专题6 课时作业28 定点、定值问题-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习练习手册

班级： 姓名： 课时作业28 定点、定值问题 (分值：60分) 1.(15分)(2025·湖南岳阳一模)已知抛物线C:y2= 2.15分)(2025·河北保定一模)已知椭圆C:乙王 2px的焦点为F,点F在直线2x十3y一2=0上， A,B是抛物线C上两个不同的点. 得分 y2 b2 -1(a>b>0)的离心率为2，左、右焦点分别 (1)求抛物线C的方程； 为F1,F2,点P为C上的动点，△F1PF2的周长 (2)若O为坐标原点，设直线OA,OB的斜率为 kM,kB,若koM·kOB=一2，求证：直线AB过定 为6. 得分 点，并求出该定点坐标. (1)求C的标准方程」 (2)延长线段PF1,PF2分别交C于Q,M两点，连 接QF2并延长，交C于另一点N,若直线PQ和 MN的斜求均存在，且分城为1，，试判斯冬是 否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明 理由. (横线下方不可作答)225专题六平面解析几何 3.(15分)在平面直角坐标系xOy中，点A,B分别在 4.(15分)(2025·重庆永川区二模)已知点A是圆 x轴、y轴上运动，且|AB|=3,动点P满足 x2+y2=1上的动点，点A在x轴上的射影为B, √3OP=√2OA+OB 得分 点P满足PB=2AB,记动点P的轨迹为E (1)求动点P的轨迹C的方程. 得分☐ (2)设圆O:x2+y2=2上任意一点Q处的切线交 (1)求E的方程： 轨迹C于点M,N两点，试判断以MN为直径的圆 (2)若斜率为2的直线1与y轴交于点D,与E交 是否过定点.若过定点，求出该定点的坐标；若不 于M,N两点，求证：IDM2十|DN2为定值. 过定点，请说明理由. 红对勾讲与练 226 高三二轮数学 ■(2)设直线1：y=k.x一3，联立方程组 5 =1 整理得(5k2+4)x2 y =kx-3, 30kx+25=0. 则△=(-30k)2一4(5k2+4)×25> 0且k>0,可得k2>1,所以k>1. 如图，设B(x1y1),C(x2y2),则 30k x1十x2= 5k2+4 则直线AB的方 25 5k2+4 程为y= y1+2 x-2,与直线y=一3 交于点M(十2-3小 直线AC的方程为y=必+2 一x一2，与直 线二3交于点N(十2-3) 当|PM+|PN15时，由题意知 T2 <0,一 <0,则 y1+2 y2+2 T2 y1+2 y2+2 ≤15， 将y1=kx1一3，y2=kx2一3代入可 得 y1+2 y+2=kx1- To 2kx1x2-（x1+x2) kx2-1 kx1x:-k(x1+x)+1 50k 30k 5k”+4 5k2+4 =5k,所以 25k2 30k +1 5k2+4 5k2+4 5k≤15，解得k≤3，所以斜率k的取 值范围为(1,3]. M 课时作业28 定点、定值问题 1.解：(1)y2=2px的焦点在x轴上， 为(0) 直线2x+3y-2=0与x轴的交点坐 标为1,0)，则号=1，即p=2,所以 抛物线C的方程为y2=4x (2)证明：证法一由题意可知AB所 在直线的斜率不为0， 设A(x1y1),B(x2y:),AB所在直 线的方程为x=my+n,联立y= 4x,化简可得， y2-4my一4n=0,则△=16m2+ 16n>0(*),y1y2=-4n. 又kA·koB= y1·y2 yi·y2 16 16 16 y1·yg 一4n =-2, 则n=2,满足(*)式， 即直线AB恒过点(2,0). 证法二 当直线AB的斜率不存在 时，设A(）B(,-y) 376红对闪讲与练·高三二轮数学 所以koA·ko= -16y5=-2,所以 y?=8,所以直线AB的方程为x=2: 当直线AB的斜率存在时，设A(x1, y1),B(x2,y2),AB所在直线的方程 为y=kx十b(k≠0，b≠0)，联立 y2=4x,化简可得x2+(2kb 4)x+b2=0, 由题意可知△=(2kb一4)2一4kb2= 16-16kb>0即kb<1(*). 