专题03 一次函数（期末复习知识清单，11个考点梳理+20题型解读）八年级数学下学期新教材冀教版

专题03 一次函数 （11个考点梳理+20题型解读） 清单01 一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 清单02一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 清单03 一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 清单04 一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 清单05 一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 清单06 一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 清单07 待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 清单08 一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 清单09一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 清单10 根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 清单11 一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 【考点题型一】正比例函数的定义（） 【例1】（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知函数是正比例函数，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】此题考查了正比例函数的定义，形如的函数叫做正比例函数，据此进行解答即可. 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， 解得. 故选：A 【变式1-1】.（22-23八年级下·河北石家庄·期中）若是y关于x的正比例函数，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解题的关键，一般地，形如的函数叫做正比例函数．根据正比例函数的定义求解即可． 【详解】解：是y关于x的正比例函数， ， 解得：， 故答案为：． 【变式1-2】.（八年级下·河北石家庄·期末）已知y是x的正比例函数，当x＝﹣2时，y＝14． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当﹣3≤x≤5时，y的最大值是_________． 【答案】(1)y＝﹣7x (2)21 【知识点】正比例函数的定义 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）根据一次函数的性质，在﹣3≤x≤5内，当x＝﹣3时，函数值最大，把x＝﹣3代入求得即可． 【详解】（1）解：∵ y是x的正比例函数，设y＝kx， ∴ 当x＝﹣2时，y＝14， ∴ 14＝﹣2k， 解得，k＝﹣7， ∴ y＝﹣7x； （2）∵ k＝﹣7＜0， ∴ y随x的增大而减小， ∴ 在﹣3≤x≤5内，当x＝﹣3时，函数值最大， 此时，y＝﹣7×（﹣3）＝21， ∴ 函数最大值是21． 故答案为：21． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，一次函数的性质，一次函数图像上点的坐标特征，求得正比例函数的解析式是解题的关键． 【考点题型二】根据一次函数的定义求参数（） 【例2】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）在一次函数中，的值是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数叫做一次函数，由此判断即可得出答案，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：在一次函数中，的值是， 故选：D． 【变式2-1】.（24-25八年级上·河北保定·期中）函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义，需要注意x前面的系数不能为0．根据一次函数的定义求出m的值． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【变式2-2】.（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）已知函数 (1)当m是何值时函数是一次函数，写出此函数解析式．并计算当时的函数值； (2)点在此一次函数图象上，则n的值为多少？ 【答案】(1)；；10 (2) 【知识点】根据一次函数的定义求参数、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值： （1）根据一次函数的定义可求出m的值，可得到对应的函数关系式，再把代入对应的函数关系式求出此时y的值即可； （2）把点求出此时n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得：， ∴此函数解析式为， 当时，； （2）解：由（1）得：此函数解析式为， ∵点在此一次函数图象上， ∴， 解得：． 【考点题型三】求一次函数自变量或函数值（） 【例3】（23-24八年级下·河北邢台·期末）下列四个点中，在函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，代入各选项中点的横坐标，求出y值，再将其与点的纵坐标比较后，即可得出结论． 【详解】解：A．当时，， ∴点不在函数的图象上，选项A不符合题意； B．当时，， ∴点不在函数的图象上，选项B不符合题意； C．当时，， ∴点在函数的图象上，选项C符合题意； D．当时，， ∴点不在函数的图象上，选项D不符合题意． 故选：C． 【变式3-1】.（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）一次函数中，的几组对应值如下表，可以得到的值为 ． … … … … 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征．利用一次函数图像上点的坐标特征，可得出关于，的方程组，解之即可得出，的值，进而可得出一次函数解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【详解】解：将点，，代入得： ， 解得：， ， 令，则，即， 故答案为：． 【变式3-2】.（22-23八年级下·河北廊坊·期末）已知一次函数． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)判断点是否在直线上． 【答案】(1)的值为5 (2)的值为6 (3)点不在直线上 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）把代入解析式求得即可； （2）把代入解析式求得即可； （3）把代入求得的值，进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， 的值为5； （2）解：当时，， 解得：， 的值为6； （3）解：当时，， 点不在直线上． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【考点题型四】正比例函数的图象（） 【例4】（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）在下列各图象中，为函数的大致图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，对于正比例函数，当时，其函数图象经过第一、三象限，当时，其函数图象经过第二、四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴函数经过第一、三象限， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 【变式4-1】.