精品解析：重庆两江新区西南大学附属中学校2026届高三下学期强化训练（三）数学试题

两江西附高2026届强化训练（三） 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 2026年5月 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（ ） A. 40 B. 39 C. 36 D. 35 【答案】D 【解析】 【详解】将题中数据按从小到大排列为10，14，16，16，19，20，40，50，则众数为16， 因为，所以第60百分位数为19， 所以众数与第60百分位数之和为. 2. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设全集为，由图可知阴影部分可表示为， 可知，则 3. 过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设曲线切点为，利用导数的几何意义与两点间斜率公式得到，解出后代入曲线方程即得切点坐标. 【详解】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得. 解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 4. 已知一圆台的上､下底面半径分别为2，4，体积为，则该圆台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆台的体积公式求出该圆台的高，进而求出其外接球的半径即可. 【详解】由题可知，圆台上底面面积，下底面面积， 设该圆台的高为，外接球的半径为， 则体积，解得， 可得解得 所以该圆台的外接球的表面积为. 5. 已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以点轨迹是以、为焦点的双曲线的右支， 由题意得：且，即得，， 所以双曲线为，其中， 设直线的方程为，联立，消去得， 因，则，即得，则，解得：. 6. 在数列中，已知，，那么使这个数列前n项的和成立的正整数n的最小值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 【答案】B 【解析】 【分析】找到数列的规律，周期，分组求和，结合单调性得到答案 【详解】，故， ，故，，，， ，……， 故当，为奇数时，，当，为偶数时，， 且当时，随着的增大，不减， 其中，， ， 所以使这个数列前n项的和成立的正整数n的最小值为2026. 7. 若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线l过定点，再利用对称性得，最后根据圆的定义即可判断. 【详解】由直线l：， 令，解得， 则直线l（不包含直线）过定点， 由对称性可知，，即点N到定点的距离为， 又直线l不包含直线， 所以点关于直线的对称点不在点N的轨迹中， 则N的轨迹是以为圆心，为半径的圆（去掉点），因此，点N的轨迹为圆的一部分. 8. 有4副手套，左右手分别编号为1，2，3，4，将这8只手套随机放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，每个盒内放两只，则每个盒子内恰好只有一只手套编号与盒子编号相同的放法有（ ） A. 128种 B. 144种 C. 224种 D. 256种 【答案】B 【解析】 【详解】先在每个盒子中放入与盒子编号相同编号的手套（在左手、右手中选择一只）， 则有种放法， 再将剩余编号为的手套错排放入4个盒子中， （1）编号为1的手套放入编号为的某一个盒子，有3种放法， （2）把余下编号为2,3,4的手套放入余下的3个盒子中，满足手套编号与盒子编号不同时有3种放法， 故每个盒子内恰好只有一只手套编号与盒子编号相同的放法有种. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算性质可一一验证. 【详解】设， 对A，， ，，故A正确； ， ，，故B正确； ， ，故C错误； ，， ，故D正确； 故选：C. 10. 下列有关排列数、组合数的等式中，，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用组合数性质判断A；利用排列数阶乘公式判断B；利用组合数性质计算判断C；利用组合数性质及二项式定理计算判断D. 【详解】对于A，由组合数性质知，，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C， ，C正确. 对于D，因为， 所以 ，D正确. 11. 在中，，，为内的一点，设，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的重心，则 B. 若为的外心，则 C. 若为的垂心，则 D. 若为的内心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，， 对于A：若为的重心，则， 所以 若，则，解得，所以，A正确； 对于B：若为的外心，其必在直线上， 所以，B错误； 对于C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，则，解得，所以，C正确； 对于D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，则，解得，所以，D正确； 故选：ACD. 关键点点睛：判断C选项的关键是利用垂心的性质、数量积垂直的坐标表示求出垂心的坐标，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 分别对、、三组成对数据做相关性分析，计算出其对应的相关系数分别为、，，则、、三组相关性的强弱从弱到强排序依次为________． 【答案】 【解析】 【详解】已知三组相关系数的绝对值为：，，， ， 、、三组相关性的强弱从弱到强排序依次为． 13. 定义：，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】先按行列式定义展开并将切化为弦，再用二倍角公式、和差化积公式化简分子，最后约去分母的即可得到结果． 【详解】由已知， 根据， 得， 所以， 根据， 得， 所以． 14. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿迭代法，这种方程求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为的初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的一次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的两次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.这就是所谓的“牛顿迭代法”. （1）当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：__________；（2）若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程正实根的两次近似值为__________（用分数表示）. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）根据题意利用归纳推理可得的次近似值与的次近似值的关系式；（2）设，求导，化简，取，分析计算即可. 【详解】第一空：由曲线在处的切线方程为：， 令，解得， 又曲线在处的切线方程为：， 令，解得， 由此推理得的次近似值与的次近似值的关系式为：； 第二空：方程正实根为， 设函数，则， 由， 当时，， . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用前项和与第项的关系变形，再利用构造法求出通项公式. （2）利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 在数列中，由，得， 则，数列 是首项为，公比为的等比数列，， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得，则， 两式相减得， 所以数列的前项和. 16. 知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式和单调递减区间； （2）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，求的最大值． 【答案】（1） ，单调递减区间为 （2） 6 【解析】 【分析】（1）根据图象求出、、的值确定解析式，再利用正弦函数的单调性求解； （2）由函数值求出角，结合余弦定理和基本不等式求得的最大值。 【小问1详解】 由图象可知，函数的最大值为1，最小值为，又，所以； 观察图象，函数的半个周期， 所以周期； 由且，解得，此时； 由图象可知，函数图象过点，且该点位于单调递增区间上， 所以，， 即，； 因为，令，解得， 所以函数的解析式为； 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 由知， 因为，所以，即，因为为三角形内角，所以， 由余弦定理，由基本不等式，设，则，当且仅当时等号成立，故 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数并化简，讨论和两种情况下函数的单调性；（2）根据题意将不等式转化为，分别求函数的最值，即可求解. 