专题02 函数（期末复习知识清单，9个考点梳理+12题型解读）八年级数学下学期新教材冀教版

专题02 函数（9个考点梳理+12题型解读） 清单01常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 清单02 函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 清单03 函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 清单04 函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 清单05 函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 清单06 函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 清单07 动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 清单08 函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 清单09 分段函数 （1）一次函数与常函数组合的分段函数． 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数．（注意：在解决分段函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．） （2）由文字图象信息确定分段函数． 根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面： ①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量． ②关于某个具体点，要求向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标． ③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义． 【规律方法】用图象描述分段函数的实际问题需要注意的四点 1．自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示． 2．当两个阶段的图象都是一次函数（或正比例函数）时，自变量变化量相同，而函数值变化越大的图象与x轴的夹角就越大． 3．各个分段中，准确确定函数关系． 4．确定函数图象的最低点和最高点． 【考点题型一】用表格表示变量间的关系（） 【例1】（24-25八年级下·河北沧州·期中）水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为，圆周长为，下列关于等式的说法正确的是（   ） A．，，是变量，2是常量 B．是变量，2，，是常量 C．，是变量，2，是常量 D．是变量，，是常量 【答案】C 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了变量，常量， 根据半径R变化，周长C也随之变化，而2，不变，即可得出答案． 【详解】解：随着半径R变化，周长C也随之变化，而2，不变， 所以R,C是变量，2，是常量． 故选：C． 【变式1-1】（2025八年级下·河北·专题练习）在弹簧的弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间有下表所示的关系，下列不正确的说法是（ ） … … A．与都是变量； B．弹簧不挂物体的长度为 C．在弹性限度内，随着所挂物体的质量的增加，弹簧长度逐渐变大 D．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧长度增加 【答案】B 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了用列表法表示变量之间的关系，以及在实际问题中自变量，因变量的识别，观察表格，寻找变量之间的关系是解题关键． 根据表格以及弹簧长度与所挂物体之间的线性关系逐项判断即可． 【详解】解：A．与都是变量，且是自变量，是因变量，正确，故该选项不符合题意； B．当时，，即弹簧不挂物体的长度为 ，故该选项符合题意； C．在弹性限度内，随着所挂物体的质量的增加，弹簧长度逐渐变大，正确，故该选项不符合题意； D．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧长度增加，正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（23-24八年级下·全国·随堂练习）小华粉刷他的卧室共花去10小时，他记录的完成工作量的百分数如下： 时间（小时） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 完成的百分数 5 25 35 50 50 65 70 80 95 100 (1)5小时他完成工作量的百分数是______； (2)小华在______时间里工作量最大； (3)如果小华在早晨8时开始工作，则他在______时间没有工作． 【答案】(1) (2)第二小时 (3)时 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数的表示方法，比较简单，阅读图表数据，准确获取信息是解题的关键． （1）根据图表数据解答即可； （2）根据数据找出完成百分数最多的时间即可； （3）根据完成的百分数，开始工作后4到5小时没有工作，然后求出相应的时间即可． 【详解】（1）5小时他完成工作量的百分数是； 故答案为：； （2）由图表可知，在第二小时完成的百分数最大是，所以，在第二小时时间里工作量最大； 故答案为：第二小时； （3）开始工作小时工作量都是没有发生变化， 早晨8时开始工作， 在时时间没有工作． 故答案为：时． 【考点题型二】用关系式表示变量间的关系（） 【例2】（24-25八年级下·河北邢台·期中）小文去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则常量是（    ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】B 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查变量与常量，解答本题的关键要明确：变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量． 根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，金额单价数量，单价不变，数量与金额是变化的量， ∴单价常量，数量与金额是变量， 故选：B． 【变式2-1】（八年级下·河北秦皇岛·期末）每张电影票的售价为10元，某日共售出x张票，票房收入为y元，在这一问题中， 是常量， 是变量． 【答案】 电影票的售价 电影票的张数，票房收入． 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】根据常量，变量的定义进行填空即可． 【详解】解：常量是电影票的售价，变量是电影票的张数，票房收入， 故答案为电影票的售价；电影票的张数，票房收入． 【点睛】本题考查了常量和变量，掌握常量和变量的定义是解题的关键． 【变式2-2】（23-24八年级下·全国·课后作业）从甲地到乙地的路程为300 km，一辆汽车从甲地到乙地，每小时行驶50 km，据此回答问题： (1)汽车行驶1 h后，距离乙地________km，距离甲地________km； (2)设汽车的行驶时间为t（h），与乙地的距离为s（km），请用含有t的式子表示s，其中哪些是变量？哪些是常量？ (3)这辆汽车行驶多长时间即可到达乙地？ 【答案】(1)250，50 (2)．变量是t，s，常量是300， (3)这辆汽车行驶6 h即可到达乙地 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系； （1）利用路程等于速度乘以时间求出汽车行驶的路程，即可得出结果； （2）根据与乙地的距离等于总路程减去汽车行驶的路程，列出表达式即可； （3）求出时，的值即可． 【详解】（1）解：km，， ∴汽车行驶1 h后，距离乙地250km，距离甲地50km； 故答案为：250，50； （2）由题意得：，其中变量是t，s，常量是300，； （3）当时，，解得：； 故这辆汽车行驶6 h即可到达乙地． 【考点题型三】用图象表示变量间的关系（） 【例3】 如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题主要考查函数的图象，根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案． 【详解】解：当水的深度未超过球顶时， 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； 当水的深度超过球顶时， 水槽中能装水的部分宽度不再变化， 所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：D． 【变式3-1】 小明早上步行去车站，然后坐车去学校．如图象中，能近似的刻画小明离学校的距离随时间变化关系的图象是 ．（填序号） 【答案】④ 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】根据题意小明是在上学的路上，可得离学校的距离越来越近，根据开始是步行，可得距离变化慢，后来是坐车，可得距离变化快，根据速度和距离的变化情况即可解题． 【详解】①距离越来越远，选项错误； ②距离越来越近，但是速度前后变化快慢一样，选项错误； ③距离越来越远，选项错误； ④距离越来越近，且速度是先变化慢，后变化快，选项正确； 故答案为：④． 【点睛】本题考查了函数图象，观察距离随时间的变化是解题关键． 【变式3-2】如图，，E 是直线 上的一点，且 ， P是直线上的一动点，M是的中点，直线 且与 交于点 N，设 ．    (1)在图2中，当时， ；在图3中，当时， ；    (2)研究表明：y与x之间关系的图象如图4所示（不存在时，用空心点表示），请你根据图象直接估计当 时， ；    (3)探究：当 时，点 N 与点 E 重合； (4)探究：当 时，求y与x之间的关系式． 【答案】(1)， (2)10或170 (3)15或105 (4) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、用图象表示变量间的关系 【分析】（1）由平行线的性质可知，当时，根据三角形外角的性质可：；当，根据直角三角形两锐角互余可得结论； （2）如图2，当P在E的右侧时，即当时，由（1）可知，代入可得答案，当P在E的左侧时，由图象直接得出结论； （3）分两种情况：①P在E的左侧，②P在E的右侧，根据平行线的性质和垂直平分线的性质可得结论； （4）如图7，由平行线的性质可知，根据三角形外角和为列式，由可得，进而可得结论，即可求解． 【详解】（1）解：如图2，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，；即， 如图3中，当时，， ∴， 故答案为：，； （2）如图2，当P在E的右侧时，即当时，由（1）可知， 此时，时，， 由图4可知：时，还有， ∴当时，或， 故答案为：或； （3）①P在E的左侧时，当N与E重合时，如图5， ∵， ∴，    ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ②P在E的右侧时，当N与E重合时，如图6，    ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， 综上所述，当或时，点N与点E重合； 故答案为：或； （4）当时，如图7，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形三线合一的性质、垂直平分线的性质、三角形外角定理、用图象表示变量之间的关系，有难度，并采用了分类讨论，数形结合思想解决问题． 【考点题型四】函数的概念（） 【例4】（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数的概念 【分析】根据函数的定义，一个变化过程中，两个变量x，y，对于每一个自变量x，变量y有唯一的值与之对应判断即可． 【详解】A、 ，y是x的函数； B、 ，y是x的函数；     C、 ，y是x的函数；         D、 ，y不是x的函数；     故选D． 