（八年级下·河北保定·阶段练习）正比例函数的图象过第一、三象限，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、正比例函数的图象 【分析】根据正比例函数的图象经过第一、三象限，得k>0，即，计算即可得解． 【详解】解：由正比例函数的图象经过第一、三象限， 可得：，则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数y=kx（k≠0），当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小． 【考点题型五】正比例函数的性质（） 【例5】（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（    ） A． B．为任意实数 C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、正比例函数的性质 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解不等式，准确理解一次函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键． 由当时，可知：y随x的增大而增大，则由一次函数性质可得：，然后求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象上两点，当时，有， ∴正比例函数的图象是y随x的增大而增大， ∴，解得：． 故选D． 【变式5-1】.（23-24八年级下·河北唐山·期中）函数的函数值y随x的增大而减小，写出一个符合条件k的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，根据函数值y随x的增大而减小，得到，即可． 【详解】解：∵函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， ∴k的值可以为； 故答案为：（答案不唯一）． 【考点题型六】根据一次函数解析式判断其经过的象限（） 【例6】（23-24八年级下·河北唐山·期末）函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数的图象，熟知一次函数的系数符号与函数图象经过的象限之间的关系是解答的关键．根据一次函数的系数符号判断一次函数图象经过的象限即可． 【详解】解：∵， ∴函数的图象经过第一、三、四象限， 即函数的图象不经过第二象限，故B正确． 故选：B． 【变式6-1】.（八年级下·河北石家庄·期末）当时，函数的图象不经过第 象限． 【答案】二 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y=-kx-1的图象经过第一、三、四象限，此题得解． 【详解】解：∵k<0， ∴-k>0，-1<0， ∴一次函数y＝-kx-1的图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限． 故答案为：二． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k>0，b<0，y=kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键． 【考点题型七】已知函数经过的象限求参数范围（） 【例7】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）若一次函数的图像经过第一、第二、第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．根据图象在坐标平面内的位置关系确定，的取值范围，从而求解． 【详解】解：一次函数经过第一、二、四象限， ，； 解得， 故选：C 【变式7-1】.（23-24八年级下·河北唐山·期末）一次函数图象不过第三象限，写出满足条件的的一个值 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据，一次函数图象不过第三象限，可得，进而即可求解，掌握一次函数的图象特征是解题的关键． 【详解】解：∵，一次函数图象不过第三象限， ∴， ∴的值可以为， 故答案为：． 【变式7-2】.（22-23八年级下·河北唐山·期中）已知一次函数． (1)当k满足什么条件时，函数y的值随x的值的增大而增大？ (2)当k取何值时，函数图象经过坐标原点？ (3)当k满足什么条件时，函数图象不经过第二象限？ 【答案】(1)当时，函数y的值随x的值的增大而增大 (2)当时，函数图象经过坐标原点 (3)不存在k的值，使函数图象不经过第二象限 【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数的定义求参数 【分析】（1）根据一次函数的性质，当时，y随x增大而增大 （2）若函数图像经过坐标原点，则该函数是正比例函数； （3）若一次函数图象不经过第二象限，则且． 【详解】（1）解：一次函数，当时，y随x的增大而增大， 解得：， 即当时，函数y的值随x的值的增大而增大． （2）解：一次函数，当时，函数图象经过坐标原点， 解得：， 即当时，函数图象经过坐标原点． （3）解：对于一次函数， 当且时，函数图象不经过第二象限， 解不等式组得：无解， 即不存在k的值，使函数图象不经过第二象限． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟记知识点是解题关键． 【考点题型八】一次函数图象与坐标轴的交点问题（） 【例8】（23-24八年级下·河北承德·期末）直线与轴交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．令，求出x的值即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴当时，，得， 即直线与x轴的交点坐标为：， 故选：D． 【变式8-1】.（23-24八年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移a（）个单位长度后，与x轴交于点A，与y轴交于点B．若的面积为2，则a的值为 ． 【答案】4 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数上点的坐标特征，三角形的面积，计算和的长是解本题的关键．利用平移的规律求得平移后的直线解析式，然后分别计算和时对应的值，可得和的值，根据的面积为2，列方程可得结论． 【详解】解：直线沿y轴向上平移a个单位长度后，得到直线， 当时，， ∴， ∵直线与x轴交于点A， ∴， 当时，， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：4． 【变式8-2】.（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求两点的坐标； (2)求的长； (3)若，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形，理由见详解 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查一次函数的图象与性质． （1）由，令即可； （2）由勾股定理直接求即可； （3）先求出的长度即可判断． 【详解】（1）解：由， 令 ∴ 令 ∴ ； （2）在中，根据勾股定理得：； （3）是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴是等腰三角形． 【考点题型九】一次函数图象平移问题（） 【例9】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）将直线向右平移个单位，平移后的直线经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数图象上点的坐标特征，根据图象平移的规律“左加右减”得出平移后的解析式，再将坐标代入求解即可，熟练掌握图象平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】∵将直线向右平移个单位后的解析式为， ∴将点代入，得， 解得：， 故选：． 【变式9-1】.（23-24八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，直线的图象不动，将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，此时该直线的解析式变为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握解析式的“左加右减，上加下减”平移规律是解题的关键． 将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，相当于是把直线向下平移2个单位，据此求解即可． 【详解】解：由题意，可知本题是求把直线向下平移2个单位后的解析式， 则所求解析式为，即． 故答案为：． 【考点题型十】判断一次函数的增减性（） 【例10】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）小明在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如下，符合该图象特点的函数表达式为（    ） ①图象过点；②y的值随x的值的增大而减小；③图象不经过第一象限 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的性质等知识，根据一次函数的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 过点，y的值随x的值的增大而减小，图象过一、二、四象限，故不合题意； B. 不经过点，y的值随x的值的增大而减小，图象过二、三、四象限，故不合题意； C. 经过点，y的值随x的值的增大而增大，图象过一、二、三象限，故不合题意；     D. 经过点，y的值随x的值的增大而减小，图象过二、三、四象限，故符合题意． 故选：D 【变式10-1】.（21-22八年级下·河北唐山·期中）函数中，y随x的增大而增大，则直线不经过第 象限． 【答案】一 【知识点】根据一次函数增减性求参数、判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据一次函数增减性确定的范围，进而得出直线中的范围，根据一次函数图像与性质即可得到结论． 【详解】解：函数中，y随x的增大而增大， ，解得， ，y随x的增大而减小， 根据一次函数的图像与性质可知，直线不经过第一象限， 故答案为：一． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，掌握一次项系数对一次函数增减性的影响是解决问题的关键． 【变式10-2】.（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）已知函数．    (1)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x … _____ … … ____ 4 … (2)在函数中，随着x的增大，y将______（填“增大”或“减小”）； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)增大 (3) 【知识点】判断一次函数的增减性、画一次函数图象、求一次函数自变量或函数值 【分析】(1)根据函数的解析式，求函数值，自变量的值即可． (2)根据函数的性质，当时，y随x的增大而增大解答即可． (3)根据函数的性质，当时，y随x的增大而增大，求得函数值对应的自变量的值，解答即可． 【详解】（1）∵， ∴列表如下表； 画图如图；      （2）∵， ∴， ∴y随x的增大而增大， 故答案为：增大． （3））由表格可知，当时，． 当时，，， ∴当时，x的取值范围是． 【点睛】本题考查了一次函数图像的画法，性质和根据解析式计算，熟练掌握函数的性质和计算是解题的关键． 【考点题型十一】根据一次函数增减性求参数（） 【例11】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）已知点，是一次函数图像上的两个点，且，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据，，可得y的值随着x的值增大而增大，即，然后求解即可判断． 【详解】解：∵，， ∴y的值随着x的值增大而增大， 即， 解得， ∵， ∴D选项符合题意， 故选：D． 【变式11-1】.（23-24八年级下·河北邯郸·期末）从，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数的系数 k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数为 ． 【答案】（或） 【知识点】根据一次函数的定义求参数、已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系，掌握一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系是解题的关键． 由y值随着x的增大而增大，利用一次函数的性质，可得出，进而得出或，由一次函数的图象经过第一、三、四象限，利用一次函数图像与系数的关系，可得出，，进而得出，由此可得出该一次函数解析式为：或． 【详解】一次函数的y值随着x的增大而增大， ， 或． 一次函数的图象经过第一、三、四象限， ，， 或． 故答案为（或）． 【变式11-2】.（24-25八年级下·河北邯郸·期中）已知一次函数． (1)在该函数中，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，当时，求的取值范围． (3)若直线经过一、二、四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，包括一次函数的增减性，函数值与自变量之间的关系，掌握和理解这些性质进行求解是解题的关键． （1）由一次函数图象的增减性解答． （2）若，则一次函数，根据增减性即可求出最值． （3）根据一次函数的性质列不等式计算即可． 【详解】（1）解：若随的增大而增大，则， 解得，． （2）解：若，则一次函数， 由于，所以随的增大而减小； 所以当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 所以的取值范围为 ； （3）解：由题意得，， 解得，． 【考点题型十二】比较一次函数值的大小（） 【例12】（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知点，都在直线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用一次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据一次函数的性质得到随的增大而增大，根据得到答案即可． 【详解】解：函数中，， 随的增大而增大， 函数的图象经过点和点， ， ， 故选：C 【变式12-1】.（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知点，在直线上，且，则 （填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当时，y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 【考点题型十三】求一次函数解析式（） 【例13】（23-24八年级下·河北沧州·期中）一次函数过点，则的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，将代入一次函数解析式得出，即可得解． 【详解】解：∵一次函数过点， ∴， 故选：A． 【变式13-1】.（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，将8个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，直线l经过小正方形的顶点A、B，则直线l的表达式为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了用待定系数求一次函数解析式，解题的关键是将函数点的坐标代入解析式，然后解方程组． 利用待定系数法即可求出函数的解析式． 【详解】从图示来看，点A、点B的坐标分别是、， 设直线l的解析式为， 将点A、点B的坐标代入直线l的解析式得：， ∴． ∴直线l的解析式为． 故答案为：． 【变式13-2】.（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，已知中的实数与中的实数之间的对应关系是某个一次函数． (1)求与之间的函数表达式； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式 【分析】本题考查求一次函数的解析式，求自变量的值： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入解析式，求出的值即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为：，由图可知： ，解得：， ∴； （2）当时，， 解得：， ∴． 【考点题型十四】行程问题(一次函数的实际应用)（） 【例14】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）甲、乙两人以相同路线前往距离单位的培训中心参加学习．图中，分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程）随时间（分）变化的函数图像，以下说法中错误的是（   ） A．乙比甲提前12分钟到达 B．甲的平均速度为15千米/小时 C．乙走了后遇到甲 D．乙出发6分钟后追上甲 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查学生从函数图象中获取信息的能力，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质；观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程；由图象找出甲乙两人到达培训中心所用时间；根据平均速度路程所用时间计算甲的平均速度；乙第一次遇到甲时，所走的距离为速度乘以时间，可得乙多久遇到甲． 【详解】解：乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达，A选项说法正确，故此选项不符合题意； 根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度千米/时；B选项说法正确，故此选项不符合题意； 设乙出发x分钟后追上甲，则有：，解得，D选项说法正确，故此选项符合题意； 乙第一次遇到甲时，所走的距离为：，C选项说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式14-1】.（22-23八年级下·河北石家庄·期中）2022年11月某市发生新冠疫情，为迅速阻断疫情传播，该市防疫指挥部迅速调集一批核酸采样队进驻某区进行核酸采样，为加快核酸采样进度，4小时后又增派第二批核酸采样队加入合做，完成剩下的全部核酸采样工作，设总工作量为单位1，采样进度与采样时间满足如图所示的函数关系，那么实际完成该区核酸采样所用的时间是 小时. 【答案】10 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】设表示工作量，表示时间，先利用待定系数法求出所在直线的函数解析式，再求出时，的值即可得． 【详解】解：设表示工作量，表示时间， 设当时，， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 即实际完成该区核酸采样所用的时间是10小时， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【变式14-2】.（23-24八年级下·河北邢台·期末）某场地的跑道分为上坡、平地、下坡三种类型，如图，一名运动员从点O出发，沿O﹣A﹣B﹣C的路线运动，一架无人机始终在运动员的正上方进行跟踪拍摄，且无人机离水平地面的高度保持在．经观察，无人机以的速度匀速向右飞行．已知上坡路段．平地AB段距离地面的高度为，． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线BC的函数表达式，并求运动员在下坡路段（BC）的速度； (3)直接写出运动员在O﹣A﹣B﹣C路线上运动的过程中，与无人机的距离不超过的时长． 【答案】(1) (2)直线的解析式为，运动员下坡的速度为每分钟， (3)时长为分，即7分40秒 【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查矩形，等腰直角三角形，勾股定理，一次函数等知识； （1）过点A作轴于点D，根据勾股定理即可得到结论． （2）利用作垂直构造矩形，等腰直角三角形，根据矩形，等腰直角三角形边的性质找到相等线段，从而找到坐标，设出直线的函数解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题干所给的条件确定的长度就是运动员下坡时无人机飞行的距离，根据无人机的速度，求出无人机的飞行时间即是运动员下坡的时间，根据的长度求出运动员的下坡的速度． （3）求出直线的函数解析式，根据问题的要求做减法，求出运动员在上运动的过程中，与无人机距离不超过的距离范围，根据速度求出时间即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点D， ∵平地段距离地面的高度为，． ∴ ∴点A的坐标为， （2）过点A作轴于D，过点B作轴于E，    ∵轴，轴， ∴， ∵是平坡， ∴轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为， 将，代入解析式中， 解得 ∴直线的解析式为， ∵，无人机的速度以每分， ∴， ∴运动员下坡的时间的分，即1分40秒， 在中，， ∴， ∴， ∴运动员下坡的速度为每分钟， （3）∵， 设直线的解析式为， 将点代入中，解得， ∴直线的解析式为， ∵无人机的高度为， 令 ，解得， 令，即， 解得， ， ∴运动员在上运动的过程中，与无人机距离不超过的时长为分，即7分40秒， 【考点题型十五】一次函数与几何综合（） 【例15】 （22-23八年级下·河北保定·阶段练习）如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的区域面积为（    ）    A．16 B．28 C．22 D．10 【答案】A 【知识点】利用平移的性质求解、一次函数与几何综合 【分析】由题意可知，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，如下图，，代入函数关系式，可得，则，所以，线段扫过的面积为平四边形的面积，解答出即可． 【详解】解：如图所示：    ∵点的坐标分别为，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在直线上 ∴，解得，即 ∴， ∴， 即线段扫过的区域面积为16， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平移的性质及一次函数的综合应用，解题关键是明确线段扫过的面积应为平行四边形的面积． 【变式15-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象与交于点． （1） ； （2）一次函数的图象为，且，，可以围成三角形，则k的取值范围 ． 【答案】 且且． 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法将点代入的解析式中即可求解m的值； （2）根据为正比例函数图象且过点得出具体解析式，再由的解析式得其恒过点，后根据图象移动变化可知当与，平行或经过点时，，不可以围成三角形，求出此时k的值，最后得出结论即可． 【详解】解：（1）在中，当时，， ∴， 故答案为：； （2）设的解析式为，由（1）得， 把代入中得：， ∴， ∴的解析式为， 的解析式为，当时，， 恒过点． 当与平行时，、、不能围成三角形，； 当与平行时，、、不能围成三角形，； 当经过点时，、、不能围成三角形，则，解得． 当或或时，、、不能围成三角形； ∴当且且、、能围成三角形． 故答案为：且且． 【变式15-2】.