江苏南京市第一中学2025-2026学年高二下学期数学5月基础题抢分赛

**基本信息** 高二数学基础题抢分赛试卷，聚焦集合、函数、概率等核心知识，通过课外小组人数统计、食堂就餐选择等生活情境设计问题，强化基础巩固与应用能力，适配月考检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|11/55|集合关系、独立性检验、充要条件|结合吸烟与肺癌关联分析（第2题），考查数学眼光| |多选题|3/18|概率统计、不等式性质|通过二项分布期望计算（第12题），培养数据意识| |填空题|6/30|排列组合、立体几何距离、函数单调性|正四棱柱点面距离（第17题），体现空间观念| |解答题|3/47|集合运算、函数导数应用、概率递推|食堂选择概率模型（第23题），考查推理能力与数学表达|

内容：导数、选择性必修二、集合逻辑不等式、函数的概念与性质 时间：2026.5.13 2024级高二数学基础题抢分赛（2） 时间：100分钟 满分：150分 一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分． 1．已知集合，，则满足的集合C的个数为（    ） A．7 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【解析】因为，，且， 故集合可以为，，共6个．故选：B. 2．根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是( ) A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误概率不大于1% C．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 D．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 【答案】B 【解析】由，得吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%，B正确； 卡方检验仅说明吸烟与患肺癌两个变量间的关联性，无法量化个体情况，这两个变量间也无因果关系，ACD错误．故选：B． 3．设，则“”是“都不为1”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以且，即且，充分性成立； 反之，若都不为1，则且，即，即，必要性成立． 所以，“”是“都不为1”的充要条件．故选：A 4．已知函数的定义域为，对任意均满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由①，可得②， ①②得：，即．故选：D． 5．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的人数为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【解析】设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图． 因为全班共36名同学参加课外探究小组，所以， 解得，即同时参加数学和化学小组的有8人．故选：C． 6．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】因为的解集为，所以的根为，且根据一元二次不等式的特征得：；根据韦达定理得：，所以，代入不等式得：，因为，所以，等价于，解集为；故选：A． 7．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A．(1，3] B．[1，3] C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足：，解得．故选C． 8．一个袋中装有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明的得分大于6分的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8，P(X＝7)＝；P(X＝8)＝， 所以P(X＞6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝． 9．函数()的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以()的最大值为． 10．已知函数，，对于任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ，，． 即在区间上的值域为． ， 所以，解得或，所以的取值范围是． 故选：D 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，所以在上单调递增， 所以，则，即，则. 设，则， 则当，，所以为减函数，则当， ，所以为增函数， 所以，则； 设，，则， 所以在为增函数，则，即，则，所以. 所以.故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12．关于概率统计，下列说法中正确的是( ) A．某人解答10个问题，答对题数为X，若X~B(10，0.6)，则E(X)＝6 B．已知ξ~N(2，9)，若P(ξ＞1)＝0.7，则P(2≤ξ≤3)＝0.2 C．两个变量x，y的线性相关系数为r，若r越小，则x与y之间的线性相关性越弱 D．若一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)的样本点都在直线y＝0.6x＋5上，则这组数据的相关 系数r为1 【答案】ABD 【解析】对于，因为X~B(10，0.6)，所以E(X)，所以正确． 对于，因为ξ~N(2，9)，P(ξ＞1)＝0.7， 所以P(2≤ξ≤3)＝P(1≤ξ≤2)＝P(ξ≥1)－P(ξ≥2)＝0.7－0.5＝0.2，所以B正确． 对于，两个变量x，y的线性相关系数为r，越小，则x与y之间的线性相关性越弱，所以错误， 对于，由题意可知就是回归方程，因为，所以为正相关，所以， 因为样本点都在直线上，所以，所以正确， 故选：ABD． 13．已知，则( ) A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A．的展开式中含的项为， 所以，A正确； B．令，得，令，得， 两式相加得，，B正确； C．令，得， 所以，C正确； D．等式两边对x求导得：， 令，得，D错误．故选：BC． 14．已知正实数，满足，下列说法正确的是（     ） A．的最大值为4 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A,因为，即，解得， 又因为正实数，，所以，则有，当且仅当时取得等号，故A正确； 对于B，由A知，，所以，当且仅当时取得等号，故B错误； 对于C,由题可得所以，解得， ， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 对于D,， 当且仅当时取得等号，故D正确， 故选:ACD． 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 15．已知集合，且，则 ． 【答案】1 【解析】因为，所以，即中的所有元素都必须属于， 又因为，，，所以， 即，得出或， 当时，，则，，满足， 当时，，则，，不满足集合元素的互异性， 综上，． 16．已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有 种． 【答案】60 【解析】若甲站在正中间，则共有种排法， 若甲不站在正中间，先排甲有种，再排乙有种，最后三人任意排有种， 则共有种排法， 综上，共有种不同排法． 17．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则C1到平面AD1C的距离为 ． 【答案】 【解析】如图，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,4)，C1(0,2,4)，∴＝(－2,2,0)，＝(－2,0,4)，＝(0，2，0)． 设平面AD1C的法向量为n＝(x，y，z)， 则即取z＝1，则x＝y＝2，所以n＝(2,2,1)， 所以点C1到平面AD1C的距离为＝． 18．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】结合图象易得． 