【点睛】本题考查了函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【变式4-1】（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图是加油机上的数据显示牌，其中的变量是（　　）    A．金额 B．单价 C．油量 D．金额和油量 【答案】D 【知识点】函数的概念 【分析】随着加油数量的增多，金额也增加，油量是自变量，金额是因变量．据此解答． 【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着油量的变化而变化，所以其中的变量是金额和油量． 故选：D． 【点睛】本题考查变量的定义，熟记概念是关键． 【变式4-2】（23-24八年级下·全国·假期作业）父亲告诉小明“在一定范围内，距离地面越高，温度越低”，并给小明出示了下面的表格： 距离地面的高度 0 1 2 3 4 5 温度 20 14 8 2 根据表格回答下列问题： (1)距离地面，的温度分别是多少？ (2)在这个变化过程中变量是什么？ (3)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么在一定范围内，随着的变化，是怎么变化的？ 【答案】(1)距离地面的温度是，距离地面的温度是 (2)在这个变化过程中，变量是距离地面的高度与温度 (3)随着的增大，在逐渐减小 【知识点】用表格表示变量间的关系、函数的概念 【解析】略 【考点题型五】函数解析式（） 【例5】（八年级下·河北石家庄·阶段练习）如果每盒笔售价16元，共有10支，用y（元）表示笔的售价，x表示笔的支数，那么y与x的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数解析式 【分析】根据售价等于单价乘支数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：y与x的关系式为． 故选：B 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式5-1】（24-25八年级下·河北保定·期中）将“长方形”和“三角形”按如图所示的方式有规律的排列． （1）图 中“长方形”的个数为7（填序号）； （2）设图n中“长方形”的个数为x，“三角形”的个数为y，写出y与x的函数关系式为 ； （3）若图n中“长方形”的个数与“三角形”的个数之和为247，则 ． 【答案】 6 83 【知识点】图形类规律探索、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、函数解析式 【分析】本题考查图形类规律探究，一元一次方程的应用．解题的关键是从已有的图形中，抽象概括出相应的数字规律． （1）根据已有图形，抽象概括出相应的数字规律，再进行作答即可； （2）根据已有图形，抽象概括出相应的数字规律，再进行作答即可； （3）利用（2）中的规律，列出方程进行求解即可； 【详解】解：（1）由图可知：图1中“ 长方形 ”的个数为个； 图2中“ 长方形 ”的个数为个； 图3中“ 长方形 ”的个数为个； ∴图中“ 长方形 ”的个数为个； 当时，； ∴图6中“长方形”的个数为7个； 故答案为：6； （2）图1中， “三角形”的个数为个， 图2中， “三角形”的个数为个， 图3中， “三角形”的个数为个， ∴图中，“ 长方形 ”的个数为个； ； 由（1）知：，即：， ； 故答案为：； （3）由题意，得：，即：， 解得：； 故答案为： 83 ． 【变式5-2】（24-25八年级下·河北沧州·期中）小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． (1)求该汽车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量（升）与行驶路程（千米）的函数关系式（不必写出的取值范围）； (2)当时，求剩余油量的值； (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家?请说明理由． 【答案】(1) (2)27升 (3)能，理由见解析 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，理解题意，能够列出正确的关系式，并会代入求值是解题的关键． （1）根据平均每千米的耗油量总耗油量行驶路程即可得出该车平均每千米的耗油量，再根据剩余油量总油量平均每千米的耗油量行驶路程即可得出Q关于x的函数关系式； （2）代入求出Q值即可； （3）根据行驶的路程耗油量平均每千米的耗油量即可求出报警前能行驶的路程，与景点的往返路程比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：该车平均每千米的耗油量为(升/千米)， 剩余油量(升)与行驶路程(千米)的关系式为； （2）解：当时，（升）． 答：当 (千米)时，油量的值为27升． （3）解：能，理由如下：(千米)， ， 他们能在汽车报警前回到家． 【考点题型六】求自变量的取值范围（） 【例6】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 【变式6-1】（24-25八年级下·河北沧州·期中）对于函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查了函数的自变量取值范围，二次根式有意义的条件；根据二次根式的性质可得，求出解集即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）等腰三角形的周长为，它的腰长为 与底长的函数关系式是 ，自变量的取值范围 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、求自变量的取值范围、等腰三角形的定义、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，列函数关系式，解一元一次不等式组，根据等腰三角形的定义和三角形周长计算公式可得对应的关系式，根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边列出不等式求出x的范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 【考点题型七】求自变量的值或函数值（） 【例7】（22-23八年级·河北保定·期末）据史书记载，漏刻是中国古代的一种计时工具，是古代人民对函数思想的创造性应用．研究发现水位与时间满足，当h为时，时间t的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】把h的值代入函数关系式，求出t的值即可． 【详解】解：当时， 函数关系式变为： ， 解得， 即时间t的值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数值，明确把h的值代入函数关系式求出t的值是解题的关键． 【变式7-1】（八年级下·河北石家庄·阶段练习）商品的销售量也受销售价格的影响，比如，某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨10元，销售量便减少50件．那么，每月售出衬衣的件数（件）与衬衣销售价格（元）之间的函数关系式为 ；若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为 元． 【答案】 y=-5x+2500 200 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】根据题意，价格上涨（x-100）元，销售量就减少5（x-100）元，进而可得y与x的函数关系式；将y=1500代入函数关系式中求解x即可． 【详解】解：根据题意，价格上涨（x-100）元，销售量就减少5（x-100）元， 则每月售出衬衣的件数（件）与衬衣销售价格（元）之间的函数关系式为 y=2000-5（x-100）=-5x+2500， 当y=1500时，由-5x+2500=1500得：x=200， ∴若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为200元， 故答案为：y=-5x+2500，200． 【点睛】本题考查根据实际问题列函数关系式并求值，根据题意，找到所求量的等量关系是解答的关键． 【变式7-2】（22-23八年级下·河北石家庄·阶段练习）观察如图所示的程序，回答下列的问题． (1)写出与之间的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)根据以上的程序，填写表格． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】求自变量的值或函数值、函数解析式、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）根据程序计算，列出函数关系式，根据二次根式的性质，即可得出自变量的取值范围； （2）分别将代入（1）中的表达式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， （2）解：当时，； 当时，， 当时，， 当时，， 填表如下 【点睛】本题考查了函数解析式，求函数值，二次根式的性质，根据题意列出函数解析式是解题的关键． 【考点题型八】函数的三种表示方法（） 【例8】（22-23八年级·全国·假期作业）下面关于函数的三种表示方法叙述错误的是(     ) A．用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化 B．用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值 C．用解析式法表示函数关系，可以方便地计算函数值 D．任何函数关系都可以用上述三种方法来表示 【答案】D 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据函数三种表示方法的特点即可作出判断． 【详解】前三个选项的叙述均正确，只有选项D的叙述是错误的，例如一天中的气温随时间的变化是一个函数关系，但此函数关系是无法用函数解析式表示的． 故选：D 【点睛】本题考查了函数的三种表示方法，知道三种表示方法的特点是本题的关键． 【变式8-1】（八年级下·河北沧州·期末）某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶汽在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如下表： t（小时） 0 1 2 3 y（升） 100 92 84 76 由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶 小时，油箱的余油量为0． 【答案】12.5 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】由表格可知，开始油箱中的油为100L，每行驶1小时，油量减少8L，据此可得y与t的关系式． 【详解】解：由题意可得：y=100-8t， 当y=0时，0=100-8t 解得：t=12.5． 故答案为：12.5． 【点睛】本题考查函数关系式．注意贮满100L汽油的汽车，最多行驶的时间就是油箱中剩余油量为0时的t的值． 【变式8-2】（八年级下·河北石家庄·阶段练习）在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体质量的一组对应值. 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系，并指出谁是自变量，谁是因变量. （2）当悬挂物体的重量为3千克时，弹簧长 ；不挂重物时弹簧长 . （3）弹簧长度所挂物体质量之间的关系可以用式子表示为： . （4）求挂物体时弹簧长度及弹簧长时所挂物体的重量. 【答案】（1）反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量；（2）；；（3）；（4）挂物体时弹簧长度是，弹簧长时所挂物体的重量是. 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】（1）因为表中的数据主要涉及到弹簧的长度和所挂物体的质量，所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量； （2）由表可知，当物体的质量为3kg时，弹簧的长度是24cm；不挂重物时，弹簧的长度是18cm； （3）由表中的数据可知，x=0时，y=18，并且每增加1千克的质量，长度增加2cm，依此可求弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系； （4）把x=10和y=36分别代入函数解析式中列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系，其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量； （2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧长24cm； 当不挂重物时，弹簧长18cm； 故答案为：24cm；18cm； （3）弹簧长度与所挂物体质量之间的关系可以用式子表示为： ； 故答案为：； （4）当x=10kg时，； 当y=36cm时，即，， 即挂10kg物体时弹簧长度是38cm，弹簧长36cm时所挂物体的重量是9kg. 【点睛】考查了函数的表示方法，本题需仔细分析表中的数据，进而解决问题．明确变量及变量之间的关系是解答本题的关键． 【考点题型九】函数图象识别（） 【例9】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）下列图象不能反映是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】此题考查函数的概念和图象，关键是根据当x取一值时，y有唯一与它对应的值判断． 根据函数的概念解答即可． 【详解】解：A、当x取大于零时，y有两个值与其对应，y不是x的函数，故本选项符合题意； B、当x取不等于零的值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、当x取范围内的值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； D、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式9-1】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，关于下列甲、乙两条曲线，说法正确的是（   ） A．甲能表示是的函数 B．乙能表示是的函数 C．甲、乙均能表示是的函数 D．甲、乙均不能表示是的函数 【答案】A 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题考查函数的概念，掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数是解答本题的关键．根据函数的概念即可解答． 【详解】解：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此可得：甲能表示y是x的函数． 故选：A． 【考点题型十】从函数的图象获取信息（） 【例10】（24-25八年级下·河北邢台·期中）【跨学科】物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（    ） A．实验开始时，冰块的温度为 B．加热时，冰块的温度为 C．加热时，冰块的温度上升了 D．加热后，温度计读数每分钟增加 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数的图象，理解题意，能从图象在获取信息是解答的关键．根据图象中的数据逐项分析求解即可． 【详解】解：由图可知，实验开始时，冰块的温度为，故A选项说法错误，不符合题意； 由图象可得，前两分钟，每分钟温度升高，则加热2分钟温度升高， ∴加热时，冰块的温度为，故B选项说法错误，不符合题意，故C选项说法正确，符合题意， 由图象知，第到，用时4分钟，温度升高，平均每分钟升高，故D选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式10-1】（22-23八年级下·河北廊坊·期末）甲、乙两车往返城市与港口之间运送货物，某天，甲车从城出发向港口行进，同时乙车从港口向城行进，图中，分别表示甲、乙两车距城市的距离（千米）与所用时间（时）的关系图象，则    （1）城市到港口的距离是 千米； （2）甲到达港口所用的时间为 小时． 【答案】 400 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】（1）首先求出乙车的速度，然后结合乙从A城市到B港口所用的时间即可求出城市到港口的距离； （2）首先求出甲车的速度，然后结合城市到港口的距离即可求出甲到达港口所用的时间． 【详解】由图象可得， （1）∵（小时） ∴乙车行驶150千米用了1.5小时， ∴乙车的速度为千米/时， ∴城市到港口的距离是千米， 故答案为：400； （2）甲车的速度为千米/时， ∴甲到达港口所用的时间为小时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数图象，能够从图象上获取信息是关键． 【变式10-2】（24-25八年级下·河北保定·期中）对于下列给定的两个图象，，请你想象表述出图象表示的函数关系 【答案】小明的父母出去散步，从家走了分钟到一个离家米的报亭，母亲随即按原来的速度返回；父亲在报亭看报钟，然后用分钟返回家（答案不唯一） 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象写出符合题意的函数关系即可，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：图象表示的函数关系可以为：小明的父母出去散步，从家走了分钟到一个离家米的报亭，母亲随即按原来的速度返回；父亲在报亭看报钟，然后用分钟返回家． 【考点题型十一】用描点法画函数图象（） 【例11】下列各坐标表示的点中，在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用描点法画函数图象 【分析】点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．因此只要把四个点的坐标逐一代入 中，若该点的坐标使得函数左右两边的值相等，则该点必在函数图象上． 【详解】当x=-1时，，显然y既为-2也不为4，所以点(-1,-2)和点（-1,4）都不在函数的图象上； 当x=1时，，所以点(1,2)在的图象上，而点(1,4) 不在函数的图象上； 故选：C 【点睛】本题考查的是会判断点在函数图象上，这是形的方面；从数的方面来看，即验证点的坐标满足函数的解析式，体现了数形结合的思想． 