（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一点，且的面积为6，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；； (2)3； (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式： （1）先求出点C的坐标，即可求出m的值，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标得到，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）设，再仿照（2）建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴； 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设 ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或． 【考点题型十六】其他问题(一次函数的实际应用)（） 【例16】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）甲、乙两个体育专卖店的优惠活动如图6所示，设购买体育用品的原价总额为x元，甲、乙两个专卖店实际付款分别为元，元．对于结论Ⅰ，Ⅱ，判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：当时，与x之间的函数解析式为； 结论Ⅱ：当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，x的值为100或800 甲店：所有商品按原价八折出售； 乙店：一次性购买商品总额不超过200元时按原价付款；超过200元时，其中200元无优惠，超过200元的部分享受七折优惠 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ，Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 【答案】A 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】先根据题意分别写出与的关系式分别为：；当时；，当时，．由此可得结论Ⅰ正确，然后分两种情况①，②，分别求出x的值，即可判断结论Ⅱ． 本题主要考查了利用一次函数解决实际问题．正确的列出函数关系式以及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 当时，， 当时，． 故结论Ⅰ正确； 当时，； 当时，分两种情况： ①若， 则， 解得； ②若， 则， 解得． ∴当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，x的值为400或800． 故结论Ⅱ错误． 故选：A 【变式16-1】.（24-25八年级上·河北邯郸·期末）小华发现弹簧的长度是所悬挂物体的质量的一次函数．当所悬挂物体的质量为时，弹簧的长度为，且质量m每增加，弹簧的长度L就增加．若弹簧所能拉伸的最大长度为，则所悬挂物体的质量m的最大值为 ． 【答案】14 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意．根据题意，可以得到与的函数解析式，再令求出相应的的值，即可得所悬挂物体的质量m的最大值． 【详解】解：质量m每增加，弹簧的长度L就增加， 即：质量m每增加，弹簧的长度L就增加． ∴所悬挂物体的质量为时，弹簧的长度为， 设与的函数解析式为， ， 解得， ∴与的函数解析式为， 当时，， 解得：， 即：弹簧所能拉伸的最大长度为，则所悬挂物体的质量m的最大值为， 故答案为：14． 【变式16-2】.（23-24八年级下·河北邢台·期末）学校计划在总费用3500元的限额内，租用客车送294名学生和6名教师去承德魁星楼研学，出于安全考虑，每辆客车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 54 46 租金/（元/辆） 600 480 设共租用了客车辆，其中租用甲种客车辆，租车总费用为元． (1)求关于的函数解析式． (2)求出最节省费用的租车方案，并说明理由． 【答案】(1) (2)租甲种客车3辆，乙种客车3辆时，最节省费用，最小费用为3240元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】此题主要考查了一次函数与一次不等式组的综合应用，由题意得出租用辆甲种客车与总租金费用的函数关系是解决问题的关键． （1）根据题意可列出与的等式关系，再化简整理得出的表达式； （2）根据共有师生300人，费用不超过3500元，列不等式组求解；然后根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，租用5辆车不能将学生和老师运送完，因为每辆汽车上至少要一名教师，所以只能租6辆，即6， 设租甲种客车(辆)、学校租车所需的总费用(元)，依题意，得， 整理，得． 所以与的函数关系式为：； （2）解：由题意得，， 解得， ∵为整数，， ∴y随的增大而增大， ∴当时，y最小，最小值(元)； ∴租甲种客车3辆，乙种客车3辆时，最节省费用，最小费用为3240元． 【考点题型十七】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集（） 【例17】（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知一次函数，和的部分对应值如表，则不等式的解集为（   ） x 0 y 4 2 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】该题主要考查了一次函数的增减性，解题的关键是根据函数增减性确定不等式解集． 根据表中数据确定随的增大而减小，再根据临界点和增减性即可确定不等式的解集． 【详解】解：由题中表格可得一次函数中随的增大而减小， 当时，， ∴不等式的解集是． 故选：D． 【变式17-1】.（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数（是常数，）的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 ，的解集是 ．    【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数图像与一元一次不等式的知识，结合函数图像即可求出答案． 【详解】解：根据函数图像可知：当时，， 当时，， 故答案为：，． 【变式17-2】.（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)试判断点是否在关于的函数图象上； (3)如果的取值范围为，求的取值范围； (4)若点，都在该函数的图象上，且，试判断，的大小关系． 【答案】(1) (2)点不在关于的函数图象上 (3) (4) 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，比较一次函数值的大小，一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． （1）设，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据（1）所求解析式，求出当时函数值进行比较即可； （3）由题意得，解不等式组即可； （4）根据一次函数的性质，求解即可． 【详解】（1）解：由与成正比例，则设， 将，，代入可得：，解得：， ∴，即：； （2）∵， ∴当时，， ∴点不在关于的函数图象上； （3）∵， ∴， 解得：； （4）∵， ∴随的增大而增大， ∵点，都在该函数的图象上，且， ∴． 【考点题型十八】根据两条直线的交点求不等式的解集（） 【例18】（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图所示，函数和的图象相交于点，，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据函数的图象即可写出不等式的解集． 【详解】解：根据图象可得：不等式的解集是：． 故选：A 【变式18-1】.（23-24八年级下·河北邯郸·期末）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图， 直线和直线交于点， 根据图象分析，的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为直线和直线交于点，得的解集为，即可作答． 【详解】解：依题意，∵直线和直线交于点 ∴的解集为 故答案为： 【变式18-2】.（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点． (1)求函数的解析式，并在如图所示的坐标系中画出函数的图象； (2)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由； (3)当时，对于x的每一个值，函数（n为正整数）的值不小于函数的值，直接写出n的值． 【答案】(1)，图见解析 (2)不在，理由见解析 (3)1 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查利用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，解题的关键是： （1）把A的坐标代入，即可求出B，然后根据列表、描点、连线画图即可； （2）把代入（1）中所求解析式，求出对应的函数值，即可判断； （3）根据题意得：，再由当时，对于x的每一个值，函数的值不小于函数的值，得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， 列表： x … 0 1 … … 1 3 … 画图，如下： （2）解：不在； 理由：当时，， ∴点不在该函数的图象上， （3）解：当时，， ∴当经过时，， ∵当时，对于x的每一个值，函数（n为正整数）的值不小于函数的值， ∴， ∴整数n的值为1． 【考点题型十九】两直线的交点与二元一次方程组的解（） 【例19】（23-24八年级下·河北沧州·期末）已知直线与直线在同一坐标系中的图象交于点，那么方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，根据两个一次函数组成的方程组的解就是两函数图像的交点可得答案．解题的关键是掌握函数图像经过的点必能满足解析式． 【详解】解：∵直线与直线在同一坐标系中的图像交于点， ∴方程组的解是． 故选：A． 【变式19-1】.（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，直线和相交于点，则关于x,y的方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：由直线和相交于点， 所以关于x,y的方程组的解为, 故答案为：． 【变式19-2】.（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点D，连接． (1)求点D的坐标； (2)求的面积； (3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求直线围成的图形面积、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算． （1）联立与的解析式，解方程组即可求解； （2）先求出，再根据图象即可求解； （3）设，根据或即可求解． 【详解】（1）解：∵与交于点D， 则，联立，解得：， ∴点D的坐标为； （2）令，得， ∴， ∴． （3）根据题意得：， 设， 令，得， ∴， 如图： ， 解得：， 或， 解得：， 故或． 【考点题型二十】求直线围成的图形面积（） 【例20】 （23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，直线，直线，若，与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】此题主要考查了两直线与y轴围成的图形面积问题．熟练掌握一次函数图象和性质，三角形面积公式，待定系数法求函数解析式，是解题关键． 设交y轴于点A，交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作轴于点D，求出，，得到，根据，与y轴围成的三角形的面积为5，得到，代入求得，代入，即得． 【详解】解：设交y轴于点A，交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作轴于点D， ∵中，时，；中，时，． ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 代入， 得，， 解得，． 故选：D． 【变式20-1】.（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，求两条直线：与直线：的交点的坐标是 ，与轴围成的三角形的面积是 ． 【答案】 12 【知识点】求直线围成的图形面积、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】联立两直线解析式解方程组即可得到交点坐标；求出两直线与轴交点间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：联立得， 解得． 所以，交点坐标为， 令，则，解得， ，解得， 所以，两直线与轴交点之间的距离为， 所以，两条直线和轴所围成的三角形的面积． 故答案为：，12． 【点睛】本题考查了两直线相交的问题，三角形的面积，第二问先求出两直线与轴的交点间的距离是解题的关键． 【变式20-2】.（23-24八年级下·河北承德·期末）直线经过和与直线：交于点，直线，与轴，，分别交于点，，． (1)求直线解析式； (2)将直线向上平移4个单位得直线，直接写出直线的解析式； (3)①若点，关于点对称，求值； ②若直线与直线，不能围成三角形，直接写出值． 【答案】(1)直线解析式为； (2)直线的解析式为； (3)①；②当时，直线与直线，不能围成三角形． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、一次函数的平移、点的对称性等． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移的性质即可求解； （3）①求得，，根据题意得，据此计算即可求解；②由题意知直线经过交点，联立求得点的坐标，据此求解即可． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 将和代入得， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：将直线：向上平移4个单位得直线， 则直线的解析式为； （3）解：①由题意得，， ∵点，关于点对称， ∴， 解得； ②∵直线与直线，不能围成三角形， ∴直线经过交点， 联立得， 解得， ∴当时，直线与直线，不能围成三角形． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数 （11个考点梳理+20题型解读） 清单01 一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 清单02一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 清单03 一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 清单04 一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 清单05 一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 清单06 一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 清单07 待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 清单08 一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 清单09一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 清单10 根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 清单11 一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 【考点题型一】正比例函数的定义（） 【例1】（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知函数是正比例函数，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【变式1-1】.（22-23八年级下·河北石家庄·期中）若是y关于x的正比例函数，则m的值为 ． 【变式1-2】.（八年级下·河北石家庄·期末）已知y是x的正比例函数，当x＝﹣2时，y＝14． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当﹣3≤x≤5时，y的最大值是_________． 【考点题型二】根据一次函数的定义求参数（） 【例2】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）在一次函数中，的值是（    ） A． B．3 C． D．2 【变式2-1】.（24-25八年级上·河北保定·期中）函数是关于的一次函数，则 ． 【变式2-2】.（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）已知函数 (1)当m是何值时函数是一次函数，写出此函数解析式．并计算当时的函数值； (2)点在此一次函数图象上，则n的值为多少？ 【考点题型三】求一次函数自变量或函数值（） 【例3】（23-24八年级下·河北邢台·期末）下列四个点中，在函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】.（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）一次函数中，的几组对应值如下表，可以得到的值为 ． … … … … 【变式3-2】.（22-23八年级下·河北廊坊·期末）已知一次函数． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)判断点是否在直线上． 【考点题型四】正比例函数的图象（） 【例4】（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）在下列各图象中，为函数的大致图象的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】.（八年级下·河北保定·阶段练习）正比例函数的图象过第一、三象限，则的取值范围是 ． 【考点题型五】正比例函数的性质（） 【例5】（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（    ） A． B．为任意实数 C． D． 【变式5-1】.（23-24八年级下·河北唐山·期中）函数的函数值y随x的增大而减小，写出一个符合条件k的值 ． 【考点题型六】根据一次函数解析式判断其经过的象限（） 【例6】（23-24八年级下·河北唐山·期末）函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-1】.（八年级下·河北石家庄·期末）当时，函数的图象不经过第 象限． 【考点题型七】已知函数经过的象限求参数范围（） 【例7】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）若一次函数的图像经过第一、第二、第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】.（23-24八年级下·河北唐山·期末）一次函数图象不过第三象限，写出满足条件的的一个值 ． 【变式7-2】.（22-23八年级下·河北唐山·期中）已知一次函数． (1)当k满足什么条件时，函数y的值随x的值的增大而增大？ (2)当k取何值时，函数图象经过坐标原点？ (3)当k满足什么条件时，函数图象不经过第二象限？ 【考点题型八】一次函数图象与坐标轴的交点问题（） 【例8】（23-24八年级下·河北承德·期末）直线与轴交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】.（23-24八年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移a（）个单位长度后，与x轴交于点A，与y轴交于点B．若的面积为2，则a的值为 ． 【变式8-2】.（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求两点的坐标； (2)求的长； (3)若，判断的形状并说明理由． 【考点题型九】一次函数图象平移问题（） 【例9】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）将直线向右平移个单位，平移后的直线经过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】.（23-24八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，直线的图象不动，将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，此时该直线的解析式变为 ． 【考点题型十】判断一次函数的增减性（） 【例10】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）小明在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如下，符合该图象特点的函数表达式为（    ） ①图象过点；②y的值随x的值的增大而减小；③图象不经过第一象限 A． B． C． D． 【变式10-1】.（21-22八年级下·河北唐山·期中）函数中，y随x的增大而增大，则直线不经过第 象限． 【变式10-2】.（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）已知函数．    (1)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x … _____ … … ____ 4 … (2)在函数中，随着x的增大，y将______（填“增大”或“减小”）； (3)当时，求x的取值范围． 【考点题型十一】根据一次函数增减性求参数（） 【例11】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）已知点，是一次函数图像上的两个点，且，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式11-1】.（23-24八年级下·河北邯郸·期末）从，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数的系数 k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数为 ． 【变式11-2】.（24-25八年级下·河北邯郸·期中）已知一次函数． (1)在该函数中，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，当时，求的取值范围． (3)若直线经过一、二、四象限，求的取值范围． 【考点题型十二】比较一次函数值的大小（） 【例12】（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知点，都在直线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式12-1】.（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知点，在直线上，且，则 （填“”“”或“”） 【考点题型十三】求一次函数解析式（） 【例13】（23-24八年级下·河北沧州·期中）一次函数过点，则的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式13-1】.（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，将8个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，直线l经过小正方形的顶点A、B，则直线l的表达式为 ． 【变式13-2】.（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，已知中的实数与中的实数之间的对应关系是某个一次函数． (1)求与之间的函数表达式； (2)求的值． 【考点题型十四】行程问题(一次函数的实际应用)（） 【例14】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）甲、乙两人以相同路线前往距离单位的培训中心参加学习．图中，分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程）随时间（分）变化的函数图像，以下说法中错误的是（   ） A．乙比甲提前12分钟到达 B．甲的平均速度为15千米/小时 C．乙走了后遇到甲 D．乙出发6分钟后追上甲 【变式14-1】.（22-23八年级下·河北石家庄·期中）2022年11月某市发生新冠疫情，为迅速阻断疫情传播，该市防疫指挥部迅速调集一批核酸采样队进驻某区进行核酸采样，为加快核酸采样进度，4小时后又增派第二批核酸采样队加入合做，完成剩下的全部核酸采样工作，设总工作量为单位1，采样进度与采样时间满足如图所示的函数关系，那么实际完成该区核酸采样所用的时间是 小时. 【变式14-2】.（23-24八年级下·河北邢台·期末）某场地的跑道分为上坡、平地、下坡三种类型，如图，一名运动员从点O出发，沿O﹣A﹣B﹣C的路线运动，一架无人机始终在运动员的正上方进行跟踪拍摄，且无人机离水平地面的高度保持在．经观察，无人机以的速度匀速向右飞行．已知上坡路段．平地AB段距离地面的高度为，． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线BC的函数表达式，并求运动员在下坡路段（BC）的速度； (3)直接写出运动员在O﹣A﹣B﹣C路线上运动的过程中，与无人机的距离不超过的时长． 【考点题型十五】一次函数与几何综合（） 【例15】 （22-23八年级下·河北保定·阶段练习）如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的区域面积为（    ）    A．16 B．28 C．22 D．10 【变式15-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象与交于点． （1） ； （2）一次函数的图象为，且，，可以围成三角形，则k的取值范围 ． 【变式15-2】.（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一点，且的面积为6，请直接写出点P的坐标． 【考点题型十六】其他问题(一次函数的实际应用)（） 【例16】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）甲、乙两个体育专卖店的优惠活动如图6所示，设购买体育用品的原价总额为x元，甲、乙两个专卖店实际付款分别为元，元．对于结论Ⅰ，Ⅱ，判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：当时，与x之间的函数解析式为； 结论Ⅱ：当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，x的值为100或800 甲店：所有商品按原价八折出售； 乙店：一次性购买商品总额不超过200元时按原价付款；超过200元时，其中200元无优惠，超过200元的部分享受七折优惠 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ，Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 【变式16-1】.（24-25八年级上·河北邯郸·期末）小华发现弹簧的长度是所悬挂物体的质量的一次函数．当所悬挂物体的质量为时，弹簧的长度为，且质量m每增加，弹簧的长度L就增加．若弹簧所能拉伸的最大长度为，则所悬挂物体的质量m的最大值为 ． 【变式16-2】.（23-24八年级下·河北邢台·期末）学校计划在总费用3500元的限额内，租用客车送294名学生和6名教师去承德魁星楼研学，出于安全考虑，每辆客车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 54 46 租金/（元/辆） 600 480 设共租用了客车辆，其中租用甲种客车辆，租车总费用为元． (1)求关于的函数解析式． (2)求出最节省费用的租车方案，并说明理由． 【考点题型十七】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集（） 【例17】（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知一次函数，和的部分对应值如表，则不等式的解集为（   ） x 0 y 4 2 A． B． C． D． 【变式17-1】.（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数（是常数，）的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 ，的解集是 ．    【变式17-2】.（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)试判断点是否在关于的函数图象上； (3)如果的取值范围为，求的取值范围； (4)若点，都在该函数的图象上，且，试判断，的大小关系． 【考点题型十八】根据两条直线的交点求不等式的解集（） 【例18】（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图所示，函数和的图象相交于点，，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式18-1】.（23-24八年级下·河北邯郸·期末）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图， 直线和直线交于点， 根据图象分析，的解集为 ． 【变式18-2】.（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点． (1)求函数的解析式，并在如图所示的坐标系中画出函数的图象； (2)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由； (3)当时，对于x的每一个值，函数（n为正整数）的值不小于函数的值，直接写出n的值． 【考点题型十九】两直线的交点与二元一次方程组的解（） 【例19】（23-24八年级下·河北沧州·期末）已知直线与直线在同一坐标系中的图象交于点，那么方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式19-1】.（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，直线和相交于点，则关于x,y的方程组的解为 ． 【变式19-2】.（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点D，连接． (1)求点D的坐标； (2)求的面积； (3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 【考点题型二十】求直线围成的图形面积（） 【例20】 （23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，直线，直线，若，与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式20-1】.（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，求两条直线：与直线：的交点的坐标是 ，与轴围成的三角形的面积是 ． 【变式20-2】.（23-24八年级下·河北承德·期末）直线经过和与直线：交于点，直线，与轴，，分别交于点，，． (1)求直线解析式； (2)将直线向上平移4个单位得直线，直接写出直线的解析式； (3)①若点，关于点对称，求值； ②若直线与直线，不能围成三角形，直接写出值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $