教材回归4 数列-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

3.已知a,3为锐角，sina 5,sin(a-8)=0 √ 10 则tan(2a一3)的值为 () B.√2 C.1 D.-7 4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b, c,已知A=石a=2,b=2,则下列结论一定正 确的是 AB<号 BB>爱 C.c>2 D.c<3 5.在△ABC中，A=45°，BC=10,AB= 32 AC,则△ABC的面积是 ( B C.3 D.12 6.（多选)已知函数f(x)=2sin(w.x十p)(w>0) 的部分图象如图新示，将函数f(x)的图象向右 平移号个单位长度，得到函数g)的图象则 教材回归 知识》回归 1.牢记概念与公式 等差数列、等比数列（其中n∈N) 项目 等差数列 等比数列 通项公式aw= a= 若q≠1，Sm= a(1-9）_ 前n项 S。=n(a1+a,) 2 1-9 和公式 ai-anq 1-9 若q=1,Sn= 148 红对勾讲与练·高三二轮数学 A88)=-2 B.g(x)的图象的对称中心为点（否+2元，0）， k∈Z C.g(写)=0 D发：)的单调递增区间为(-否+2张x,十 2kπ)，k∈Z 7.(多选)已知函数f(x)=2sim2x-）,则下 列说法正确的是 A.函数f(x)在区间（于，）上单调 B直线x-径是函数x)的图象的一条对 称轴 C.直线y=1与函数f(x)的图象在区间 (否，)上有2个公共点 D.函数fx)的图象向左平移T个单位长度 后，得到的图象所对应的函数解析式为 y=2os2x- 4 数列 2.活用定理与结论 (I)等差、等比数列{an}的常用性质 项目 等差数列 等比数列 若m,n,s,t∈N*, 若m,n,p,q∈N,且 且m+n=s+t, m n =p +q, 则 则 性质 a=am· an=am十 ·d; Sm,S2m-Sm,S3 Si S2m SmS3m S2m,…仍成等比数 S2m,…仍成等差数列 列(Sm≠0) (2)判断等差数列的常用方法 ①定义法 a+1一am=d(d为常数，n∈N)台{an}是等差 数列； ②通项公式法 am=n十q(p,q为常数，n∈N*)台{an}是等 差数列； ③中项公式法 2a+1=am十am+2(n∈N)台{an}是等差数列； ④前n项和公式法 Sm=An2十Bn(A,B为常数，n∈N)台{an} 是等差数列. (3)判断等比数列的常用方法 ①定义法 出=g(g是不为0的常数，n∈N)台{a,}是 an 等比数列； ②通项公式法 am=cq”(c,q均是不为0的常数，n∈ N“)台{an〉是等比数列； ③中项公式法 a+1=am·am+2(an≠0，n∈N*)曰{an}是等比 数列； ④前n项和公式法 Sm=kg”一k(k≠0，q≠0,1)台{an}是等比 数列. 3.数列求和的常用方法 (1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公 式求和. (2)分组求和法：分组求和法是解决通项公式 可以写成cn=a,十b.形式的数列求和问题的 方法，其中{an}与{bn}是等差（比）数列或一些 可以直接求和的数列. (3)通项公式形如am=(an+b1)(an十b2） (其中a,b1,b2,c为常数)的数列常用裂项相消 法求和. 裂项相消法常见形式： 1 11 n(n+1)=nn+1' 1 1/11 n(m+2)=2n-n+2 1/11 (2-1)(2m+1)22n-12n+1/ 2” (2+1-1)(2-1)2”-12+1-1 (4)形如{am·bn}的数列（其中{an}为等差数 列，{bn〉为等比数列)，利用错位相减法求和. (5)通项公式形如am=（-1)”·n,am=a· (一1)”或am=(-1)"(2n+1)(其中a为常数， n∈N”)等正负项交叉的数列求和一般用并项 法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况 讨论. 对点》训练 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3= 12,S6-S3=24,则S12-S。= () A.36 B.48 C.60 D.120 2.等比数列a,n∈N)满是a,-日公比为2。 数列{bn}(n∈N)满足bn=a+2·am,下列结 论错误的是 () A.{an}为递增数列 B.{bn}为递增数列 C.{bn}中最小项的值为1 D.(n-3)·(bm-an）≥0 3.已知正项数列a,}满足a=” 2ma,则2 () Ajg c 1 0.2 4.（多选)记Sm为等差数列{am}的前n项和.已 知S5=0,a5=6,则 () A.a1=-6 B.a=3n-9 C.S2=S D.S,=3215m 2 5.(多选)在递增的等比数列{am}中，公比为 q,Sm是数列{an}的前n项和，若a1a4=243, a2十a3=36,则下列结论正确的是() A.q=2 B.S5=363 C.数列{Sn}是等比数列 D.数列{log3an}是公差为1的等差数列 6.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1= 1,51=5.十2a.十1，数列2”的前n项和 lanant 为Tm,则下列选项正确的是 () A.数列{am十1}为等差数列 B.数列{am十1}为等比数列 C.数列{an}的通项公式为am=2”-1 山若工.<8号则正整数，俗最大值为8 第二部分教材回归 1496.A如图，船从，点O 北 出发，沿OC方向行 驶才能使船垂直到 达对岸，依题意， OA⊥OB,1OAI= 10 km/h,|OB I= 10√3km/h,则1OC I= √Oi1+o= 20km/h,则 cos∠BOC= 3 2 因为 OC ∠BOC为锐角，故∠BOC=30°，故船 以大小为20km/h的速度，沿北偏西 30°的方向行驶，才能垂直到达对岸.故 选A. 教材回归3 三角函数、 三角恒等变换与解三角形 知识回归 1.{B|B=a+·360°，k∈Z} 2.(1){a|a=k·360°，k∈Z} (2){a|a=180°+k·360°，k∈Z (3){a|a=k·180°，k∈Z} (4){a|a=90°+k·180°，k∈Z} (5){a|a=k·90°，k∈Z} 4.2(10) 5a)1a1r(2)1e1r 8.-sin a sin a sin a cos a cos a cos a 一COSa sin a sin a tan a -tan a tana 9.R R x=kπ，k∈Zx=kπ，k∈Z 2r2π 奇 偶奇 [-π+2kx,2kπ](k∈Z) 2 +kπ)(k∈Z) 3π 2 十2k ,之+2kx(∈z) x= 2 十kπ(k∈Z)x=kπ( Z) (kπ，0)(k∈Z》 (受+x,0）k∈z) (经0)k∈ 11.(1)cos a cos B-sin a sin B cos a cos B+sin a sin B sin acos B+cos asin B sin acos B-cos a sin B (2)2sin acos a cos'a-sina 2sin'a 13.62+c2-2bccos A a2+c2-2ac, cos B a2+b2-2ab cos C 1 2absin C 14.2acsin B 对点训练 1.D 因为角a的终边经过，点P(一1,2)， -1 5 所以c0sa= √/(-1)+2 5, 则cos 2a =2c0sa-1 =2X ）-1=-3 故选D. 4 sin a cos a一cosa 2.A 由条件得 cos a 3 2,解得sina=÷,又a为锐角，所以 d cosa=√1-sina= 4 ,tan 2a sin 2a= cos 2a 2 sin acos a=-37.故 cos'a-sin'a 选A. 3C已知。为锐角，sin。=白，根据 sin2a+cos2a=1,可算出cosa= √一（停）-5为e,8为机 角，所以-受<a-日<受又sina 2 B)= 10,所以c0s(a-月)= √/10 √1-( -30 ,sin(2a- 110 10 B)=sin a cos(a-B)+cos a sin(a- )=5×3+5×四 5 10 5 10 √2 2.cos(2a-B)=cos acos(a-B) sin asin(a-B)=2w5×3V而 5 10 5 102 ,所以tan(2a一B)= cos(2a-月=1，故选C sin(2a -B) 4.D由正弦定理可得a b 1 sin B= a 2由于 B∈(0，若)故B=子或B=故 4 AB错误：若B=至，剔C=一A- B=x一 asin C Jsin 12 π sin A 1 =1十3<3，若 B=经则C=-A-B=R-合 4 行=音此时C为三角彩中装小的内 角，故c<a=√2，故C错误，D正确. 故选D. 5.C由余弦定理BC2=AB+AC- 2AB·AC·cosA,得号AC+AC- 2X3V2 ACcos45°=10，解得AC月 2,则AB=3√2.故△ABC的面 RS△A=7AB·AC·snA三7 2×3巨×号=3.故选C 6.AD由题图得函数f(x)的最小正周 期为2，所以。=1上9十音=受十 2 2张xk∈乙.解得甲=音+2k6∈Z, 不坊取9=若，所以fu) 2sin(x+）ga)=2sin(e-8)） 8()=-2,g()=1故A正 确，C错误：令x一开=kπ，k∈乙，解 6 得工=否十x,∈乙，所以画数g（红) 的图象的对称中心为点（行十kx,0）, k∈Z,故B错误；函数g(x)的单调递 培区间为（号+2x,经+2）小· k∈Z,故D正确.故选AD. 7,BcD当x∈（牙受）时，2x-∈ (年，3)，由于函数y= sint在 (）) 上不单调，因此函数f(x)在 区间（天，受）上不单调，故A错误： f(g）=2sin(-）-2sm -2,故直线x=-7是函数f(x)的图 8 象的一条对称轴，故B正确；令 f)=1期m(2红-)=名，当 x∈（-，）时，2z 7x 6 或 = 2x-之 合，解得x 11x 或x= 24 5x 24 ,故C正确；将f(x)的图象向左平 移年个单位长度后，可得y f(e+）=2sim(2z+-开）= 2c0s(2x-）的图象，故D正确.故 选BCD. 教材回归4数列 知识回归 1.a1+(n-1)da1g"(g≠0)na1+ n(n-Dd na 2 2.(1)am十am=ab十ag (n-m）am· am=,·aq N一初 对点训练 1.B由等差数列前n项和的性质， 得S3S:一S,S一S,S12一S成等 差数列，故S。一S:=2(S: Sg)-S3=36,则S12-S4= 2(Sg一S:)一(S6一S3)=48.故选B. 2.C 由题意可知，an=a4·2=1. 2 2"-‘=2”-i,an>0且公比q=2>1, {am}为递增数列，故A正确；b,= a+2·a=2-3·2"-=28>0, 22w-6 2场 =4>1,则{bn}为递增数 列，故B正确；当n=1时，b取得最小 值b1=2$,故C错误；bn-a。= 22w-2”-i=2”-5(2”-3一1)，当n≤3 时，bn一a≤0，当n>3时，bn一am> 0,故(n-3)·(bm-am）≥0，故D正 确.故选C. 参考答案 335 3.B 依题意，0十门 1 2 ■，则数列 是以，为公比的等比数列·因此 =号·()，所以=故 8 选B 4.ABD S=5a1+10d=0解得 a;=a1+4d=6, a:=-6,所以a,=a1+(n-1)d= d=3, n(a1十am） 3n 9.S 2 3n2-15n 2 ,A,B,D正确；S2=一9， S:=一6，C错误.故选ABD. 5.BD 由a1a,=243可得a2a3=243, 结合a2十ag=36,故a2a3是方程 x2一36.x+243=0的两个实数根，由 于{am}单调递增，故a2<a3,因此 a2=9,a3=27,故g=3,故A错 误；S=a1+a2十a3十a,十a=3十 9+27 +81+243=363,故B正 确；S1=a1 =3,S2 =1 十a2 12,S3=a1 +a2 十a3=39,故 S1S3≠S,因此{Sm}不是等比数列， 故C错误；am=3”,.log3am=n,故 logsa 是公差为1的等差数列，故D 正确.故选BD. 6.BCD 由S+1=Sn+2am+1,可 得S+1一S。=am+1=2am十1，则 a+1十1=2(am十1)，所以数列{am十 1}是以a1+1=2为首项，2为公比的 等比数列，A错误，B正确；所以am十 1=2X2”1,得a=2"一1，C正确；显 2” 2" 然 ana+l (2”-1)(2+1-1) 1 1 2 50- 2 22-1a2as 22-1 23-7 2 1 1 aaw+l 2”-1 2+1- 一，上式累加 可得T,=1一 2+1 ，,不等式T< 1022 1 等价于1一 022 1023 2为 即 1023 2+1-1<1023,即2"1<1024，其中 2°=512,218=1024，所以正整数n的 最大值为8，D正确.故选BCD. 教材回归5 立体几何与空间向量 知识回归 6.(1)|cos(a,b〉 (2)cos(a,n> (3)|cos(n1,ng〉 对点训练 1.A 由题意可知，下底面面积S,≈ 13×6.5=84.5(cm),上底面的长约 为13×0.8=10.4(cm),宽约为6.5× 0.8=5.2(cm),上底面面积S,≈ 10.4×5.2=54.08(cm2),高h≈ 6.5cm.所以由台体的体积公式得其 你积V≈×6.5×(84.5+54.08+ 3 /84.5×54.08)= 3×6.5X(84.5+ 1 54.08+67.6)=×6.5×206.18≈ 3 446.7(cm3).故选A. 336红对勾讲与练·高三二轮数学 2.D由题意，以D为原点，DA,DC, DD1所在直线分别为x轴、y轴、之轴 建立如图所示的空间直角坐标系， D 、B B 因为AB=3,BC=2,AA1=1,所以 D(0,0,0),B(2,3,0),C(0,3,0), D1(0,0,1),则DC=(0,3,一1)， D1B=(2,3,-1),D1D=(0,0, 一1)，不妨设平面BCD1的法向量为 n=(xy,), D1C·n=3y-之=0， 所以DB.n=2x+3y-之，0， 不妨令y=1,则x=0,这=3， 即平面BCD,的一个法向量为n= (0,1,3),所以点D到平面BCD的距 3 3√10 离d= n·DD1 n /10 10 故选D. 3.C设这个二面角的大小为Q,由题意 得，CD=CA+AB+BD,∴.CD2= CA:+AB*+BD:+2CA I.IBD I. cos(π-a),.(2W2)2=4+1+9-2X 2X3 X cos a,解得cosa=2,a= 60°，.这个二面角的大小为60°.故 选C. 4.ACD若m∥n,nCB,则m∥3或 mCB,A错误；若a∥B,mCa,则 m∥B,B正确：若1⊥m,l⊥n,则m∥ n或异面或相交，C错误；若m∥a, n∥a,则m∥n或异面或相交，D错 误.故选ACD. 5.ABD由于BNC平面BB1C1C, MB1∩平面BB,C,C=B1,B1 BN,故直线BN与MB,是异面直线， 故A正确；如图，连接CD1,AD1, D M C A B C y B 因为M,N分别为棱C1D1,C,C的中 点，所以MN∥CD1,所以直线MN与 AC所成的角即为直线CD,与AC所 成的角，又因为△ACD,是等边三角 形，所以直线CD1与AC所成的角为 三，故直线MN与AC所成的角是 故B正确；如图，连接DM,假设直线 MN⊥平面ADN, D M A B A 因为DNC平面ADN,所以MN⊥ DN,而MN=,DN=5,DM 2 2 5 这三边不能构成直角三角形，所以 2 DV与MN不垂直，故假设错误，故C 错误；如图，连接MC, M C A A B 因为DC=CC1,∠DCN=∠CC1M, NC=MC1,所以△DCN≌△CC,M, 则∠CDN+∠DCM=∠C1CM+ ∠DCM=90°，即DN⊥CM,又因为 BC⊥平面DC1,DNC平面DC1,所 以BC⊥DN,因为BC∩CM=C,所 以DN⊥平面BCM,又因为BMC平 面BCM,所以DN⊥BM,故D正确. 故选ABD. 6.ACD )设AA=a,AB=b,AC =c, 由题意可得|b|=|c|=2,b·c= 1bIIc|cos60°=2，a·b=a·c= |a|·2·cos60°=|a|,由题图可得 AC =AC+AA=c+a,A B=AB- AA:=b-a,由AC1⊥A1B,得AC1· A1B=0,即(c十a)·(b一a)=c·b a·c十a·b-a12=0,化简可得2 |a2=0,解得AA1=|a=√2，故 A正确；由题意取BC的中，点D,连接 AD,过A1作A1O⊥平面ABC,垂足 为O,连接AC,OB,OC,如图， B B 由题意可知AA1=AA1,AB AC,∠BAA1=∠CAA1,则 △BAA1≌△CAA1,所以A,B A1C,因为A1O⊥平面ABC,OB, OC二平面ABC,所以AO⊥OB, A1O⊥OC,因为A1B=A1C,A1O= A1O,所以Rt△A1OB≌Rt△A1OC, 所以OB=OC,可得O∈AD,所 以∠A1AD为直线AA1与平面ABC 所成的角，由A可得AA=a,AD = 店+⊙)=b+e,在等边 △ABC中，易知|AD1=AB sin60°=√5，则cos∠A1AD a号(6+c) 1 AAAD 1AA1I·|ADI 1a1·√3 a·b+a·c ，所 1 231a 25|a1 3 以直线AA1与平面ABC所成角的正 弦值为 3 ,故B错误；由题意取BC的 中点D,连接AD,过A1作A,O⊥平 面ABC,垂足为O,如图， B B 则点O为等边△ABC的中心，易知