【变式11-1】（八年级下·全国·课后作业）用“描点法”画函数图象的一般步骤是 、 、 ． 【答案】 列表 描点 连线 【知识点】用描点法画函数图象 【分析】根据“描点法”画函数图象的一般步骤填空即可． 【详解】用“描点法”画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线． 故答案为：列表、描点、连线． 【点睛】本题考查了“描点法”画函数图象的一般步骤，牢记“描点法”画函数图象的一般步骤是解题的关键． 【变式11-2】（24-25八年级下·河北保定·期中）问题：探究函数的图象与性质．请按下面的探究过程，补充完整： … 0 1 2 3 … … 3 2 0 0 1 2 … (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)表中是与的几组对应值．m的值为_____； (3)在如图网格中，建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质． 【答案】(1)任意实数 (2)1 (3)见详解 (4)函数有最小值为；当时，y随x的增大而增大 【知识点】求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象 【分析】本题考查了求函数值，画函数图象，根据函数图象写出函数的性质； （1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围； （2）根据函数解析式可以得到m的值； （3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象； （4）根据函数图象可以写出该函数的性质． 【详解】（1）解：在函数中，自变量的取值范围是为任意实数， 故答案为：任意实数； （2）解：当时，， 故答案为：1； （3）解：描点、连线，画出函数的图象如图： （4）解：由函数图象可知，①函数有最小值为； ②当时，随的增大而增大； 【考点题型十二】动点问题的函数图象（） 【例12】（2025·河北·一模）如图，在矩形中，点从点出发，沿着折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，设的面积为，点的运动时间为，则在点的运动过程中，关于的函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查几何图形面积与函数图象的结合，理解几何图形面积的变化情况，掌握函数图象的增减性是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当点位于边上时；当点位于边上时；当点位于上时；根据几何图形面积的变化情况确定函数图形的增减性即可求解． 【详解】解：由题意得，当点位于边上时，的面积随着点的运动匀速增加； 当点位于边上时，的高保持不变， ∴的值保持不变； 当点位于上时，的面积随着点的运动匀速减小， 故选：B． 【变式12-1】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点．则的面积是 ． 【答案】 【知识点】动点问题的函数图象、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．从图（）看，当时，点在点处，即，的最小值为，即；在中，，则，进而求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， 故， 从图（）看，当时，点在点处，即， 从图（）看，点为曲线部分的最低点，即的最小值为，即， 在中，，则， 故； 的面积为， 故答案为：． 【变式12-2】（22-23八年级下·河北沧州·期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2所示．      (1)根据图2填表： 旋转时间 0 3 6 8 12 … 高 5 5 5 … (2)变量是的函数吗？为什么？ (3)根据图中的信息，请写出摩天轮的直径． 【答案】(1) (2)变量是的函数，原因见解析 (3) 【知识点】动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息、求自变量的值或函数值、函数的概念 【分析】（1）由图2中函数图像，结合表中数据即可得到答案； （2）由函数的表示方法及函数定义即可判断； （3）由图2中信息可知，最低点坐标为，最高点坐标为，从而得到摩天轮的直径为 【详解】（1）解：由图2可知，当时，；当时，； 故答案为：； （2）解：由图2可知，对于自变量取值范围内，作轴的垂线，与函数图像有且只有一个值， 由函数定义可知变量是的函数； （3）解：由图2可知，摩天轮上离地面最低点坐标为，最高点坐标为， 摩天轮的直径为． 【点睛】本题考查从图像中获取信息解决问题，涉及函数关系判断、求相关数据等知识，看懂图像，数形结合是解决问题的关键. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数（9个考点梳理+12题型解读） 清单01常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 清单02 函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 清单03 函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 清单04 函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 清单05 函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 清单06 函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 清单07 动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 清单08 函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 清单09 分段函数 （1）一次函数与常函数组合的分段函数． 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数．（注意：在解决分段函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．） （2）由文字图象信息确定分段函数． 根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面： ①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量． ②关于某个具体点，要求向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标． ③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义． 【规律方法】用图象描述分段函数的实际问题需要注意的四点 1．自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示． 2．当两个阶段的图象都是一次函数（或正比例函数）时，自变量变化量相同，而函数值变化越大的图象与x轴的夹角就越大． 3．各个分段中，准确确定函数关系． 4．确定函数图象的最低点和最高点． 【考点题型一】用表格表示变量间的关系（） 【例1】（24-25八年级下·河北沧州·期中）水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为，圆周长为，下列关于等式的说法正确的是（   ） A．，，是变量，2是常量 B．是变量，2，，是常量 C．，是变量，2，是常量 D．是变量，，是常量 【变式1-1】（2025八年级下·河北·专题练习）在弹簧的弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间有下表所示的关系，下列不正确的说法是（ ） … … A．与都是变量； B．弹簧不挂物体的长度为 C．在弹性限度内，随着所挂物体的质量的增加，弹簧长度逐渐变大 D．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧长度增加 【变式1-2】（23-24八年级下·全国·随堂练习）小华粉刷他的卧室共花去10小时，他记录的完成工作量的百分数如下： 时间（小时） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 完成的百分数 5 25 35 50 50 65 70 80 95 100 (1)5小时他完成工作量的百分数是______； (2)小华在______时间里工作量最大； (3)如果小华在早晨8时开始工作，则他在______时间没有工作． 【考点题型二】用关系式表示变量间的关系（） 【例2】（24-25八年级下·河北邢台·期中）小文去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则常量是（    ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【变式2-1】（八年级下·河北秦皇岛·期末）每张电影票的售价为10元，某日共售出x张票，票房收入为y元，在这一问题中， 是常量， 是变量． 【变式2-2】（23-24八年级下·全国·课后作业）从甲地到乙地的路程为300 km，一辆汽车从甲地到乙地，每小时行驶50 km，据此回答问题： (1)汽车行驶1 h后，距离乙地________km，距离甲地________km； (2)设汽车的行驶时间为t（h），与乙地的距离为s（km），请用含有t的式子表示s，其中哪些是变量？哪些是常量？ (3)这辆汽车行驶多长时间即可到达乙地？ 【考点题型三】用图象表示变量间的关系（） 【例3】 如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】 小明早上步行去车站，然后坐车去学校．如图象中，能近似的刻画小明离学校的距离随时间变化关系的图象是 ．（填序号） 【变式3-2】如图，，E 是直线 上的一点，且 ， P是直线上的一动点，M是的中点，直线 且与 交于点 N，设 ．    (1)在图2中，当时， ；在图3中，当时， ；    (2)研究表明：y与x之间关系的图象如图4所示（不存在时，用空心点表示），请你根据图象直接估计当 时， ；    (3)探究：当 时，点 N 与点 E 重合； (4)探究：当 时，求y与x之间的关系式． 【考点题型四】函数的概念（） 【例4】（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图是加油机上的数据显示牌，其中的变量是（　　）    A．金额 B．单价 C．油量 D．金额和油量 【变式4-2】（23-24八年级下·全国·假期作业）父亲告诉小明“在一定范围内，距离地面越高，温度越低”，并给小明出示了下面的表格： 距离地面的高度 0 1 2 3 4 5 温度 20 14 8 2 根据表格回答下列问题： (1)距离地面，的温度分别是多少？ (2)在这个变化过程中变量是什么？ (3)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么在一定范围内，随着的变化，是怎么变化的？ 【考点题型五】函数解析式（） 【例5】（八年级下·河北石家庄·阶段练习）如果每盒笔售价16元，共有10支，用y（元）表示笔的售价，x表示笔的支数，那么y与x的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级下·河北保定·期中）将“长方形”和“三角形”按如图所示的方式有规律的排列． （1）图 中“长方形”的个数为7（填序号）； （2）设图n中“长方形”的个数为x，“三角形”的个数为y，写出y与x的函数关系式为 ； （3）若图n中“长方形”的个数与“三角形”的个数之和为247，则 ． 【变式5-2】（24-25八年级下·河北沧州·期中）小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． (1)求该汽车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量（升）与行驶路程（千米）的函数关系式（不必写出的取值范围）； (2)当时，求剩余油量的值； (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家?