由根与系数的关系知x1十x:= 4-2kb 62 k x1x2=2' 所以ko·kB=2= 1T2 kx1x:十b(x1十x:)+b T172 4k三一2， b 所以b=一2k,满足（￥）式， 所以AB所在的直线方程为y=kx 2k=k(x一2). 综上，直线AB恒过点(2,0). 2.解：D因为P为椭圆十 6=1(a> b>0)上的点， 所以△F,PF。的周长为|PF,|+ I PF:+FF:I=2a +2c=6, a+c=3. 又椭圆C的离心率为子所以名=弓· 1 所以a+2 a=3,所以a=2,c=1, 所以b=√22-1=√3， 所以C的标准方程为号+ =1. (20会是定位 由(1)得F1(-1,0),F2(1,0), 如图，设P(x1y1),Q(xy:), M(x3,y3),N(x4,y:), y F M 又P,Q,F1三点共线，所以y1 x1+1 十化简得x一工y y2 y1一y2, 则直线PP:的方程为x=1一 y+ 31 1,直线QF。的方程为x y+1 y2 x1-1 -y+1, 由 化简得(2x1 4 5)y2-2(x1-1)y1y+3y=0, 由根与系数的关系可知y1y 3yi 2x1-5 所以y3= 3y1 x1-1 2x1-5 X3= 3y3十 5x1-8 1= 2x1-5' 5x2-8 同理y:= 3y9 2x2-5x4= 2x2-5 又k,= y2二义，k= y-ya x2一x1 x4一x3 3y2 3y1 2x2-5 2x1-5 5x2-8 5.x1-8 2x2-5 2x1-5 2(x1y2-x2y1)-5(y2-y1) -3(x2-x1) -2(y2-y1)-5(y2-y1) 7 × -3(x2-x1） 3 y:一y =2k1, x2一x1 3 3 所以 k2 3.解：(1)设P(x,y),A(x。,0),B(0, yo),由|AB|=3得x6十y8=9, 由√OP=√2OA+OB得(3x, √3y)=(W2x。,0)+(0,yo), √3 x0= 所以 √2代人x+y后=9得 =3y, 停 +(3y)=9, 整理得。士三1，所以动点P的轨 迹C的方程为后+ =1. (2)①当切线的斜率不存在时，切线 方程为x=√2，x=一√2，如图， M N x=-√2 x=√2 (i)当切线方程为x=√2时，M(√2， √2)，N(√2，-√2)， 以MN为直径的圆的方程为 (x-√2)+y°=2， (ⅱ)当切线方程为x=一√2时， M(-√2，√2)，N(-√2，-√2)， 以MN为直径的圆的方程为(x+ √2)2+y2=2. 由(x-√2)+y=2和(x+√2)十 y2=2,可解得交点为(0,0) ②当切线的斜率存在时，如图，设切 线方程为y=kx十m, x 则 =√2，故m2= k2+1 2(k2+1), y=kx十m, 由《 =1, 消去y整理得(1十 2k2)x2+4kmx+2m2-6=0, 因为△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2 6)=-8(m2-6k2-3)=-8(2k2十 2-6k2-3)=8(4k+1)>0, 所以切线与椭圆C恒有两个交点. 设M(x1,y1),N(x2y2),则x1 + Akm 2m2-6 T2= 1+2k2x1x:= 1+2k2 所以OM·ON ziz:yiy: x1x2十(kx1+m)(kx2+m)=(1+ k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+ ) 2m-6 1+2k2 +m·()十 m2 3m2-6-6k 1+2k 3×2(k2+1)-6-6k2 =0. 1+2k 所以OM⊥ON,即以MN为直径的 圆过原点(0,0). 综上所述，以MN为直径的圆过定点 (0,0). 4.解：(1)设P(xy),A(x。y。),因为B 为A在x轴上的射影，所以B(x。,0) 已知PB=2AB,则(x。一x,一y)= 2(0,-y0), x0=x, 可得 x一x=0,即 y=-2y' yo 2 又因为A(xoyo)在圆x+y°=1上， x0=x, 将 y代入圆的方程得x+十 () 1, 即兰十x=1,所以E的方程为 x2=1. (2)证明：如图，设直线1的方程为y= 2x+m,D(0,m),设M(x1,y1), N(x2,y2). 将y=2x十m代人兰十x=1得 (2x+m) +x2=1,化简得8x2+ 4 4m.x+m2-4=0. △=16(8-m2)>0,即-2√2<m< 2√2， 由粮与系数的关系得x,十工：= m m2-4 T= 8 根据两点间距离公式，|DM|=xi+ (y1-m)2=x1+(2x1)2=5.xi, |DN|2=x+(y2-m)=x+ (2x2)2=5.x2. 所以|DMI2+|DNI2=5(x+ x)=5[(x1+x2)2-2.x1x2]. 把x1十x:=一 2 221xg= m2一4代 8 入得IDMI2+IDNI2= 5(0-)=51=5 所以IDMI2+|DNI为定值5. 教考衔接练5圆锥曲线的 第三定义和垂径定理 1.A设A(x1y1),P(x2y),因为点 A,B连线经过坐标原点，根据双曲线 的对称性，得B(一x1,一y1),所以 kpA·kpg=y一y.y十y x2-x1 x2十x1 因为点A,P在双曲线上，所 fzi yi -6 =1, 以 两式相减，得kpA· {a2 6 =1, kPB= 3,所以双曲线的渐近线 2W3 方程为y=士 -x,故选A. 3 1 2.A由垂径定理得，kw·kAs= 1 a'a 即1-e=2,因为0<e<1,所以 e= 2 .故选A. 3.B椭圆的面积S=ab=6√2π，即 ab=6√2①.因为点P为椭圆C的上顶 点，所以P(0,b),因为直线y=kx与 椭圆C交于A,B两点，不妨设A(m, 2)、则创Bm·2)且a2十五2二乙·5 以m=。-容”周为PAPB的纷 率之积为二。，所以”二b】 m 二-b=-8 -m 把m=a-代 人生理化两将名一号@，①@联立解 得a=3,b=2√2.所以椭圆C的长轴 长为2a=6.故选B. 4.A如图，设M为AB的中点，因为 IPA|=|PB|,所以PM⊥AB,文 P(m,0),所以PM:3.x+y-3m=0. 与直线AB联立，容易得 M(5m,后m),由套径定理得 43 kABk OM=e2-1→ ×3=e2-1 解得e=故选A 2 5.D如图，设M(x1y1),Q(x2y),则 N(-x1·-y1),P(3x1,0),设k1,k2, k?分别为直线MN,QM,NP的斜率， 则1=头：=二义，k Ti xg一x1 0十y1 =元，=k 3x1-(-x1) 因为直线QM是以MN为直径的圆的 切线，所以QM⊥MN,k1k2=一1，所 以k:k:=-不，文Q在直线NP上， M 所以：=4十当.因为M,Q在 x2十x1 6=1(a>6>0)上， 所以+ =1， =1, 两式相减得 yi y2 62 =0,整 理得十y. 一y1 =- b x2十x1x2一x1 62 故k2k3=一 1 则e2=1- =1 -,故e= 故选D. 6.A方法一 设不重合的点A(x。, yo),P(x1y1)(x。≠士x1),点P, Q关于原点对称，∴.Q(一x1,一y1), 心kA= 二义，k0=十 Ea一x1 x0十x1 kAP·kAQ= yo-y1)(y。+y1) (xo-x1)(x。+x1) 2 2 y-yi 2 2o-zi 2:点Ag P(x1)均在精国二+ b=1(a 6>0)上心3+ 69 1,两项相减得 To .kAP·kAQ 2 -zi 1 62 故选A. 2 2 方法二 由题意，可取P,Q为特殊 点，不妨取P,Q为椭圆左、右顶点，依 据椭圆第三定义，有kAP·kAQ= 1 6 1 2 2，。 ,故选A 7.B如图，∠F1AF2=90°， .△F1AF2为等 y 腰直角三角 A 形，.b 2 26 F M 2c2, B 且∠AF,O=45°，∴.kMA=-1. 参考答案 2377