专题1 创新题1 函数与导数-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

.h(t)>h(3)= 41n3 2 -4=m 9 9 .ln(xx2)>ln,故x1x:> 9 》培优专训·难点突破《 1.解：(1)f(x)的定义域为(0，十o), f'(x)= 1 当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在 (0,十∞)上单调递增，f(x)至多有 个零点，不符合题意，舍去； 当a>0时，令f'(x)>0得0<x< ,所以f(x)在(0，)上单调递增， a 令f'(x)<0得x>1,所以f(x)在 (日，+∞)上单调递减， 所以f(行)是f(x)的极大值也是最 大值， 又x>0时，f(x）→-∞；x→+∞ 时，f(x)·一o, 所以若f(x)有两个零点，则 f(）=m是-1>0，所以0<a< 二故a的取值范围为(0，）。 (2)证明：不妨设x1<x2,由f(x1)= f(),得0<x1<1<r. 构造函数F(x)=fx)-f(名 x)(0<x<), F(x)=f')+f(2 位-*( 1 2(ax-1)9 2 -2a= x(2-a.x) 因为0<x<1,所以2-4r>0,即 F()>0,所以F(x)在(0，）上单 调递增，又F(日）=0，所以F(x) f)-f(2-x)<r()=0, 所以f(x)<f(2-x) 所以fx)<f(2-x) 又f(x1)=f(x2), 所以f:)<f(名-x) 而，2-x1∈(，+∞）fx) 在（仁，+∞）上单调递减， 所以x:三 -x1,即x1十x:> 所以a(x1+x2)>2. 2.证明：证法一 因为x1≠x2,不妨设 x1>x2,因为lnx1-ax1=0,lnx2 ax2=0, 所以lnx1+lnx2=a(x1十x2), lnx1一lnxg=a(x1一x2),所以 In zi-Inz:a. x1一xg 欲证x1x,>e,即证lnx1+lnx2>2. 因为lnx1+lnx2=a(x1十x,),所以 2 即证a> x1十xg 所以即证血一n飞> 2 ,即 x1一xg x1十xg 证1n> 2(x1-x2) x1十xg 令1=4，则t>1x1x2>c等价于 In t- 2(t-12>0, t+1 构造函数g(t)=lnt- 2(t-1) t+1 t>1, 因为g'(t)=（t-1) 4+1)>0,所以g) 在(1，十○)上单调递增， 故g)>1n1-2XD=0,即 1+1 In t 2(t-1) t+1 >0,所以x1x2>e2. 证法二依题意，a=h飞_n之 In 即nx 2,设x1<xt= 三，则 t>1, In(tz) 则x2=tz1nx1 =t,可得lnx1= Int.In:In(tz:)In t+h z= t-1 lnt+n上=lnr t-1t-1' 由于x1x:>e台lnx1+lnx2>2台 +=>2n 2t-1D>0. t+1 构造函数g(t)=lnt一 2(t-1) t+1 t>1, 因为g'(t)=t-1) +1>0,所以g() 在(1，+∞)上单调递增， 故g)>1n1-2X1,卫=0，即 1+1 1n1-21-D>0. t+1 所以x1x2>e. 创新题1函数与导数 》热点分类·考向探究《 例1e-2 解析：因为f'(x)=nx+(x+1)· -2=nx+ 1 x -1,令g(x)= In z+ -1,g'(x)=1-1 x Le 所以g(x)在 e ,1上单调递减.又 因为g(1)=0,所以g(x）≥0在 。上恒成立，所以P(x)≥0，所 以了x)在[。]上单调递增，设 1≤x1<x:≤1，则f(x)< f(x2).若函数f(x)=(x+1)nx 2江十2在区同[]上满足K-条 件，则|f(x1)一f(x2)|≤Kx1 :对任意：∈[。门恒成立 所以f(x2)一f(x1)≤K(x2一x1)对 任意：∈[日] 恒成立，则 f(x:）一Kx≤f(x1）一Kx1对任意 ∈[日]短成立，令() fx)-K,所以)在[日]上单 调递减，h'(x)=f'(x)一K≤0在 [是]上设成立，所以K≥1n+ 1 二一1=g(x).又因为g(x)在 上单调递减，g(x)mx g(日)=1h+e-1=e-2,所以 K≥e-2,所以K的最小值为e一2. 3 3 跟踪训练1 e+1 e 解析：设曲线y=lnx上与直线y= ex十1平行的切线的切，点坐标为(xa, n),则1=e,解得。=上，所以 切点为(。，-1)即切线方程为y十 1=c(x-),即ex-y-2=0,则 MN|的最小值为直线y=ex+1与 直线ex一y一2=0间的距离，即 1+2 3 MN min √e+(-1) 设 M(x1,ex1+1),N(x2,lnx2), 则IM N I|=|x1-x2|+|ex1+1一 Inx2|,将I|MN|看成关于x1的函 数，则I|MNI|在x1=x2或ex1十 1=lnx2时，取得最小值，当x1=x2 时，令g(x)=ex十1-lnx(x>0), 则g'(x)=c-1,令g'(x)=0,解得 x=,当x∈(0，）时g'(x)< 0,函数g(x)单调递减，当x∈ (日，+∞）时，g'(x)>0,函数g(x) 单调递增，所以当工=上时， gx)m=8(）=eX是+1- n1=3,即11MN lmim=3；当 e1十1=lnx时，则x2=e1,令 h(x)=e+1-x,则h'(x)=e· e+1-1,令h'(x)=0,解得 x= -，当x∈（--）时， h'(x)0,函数h(x)单调递减，当 x∈(-名，十∞）时'()<0，函数 参考答案279 2 h(x)单调递增，所以当x= 时， e A(x=A(是)=e 2 3.综上所迷，川MN1lm 3 e 例2解：(1)证明：因为g(1)=g(4)=1, 且g(x)在[1,4]上连续，在(1,4)内可导， 所以由罗尔中值定理得3x。∈(1， 4),g'(x)=0. (2)设h(x)=f'(x)=(x-1)e+ 3ax2,则h'(.x)=x(e+6a). 当6a≥0，即a≥0时，e+6a>0, 若x< 0,则h'(x)<0,则h(x)在 (-∞，0 上单调递减， 若x>0,则h'(x)>0,则h(x)在 (0,十∞)上单调递增， 从而h(x)mn=h(0)=-1,故a≥ 符合题意. 当6a<0,即a<0时，令h'(x)=0, 得x=0或x=ln(一6a). 当ln(-6a)<0,即- 6 <a<0时， 若x>0或x<ln(-6a),则h'(x) 0,则h(x)在(-∞，ln(-6a))和 (0,十∞)上单调递增， 若ln(一6a)<x<0,则h'(x)<0,则 h(x)在(ln(-6a),0)上单调递减. 因为h(x)在（一1,1）上的最小值为 一1，且h(0)=一1，则h(一1)≥-1， 得 2≤a<0. 当ln(-6a)=0,即a=- 时， 6 h'(x)≥0恒成立，则h(x)在R上单调 递增，故a=一上不合题意」 当ln(-6a)>0,即a<-1时， 6 若x>ln(-6a)或x<0,则h'(x>0, 则h(x)在（一o,0)和(n(一6a),+∞） 上单调递增， 若0<x<ln(-6a),则h'(x)<0,则 h(x)在(0，ln(一6a))上单调递减， 从而()<h(0)=-1,故a< 1 不合题意 综上，a的取值范围为 [品 3 +∞) 跟踪训练2解：(1)f(x）=1一 令mx)=fx. 则m'(x）=文一2 e (.x+1)21 依题意知，m'(x)≥0对任意的x∈ [2,3]恒成立，则 x+1)(x-2) ≥ e 恒成立， 令n(.x）= (x+1)2(x2) e x3-3.x-2 ，x∈[2,3] 则n'(x)=二(-x+3+3z 1)=+1(-x2+4x-1)>0, 280 2对闪讲与练·高三二轮数学 故n(x)在[2,3]上单调递增，故 n(2)=0≥λ 则实数入的取值范围为(-∞，0]. (2)依题意得，F(x)=f(x一1)= 2-1+xnx, e-1 若入≥0，当x>1时，飞二1>0， e-1 In >>0, 所以F(x)>0,F(x)在(1，+∞)上 无零点，舍去 若入<0， 则F'(x)= Ae-1-x2+2x ze-1 令g(x)=Ae1-x2+2x, 则g'(x)=Ae1-2(x-1)<0,则 g(x)在(1，+∞)上单调递减，且 g(1)=入+1. ①若入+1>0，即一1<入<0，此时 g(2)=入e<0, 则存在m∈(1,2)，使得g(m)=0,即 F'(m)=0, 故F(x)在(1，m)上单调递增，在 (m,+o∞）上单调递减，所以F(m)≥ F(1)=0, 当x>m时，F(x）=工-] -1+nx=1-+x<1+ 2 入lnx, 令1十入lnx=0,解得x=e, 因为ex>e>m,且F(ex)<0, 所以存在唯一的x1∈(m,e),使得 F(x1)=0,满足条件， ②若入十10，即λ-1，此时g(x)< 0,F(x)在(1，十∞)上单调递减， 又F(1)=0,所以F(x)<0,不合题 意，舍去， 综上所述，实数入的取值范围为 (-1,0). 专题二 三角函数 与平面向量 微专题9三角恒等变换 》热点分类·考向探究《 例1(1)A 2cos65°cos15 tan15cos10°+sin10°= 2cos65°cos15 sin15°cos10°+sin10°cos15° sim25°×(1+cos30)=1+ sin 25 2 2+√3 .故选A 2 3 (2)B 1+c0s40° 4tan 20 2 1+2cos220°-1 4tan20° V3 c0s20°= √3cos20 4tan 20 4sin20° cos20°=5c0s20°-4sin20°cs20° 4sin20° V3cos20°-2sin40° 4sin20° 5c0s20°-2sin(60°-20）= 4sin 20 √3cos20°-2(sin60°cos20°-cos60°sin20) 4sin20° √3cos20°-√3cos20°+sin20° 4sin20° sin 20 4sin20° 子改莲以 跟踪训练1 (1)A原式= 2sin a cos a-2cos'a √2 (sin a-cos a） 2 2√2cosa(sina-cosa) =2√2cosa. sin a -cos a 故选A. (2)C sin50°(1+√3tan10)= sin 5+）-m 50°· cos10°+√3sin10° =sin(90°-40°)· cos10° 2( c0s10°+ 2sin10） =c0s40°· c0s10° 2sin(10°+30°) 2sin40°cos40° c0s109 cos10° sin80° sin(90°-10°) cos10° cos10° cos10° cos10° 1.故选C. 2 (1)C sin 2a +sin 28=sin[(a+ B)+(a-B)]+sin[(a+B)-(a- B)]=2sin(a+B)cos(a-月)=号，由 3 e+日=径，得sna+B》=乞，别 1 cosa-B)-号os2a+cos2g cos[(a+B)+(a-B)]+cos[(a+B)- (a-B)]=2cos(a+B)cos(a-B)= x()×号- 3.故选C (2)B 根据题意可知cos x cos y≠0， 因为sin(x一y)=cos(x+y),所以 sin x cos y-cos xsin y cos cos y- sin zsin y,整理得sinx(cosy+siny)= cosx(siny十cosy),等式两边同除以 cos x cos y tan z(1 tan y)= tany+l,即tanx-tany=1 tan ztan y,又因为tan(x-y)=3,所 以 tan a-tan y1-tan z tan y 1+tan x tan y 1+tan x tan y 3,解得amx1amy三-2 故选B. 跟踪训练2(1)C由题意可得cos2a= cos2(a+）-2=sim2(a+ 2sn(a+于)as(a+） m(e+牙）+s(e+于) 2an(e+F） 2×(-3) tam(a+千)+1 (-3)2+1 3 .故选C 5 (2)D 因为cos(a十3)=c0 s acos B sin asin月= √3-√ -,sin a sin B= 4 ② ,所以cos acos B= 3 ，所以培优专训》难点突破 1.(2025·湖北荆门模拟)已知函数f(x)=lnx一2.已知函数h(x)=lnx和g(x)=a.x,若存在两 a.x有两个零点， 个实数x1,x2,且x1≠x2,使得h(x1) (1)求a的取值范围； g(x1),h(x2)=g(x2),求证：x1x2>e. (2)设x1,x2是f(x)的两个零点，求证： a(x1十x2)>2. 创新题1 函数与导数 》考情分析 新定义题型内容新颖，分值较高，作为高考试题的压轴题，成为近几年高考命题趋势之一，这类问题的解 决，对学生的心理素质和思维敏捷性要求较高。 热点分类》考向探究 反思感悟· 考向1函数的新定义问题 新定义题型的破题模型 例1(2025·山东日照二模)定义在区间D上的 第一步： 对新定义进行信息提取，明确新定义 函数y=f(x),若存在正数K,对任意的x1, 提取信息 的名称和符号 x2∈D,不等式|f(x1)-f(x2)|≤K|x1 x2|恒成立，则称函数y=f(x)在区间D上满 细细品味新定义的概念、法则，对所提 足K-条件.若函数f(x)=(x+1)lnx-2.x+ 第二步： 取的信息进行加工，探求解决方法，有 加工信息 时可以寻求学过的或熟悉的相近知 2在区日1 上满足K-条件，则K的最小值 识，明确它们的共同点和不同点 为 心听课记录 如果是新定义的运算、法则，直接按照 该运算、法则计算即可；如果是新定义 第三步： 的性质，一般需要理解和转化性质的 迂移转化 含义，得到性质的等价条件（如等量关 系、图形的位置关系等)，再结合题意 求解 第一部分专题一 函数、导数 033 跟踪训练①(2025·广东揭阳二模)在平面直角 坐标系中，两点P(x1y1),Q(x2y2)的“曼哈 顿距离”定义为|PQ=|x1一x2十y1 y2.例如点P(1,2),Q(一2，一1)的“曼哈顿距 离”为1川PQ1川=1-(-2)|+|2-(-1)= 6.已知点M在直线y=ex+1上，点N在函数 y=lnx的图象上，则|MN|的最小值为 ,《反思感悟，一一、 ,川MN|的最小值为 以高等数学为背景的新定义问题，一般先给出 考向2以高等数学为背景的新定义问题 高等数学中的概念、定理、公式、性质等，要充分理解 [例2以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西 这些新定义，按照新定义给出的性质或者运算规律 中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与 来解题，要恰当地把已有知识和新定义问题融合，且 导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论 避免已有知识对新的信息的干扰. 基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的 跟踪训练②(2025·湖北武汉一模)已知函数 核心内容，其定理陈述如下：若定义在R上的函 f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)在区间D上 数f(x)满足条件①在闭区间[a,b]上连续， 单调递增，则称∫(x)为区间D上的凹函数；若 ②在开区间(a,b)内可导，则3x。∈(a,b), f'(x)在区间D上单调递减，则称f(x)为区间 f)一f6)=f'(x.而罗尔中值定理是拉 a-b D上的凸函数设函数/)=专十Ahx十1D. 格朗日中值定理的特例：若f(a)=f(b),则 (1)若f(x)在[2,3]上为凹函数，求实数入的 f'(x)=0.现已知函数f(x)=(x-2)e2十 取值范围； ax3(a∈R). (2)若F(x)=f(x-1),且F(x)在(1，十∞) (1)设可导函数g(x)=(x2-5.x十4)f(x)十 上存在零点，求实数入的取值范围. 1,求证：3x。∈(1,4)，g(xo)=0; (2)若f'(x)在(-1,1)上的最小值为-1，求a 的取值范围。 心听课记录 温馨提示》请完成创新练① 034 2对勾讲与练·高三二轮数学