【小问1详解】 ，. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，解得，即在上单调递增， 由，解得，即在上单调递减. 【小问2详解】 当时，由（1）知， ，恒成立，在上单调递增，所以， 由题意知，即. 设，则，所以为增函数， 又，所以， 即的取值范围是. 18. 双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为和． （i）设点的横坐标为，求的取值范围； （ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上． （附：双曲线以点为切点的切线方程为） 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，再根据离心率得到，则得到其双曲线方程； （2）（i）首先排除切线斜率不存在的情况，再采用设线法，并联立双曲线方程，根据判别式得到的范围； （ii）设，根据切线结论得到直线和方程，再联立求出的坐标，再求出的坐标，得到直线方程，再分别设直线与直线交点为，直线与直线交点为，证明两点重合即可. 【小问1详解】 直线方程中，令，则， 则直线与轴交于，所以．离心率， 所以，故． 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 （i）经检验，当一条切线斜率不存在时， 若，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为， 联立双曲线方程得， 则， 解得，而双曲线渐近线方程为，则此时不符合题意， 当时，此时只有一条切线，显然不合题意， 则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，切线方程为， 与双曲线方程联立得：， 令． 整理得：，由于，所以且． 上式整理得：． 由题意，有两个相异实根，所以， 且． 整理得：，解得：． 综上所述，的取值范围是． （ii）设． 直线和方程分别为和． 联立得点． 又点在直线上，代入整理得：．① 在直线方程中，令，则，得点． ， 故直线方程为：． 设直线与直线交点为，联立两直线方程：． 解得：． 设直线与直线交点为， 同理可得：． 由①式，作差的分子有 ， 作差的分母有 . 则可得和表达式的分子分母分别相等． 故，两点重合，所以直线与的交点在定直线上． 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是采用证明两交点重合的方程得到定直线方程. 19. 我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形中，，将沿翻折，使点A到点P处.E，F，G分别为，，的中点，且是与的公垂线. （1）证明：三棱锥为正四面体； （2）若点M，N分别在，上，且为与的公垂线. ①求的值； ②记四面体的内切球半径为r，证明：. 【答案】（1）证明过程见解析 （2）①10，②证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，证明出线面垂直，得到⊥，由三线合一得到，进而得到六条边均相等，证明出结论； （2）①设出边长，由余弦定理得到，设出，表达出，利用列出方程，求出，得到答案； ②取中点，令，则到平面的距离为，表达出，再利用四棱锥内切球半径得到，其中，进而得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 连接， 因为菱形中，， 所以和为等边三角形， 因为是中点，所以⊥， 因为是与的公垂线，所以⊥， 因为，且平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥， 由三线合一得， 又，所以三棱锥为正四面体， 【小问2详解】 不妨设，则，， 由余弦定理得， 设， 所以， 因为， 所以 ， 故， 其中，， ， 即，解得，故； ②取中点，令，则到平面的距离为， ， 设四面体的表面积为S，则， 其中， 而， ， 所以， 即. 【点睛】在解决平面图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用解三角形知识或建立空间直角坐标系进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 两江西附高2026届强化训练（三） 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 2026年5月 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（ ） A. 40 B. 39 C. 36 D. 35 2. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一圆台的上､下底面半径分别为2，4，体积为，则该圆台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在数列中，已知，，那么使这个数列前n项的和成立的正整数n的最小值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 7. 若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 8. 有4副手套，左右手分别编号为1，2，3，4，将这8只手套随机放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，每个盒内放两只，则每个盒子内恰好只有一只手套编号与盒子编号相同的放法有（ ） A. 128种 B. 144种 C. 224种 D. 256种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列有关排列数、组合数的等式中，，正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 在中，，，为内的一点，设，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的重心，则 B. 若为的外心，则 C. 若为的垂心，则 D. 若为的内心，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 分别对、、三组成对数据做相关性分析，计算出其对应的相关系数分别为、，，则、、三组相关性的强弱从弱到强排序依次为________． 13. 定义：，则____________． 14. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿迭代法，这种方程求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为的初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的一次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的两次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.这就是所谓的“牛顿迭代法”. （1）当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：__________；（2）若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程正实根的两次近似值为__________（用分数表示）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式和单调递减区间； （2）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，求的最大值． 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 18. 双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为和． （i）设点的横坐标为，求的取值范围； （ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上． （附：双曲线以点为切点的切线方程为） 19. 我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形中，，将沿翻折，使点A到点P处.E，F，G分别为，，的中点，且是与的公垂线. （1）证明：三棱锥为正四面体； （2）若点M，N分别在，上，且为与的公垂线. ①求的值； ②记四面体的内切球半径为r，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $