专题6 创新题6 平面解析几何-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

b2<2,所以椭圆C的离心率e= √-名∈停)选c B 》培优专训·难点突破《 1.C 设P(xaya),因为B(0,b), 十 =1,a2=b2+c2,所以|PB12= zo+(yo -6=a(0-g)+ 6=(+)+ ,因为-b≤y≤b,当-6 一b, 即b2≥c2时，|PB|品x=4b2,即 PB max=2b,符合题意，由b2≥c2 可得a≥22，即0<≤ 2: 当 京>-b,即62<c2时，PB 名+a2+6,即2+a2+6≤16，化 简得(c2一b2)2≤0，显然该不等式不 成立.故选C. 2.B 由椭圆C:y2+=1(0<1< 1),可知焦点F1,F2在y轴上，且a2= 1,b2=n,所以a=1,b=√n,c I一n.在C上存在点P,满足 ∠F,PF2=90°，当P在左、右顶点 时，∠F,PF2取到最大值，只需P在 左、右顶点时，∠FPF2≥90°，所以 b≤c,所以b2≤c2,所以a2一c2≤c2, 解得≥又椭圆的离心率小于1， 2 所以C的离心率的取值范围为 故选B. 3.AC设椭圆C1、双曲线C,的半焦距 分别为c1,c2,离心率分别为e1,e2,则 c1=√a2-b2,c2= a2+b2,e1= 2 C2 a a 若C的离心率为2，则1 可得4 =，所以C,的离心车 e2= 1+ ,故A正确：若C 2 的一条新近线的领斜角为行，则 √3 tan 6 ,则C,的离心率e1= √6 2 3 ,故B错误；因为 F1(-/a2一b2,0),双曲线的一条渐 近线方程为y=6x,即br一ay=0, b 3321对勾讲与练·高三二轮数学 则点F,到C2的渐近线的距离为 b va-b b b23 √/a2+b2 ,整理可得 5 62 可得e=√1 10 = -,e2= 5 5 ,所以C2的离心率 为C1离心率的2倍，故C正确：若以 F,F2为直径的圆与C,没有公共点，则 c1<b,则c=a2-b2<b2,又a> b>0,整理可得1> a 2,则e2= a36 2V2,故D错误.故 选AC. 4.2(满足1<e≤W5皆可) 解析：因为C:=1(a>06> O),所以C的渐近线方程为y= 士么，结合渐近线的特点，只需0< ≤2，即6 a ≤4，可满足条件“直线 y=2x与C无公共点”，所以e=C 11+6,≤1+4=5：又因为e≥ 1,所以1<e≤√5，故e满足1<e √5皆可. sg 解析：如图所示，易知PT= √个PF2-TF2P= √TPF2-(b-c),又焦半径 |PF2|的最小值为a-c,且|PT|≥ )(a=c)恒成立，则(a-c)2(b白 c)2≥(a=c),又bc>0,ac>≥ 0,所以2a-)≥6-c,整理可得 a+c≥2b,即(a+c)2≥4b2=4a2 4c2,可得5c2+2ac-3a2≥0，即5e2+ 3 2e-3≥0，又e∈(0,1)，解得e≥5， 又b-c>0,所以a2-c2>c2,解得 e② ，所以e∈ 3V2 L5’2/· 创新题6平面解析几何 》热点分类·考向探究《 例1解：(1)因为蔓叶线C的方程为y2= 则 -x≥0且1-x≠0，所以 台≥0等价于任1。.≥0 解得0≤x<1. 则蔓叶线C上任一点横坐标的取值范 围为[0,1). (2)证明：设M(1,yo)(y。>0),已知 直线OM的方程为y=kx(k=ya),将 其代入圆A的方程（一）+少 是得到(-)+62=子 对(-)+x2= 进行整理 得(1+k2)x2-x=0, 1 解得x=0或x= 1+k2 因为点N不与点O重合，所以点V的 横坐标xN= 1+k2 已知OP =NM,设P(xy), 根据向量坐标运算，O=(x,y), 应=(1-士。-小：因为 y=k.x,所以x=1一 1+k9 3 1+k3'y=kx 1+k2 将x= 1+k2 代入蔓叶线方程y2 、 的右边得 1-x 2 1- 1+k2 k (1+k2)3 k 1+k 1+k2一k2 (1+k2)31 1+k2 k8 (1+k2)2 (1+”),即蔓 叶线方程右边的值等于y2,等式成立. 所以点P的坐标满足蔓叶线C的方程， 即点P在蔓叶线C上. (3)证明：l。:m.x+ny=1(m2+n2≠ 0),齐次化联立直线与曲线方程，得到 y2= ，则y3十(m mx+ny-x 1Dxy-x3=0,即n(）+(m 1)(）-1=0, 由题意知所得的关于义的一元三次方 程的三个根即为直线OR,OS,OT的 斜率，设其斜率分别为k1,k2,k3, 结合一元三次方程根与系数的关系 知，k,十2十k= 1-m =2025,故 1-m=2025n,则1-2025n=m, 代人直线方程，即(1-2025n)x十 ny=1,化简得(y-2025x)n+x 1=0,式子恒成立， 则x-1=0,y-2025x= 0,解得 x=1,y=2025.故直线l。过定点 (1,2025).原命题成立. 跟踪训练1解：(1)方法一 设焦点 F1(-a,0),F2(a,0)(a>0), 曲线C:(x2+y2)2=9(x2-y2)与x 轴正半轴交于点P(3,0), 由题意知|PF1PF2|=(3十 a)(3-a)=9-a2=a2,于是a2= 9 3√2 2 因此r(3o)r,(3o） 方法二 设焦点F1(-a,0),F2(a, 0)(a>0),M(x,y)为伯努利双纽线 上任一点， 由题意知[(x+a)2十y2][(x-a)2十 y2]=a, 即[(x2+a2+y2)+2a.x][(x2+a2+ y2)-2ax]=a, 整理得(x2+y2)2=2a2(x2-y2),于 是a2= 3√2 2a= 21 因此E（3s(o） (2)假设曲线C上存在两点A,B,使得 以AB为直径的圆过坐标原点O,即 OA⊥OB, 由题意知直线OA,OB的斜率均存在， 不妨设直线OA的方程为y=k1x,直 线OB的方程为y=k2x,如图， 将直线OA与曲线C的方程联立，得 (1+k)2x4=9x2(1-k), 即x2= 9(1-k) (1十) >0,解得一1< k:<1,同理一1<k2<1, 因此k1k2=一1不可能成立，于是假 设不成立， 即曲线C上不存在两点A,B,使得以 AB为直径的圆过坐标原点O. 例2解：(1)双曲线C的渐近线方程为 x±y=0,A1(a,0), 则点A,到渐近线的距离为 a √2 ,所以a=1,所以C的方程为x2一 =1. (2)①证明：如图，因为A.（xmym),所 以Aw-1（xm1y-1),Bm-1(xm,-ym), 直线A.-1Bm-1的方程为y十ym= -2(x-xm),即y=-2x十2xm-ym: 代入x2-y2=1,得3x2-4(2xm ym)x十(2xm-yn)2+1=0, 由根与系数的关系得。1十xm= 3(2x-y.） 3 所以ym= Cn- 4-1y 3 5 -2xg-1十2xm-y#= 4 4 C-1 由题设有x1十y1=x1一y1=1, 因为 w-1一yn-1 xm-1- (,-】 13 1 3 + 3 3 所以，一y}是公比为号的等比 数列. 因为十少， xm-1十yg-1 5 工+4 4x1 3 .5 x-1十4工-4 9 4x1 =3, 3 1 4x。一 4x。-1 所以{x,十yw}是公比为3的等比 数列， 所以x。一y= ,x十y 3"-1,所以xm= 3+() 2 -,ym= 3”1- ) 2 ②先证明结论：若M不=(a1,b1), M妒=(a2,b2)为两个不共线的非零 向量， 则S△PMN= 1 MN MP. 2 sin∠PMN= 1MN·M币· -COR ZPAINX √床P.亦-（本·迹1PMN)= 2√成P.MP-不市 1 1 2 (a)(a)-(a:a2 +bb2)= 2√ab-2a1a,b,b,+ab= 2a1b2-a2b1. 本题中，因为AA,=(x十1，y), AA+1=（x+1+1,y+1), 所以S=1,+1D1-x1+ 1)ym=2 xny+1一xa+iym十yn+1 y. 因为A1A=(xn-1yn),A1A (x+1-1,yn+1), 所以T三号(c三1)y1-（1 1)y.1=2 |xmy+1一xn+1ym十yn 文因为 +1 n+1yn /1 2m-1 321+3 3/ 4 32m-1+ -3-( 2对一 4 4 y4-y.=31+(3), 所以s=2[+3+(3)门： T=[3+(传)”-] 3+(3) 4 3 所以 3+(号) 4 3 8 3 1+ 设4.=31+（）》”- 4(m≥2) 则d.n=3”+(兮)】 4 3 所以d1-dn>0,所以d+1>dm,所 14 16 以d。≥3+ -3 91 8 所以 36 8 =1+ 3 16 =1+ 9 3 2 无号，当且仅当”=2时等号成立 所以 的最大值为 5 跟踪训练2解：(1)证明：因为四边形 ABB'A′为矩形，所以AB∥A'B', AB=A'B'. 由题意得，O',O分别为A'B′和AB的 中点，所以O'B'∥OB,O'B′=OB, 所以四边形O)'B'B为平行四边形 因为BB′⊥AB,所以OO′⊥AB,同理 可证，OO'⊥CD. 因为AB∩CD=O,AB,CDC平面 ADBC,故OO'⊥平面ADBC. (2)以O为坐标原点，OD,OB,OO'所 在直线分别为x轴、y轴、之轴建立如图 所示的空间直角坐标系， B' 设BB=h,M(x,y,0),则B'(0,W2, h),所以OB=(0,√2，h),OM=(x, y,0). 则点M到直线OB'的距离d= x2+y 2 2y2 2+h2 1 所以S△OMB'= 2 +·√+少-2 y9 +h2 多·V2+x+h(*) 参考答案 333 因为底面椭圆焦点在y轴上，AB √2CD=2√2，即长轴长为2√2，短轴长 为2， 所以点M的坐标满足之十x=1,即 y2=2-2x2, 代入()式得S△owB .√2-h2)x+2h. 2 由题意知△OMB'的面积为定值，所 以2-h2=0,则h=√2， 由(1)知OO'=BB'=√2，故OO'的 长度为√2. (3)设M(x1y1,0),N(x2y20), B'(02,√2) 则OM=(x1y1,0).O示=(x2y2。 0),OB=(0W2,W2) 设平面OMB'的法向量为m=(a,b, m.OM =ax +by1=0, ),则 m0B=26+2c=0, 令a=y1,得b=一x1c=x1,即 m=(y1,一x1,x1)是平面OMB′的 一个法向量. 设平面ONB′的法向量为n=(r,s, t),则 n.ON=ra2 +y2=0, n .OB"=2s +√2t=0, 令r=y2,得s=-x2,t=x2,即n = (y2,一x2,x2)是平面ONB的一个法 向量. 因为平面OMB'⊥平面ONB',所以 m·n=0,所以y1y2+2x1xg=0. 由2)知底面椭圆的方程为号+=1： 设直线MN在xOy平面内的方程为 y=kx +m, 代入椭圆方程得(k2十2)x2+2kmx十 m2-2=0, 由△=4k2m2-4(k2+2)(m2-2) 8(k2-m2+2)>0,得k2-m2+2>0. 由根与系数的关系得x1十x?= 2km m2-2 k2+2 x1x2=k十2 所以y1y2十2x1x2 (kx m)(kx2+m) +2x1x2=(k2 2)x1x2+km(x1十x2)+m2=0, (k2+2)(m2-2)-2k2m 十m2= k2十2 0,化简得k2-2m2十2 =0 又点O到直线MN的距离d'= V1+2 则d2= =2(++) 1+k2 (分]所以4∈（受. 故点O到直线MV的距离的取值范围 为停 第二部分 教材回妇 教材回归1 集合、 常用逻辑用语、不等式 知识回归 1.(1)二 (2)2”,2”-1,2-1,2”-2 334 2对闪讲与练·高三二轮数学 3.(1)充分 必要 充分不必要 必要 不充分 充要 (2)充分 必要 充分不必要 必要 不充分 充要 对点训练 1.B由A中不等式变形得e<1=e, 得到x<0,即A={xx<0};要使 函数y=lg(x2十x)有意义，则x2十 x>0,解得x<一1或x>0,所以 B={x|x<-1或x>O},CRB= {x|-1≤x≤0}.故A∩(CRB)= [-1,0).故选B. 2.A一g:日x∈{xx是奇数}，x任 A.因为1∈A,且1是奇数，所以7g是 假命题.故选A. 3B若c0s0=专，则0=士号 2x∈D:若0=号+2x∈D 21”是“日= 则cos9气2故“c0s02 十2kx(k∈Z)”的必要不充分条 3 件.故选B. 4.C 2x-1≥1台4-1≥0分 1-x ≥0=：26-0 1-x 解得号<<，故选C 5.D因为不等式x2-tx十1<0对- 切x∈（号3）恒成主，所以：> =+上在区时（号）上 成立，由对勾函数性质可知函数y 上十在区问（分山）上单调遥减，在 区间13)上单调遥增，且当x=) 2 时y=2+名=含当1=8时y +号-所以+<≥ x 10 故选D. 3 6.D因为a>0,b>0,所以a+b= a+(+)=品+3+号十 0≥+·西 ,及.0=15，当且仅 3 4时，等号 当a=.3b即a三4，b=3" 成立，所以口十b的最小值为5.故 3 选D. 7.A关于x的一元二次方程a.x2十 bx十c=0(abc<0)的解集为{-2， b ·=-2+3=1, 3},. a 即 C=-2×3=-6, a 6二8i.∴abc=6a<0,即a 0,.cx2+b.x十a=-6a.x2-a.x十 a=-a(6x2十x-1)≤0，即6x2十 x-1≤0，即(2x+1)(3x-1)≤0，解 1 得≤x≤.故选A· 教材回归2 复数、平面向量 知识回归 1.(1)①b=0②b≠0③a=0且b≠0 (2)a-bi (4)a=c且b=da=0且b=0 (5)(a±c)+(b士d)i(ac-bd)+ (ad +bc)i ac+bd be-ad, ++。+ 4.同向 反向 5.(1)a1|b|cos0 0 (2)x1x2十y1y2 6.(1)x1y2-x2y1=0(2)x1x2+ y1y2=0 9.(4)0 对点训练 1.D因为11-i|=/1+(-1)= 2,所以1-i1 √2(2-i) 2+i (2+i)(2-i) 2W2_2 5 即在复平面内，1-i训 对 2+i 应的点为（后，一）位子第四泉 限.故选D. 2.A因为向量a=(0,1),b=(1,1), 所以a+mb=(m,1+m),a-nb= (-n,1一n).因为a+mb与a-nb共 线，则m(1-n)=-n(1十m),即m+ n=0.故选A. 3.C如图，由题设有P古=PA+AB十 成其中A市=号，破=配，在 3 正方形ABCD中，BC=AD,所以PA十 砧+脑=号十6+写。 a= 3a十b.故选C. 1 A P B Q C 4.C因为|a十b=|a一b|,两边平方 得a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b, 所以a·b=0,所以1×4十2×(m+ 4)=0,解得m=-6,所以a=(1, -2),所以|a|=√1十4=√5.故选C 5.B如图，以A为坐标原点建立平面直 角坐标系， B 设AB=2a,则A(0,0),B(2a,0), C(2u,2a),P(2a,a),Q(a,2a),可得 AC =(2a,2a),AP=(2a,a),AB (2a,0),BQ=(-a,2a).因为AC. A市=4u2+2w2=6a=含，可得 a2=- ,所以A店.B脑=-2 故递B创新题6平面解析几何 》考情分析 解析几何创新问题的表现形式有(1)与其他数学知识融合，如立体几何、导数等；(2)定义新的解析几何概 念，如距离、曲线等.解决解析几何创新题，理解新定义是基础，计算是关键】 热点分类》考向探究 考向1新定义曲线 例1(2025·河北秦皇岛二模)蔓叶线是古希腊 数学家狄奥克勒斯在公元前180年为了解决倍 立方问题发现的曲线，蔓叶线与半个圆周一起， 形状看上去像常春藤蔓的叶子，如图1所示.在 平面直角坐标系x0中，圆A:一》+ y-,点M是直线：x=1上在第一象限内的 任一点，直线OM的倾斜角为0，且交圆A于点 N(N与O不重合)，第一象限内的点P在直线 OM上，且满足OP=NM,一蔓叶线C的方程为 y2= x ，如图2所示 1-x 4反思感悟…一 解决圆锥曲线背景下的新定义问题，关键在于 理解新定义的本质，并将其与常规曲线的知识相结 合，转化为常规问题解决，方法总结如下： 1.明确新定义，理解新定义、符号等的含义. 2.仔细研究新定义曲线的方程，从方程得到其 图1 图2 性质（如对称性、变量的取值范围等）. (1)求蔓叶线C上任一点横坐标的取值范围； 3.联系常规知识，把新定义问题转化为常规问 题解决 (2)求证：点P在蔓叶线C上； (3)设直线l。:m.x十ny=1(m2十n2≠0)与蔓 跟踪训练①中国结是一种手工编制工艺品，因其 叶线C交于不同的三点R,S,T,且直线OR, 外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念， OS,OT的斜率之和为2025，求证：直线1o 广受中国人喜爱.它有着复杂奇妙的曲线，却可 过定点 以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对 参考公式：若x1x2,x3是关于x的一元三次 应着数学曲线中的伯努利双纽线.在平面直角 方程ax3+bx2十cx+d=0(a≠0)的三个根， 坐标系xOy中，我们把与定点F,(一a,0), 则x1十x2十xa=-b ,x1x2+x2x3十x1x3= a F2(a,0)(a>0)距离之积等于a2的动点的轨 迹称为伯努利双纽线，F1,F2为该曲线的两个 a x1x2x3=- 焦点.数学家雅各布·伯努利曾将该曲线作为 ⑦听课记录 椭圆的一种类比开展研究.已知曲线C:(x2十 y2)2=9(x2一y2)是一条伯努利双纽线， (1)求曲线C的焦点F1,F2的坐标. (2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A, 第一部分专题六平面解析几何 141 B(异于坐标原点O),使得以AB为直径的圆过 坐标原点O.若存在，求出A,B的坐标；若不存 在，请说明理由. 4反思感悟，……、 解析几何中的数列性质研究，要根据已有的条 件求出数列的通项公式或构建数列的递推关系，再 根据数列通项公式的结构特点，解决相关问题， 跟踪训练②如图，柱体上、下底面是椭圆面， A'B',AB分别是上、下底面椭圆的长轴，C'D', CD分别是上、下底面椭圆的短轴，四边形 ABB'A'和CDD'C'为矩形，O',O分别为上、下 底面椭圆的长短轴的交点，AB=√2CD=2√2. 考向2圆锥曲线与其他知识的综合问题 M,N是下底面椭圆上两动点，MN不与AB平 [例2(2025·山东潍坊二模)双曲线C:x2-y2= 行或重合. a2(a>0)的左、右顶点分别为A,A1,点A1到 (1)求证：OO'⊥平面ADBC: C的渐近线的距离为二 (2)若△OMB'的面积为定值，求OO'的长度； (3)在(2)的条件下，当平面OMB′⊥平面 (1)求C的方程. ONB'时，求点O到直线MN的距离的取值 (2)按照如下方式依次构造点A,(n≥2且n∈ 范围. N):过点Aw1作斜率为一2的直线交C于另一 点B1,设A是点B,1关于实轴的对称点，记 点An的坐标为(xwyn). ①求证：数列{xn一yn},{xw十yn}是等比数 列，并求数列{xw}和{yn}的通项公式； ②记△AnAA1的面积为S,△A,A1A,1的面 积为T,求的最大值 心听课记录 温馨提示》请完成创新练6 142 2对勾讲与练·高三二轮数学