19．若x2＋2mx＋m＋1＝0在x∈(－1，3)上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设f(x)＝x2＋2mx＋m＋1，结合图象易得． 20．已知正数x，y满足x＋y＝2，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】两次运用利用“1”的代换，即可求得． 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 21．（15分）已知集合，集合，． (1)若时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数k的取值范围． 【解析】（1）由，得，且x－3≠0，解得， 即． …………………………………………………………………………………………2分 由，得，因为，所以， 即， …………………………………………………………………………………………4分 所以．……………………………………………………………………………………6分 （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以BA． ………………………………………7分 又，， ①若，则，由BA，得－1≤k＜． ………………………………………9分 ②若，则，满足BA． …………………………………………………………………11分 ③若，则，由BA，得＜k＜3．…………………………………………13分 综上，实数的取值范围为[－1，3)． ………………………………………………………………………15分 22．（15分）已知函数，a∈R． (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋3y－1＝0垂直，求a的值； (2)若f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围； (3)若在上存在零点，求a的取值范围． 【解析】（1），， 由题可知，，即，解得． …………………………………………………3分 （2）由题可知，在（0，＋∞）上恒成立， 则在（0，＋∞）上恒成立．………………………………………………………………………5分 令，则，令，得． 当时，，递增；当时，，递减，………………………7分 所以， 所以．……………………………………………………………………………………………………9分 （3）因为， 令，得在上有解． 令，则，令，得， 当时，，m(x)递增；当时，，m(x)递减． ………………………12分 所以， 且，当x＞1时，m(x)＞0，当时，， 所以的取值范围为．…………………………………………………………………………………15分 23．（17分）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”， 则为“第1天不选择食堂”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：．…………………………………………4分 （2）①设为“第天选择食堂”，则，， 根据题意，， 由全概率公式得： ，……………………7分 则． 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列．…………………………………………………10分 ②由①得，，…………………………………………………………………………12分 当为正奇数时，．………………………………………………………………14分 当为正偶数时，． …………………………………16分 综上，当n＝2时，， 所以． …………………………………………………………………………………………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $内容：导数、选择性必修二、集合逻辑不等式、函数的概念与性质 时间：2026.5.13 2024级高二数学基础题抢分赛（2） 时间：100分钟 满分：150分 一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分． 1．已知集合，，则满足的集合C的个数为（    ） A．7 B．6 C．4 D．3 2．根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是( ) A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误概率不大于1% C．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 D．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 3．设，则“”是“都不为1”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知函数的定义域为，对任意均满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的人数为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 6．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 7．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A．(1，3] B．[1，3] C． D． 8．一个袋中装有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1 分，从袋中任取4个球，则小明的得分大于6分的概率是(　　) A． B． C． D． 9．函数()的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，，对于任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12．关于概率统计，下列说法中正确的是( ) A．某人解答10个问题，答对题数为X，若X~B(10，0.6)，则E(X)＝6 B．已知ξ~N(2，9)，若P(ξ＞1)＝0.7，则P(2≤ξ≤3)＝0.2 C．两个变量x，y的线性相关系数为r，若r越小，则x与y之间的线性相关性越弱 D．若一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)的样本点都在直线y＝0.6x＋5上，则这组数据的相关 系数r为1 13．已知，则( ) A． B． C． D． 14．已知正实数，满足，下列说法正确的是（     ） A．的最大值为4 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 15．已知集合，且，则 ． 16．已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有 种． 17．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则C1到平面AD1C的距离为 ． 18．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 19．若x2＋2mx＋m＋1＝0在x∈(－1，3)上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ． 20．已知正数x，y满足x＋y＝2，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 21．（15分）已知集合，集合，． (1)若时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数k的取值范围． 22．（15分）已知函数，a∈R． (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋3y－1＝0垂直，求a的值； (2)若f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围； (3)若在上存在零点，求a的取值范围． 23．（17分）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $