x)恒成立，所以＋1恒成立，＝2恒成立，所以b＝2恒成立，所以b＝2恒成立，所以b＝2. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 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