请说明理由． 【考点题型六】求自变量的取值范围（） 【例6】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25八年级下·河北沧州·期中）对于函数的自变量的取值范围是 ． 【变式6-2】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）等腰三角形的周长为，它的腰长为 与底长的函数关系式是 ，自变量的取值范围 ． 【考点题型七】求自变量的值或函数值（） 【例7】（22-23八年级·河北保定·期末）据史书记载，漏刻是中国古代的一种计时工具，是古代人民对函数思想的创造性应用．研究发现水位与时间满足，当h为时，时间t的值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（八年级下·河北石家庄·阶段练习）商品的销售量也受销售价格的影响，比如，某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨10元，销售量便减少50件．那么，每月售出衬衣的件数（件）与衬衣销售价格（元）之间的函数关系式为 ；若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为 元． 【变式7-2】（22-23八年级下·河北石家庄·阶段练习）观察如图所示的程序，回答下列的问题． (1)写出与之间的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)根据以上的程序，填写表格． 【考点题型八】函数的三种表示方法（） 【例8】（22-23八年级·全国·假期作业）下面关于函数的三种表示方法叙述错误的是(     ) A．用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化 B．用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值 C．用解析式法表示函数关系，可以方便地计算函数值 D．任何函数关系都可以用上述三种方法来表示 【变式8-1】（八年级下·河北沧州·期末）某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶汽在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如下表： t（小时） 0 1 2 3 y（升） 100 92 84 76 由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶 小时，油箱的余油量为0． 【变式8-2】（八年级下·河北石家庄·阶段练习）在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体质量的一组对应值. 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系，并指出谁是自变量，谁是因变量. （2）当悬挂物体的重量为3千克时，弹簧长 ；不挂重物时弹簧长 . （3）弹簧长度所挂物体质量之间的关系可以用式子表示为： . （4）求挂物体时弹簧长度及弹簧长时所挂物体的重量. 【考点题型九】函数图象识别（） 【例9】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）下列图象不能反映是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，关于下列甲、乙两条曲线，说法正确的是（   ） A．甲能表示是的函数 B．乙能表示是的函数 C．甲、乙均能表示是的函数 D．甲、乙均不能表示是的函数 【考点题型十】从函数的图象获取信息（） 【例10】（24-25八年级下·河北邢台·期中）【跨学科】物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（    ） A．实验开始时，冰块的温度为 B．加热时，冰块的温度为 C．加热时，冰块的温度上升了 D．加热后，温度计读数每分钟增加 【变式10-1】（22-23八年级下·河北廊坊·期末）甲、乙两车往返城市与港口之间运送货物，某天，甲车从城出发向港口行进，同时乙车从港口向城行进，图中，分别表示甲、乙两车距城市的距离（千米）与所用时间（时）的关系图象，则    （1）城市到港口的距离是 千米； （2）甲到达港口所用的时间为 小时． 【变式10-2】（24-25八年级下·河北保定·期中）对于下列给定的两个图象，，请你想象表述出图象表示的函数关系 【考点题型十一】用描点法画函数图象（） 【例11】下列各坐标表示的点中，在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（八年级下·全国·课后作业）用“描点法”画函数图象的一般步骤是 、 、 ． 【变式11-2】（24-25八年级下·河北保定·期中）问题：探究函数的图象与性质．请按下面的探究过程，补充完整： … 0 1 2 3 … … 3 2 0 0 1 2 … (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)表中是与的几组对应值．m的值为_____； (3)在如图网格中，建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质． 【考点题型十二】动点问题的函数图象（） 【例12】（2025·河北·一模）如图，在矩形中，点从点出发，沿着折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，设的面积为，点的运动时间为，则在点的运动过程中，关于的函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点．则的面积是 ． 【变式12-2】（22-23八年级下·河北沧州·期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2所示．      (1)根据图2填表： 旋转时间 0 3 6 8 12 … 高 5 5 5 … (2)变量是的函数吗？为什么？ (3)根据图中的信息，请写出摩天轮的直径. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $