专题1 微专题2 基本初等函数、函数与方程-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

周期函数，又当x∈[0,1]时，f(x)= x单调递增，所以f(x)在[-1,0]上 单调递增，则f(x)在[-1,1]上单调 递增，由f(x)的图象关于直线x=1 对称，得f(x)在[1,3]上单调递减，所 以f(x)在[一1,3] 的胶 ,大值是 f(1)=1, 最小值 f(-1)= -f(1)= 一1，故A错误；当3≤x 4时，0≤ 4一x≤1，则f(x)= -f(-x) =一f(4 x） 一(4一x)2,故B正确；由f(x)在 [-1,1]上单调递增，且周期为4，得 f(x)在区间(3,5)上单调递增，故D 正确.故选BD. 》真题演练·重温高考《 1.A由题知f(x)=f(一x),f(x十 2)=f(x)对一切x∈R成立，于是 ()=()=(4) =5 4 2 2.D 由题图可知函数y=f(x)为偶函 教，而函数f(x)=1-x 和函数 fx)=x为奇画数，故排除A, B;当x∈(0,1)时，1-x2>0,x2 1<0,此时f(x)= x 0, f(x)= x2-1 <0,由题图可知当 x∈(0,1)时，f(x)0,故C不符合， D符合.故选D. 3.C由题意可知f(x)的定义域为 (一b,+∞)，令x十a=0,解得x= 一a.令ln(x+b)=0,解得x=1- b,则当x∈(-b1-b)时，ln(x十 b)<0,故x十a≤0，所以1-b+a≤ 0,当x∈(1-b,+o∞)时，ln(x+ b)>0,故x+a≥0，所以1-b+a≥ 0,故1-b+a=0,则a2+b2=a2十 a+1)=2(+2)°+2≥ ,当 6= Q=一 ?时，等号成立，所以 a2十6的最小值为.故选C 4.B 因为当x<3时，f(x)=x,所以 f(1)=1,f(2)=2.又因为f(x) f(x-1)+f(x-2),则f(3) f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+ f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8, f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)> f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+ f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55, f(10)>f(9)+f(8)>89,f(11)> f(10) +f(9)> 144,f(12) f(11) +f(10) 233,f(13) f(12) +f(11) 377,f(14) f(13) +f(12) > 610,f(15) > f(14) +f(13) >987,f(16) > f(15)+f(14)>1597>1000,依次 比下去可知f(20)>1000,则B正确， 且无证据表明A,C,D一定正确.故 选B. 5.解：假设存在满足题意的a,b.由函数 f(x)的解析式可得 f(）=(红+an(2+1): 函数f()的定义城满足。+1 2642对闪讲与练·高三二轮数学 ?+1>0,即函数f(）的定义域为 (-0,-1)U(0,+∞)， 定义城关于x=一2对称，由题意可 1 得b=- 2 -,取m=号，可得1) 3 f(2).即(a+1n2=a-2)· n2,则a十1=2-a,解得a=2 经检验a=2,b=-2 满足题意.故 微专题2基本初等函数、 函数与方程 》热点分类·考向探究《 例1I)AD对于A,f(x)=-1 2+1 1-2由1f)1号，得 2 1 21 2十1<号，得<2+1<，解 1 。2 得一1<x<1,即原不等式的解集是 (一1,1)，故A正确；对于B,f(一x)= 2 2+ 12+1 =1一2+1 ≠f(x),故 2 B错误：对子Cfx)=1-2十因 为y=2在（一∞，十∞）上单调递增， 所以函数f(x)在（一∞，十∞）上单调 递增，故C错误；对于D,由0< 2 2r+1 2<1,即 <2知-1<1-2+1 函数f(x)的值域是（一1,1），故D正 确.故选AD. (2)B设函数f(x)=3,g(x)= 4,h(x)=2,作出函数f(x)与 g(x）的图象如图， y=t y=g(x) 设3“=4=t.当0<t<1时，直线 y=t与函数f(x)=3,g(x)=4 的图象交点的横坐标分别为a,b,由函 数图象可知，a<b<0,A错误；当t 1时，直线y=t与函数f(x)=3, g(x)=4的图象交点的横坐标分别 为a,b,由函数图象可知，0<b<a,C 错误；因为3°=4的，所以3“=226，设 3=226=t,作出函数f(x)=3, h(x)=2的图象如图， =1 y=f(x) =h(x) 当0<t<1时，直线y=t与函数 f(x)=3,h(x)=2的图象交点的 横坐标分别为a,2b,由函数图象可知， 2b<a<0,B正确；当t>1时，直线 y=t与函数f(x)=3,h(x)=2的 图象交点的横坐标分别为a,2b,由函 数图象可知，0<a<2b,D错误.故 选B. 跟踪训练1(1)C当0<a<1时， >1,函数y=a=(日）为底数 大于1的指数函数，是增函数，函数 y=log。x为底数大于0且小于1的对 数函数，是减函数.故选C (2)AB对于A,log4.30.2>loga30.3= 1,log.20.3<l0g.20.2=1,故 loga.30.2>log.20.3,A正确；对于B, 0.302>0.3.3>0.203,故0.302> 0.23,B正确：对于C,由于log0.2< 1 l0g20.2 0,log20.2<0,故 logo.2 log;0.2 1 logo.23 logo.23 log23>1,故log30.2> logo.22 10g:0.2,C错误：对于D,3:=3, 3 23=26,因为(35)19=32=9， 3 3 (25)10=8,所以(3)10>(2)0，故 30.2>2,3,D错误.故选AB. 例2C设函教1=工十】，根据“对句画 数”的性质可知，西数t=工十】在 (分]上单洞递减，在1,10)上单调 递增，且当x=1时，t=2,当x= 1 时，t=10.1,当x=10时，t=10.1. 所以当x∈（品。10）时1∈[2. 10.1),由y=sint=0→t=kx,k∈ Z.只有当k=1,2,3时，t的值分别对 应x,2π，3r∈L2,10.1).又因为x+ 1分别取π，2,3元时，对应方程在 C (品，10)上各有2个解，所以fx)在 (品10)上有6个零点，故选C 例3D 画出f(x)的图象和直线y= a,如图， 3H y=f(x) 2 '= 3 由图象可知实数a的取值范围是[1， 2).故选D. 例4ABD 由题意得f(x)= -l0g2x,0<x1, logx,1<x≤2，作出f(x)和 (x-4)2-3,x>2, y=m的图象如图. y =x) 1=1 12 因为函数y=f(x)一m有4个零点 T1t2,3,A<<3<T 所以0<m<1,令f(x)=m,则由图 可知log2x2=一log2x1,x3十x:=8, 故x1x2=1,x3十x4=8,0<m<1, 故C错误，A,B正确；令x2-8.x十13= 1,则x=2或x=6,令x2-8x十13= 0,则x=4一√3或x=4+3,所以 4+√3<x4<6,所以 (x3十x4）x 8x172 x4∈(4十√3,6)，故D正确.故 选ABD. 跟踪训练2 (1)By=2与y= lnx一1均在定义域上单调递增， .f(x)=2十lnx一1在(0，+o)上 单调选增.又f(兮）=巨+m君 1=E-1-n2w反-1<2n2> hE=2(分）=5-1-h2< 0.又f(1)=2+1n1-1=1>0,.函 数f(x)的零点所在的区间为 (2)故选B (2)B由函数f(x)在(0，+o∞)上为 增函数，f(1)=-1<0,f(2)=号之 0,可知f(x)存在唯一零点，其所在范 围是(1,2)，即1<a<2;令g(x)=0, 3 则g(x)=x十2 x2+2x-3 =0,解得x=1或x= x 一3，则b=1;令h(x)=0,可得函数 h(x)的零，点即为y=x十2与y=2 图象的交点的横坐标，画两函数的图 象如图， =2 =+2 4 2 2 由图象可得c=2.综上，b<a<c.故 选B. 3o,3) 解析：由函数F(x)=f(x)一g(x)有 三个零点，得方程f(x)一g(x)=0有 三个解，当x>0时，方程为一 ax 2 a,即1=ax2-a.x,即a.x2-ax-1= 0,因为a>0,所以△=(-a)2+4a> 0,所以方程有两个不相等的根，又 二1<0，所以ax2-a.x-1=0有-个 正根与一个负根，又x>0,所以 F(x）=f(x)-g(x)有一个正的零 点.当x≤0时，方程为ax2十x=ax a,即ax2十(1-a)x十a=0,因为函数 F(x)=f(x)-g(x)有三个零点，所 以方程a.x2十(1-a)x+a=0有两个 不相等的非正根，所以 △=(1-a)2-4a2>0, 1-a>0, 解得0 ≥0， a 3,所以实数。的取值范国 1 a< 是(0,) 例5D设北极星与牛郎星的亮度分别 5 2=-2g1 为11，I2,则 0.8=- 5112 两式相减得一 1 ,解得1 5 10兰故选D 跟踪训练3D令Q=Q,e两= 20 可得e= t 2,可得-00 In2 -n2,所以t=400ln2≈277，故臭氧 消失一半所需要的时间约为277年，故 选D. 》真题演练·重温高考《 1.B由指数函数、幂函数的单调性可知 y=0.3在R上单调递减，y=√x在 [0,十o)上单调递增，所以f(x)= 0.3一√x在定义域[0，+∞)上单调 递减，显然f(0)=1>0,f(0.3)= 0.3.3-0.3°.i>0,f(0.5)=0.3°.5- 0.5i<0,根据函数零点存在定理可 知f(x)的零点位于(0.3,0.5)上.故 选B. 2.B设当N取10个单位、1.024×10 个单位、4.096×10个单位时所需时 间分别为T1,T:,T,则T1= klog2 10"6klog2 10,T2 klog2 (1.024X 10)=k1og:(20×10)=k(10+ 6log:10),Tg=klog:(4.096×10)= klog2(22×10)=k(12+6log:10).因 为T:-T1=k(10+6log:10) 6klog210=10k=20,所以k=2,所以 T3-T2=k(12+6log210)-k(10+ 6log:10)=2k=4,所以当训练数据量 N从1.024X10个单位增加到 4.096×10°个单位时，训练时间增加4 小时.故选B. 3.B设2+log2x=3+log:y=5十 log:之=m,令m=2,则x=1,y= 125,此时x> 1 3=3=53 y>,A有可能；令m=5,则x=8, y=9,之=1，此时y>x>之，C有可 能；令m=8,则x=2i=64,y= 3=243,之=53=125，此时y>之> x,D有可能.故选B. 4.D令f(x)=g(x),则a(x+1)2 1=cos x +2ax,cos z a(x2+ 1)-1.令h(x）=cosx-a(x2+1)+ 1.易知h(x)为偶函数，由题意知 h(x)在（一1,1）上有唯一零点，所以 h(0)=0,即cos0-a×(0+1)+1= 0,解得a=2.故选D. 5.64 1 解析：根据题意有 1 log:a 2log.2 3 5,即3log.2- 1 5 2 21og.2 2,设 t=log.2(a>1),则t>0,故3t 1 ，解得1==-1含 5 1 2t 去)，所以l0g,2=,所以a京=2，所 以a=64. 微专题3 导数与函数的单调性、 极值、最值 》热点分类·考向探究《 例1解：f(x)=e2r-(a+2)e2+2a= (e-2)(e-a). 当a ≤0时，e-a>0,令f'(x)>0, 得x ln2,令f'(x)<0,得x<ln2, 所以f(x)在(ln2,十∞)上单调递增， 在(-oo,ln2)上单调递减. 当a=2时，f'(x)=(e-2)≥0，所 以f(x)在（一∞，十∞）上单调递增. 当a>2时，令f'(x)>0,得x>lna 或x<ln2,令f'(x)<0,得ln2< z In a, 所以f(x)在(-∞，ln2),(lna,+o∞) 上单调递增，在(ln2,lna)上单调 递减. 当0<a<2时，令f'(x)>0,得x> ln2或x <lna,令f'(x)<0,得 In a <x <ln2, 所以f(x)在(-o∞，lna),(ln2,+c∞) 上单调递增，在(lna,ln2)上单调 递减. 综上，当a≤0时，f(x)在(ln2,十o∞) 上单调递增，在（一o,ln2)上单调 递减； 当0<a<2时，f(x)在(-∞，na), (ln2,+o∞)上单调递增，在(lna,ln2) 上单调递减； 当a=2时，f(.x)在(-o∞，+∞)上单 调递增； 当a>2时，f(x）在(-∞，n2), (lna,+o)上单调递增，在(ln2, lna)上单调递减. 例2(1)B要使奇函数f(x)是增函数， 则需f(x)在x>0上单调递增，且 2a≥0，当x>0时，f'(.x)=3.x2十 2ax+(6一a)≥0恒成立，因为2a 0,所以一 ≤0，所以只需6一a≥0 即可，即0≤a6.故选B. (2)[-2,1] 解析：f(1-x)=e-a e2r-l n(x-)+1,则fa)+f0 x)=2,即f(1-x)=2-f(x),∴.2 f(2-x)=f(x-1).:f(x+2x 3)+f(2-x)≤2，.f(x2+2.x-3)≤ 2-f(2-x)=f(x-1).,f'(x)= 22+2x+2o(受x-开）≥ 2V2e×20-=4->0. 2 即函数f(x)在R上单调递增，∴.x2十 参考答案 265微专题2基本初等函数、函数与方程 》考情分析 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型. 2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现. 3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型 主干整合》核心提炼 1.对数式的运算公式 4.常用结论 (1)log (MN)=log M+log N; (1)换底公式的推广：logb·logc·logd= -log.M-log.N (2)1og. log.d(a,b,c均大于0且不等于1，d>0). (2)指数函数的图象与底数大小的比较 (3)log M"=nlog M; 如图是指数函数①y=a;②y=b;③y=c”; (4)aN=N; ④y=d的图象，底数a,b,c,d与1之间的大 (5)log,N=log.N 小关系为c>d>1>a>b>0.在第一象限 logia 内，指数函数y=a(a>0,a≠1)的图象越 注：a,b>0且a,b≠1，M>0,N>0. 高，底数越大。 2.指数函数与对数函数的图象与性质 指数函数y=ar(a>0,a≠1)与对数函数y= ④ logx(a>0,a≠1)的单调性，分0<a<1, a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域 内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义 x=1 域内都为减函数 (3)对数函数的图象与底数大小的比较 3.函数的零点问题 如图，作直线y=1,则该直线与四个函数图象 (1)函数F(x)=f(x)一g(x)的零点就是方 交点的横坐标为相应的底数.故0<c<d< 程f(x)=g(x)的根，即函数y=f(x)的图象 1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一 与函数y=g(x)的图象交点的横坐标. 象限内从左到右底数逐渐增大。 (2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程 .y=log x y=logix 法；②利用函数零点存在定理；③数形结合，利 --=1 用两个函数图象的交点求解. -y=logx y=logx 热点分类》考向探究 -v 考向1基本初等函数的图象和性质 (2)(2025·广东广州一模)已知实数a,b满足 2-1 3“=4,则下列不等式可能成立的是() 例1(1)（多选）已知函数f(x)= 2+7则 A.b<a<0 B.2b<a<0 ( C.0<a<b D.0<2b<a A.不等式1f(x)<名的解集是(-1，D ⑦听课记录 B.Hx∈R,都有f(-x)=f(x) C.f(x)是R上的减函数 D.f(x)的值域是(-1,1) 006 2对勾讲与练·高三二轮数学 4反思感悟…………… 角度2根据零点求参数的取值范围 1.对数函数与指数函数的单调性都取决于其底 [例3(2025·湖南长沙二模)若函数f(.x)= 数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1 |log2x,0<x<4, 和0<a<1两种情况讨论. 2x2-2x+1x≥4 1 图象与直线y=a恰 2.由指数函数、对数函数与其他函数复合而成 的函数，往往通过换元法转化为若干个基本初等函 数，然后根据复合函数的性质与相关基本初等函数 有三个交点，则实数a的取值范围是() 的性质之间的关系进行判断. A.[1,2] B.(1,2) C.(1,2] D.[1,2) 跟踪训练①(1)当0<a<1时，在同一坐标系 心听课记录 中，函数y=ax与y=logx的图象是( 角度3零点的代数式问题 [例4（多选）已知函数f(x)= 1|log2x,0<x≤2， x2-8x+13,x>2, 若函数y=f(x)-m 有4个零点x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3< x4,则 () A.0<m<1 (2)(多选)(2025·河北保定一模)下列不等式 B.x1x2=1 成立的有 ( C.x3+x4=4 A.log.30.2>log0.20.3 x十x)x4的取值范围为(4十B,6) D. B.0.3.2>0.2.3 8x1x2 C.logs0.2<log20.2 心听课记录 D.32<20.3 考向2函数的零点 角度1 函数零点个数的判断 [例2(2025·河北邯郸一模)函数f(x)= sin(+)在（品10）上的零点个数为( 4反思感悟， 1.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的 A.3 B.4 C.6 D.8 方法 (1)利用函数零点存在定理构建不等式求解. 听课记录 (2)分离参数后转化为求函数的值域（最值）问 题求解. (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问 题，从而构建不等式求解 2.(1)判断两零点是否“轴对称”，一旦满足了对 称性，两零点之和为定值. (2)以数形结合的方法确定零点的取值范围. 第一部分专题一 函数、导数 007 跟踪训练②(1)(2025·河北沧州二模)函数 的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度的比 f(x)=2”十lnx一1的零点所在的区间为 值为 () A.10 B.10 C.10 D.10号 A.0,》 B分 听课记录 c,) n(2 (2)已知正数a,b,c分别是函数f(.x)=2 g(x)=x+2- 3 二，h(x)=x十2-22的零 点，则 ( A.a<b<c B.6<a<c 反思感悟……… 已知函数模型求解实际问题的注意点 C.b<c<a D.c<a<b 1.认清所给模型，弄清哪些量为待定系数，利用 (3)(2025·山西临汾二模)已知a>0,函数 待定系数法确定系数. 1 ,x>0, 2.利用函数模型，借助函数的性质求解，并进行 f(x)= g(x)=ax-a,若函 检验 ax2+x,x≤0， 数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点，则实数a 跟踪训练③(2025·山东青岛一模)近年来，家用 的取值范围是 冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭 考向3函数模型及其应用 氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q= 例5(2025·四川成都二模)在天文学中，天体的 Q。e,其中Q。是臭氧的初始含量.臭氧消失 明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星 一半所需要的时间约为（参考数据：ln2≈ 的亮度I。为标准，天体的星等m与亮度I满足 0.693) () g。,已知北极星的星等为2，牛郎星 5 A.265年 B.266年 C.276年 D.277年 真题演练》重温高考 1.(2025·天津卷)函数f(x)=0.3”一√的零 3.(2025·全国一卷)已知2+log2x=3+log3y= 点所在区间是 ( 5十log之，则x,y,之的大小关系不可能为 A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) () C.(0.5,1) D.(1,2) A.x>y>之 B.x>之>y 2.(2025·北京卷)在一定条件下，某人工智能大 C.y>x>之 D.y>之>x 语言模型训练N个单位的数据量所需要的时 4.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(.x)=a(x+ 间T=klog2N(单位：小时)，其中k为常数.在 1)2-1,g(x)=cosx+2ax.当x∈(-1,1) 此条件下，已知训练数据量N从10个单位增 时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点. 加到1.024×10°个单位时，训练时间增加20小 则a= () 时；当训练数据量N从1.024×10°个单位增加 1 A.-1 .2 C.1 D.2 到4.096×10°个单位时，训练时间增加（单位： 小时) 5.(2024·全国甲卷理)已知a>1且1oga 1 () A.2 B.4 1 5 C.20 D.40 1og。4=-2,则a 温馨提示》请完成课时作业2 008 2对勾讲与练·高三二轮数学