精品解析：福建厦门市第二外国语学校2026届高三下学期第一次适应性考试数学科试卷

厦门二外高三年高考第一次适应性考试数学科试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：集合， 且集合， 所以. 2. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，其对应点为， 复数对应的点与复数对应的点关于直线对称， 对应点为，则． 3. 若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得， 因，则，可得. 4. 过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】联立方程，消去得，所以，， 则交点坐标为，，，， 不妨设圆的标准方程为：，代入得：， 所以圆的标准方程为：. 5. 当时，函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的定义域，结合时，的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，因为，由可得且， 故函数的定义域为，排除AC， 当时，，排除D. 6. 物体在太阳光照射下影子的长度是随着太阳高度（相对于地面）的变化而变化.如图，在某斜坡面道路旁两点处（其中在斜坡路面底，在斜坡路面上），有两根长度均为10米且垂直于水平面放置的路灯杆，在阳光的照射下（阳光可视为平行光），处路灯杆的影子在水平路面上，长度为10米；处路灯杆的影子完全在斜坡路面上，长度为米.则该斜坡面与水平面的夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据在处的路灯杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的路灯杆算出斜面角的正弦值. 【详解】 水平路面，是照射过处路灯杆最高点的光线，光线交斜面于点， 如图可知，在处，，解得，即太阳光与水平面的夹角为， 所以，，， 在中，根据正弦定理可得， 代入可得，解得，即， 所以. 7. 已知函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用求两个函数的值域，把等式成立问题转化为值域的包含关系，从而可求参数的范围. 【详解】对于，当时，，则； 当时，，故函数的值域为； 设，则的值域为. 因对任意，存在，使得成立,即成立， 故函数的值域是函数值域的子集， 故只需，即，解得. 8. 若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知确定曲线的图形，数形结合并应用直线与圆的位置关系及已知条件分析临界情况，即可求范围. 【详解】由，可得， 即表示圆的上半部分（包含与x轴交点）， 当圆心到直线的距离为3时， 此时曲线C上恰有一点到直线l的距离为6， 由点到直线距离公式，可得， 结合图形位置关系知，点到直线l的距离为6， 此时为曲线C上存在两点到直线的距离为6的另一临界情形， 所以，可得， 故n的取值范围为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0． 9. 下列说法正确的是（   ） A. 若随机变量，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为5 D. 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性即可判断A，根据随机事件的概率加法公式与互斥事件的概率公式即可判断B；利用方差的性质即可判断C；根据相关指数与残差平方和之间的关系即可判断D. 【详解】对于A：因随机变量，则， 由正态曲线的对称性可得，故A正确； 对于B：由事件，相互独立，可知，对于随机事件，， 都有， 故仅当，互斥时，才有，故该结论不成立，即B错误； 对于C，由题意，，， 对于数据，，，， 其均值为， 其方差为，故C错误； 对于D，相关指数越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小， 则该回归模型的拟合效果越好，故D正确. 10. 在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则下列说法正确的是（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为 D. 双曲线的离心率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平面几何知识可判断AB，建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程可判断CD. 【详解】对于A，底面半径为，圆锥高．为的中点，所以截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为，则圆的面积为，故A正确； 对于B，如图1，在圆锥的轴截面中，作于点，则，， 所以椭圆的长轴长，故B正确； 对于C，如图2，设抛物线与底面圆的一个交点为，以为原点，为轴，在平面中建立平面直角坐标系如图2， 则，，所以，设抛物线方程为，则，解得， 则抛物线的焦点到准线的距离为，故C正确； 对于D，如图3，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点到底面的距离相等， 且在轴上，则，双曲线与底面圆的一个交点为， 设双曲线方程为，则，将代入双曲线方程得，解得，所以， 故双曲线的离心率为，故D错误． 11. 投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为.设事件“”，事件“”，事件“”，则（ ） A. B. C. 事件和相互独立 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由古典概率及条件概率的知识进行判断． 【详解】投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为的基本事件的总数有种， 对于选项A，事件“”包含： 当时，有6种， 当时，有种， 共有种， 则，故A项正确； 对于B项，事件“”包含： 当时，有6种， 当时，有种， 当时，有种， 当时，有种， 共有种，所以，故B项错误； 对于C项，因为，， 则，故事件和不相互独立，故C项错误； 对于D项，， 事件“且”包含：对每个，有都，有种， 求和：种， 所以， 事件“且”包含：对每个，有都，有种， 求和：种， 所以， 因此且相同，故，故D项正确． 三、填空题：本题共3小题；每小题5分，共15分． 12. 若直线的一个法向量为，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由直线，知其一个法向量为， 又也是直线的法向量，则，可得. 13. 一个正实数，它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等差数列，则这个正实数是__________． 【答案】## 【解析】 【详解】首先排除不符合题意的情况： 1. 若该正实数为整数，则小数部分，此时 成等差数列， 由等差中项性质得 ，解得，不符合正实数要求； 2. 若该正实数小于1，则整数部分，此时 成等差数列， 由等差中项性质得 ，解得，对应数为0，不符合正实数要求； 设该正实数为，其中整数部分，小数部分， 由题意， 依次成等差数列，根据等差中项性质得： 化简得，即，结合 ，得，即， 又，故，代入得， 因此该正实数为. 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，若的平分线与轴交于点，有，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可得，利用角平分线可得，再根据双曲线的定义结合余弦定理计算得出齐次式得出离心率即可. 【详解】∵，设的高为，则，可得，所以， ∵平分，可得， 则， 又因为，所以， 又中，由余弦定理得，则， 所以整理得， 故， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（，，）在处的切线方程为. （1）求的值； （2）分析函数的单调性. 