专题1 微专题4 导数中函数的构造问题-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

微专题4导数中函数的构造问题 》考情分析 导数中函数的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以选择题、填空题的形式出现，通过已知等式或 不等式的结构特性构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立问题. 主干整合》核心提炼 抽象函数的构造技巧 续表 已知函数 已知函数 构造函数 构造函数 f(x)+f'(x) g(x)=e'f(x) f(2f()In a g(x)=f(x)In x f(x)-f'(x) g(x)=f(x) f(z) -f'(x)In x g(x)= f(x) In x f(x)+xf'(x) g(x)=xf(x) (1na)f(x)十f'(x) g(x)=a"f(x) f(x)-zf'(x) g(x)=f(x) (In a)f(x)-f'(a) g(x)=f(x) nf(x)+f'(x) g(x)=ef(x) f'(x)cos a-f(x)sin x g(x)=f(x)cos x nf(x)-f'(x) g(z)=f(x) e f'(x)sin x+f(x)cos x g(x)=f(x)sin a nf(x)+xf'(a) g(x)=x"f(x) f(.x)十f'(x)tanx g(x)=f(x)sin x nf(x)-xf(x) g(x)=f(x) f'(x）-f(.x)tanx g(x)=f(x)cos x 热点分类》考向探究 考向1根据导数运算构造函数 角度2利用f(x)与e”构造 角度1利用f(x)与x构造 [例2已知可导函数f(x)的导函数为f'(x),若 [例1已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x), 对任意的x∈R,都有f'(x)-f(x)<1,且 其导函数为∫'(x),对任意正实数x满足 f(0)=2025,则不等式f(x)+1>2026e的 xf'(x)>2f(x)且f(1)=0,则不等式 解集为 () f(x)<0的解集是 ( A.(-∞，0) B.(0,+∞) A.(-∞，1) B.(-1,1) C.(-∞，0)U(0,1)D.(-1,0)U(0,1) c.(,】 D.(-∞，1) 听课记录 听课记录 012 红对勾讲与练·高三二轮数学 角度3利用f(x)与sinx,cosx构造 [例3设f(x)是定义在(-元，0)U(0,元)上的奇 f(x)cosx<0,若a= 9》6= 函数，其导函数为f'(x),且当x∈(0，π)时， ,则a与b的大小关系为 f'(x)sinx-f(x)cosx<0,则关于x的不等 式f(x)<2f()sinx的解集为 (用“<”连接) 考向2根据数值特征构造函数 。听课记录 例4已知a=e.o5,b= ln1.1 ,c=√1.1，则 2 ( A.a>b>c B.cb>a C.b>a>c D.a>c>b 心听课记录 4反思感悟… 1.根据条件中关于f'(x)的不等式结构，逆用 导数的运算法则构造原函数，进而利用其单调性 2.熟悉抽象函数的构造技巧，以便于构造原函数 跟踪训练①(1)(2025·重庆渝中区调研)已知 f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时， 4反思感悟…………、 xf'(x)-f(x)<0,且f(-2)=0,则不等式 1.观察实数的结构，对实数适当变形寻找实数 fx）>0的解集是 间的联系 2.放缩法的应用：①用基本初等函数单调性放 A.(-2,0)U(0,2) 缩；②用切线不等式：e≥x十1，lnx≤x-1(x> B.(-∞，-2)U(2,+∞) 0),sin x <x<tan x (0<< 2 等放缩；③用 C.(-2,0)U(2,+∞) 二项展开式放缩， D.(-∞，-2)U(0,2) (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+ f'(x)>0,且有(3)=3，则f(x)>3e3r的 跟踪训练2已知a=ln1.01,b=1.01,c=e,则 () 解集为 (3)已知定义在R上的奇函数f(x),其导函数 A.a<b<c B.a<c<b 为f'(x),且当x∈(0，+o∞)时，f'(x)sinx+ C.c<b<a D.c<a<b 真题演练》重温高考 31 1 1.(2022·全国甲卷理)已知a A.a<b<c B.c<b<a 32b=c0s4c= C.c<a<b D.a<c<b 4sn子，则 ( 3.(2021·全国乙卷理)设a=21ln1.01,b= A.c>b>a B.b>a>c 1n1.02,c=√/1.04-1，则 () C.a>b>c D.a>c>b A.a<b<c B.b<c<a 2.(2022·新高考I卷)设a=0.1e1,b= C.b<a<c D.c<a<b 9 c=-ln0.9,则 ( 温馨提示》请完成课时作业④ 第一部分专题一函数、导数 013因为x=2是函数f(x)的极值点，所 以f'(2)=2-a=0,得a=2,当a= 2时，f'(x)=2(x-2)(x-1)+(x 2)2=(x-2)(3x-4),当x∈ (0,)时，f'x)>0,f(x)单调 遥增，当z∈（停2）时'(）<0， f(x)单调递减，当x∈(2，+∞)时， f'(x)>0,f(x)单调递增，所以x=2 是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a) 的极小值点，符合题意，所以∫(0) 三 -1X(-2)×(-a）=-2a=-4. 微专题4导数中函数的构造问题 》热点分类·考向探究《 例1D令g(x)=fx) 且x≠0，则 g'(x)=f'(x)-2f(x) ，又对任意 正实数x满足xf'(x)>2f(x),即当 x>0时，g'(x)>0,所以g(x)在 (0,十∞)上单调递增，由f(x)为偶函 数，则g(-x)= f-x)=fx》= (-x)2 t! g(x),所以g(x)也为偶函数，故g(x)》 在（一∞，0）上单调递减，则g(一1)= =0,且f(x)<0等价于 g(1)=f1) g(x)= f(z) <f①=g1),所以 1 x∈（一1,0）U(0,1).故选D 例2A构造函数F(x)=f（x)+I 则 e F'(x)= f'(x)e-[f(x)+1]e f'(x)-f(x)-1 ,因为f'(x） e f(x)1,所以F'(x)<0恒成立，故 F(x)= f(x)+ ,在R上单调递减， e f(x)+1>2026e可变形为 f(x)+1>2026.又f(0)=2025, 所以F(0)= f(0)+1 =2026,所以 e F(x)>F(0),解得x<0.故选A. 例3（0）U(x) 解析：令g(r)=f（x） (一 T, sin x 0)U(0,x),则g'(x)= f(x)sin x-f(x)cos z sin'z ,当x (0,r)时，f'(x)sinx-f(x)cosx 0,在(0，π)上，g′(x）<0,.函数 g(x)在(0，π)上单调递减.y= f(x),y=sinx是奇函数，∴.函数 g(x)是偶函数，.函数g(x)在（一π， 0)上单调递增.当x∈(0，x)时， sinx>0,则不等式f(x)< 2f(）sinx可化为 f(z) sin x ( ,即g(x)<g() < sin 6 x<π；当x∈（一π，0）时，sinx<0, 则不等式f(x)<2f(行)sinx可化 为f(x)、 () sin z sin sin(←6) 即gu)>(合)-吾<< 0.综上可得，不等式的解集为 (←o)u(x小 跟踪训练1(1)D 设g(x)= f(x) x≠0.因为f(x)是定义在R上的偶函 数，所以f(一x)=f(x).因为g(一x)= f(-x》= 一x x》=一g(x),所以 x g(x)为奇函数，所以g(-2)=-g(2). 因为f(-2)=0,所以g(-2)= -g(2)=0.当x>0时，g'(x)= zf(x)-f(x) 22 <0,所以g(x)在 (0,十∞)上单调递减，此时不等式 f(x)>0的解集是(0,2).因为g(x) 为奇函数，图象关于原点对称，所以 g(x)在（一∞，0）上单调递减，所以当 工<0时，不等式f)>0的解集是 (-0,-2).综上所迷，不等式》> 0的解集是(-∞，一2)U(0,2).故 选D. (2)(3,+∞) 解析：设F(x)=f(x)e,则F'(x)= f(z)e+f(x)ee[f(z)+ f(x)]>0,,F(x)在R上单调递 增.又f(3)=3,则F(3)=f(3)e3 3e3.:f(x)>3e3等价于f(x)e> 3e3,即F(x)>F(3),∴.x>3,即所求 不等式的解集为(3，十∞). (3)ab 解析：设p(x）=f(x)sinx,则 '(z)=f'(x )sin z +f(z)cos z, .x∈(0，+∞)时，p'(x)<0,即 9(x)在(0，十∞)上单调递减.又 f(x）为奇函数，y=sinx为奇函 数，p(x)为侣函数，心9（百）= 9()>()即()· sin(←8）>f(牙）sin天，即 2(-)>(),即 9()<-(任)a<6 例4D令f(x)=e-x-1(x>0), 则f'(x)=e-1>0,所以f(x)在 (0,十o∞)上单调递增，所以f(x)> f(0)=0,即e>x+1,所以e.1> 0.1+1=1.1,则e.i>√1.I,即a> c;令g(x）=lnx-x+1,则g'(x)= 1-1= 1-2,当x∈(01)时， g'(x)>0,当x∈(1，十∞)时， g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调 递增，在(1，十∞)上单调递减，所以 g(x)≤g(1)=0,所以lnx≤x 1(当且仅当x=1时取等号)，所以 nE≤反-1，即+1≤丘（当 且仅当x=1时取等号)，所以+ 2 1<√.I,所以√个.I> ln1.1,即 2 b<c.综上所述，a>c>b.故选D. 跟踪训练2A易知a=ln1.01<1, c=e.1>1,构造函数f(x)=e (x十1)，求导得f'(x)=e-1,易知 当x≥0时，f'(x）=e-1≥0，f(x) 单调递增，所以f(0.01)=e1 (0.01+1)>f(0)=0,所以c>b> 1,所以a<b<c.故选A. 》真题演练·重温高考《 1.A 设f)=osx+分2-1e∈ (0,+o∞)，f'(x)=-sinx+x>0, 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增，则 f(）>f(0)=0,所以cos 1 3 1 3 >0,所以b>a.因为6=4an· 因为当x∈(0,2）时，sinx<x< 1 tanx,所以tan 1 , 4 4 6>1,所 以c>b.综上，c>b>a,故选A. 2.Ca=0.1e.1= 10 b= 1 0.1 a b 品e,为造f) 9 (1-x)e,则f'(x)=-xe,当x> 0 时，f'(x)<0,f(x)单调递 减，f(0.1)<f(0)=1,.4<1, b .a<b.下面比较a与c,设g(x)= xc+1n1-x)(0<x<),则 g'(x)=(x+1)e+ (x2-1)e+1,令h(x）=e(x2 D+1(0<x<),剥'(x) c(x2+2x-1D,易知当0<x<日 时，'(x)<0,则方(x)在(0，)上 为减函数，.h(x)<h(0)=0.又x 1<0,g'(x)>0,g(x)在（0， )上为增高数g0.1D>g0 .0.1e.1十ln0.9>0,.a>c.综上， b>a>c.故选C. 3.B显然1.012>1.02，故b<a①：令 f(x)=ln(1+x)-/1+2.x+1(0< x<1),:1+x=√(1+x)= √1+2x+x>√1+2z,.f'(x)= 1 1 1十x /1+2x √1+2z-(1+x）<0,f(x)在 (1+x)√/1+2.x 参考答案 267 (0,1)上单调递减，∴.f(x)<f(0)= 0,.ln(1+x)-/1+2x+1<0,故 ln(1+0.02)<√/1+2×0.02-1，即 ln1.02<1.04-1,故b<c②；令 g（x)=2ln(1+x)-1+4x 1(0<x<2),g'(x)=,2 1 1+x 2 2X+4z-x-1 ,:当0<x<2 (1+x)√/1+4x 时，1+4x-(x+1)2=-x2+2x= x(2-x)>0,∴.1+4x >x十 1,∴g'(x)>0,g(x)在(0,2)上单 调递增，.g(0.01)>g(0)=0,即 2ln(1+0.01)-√/1+4×0.01+1 0,即a>c③.结合①②③得a>c> b.故选B. 微专题5曲线的切线与公切线 》热点分类·考向探究《 例1(1)D 由f(x)=x2+2alnx→ f'(x)=2x+2(x>0,不妨设这两 条切线的切点分别为(x1,f(x1)), (x2,f(x),且f'(x1)·f'(x2)= 一4，若a≥0，则f'(x)>0恒成立，不 符合题意，所以a<0,此时y=f'(x) 在(0，十○)上单调递增，依题意需使 /f'(1)=2+2a<0, f'(2)= +a>0, f'(1)f(2)=(2+2a)(4+a)<-4, 解得a∈（一3，一2）.故选D. (2)C设切，点为(x。,(1一x。)e0),由 已知得y'=一xe,则切线斜率及= -xe0,切线方程为 y-(1 =-xoe (x一x。),直线过点 A(a,0),则一(1-x。)e0=一x。· 0 e(a-x),化简得x-(a+1)x。十 1=0,切线有且仅有1条，即△=(a十 1)2-4=0,化简得a2+2a-3=0,即 (a十3)(a一1)=0，解得a=一3或 a=1.故选C. 跟踪训练1(1)B由f(x)=e+2x, 得f'(x)=e十2，则f(0)=1, f'(0)=3,所以曲线y=f(x)在点 (0,f(0))处的切线方程为y=3x十1. 故选B. (2)B 设切点为A(x0,y。),由已知可 得y'=e(x十a十1).根据导数的几 何意义可知，切线的斜率为=y'= eo (Zzo ,十a十1)，所以切线方程为y一 (x0+a)e0=e0(x0+a+1)(x x。).又切线经过原，点，所以有0 (.x。+a)e0=e0(x。+a+1)(0 x),整理可得x十ax。一a=0.因为 曲线y=(x十a)e有两条过坐标原，点 的切线，所以方程有两个不相等的实 数解，即有△=a2十4a>0,解得 a<-4或a>0.故选B. 例2C设直线l与曲线f(x)相切于点 A(xo,e0+1),f(x)=e,则切线的 斜率为e,切线方程为y一(e。+ 1)=e0(x-xo),即y=e0x 268 2刻闪讲与练·高三二轮数学 ex。十e0+1,设直线l与曲线g(x) 相切于点B(x1,nx1十3)，g'(x)= 上，则切线的斜率为工，切线方程为 TI y-nx1+3)=1(x-x1),即y= t2+lnx,+2, 1 -e,+e+1=lnx1+2, x0=1, 解得 1或二0则直线1的 x1= e {x1=1, 方程为y=ex十1或y=x十2.故 选C. 例3D由y=x得y'=2x,曲线y= x2在点(m,m2)处的切线斜率为2m, 由y=二(a>0)得)=后，线 e y=号(a>0)在点(，2c）处的切 线外率为，如果两条曲线存在公 1 切线，那么2m= e”(m≠0).又由斜 m2- 率公式可得2m= a 一，由此得 m-n 1 到m=2m-2,则4n-4=后c有解， 所以直线y=4x一4与函数y= 的图象有交点即可.当直线y=4x一4 与画数)=】。的图象相切时，设切 点为(，期e=4,且1=45 4 一e,得s=2,t=4,即有切点（2， ),此时a=三，故实数a的取值范国 4 为[学十四)收造n 跟踪训练2(1)C设直线y=x+b 与曲线y=e的切点为(x1,e1),与 曲线y=一e的切点为(r2,一e), 对函数y=e求导得y=(e)'=e, 对函数y=一e求导得y'= (-e)y=e,则曲线y=e在x= 工1处的切线方程为y一e1=e(z x1),即y=e1x十e1-x1e1,曲线 y=一e在x=x2处的切线方程为 y+e=e(x-x2),即y= ex-xe:-e,所以 e1=e2, 1-c=(-1-,)e,解得 x1=1,故k=e1=c,b=1一 x2=-1, 1)e=0,所以k+b=e.故选C. (2)C根据题意，设直线1与曲线 f(x)=e-1相切于点(m,e"-1),与 曲线g(x)相切于点(n,lnn十1)，对于 f(x)=e-1,有f(x)=e,则直线 1的斜率k=e”,则直线1的方程为y十 1-em e"(x-m),y e"x +(1- m)em-1,对于g(x)=lnx+1,有 g()=1,则直线1的斜率6=1 则直线1的方程为y一(lnn+1)= (z-),即y=+nn,则 1 n 可得(1 (1-m)e In n +1, m)(em一1)=0，即m=0或m=1,则 切线方程为y=ex一1或y=x,故曲 线f(x)与曲线g(x)的公切线有2条. 故选C 》真题演练·重温高考《 1.Af'(x)= (e*2cos x)(1+x2)-(e'+2sin x),2x (1+x2)2 所以f'(0)=3,所以曲线y=f(x)在 点(0,1)处的切线方程为y一1= 3(x一0)，即3x一y+1=0,切线与两 坐标轴的交点分别为(0,1)， (子0），所以切线与两生标轴所国 成的三角形的面积为弓X1×号 日放遂A 2.4 解析：对于y=e+x十a,其导数为 y'=e+1,由直线y=2x+5是曲线 y=e十x十a的切线，直线的斜率为 2,令y'=e' 十1=2，即e=1,解得 x=0,将x=0代入切线方程y= 2x十5，可得y=2×0十5=5，所以切 点的坐标为(0,5).因为切点(0,5)在 曲线y=e+x十a上，所以5=e°十 0十a,即5=1十a,解得a=4. 3.ln2 解析：由题意，令f(x)=e十x,则 f'(x)=e+1,所以f'(0)=2,所以 曲线y=e+x在，点(0,1)处的切线方 程为y=2x十1.令g(x)=ln(x十 1)+a,则g'(x)=1 设直线y 2x十1与曲线y=g(x)相切于点(x0, y),则 1 x0+1 =2,得x 2则 y0=2x。十1=0，所以0= n(号+1+a,所以a=ln2. 4.y=xy=-1z 解析：先求当x>0时，曲线y=nx 过原，点的切线方程，设切点为(x。, y),则由y=1,得切线斜率为1， 又切线的斜率为，所以1=，解 to 得y。=1,代入y=lnx,得x。=e,所 以切线斜率为】，切线方程为y 同理可求得当x<0时的切线方 程为y=一上，综上可知，两条切线 e 1 方程为y=二x y--1