专题2 培优课5 与平面向量有关的最值、范围问题-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

培优课5与平面向量有关的最值、范围问题 》考情分析 与平面向量有关的最值、范围问题在高考中经常出现，多以小题形式考查，难度中档，主要考查向量模、夹 角、数量积、系数的最值或范围。 热点分类》考向探究 考向1向量数量积的最值、范围 b十15=0，则|a-b|的最小值是 例1(2025·山东聊城二模)在△ABC中，BC= A.4 B.√5+1 25,A=60°，则BA.BC的最大值为 ( C.2 D.1 A.6 B.3+23 ⑦听课记录 C.12 D.6+43 心听课记录 4反思感悟… 求向量模的取值范围或最值的常见方法：通过 反思感悟， a=a2转化为实数问题；数形结合；坐标法. 向量数量积最值（范围）问题的解题策略 1.形化：利用平面向量的几何意义将问题转化 跟踪训练②(2025·湖北黄石二模)已知平面向 为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图 量a,b,c满足|a=1,|b=2,c=3,且 形的特征直接进行判断， 2.数化：利用平面向量的坐标运算将问题转化 a⊥b,则1a十b一c|的取值范围是() 为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程 A.[3-√5,3+√5] B.(3,6) 有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知 C.(3,3+5] D.[3-√5,6) 识来解决。 考向3参数的最值、范围 跟踪训练①(2025·黑龙江大庆 [例3在△ABC中，点D是边BC上一点（不包括 二模)如图，已知△ABC是边 长为4的等边三角形，点D满足 端点)，若AD=xAB十4C,则2x+5y的最小 BD=λBC(0<λ<1)，E为AC 值为 的中点，则DB·D正的取值 A.7-2√/10 B.7十2√/10 范围为 C.210 D.7 B.[-4,4) 心听课记录 D.[-2,4] 考向2向量模的最值、范围 例2已知a,b,e是平面向量，e是单位向量.若非 零向量a与e的夹角为石，向量b满是62-8e· 054 2对勾讲与练·高三二轮数学 4反思感悟 心听课记录 解决平面向量中涉及系数的范围问题常利用共 线向量定理及推论进行转化，列不等式或等式得到 关于系数的关系式，从而求系数的取值范围.其中共 线向量定理及推论如下： (1)a∥b台a=ab(b≠0) (2)OA=AOB+uOC(入为实数)，则A,B,C 三点共线台入十μ=1. 跟踪训练3如图，在△ABC中， 点O是BC的中点，过点O的直 4反思感悟，… 线分别交直线AB,AC于不同 求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与 的两点M,N,若AB=mAM, 其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数 AC=nAN,m>0,n>0,则M 的最值问题，要注意变量之间的关系. 2+8的最小值为 () m n 跟踪训练④已知梯形ABCD中，AB∥CD, A.2 B.8 C.9 D.18 AB=2BC=2CD=2AD=4,点M为边CD上 考问4向量夹角的最值、范围 的动点，若∠AMB=a,则cosa的取值范围是 [例4(2025·重庆渝北区质检)已知非零向量a, () b满足|a=3|b|,设a-b与a十b的夹角为 「1 0,则cos0的最小值为 A.07 ( A 「11 3 R号 c.72 培优专训》难点突破 1.(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy 1√2 1 中，OA|=OB|=√2，AB|=2,设C(3,4), A.2+2 B.2+2 则|2CA+AB|的取值范围是 ( ) C.1+√2 D.2十√2 A.[6,14] B.[6,12] 4.己知单位向量a与向量b=(0,2)垂直，若向量 C.[8,14] D.[8,12] c满足1a+b+c|=1,则|c|的取值范围为 2.已知非零向量a,b满足(a-b)⊥(2a-b),则 () sin(a,b)的最大值为 ( A.[1,W5-1] B. √5-13+1 2’2 A智 R号 C.[5-1,W5+1] D. 1 C.3 0.2 1 5.在△ABC中，BD=2DC,过点D的直线分别交 3.(2023·全国乙卷理)已知⊙O的半径为1，直线 直线AB,AC于点E,F,且AE=mAB,AF nAC,其中m>0,n>0,则m+2n的最小值为 PA与⊙O相切于点A,直线PB与⊙O交于 () B,C两点，D为BC的中点.若「PO=√2，则 PA.PD的最大值为 A.2 B.√2 C.3 第一部分专题二三角函数与平面向量 055所以2AB·ACsm20= 2AB. Din0+号AC,ADsin2. 因为AB=3AC,AD=kAC, 所以3AC·AC·2sin0cos0=3AC· kACsin0+AC·kACsin0. 因为sin0≠0，所以6cos0=4k,所以 k= 2 cos 0. 因为0∈(o,）,所以cos0∈(01)， 所以k∈(o,） (3)由余弦定理得BC2=AB+AC2 2AB·ACcos∠BAC= 2AC2(5-3cos∠BAC), 因为Sam=号，所以2AC·AB sin∠BAC= 3 之·又因为AB—3A 1 所以AC2= sin∠BAC' 所以BC2= 2 sin∠BAC (5 3Cos∠BAC)=2.5-3cos∠BAC sin∠BAC 方法一令y= 5-3cos∠BAC ,易得 sin∠BAC y>0,则ysin∠BAC+3cos∠BAC=5, 所以√y+9sin(∠BAC+p)=5（其 中9) 所以当sin(∠BAC十p)=1时，y取得 最小值4， 即当 ∠BAC十9=受时y取得最小 3 值4，此时tanp= 4 所以 cos∠BAC=cos(-）= sin =5 因为cos∠BAC=2cos20-1,所以 2os0-1=号所以cas0= 2√5 5 3 由(2)知k=2os0,所以友= 2 × 2√5 3√5 3W5 5 即当k= 5 时，BC 最短 方法二 BC2=2.5 -3cos28 sin 20 5-3(2cos20-1) 8-6cos20 sin 0cos sin Ocos 0 8sin20+8cos20-6cos20 sin 0cos 0 8sin20+2cos20 8tan'0+2 sin Ocos 0 tan 0 2 8tan 0+ ≥8， tan 2 1 当且仅当8tan0= 。,即tan0= tan 0 2 时取等号，故此时cos0= 2 即 35 5 培优课5与平面向量有关的 最值、范围问题 》热点分类·考向探究《 例1D由正弦定理，得BC=25 sin A 2 4=2R,所以△ABC在以半径为R 2的圆O上（如图），则BA·BC=BC. (BO+OA),由向量数量积几何意义及 垂径定理可知BAB元=B配十B配. OA≤6+(BC.OA)x,当OA与BC同 向时，BC·OA有最大值为43，所以 BA·BC的最大值为6十43.故选D. 0 B 跟踪训练1A以直线BC为x轴，线 段BC的中垂线为y轴建立平面直角 坐标系xOy(如图所示)， y B DO C 则B(-2,0),C(2,0),A(0,2W3),E(1, √3)，因为BD=BC(0<入<1)，则点 D在线段BC(不含端点)上，设D(x, 0),则-2<x<2,DB=(-2-x0), DE=(1-x,3),所以DB·DE= (-2-x)(1-x)=x2+x-2= (+)--2<<2所以 当x= 号时，i.症取得最小位 9 4当x=2时，DB.D元=4，故 Di,D龙的取值范固为 号故 选A. 例2D设a,b共起点，由b2一8e·b+ 15=0可得(b-3e)·(b-5e)=0,则 (b-3e)⊥(b-5e),∴.如图，b的终点 在以AB为直径的圆上，设AB中点为 0,D01=4,:a与e的夹角为 6, .|a一b|的最小值为圆心O到向量 a所在直线的距离2减去半径1，为1. 故选D. A 0 b a 4C 跟踪训练2A设a=(1,0),b=(0, 2),c=(3cos0,3sin0),0∈[0,2π)， 所以a+b一c=(1-3c0s0,2 3sin0),所以|a+b-c|= √(1-3cos0)+(2-3sin0)F= √2(7-6sin0-3cos0),设f(0) 7-6sin0-3cos0,0∈[0,2π)，则 f(0)=7-3W5sin(0+p),其中 tang=号∈(o,5）:所以ge (,）,所以sin(0+g)∈[-1,1]， 故f(0)∈[7-3√5,7+35]，所以 |a+b-c|∈[/2(7-3W5), /2(7+3W5)],即|a+b-c|∈[3- √5,3十√5].故选A. 例3B在△ABC中，点D是边BC上一 点，AD=xAB+yAC,则x+y=1, z>0y>.25y=( Ty )+)=7++ 2x ≥7十 5y 2四 =7+2/10,当且仅当 y 5义 2x ,即x= 5-√10 y y 3 10一2 时取等号，所以2r十5y的最 3 小值为7+210.故选B. 跟踪训练3C由题意，得Aò= A应+AC)=gAi+号A,固为 2 M,O,V三点共线，所以m十n=2,又 m>0,m>0,所以2十 8 =(m+ 71 (品+年)=5+”+ Am ≥5+ =9,当且仅当m= 2 2 m 3 n= 时取等号，即 +8的最小值 3 77n 为9.故选C. 例4B设|b|=t(t>0),则|a|=3t, 因为a·b=|a|b|cos〈a,b)= 3t2c0s(a,b),所以-3t2≤a·b≤ 3t2,所以0≤(a·b)2≤9t,则c0s0= (a-b)·(a+b) a-b a+b 812 /10t2-2a·b·/10t2+2a·b 8t2 /100t-4(a·b) 5,当(a b)2=0时取等号，所以c0s0的最小值 为改选皮 跟踪训练4D 以AB所在的直线为x 轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立 如图所示的平面直角坐标系， y DM B 则A(-2,0),B(2,0),C(1,3),D(-1 √3)，设M(x,wW3)(-1≤x≤1)，则 AM=(x+2,W3),BM=(x-2, x2-4+3 √/3)，cosa= √x+2+3·√(r-2)+3 x2-1 x2-1 /x-2x2+49 /(x2-1)2+48 令x2一1=t,则-1≤t≤0，c0sa= 参考答案 289 48 2+48 t+48 t+48 可得osa∈[0]故D 》培优专训·难点突破《 1.D因为OA1=O1=2,A=2, 所以由AB=OB一OA两边平方可得， 0A.OB=0,所以OA,O)= 2 2C4B=2(0A-0C)+0B-0A = 0A+0B-20元，0元1=√32+4 5,所以|2CA+AB12=OA +OB2+ 4OC2-4(OA+OB)OC=2+2+4× 25-4(OA+OB).0C=104-4(OA+ OB).OC,又1(OA +OB) .O01≤ OA+OB 1OC|=5×/2+2=10. 即-10≤(0A+0B)0C≤10，所以 |2CA+AB12∈[64,144]，即|2CA+ AB1∈[8,12].故选D. 2.C由题意，得(a-b)·(2a一b)= 2 a3-3 a b cos(a,b>+ |b2=0,因为a|>0,1b|>0,所 12 以 cosa,b〉= 2|a b12 ≥ 3a11b1 22 ，当且仅当√2|a|=b|时取等 3 号，又同角的正弦、余弦的平方和为1， 所以sin(a,b》≤ 故选C. 3 3.A连接OA(图略)，由题可知OA= 1,OA⊥PA,因为|OP=√2，所以由 勾股定理可得|PA=1,则 ∠POA= 手年.设直线OP绕点P按逆」 时针方向旋转0后与直线PD重合，则 < <∠APD= +0,且 4 |PD=√2cos0,所以PA.P市 1Pi1P币1cos(开+0）=W5cos 0 co(子+0）=co0(os 号n0）=os0-m9os0= 20s20- +s(2+ 2sin20=1 ② ) 2 .故选A. 4.C由题意不妨设a=(1,0),c=(x, y),则a+b+c=(1,0)+(0,2)+(x, y)=(1+x,2+y)..|a+b+c|= 1,.(1十x)2十(2十y)2=1,即表示圆 心为（一1，一2），半径为1的圆，设圆心 为P,O为坐标原点，∴.1OP= (-1)2+(-2)2=5.1c|= √x2十y表示圆P上的点到坐标原点 的距离，∴.W5-1≤|c|=√/x2+y2≤ W5+1,∴.|c|的取值范围为[5-1， √5+1].故选C. 5.C连接AD,如图所示， 2902对勾讲与练·高三二轮数学 因为BD=2DC,所以AD=AB+ B市=A店+号BC=Ai+名(A心 3 )-号店+号心，又应=m店， A亦=A心，所以A心=专店+ 号花=花+品，由E,FD三 3n 1+2=1.又m>0,n 点共线，得3m十3n 0,所以m十2n=(m十 ，2m十3m 2w(品+品)-专+ 2n 2m.20+ ≥2· 5=2×3 十 3 =3,当且仅当一 21,即m= 3 1=1时，等号成立，所以m十2n的最 小值为3.故选C. 创新题2三角函数与平面向量 》热点分类·考向探究《 例1解：(1)①由题意得b=na+nc= (m 2n -ni,n mi+2ni)= (之1，-1)， 所以十十二，所以 (m+2n-ni=21, z1=i, n=-1, 解得〈n=一1， m+2n=0, m=2, 所以m=2,n=一1. ②由①知b=(i,一1)，所以a+b= (1+i,-1+i),a-b=(1-i,1+i), 因为(a十b)·(a-b)=(1+i)(1十 i)+(-1+i)(1-i)=4i,得|(a+b)· (a-b)=4, 因为|a+b|=√(a+b)·(a+b)= w/(1+i,-1+i)·(1+i,-1+i) w/(1+i)(1-i)+(-1+i)(-1-iD /(1+i)(1-i)+(1一i)(1+i)=2, 同理得|a一b= √/(1-i)(1+i)+(1+i)(1-i)=2, 所以|(a十b)·(a-b)|=a+b· |a-b|,故a+b与a-b平行. (2)设z2=入十i(入，∈R), 则a·d=(1,i)·(1+i,2)=(1,i)· (1+i,λ+i)=1-+i(λ-ui)=1+ 4+(入-1)i, 得|a·d|=(1+)2+(入-1)， 又a|=W/(1,i)·(1,i)= √1十i(-i)=√2，|d|= /(1+i,入+4i)·(1+i,λ+i)= w/(1+i)(1-i)+(入+i)(入-i) √2+A”+ 若a与d平行，则a·d|=a1|d, 即/(1+4)2+（λ-1）2= √2√/2+λ2十42， 化简整理得（入+1）2+(4一1)2=0，所 以入=一1,4=1，所以x2=一1十i. 跟踪训练1解：(1)由定义，只需满足 b1-b2+b3十b4=0, 故所有满足条件的b有6个，为 日 同 (2)证明：由题知，存在x 工2 x,∈{-1,1}与y= y:∈{-1， 1},i=1,2,…,n,使[x,y]=m, 当x:=y;时，xy:=1:当x,≠y,时， x:yi=-1, 若有k个x,=y:,则有n一k个x,≠ y,则m=[x,y]=∑xy:=k i=1 (n-k)=2k-n, 所以m十n=2k一n十n=2k为偶数. (3)猜测符合要求的4维向量最多有4 个，即f(4)=4,举例如下： 不妨取a1= ,03 台 则有[a1,a2]=0,[a1,a3]=0,[a1 a4]=0,[a2,ag]=0,[a2,a4J=0, La3a4]=0, 若存在a5使[a1,a5]=0,则a5= 或 当a5= 时，[a4,a5]=-4;当 1 时，[a2,a]=-4; 当a 时，[a3,a5]=-4. 故找不到第5个4维向量与已知的4个 向量满足互相之间的内积均为0，即 f(4)=4. 例2证明：(1)①若0=30°， 则S△ABC=S△PAB十S△PBC+S△PAC= g·APsn0+ga…iPn0+: 1 CPsin 0= sin9(c·AP+a·Bp+ 1 b·CP)= (c·AP+a·BP+ 4 b·CP), 所以c·AP+a·BP+b·CP 4S△ABC· 在△PAB,△PBC,△PAC中，分别由 余弦定理得 BP2=c2+AP2-2c.APcos 0, CP=a2+BP-2a·BPcos0, AP2=62+CP2-26.CPcos 0, 三式相加整理得2cos0(c·AP+a· BP+b·CP)=a2+b2+c2,