【答案】（1）2 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程建立关于的方程求解即可；（2）求出函数的导数，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 由题意得：，解得：，所以. 【小问2详解】 由（1）得：， ①当时，即，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递增； ②当时，若，，函数在区间上单调递增； 若，，函数在区间上单调递减. 16. 已知抛物线：，过点的直线与交于不同的两点，.当直线的倾斜角为时，. （1）求的方程； （2）若过点且倾斜角为的直线与交于两点，（与，两点不重合），与点形成，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求直线的方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及两点距离公式，求弦的长即可； （2）先求直线方程，再与抛物线联立，利用韦达定理及三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：设， 若直线的倾斜角为，则直线的方程为， 联立得， 则， 且， 所以. 因为，所以， 故的方程为； 【小问2详解】 解：直线过点，倾斜角为，则直线方程为， 联立抛物线得：， 设，，由韦达定理得：， ， ， 点到直线的距离， ． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，、点在棱上． （1）当时，求三棱锥的体积； （2）若二面角的大小为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知点E到平面ABCD的距离为，利用割补法求体积； （2）建立空间直角坐标系，设，，求平面BDE、平面BCD的法向量，利用空间向量结合二面角列方程求解. 【小问1详解】 因为，且平面，可知点E到平面ABCD的距离为， 所以． 【小问2详解】 在平面ABP内过点B作直线AP的平行线l， 以B为原点，分别以BC，BA，l所在的直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设，，则， 可得， 设平面BDE的一个法向量为，则， 令，则，，可得， 由题意可知：平面BCD的一个法向量为， 因为二面角的大小为， 则，可得， 整理得，解得或（舍去）， 所以． 18. 二项式定理是代数版的二项分布，二项分布是概率版的二项式定理，组合数是二者共同的数学基础． （1）证明：（为正整数，且）； （2）若随机变量的概率分布列为，试求D(X)； （3）若函数，求(用含k，n代数式表达)． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用组合数公式对两边化简即可求得； （2）根据二项分布的概率公式可判断出随机变量服从的分布，再根据二项分布的方差公式即可求得； （3）先对函数求导，化简，结合二项式定理化简即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为随机变量的概率分布列为， 若，则， 故，则 【小问3详解】 对求导，可得，则， 又因为 ， 所以. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在上的值域； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数判断在上的单调性即可求解； （2）问题转化为在上恒成立，令，利用二阶导数求的最小值，对二阶导数的符号进行分类讨论，分，，三种情况进行讨论； （3）利用（2）的结论可得，进而利用放缩可得，然后利用裂项相消求和可证明不等式的左半部分，令，利用导数证明当时，，再利用放缩可得，最后利用裂项相消求和可证明不等式的右半部分. 【小问1详解】 当时，，则， 令，则，即； 令，则，即. 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以的值域为. 【小问2详解】 由，得， 设，则， ， 设，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以. ①当时，在上单调递减，则，不满足题意； ②当时，，使得， 当时，在上单调递减，则，不满足题意； ③当时，在上单调递增，则，满足题意. 综上可得，即实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）得，当时，任意恒成立， 即， 所以， 所以 . 令，则， 存在，使得. 则当时，；当时，， 于是在上单调递增，在上单调递减，而， 所以，即当时，. 所以， 所以. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门二外高三年高考第一次适应性考试数学科试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 当时，函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 物体在太阳光照射下影子的长度是随着太阳高度（相对于地面）的变化而变化.如图，在某斜坡面道路旁两点处（其中在斜坡路面底，在斜坡路面上），有两根长度均为10米且垂直于水平面放置的路灯杆，在阳光的照射下（阳光可视为平行光），处路灯杆的影子在水平路面上，长度为10米；处路灯杆的影子完全在斜坡路面上，长度为米.则该斜坡面与水平面的夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0． 9. 下列说法正确的是（   ） A. 若随机变量，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为5 D. 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 10. 在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则下列说法正确的是（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为 D. 双曲线的离心率为 11. 投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为.设事件“”，事件“”，事件“”，则（ ） A. B. C. 事件和相互独立 D. 三、填空题：本题共3小题；每小题5分，共15分． 12. 若直线的一个法向量为，则实数的值为__________． 13. 一个正实数，它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等差数列，则这个正实数是__________． 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，若的平分线与轴交于点，有，则双曲线的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（，，）在处的切线方程为. （1）求的值； （2）分析函数的单调性. 16. 已知抛物线：，过点的直线与交于不同的两点，.当直线的倾斜角为时，. （1）求的方程； （2）若过点且倾斜角为的直线与交于两点，（与，两点不重合），与点形成，求 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，、点在棱上． （1）当时，求三棱锥的体积； （2）若二面角的大小为，求的值． 18. 二项式定理是代数版的二项分布，二项分布是概率版的二项式定理，组合数是二者共同的数学基础． （1）证明：（为正整数，且）； （2）若随机变量的概率分布列为，试求D(X)； （3）若函数，求(用含k，n代数式表达)． 19. 已知函数. （1）当时，求函数在上的值域； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $