考点04 二次函数图象与图形的交点问题 4考点4题型+能力强化（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“交点本质—判定依据—解题步骤—方法辨析”为逻辑链，构建二次函数与图形交点问题的系统性方法体系，融合代数精准计算与几何直观分析，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心考点|4考点+4速记结论|代数法（联立求根判范围）、几何数形结合法（图像平移临界分析）、端点临界法（线段/多边形端点验证）、分类讨论法（参数分类）|从交点本质（方程解）到常考图形（直线/线段/坐标轴/区域），通过Δ与自变量范围双重判定，形成“概念—原理—应用”链条| |题型突破|4题型+17变式|直线交点用Δ定个数，线段交点需Δ+区间双重判定，坐标轴交点直接令x/y=0，整点问题“定区间—逐x筛查—边界取舍”|基础题型（直线/坐标轴）到高频重难点（线段）再到压轴（整点问题），典例覆盖核心考法与易错点，实现方法迁移|

考点04 二次函数图象与图形的交点问题 考点一：核心考点总览 1. 交点本质：二次函数与几何图形的交点问题，核心是联立两者解析式，方程实数解的个数即为有效交点个数。 2. 常考几何图形：直线、线段、坐标轴、三角形、矩形等多边形。 3. 核心判定依据：一元二次方程判别式Δ、自变量取值范围、图形边界临界位置、数形结合思想。 4. 命题核心：判断交点个数、求交点坐标、根据交点个数求参数取值范围。 考点二：通用标准解题步骤 步骤1：设二次函数解析式 ； 步骤2：联立几何图形解析式，消去一个变量，得到一元二次方程； 步骤3：利用判别式Δ判断方程实数根的总个数； 步骤4：结合图形自带的自变量取值范围，筛选有效根（有效交点）； 步骤5：针对含参数题型，结合图像临界位置，列不等式求解参数范围。 考点三：核心解题方法辨析 1. 代数法（精准计算） 适用场景：需要求解交点坐标、精准判断交点个数、参数计算。核心是联立方程、算根、判范围，结果精准无误差。 2. 几何数形结合法（快速解题） 适用场景：选择题、填空题快速判断，参数范围临界分析。通过画图观察抛物线平移、翻折后的位置，快速锁定临界状态。 3. 端点临界法（线段/多边形专属） 所有有限图形（线段、多边形），必须优先验证端点交点，临界值单独判断取舍，是解决易错题型的关键。 4. 分类讨论法 针对含参数题型，根据抛物线开口方向、参数正负、交点位置左右分类讨论，避免漏解。 考点四：考场速记结论 1. 无限直线交点：Δ定个数，无需考虑范围； 2. 有限线段交点：Δ判有根 + 区间筛有效，双重判定； 3. 坐标轴交点：x轴看根，y轴看常数项； 4. 二次函数与图形围成区域整点问题 ① 先定区间，逐x筛查：优先锁定封闭区域的x整数取值，对每个整数x，计算区域上下边界的y值，夹在边界之间的整数y即为有效整点。 ② 边界取舍口诀：图像实线可取等号（边界整点算），图像虚线不含等号（边界整点舍去）；开口向上看上下界，开口向下看上下限。 ③ 无整点快速判定：同一整数x对应的上下边界y值之差小于1时，该x区间内一定无整点，无需逐个验证。 ④ 参数类整点临界：整点个数固定求参数，只卡两个临界——刚好包住整点、刚好漏掉整点，临界位置代入端点验证等号取舍。 题型一：二次函数与直线交点问题（基础题型） 联立抛物线与直线解析式，消元得到一元二次方程，通过Δ直接判定交点个数： Δ＞0 → 2个不同交点；Δ＝0 → 1个相切交点；Δ＜0 → 无交点。 【例1】判断抛物线 与直线 的交点个数。 解：联立方程组： 整理得： 计算判别式： 结论：抛物线与直线有2个交点。 【变式1-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线的图象交轴于点． (1)直接写出的值：_____； (2)若直线与该抛物线有唯一公共点，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：将代入抛物线解析式得， 解得， 故答案为：1； （2）解：由（1）知抛物线解析式为， 联立方程得： ， 整理得， 判别式， 解得． 【变式1-2】（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，已知二次函数与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)若直线与二次函数有两个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【详解】（1）解：令，即， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标分别为，； 令，则， ∴抛物线与轴的交点坐标为． （2）解：由二次函数图象可知，当时，的取值范围是或． （3）解：由得，，即， ∵直线与二次函数有两个公共点， ∴， 解得， ∴当直线与二次函数有两个公共点时，的取值范围是． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知抛物线（m为常数）． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，则t的取值范围为_____； (2)若对于任意实数x，都有，此时抛物线与直线交于M，N两点，求的长． 【答案】(1)①，②或 (2) 【详解】（1）解：①将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； ②可知抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离， 即，解得或， 又， 或， 解得或． （2）解：对于任意实数x，都有， 对于任意x都成立， ，即， ， 抛物线的解析式为， 令，得，解得，， 点M、N的横坐标分别为和， ． 【变式1-4】（25-26九年级上·北京海淀·期中）小君在课后探究学习中遇到一个函数．她类比二次函数对其进行探究，请回答下列问题： (1)函数的自变量的取值范围是___________； (2)小君写出该函数与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 0 459 … ①的值为___________； ②小君发现该函数的图象关于轴对称，并用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； (3)写出方程最小的解的近似值：___________（精确到0.1）； (4)过点作垂直于轴的直线，若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________． 【详解】（1）解：函数的自变量的取值范围是所有实数， 故答案为：所有实数； （2）解：①当时，， 故答案为：； ②补图如下： ； （3）解：令，如下图所示： 方程最小的解接近， ∵当时，； 当时，； 当时，， ∴由图象可知：方程最小的解的近似值， 故答案为：； （4）解： ， ∴当，即时，有最小值为， 如图， 由图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点， 故答案为：或． 题型二：二次函数与线段交点问题（高频重难点） 解题核心 线段是有限范围的直线，不能只看Δ，必须双重判定：方程有实数根 + 根的横坐标落在线段横坐标区间内。 解题步骤 1. 求线段所在直线解析式，联立抛物线得方程； 2. 求解方程根，判断根是否在线段自变量取值范围内； 3. 验证线段端点临界情况，确定最终交点个数。 【例2】已知抛物线 ，线段CD端点为 、，判断两者交点个数。 解：联立方程组： 解得： 线段CD横坐标范围：，仅 在区间内。 结论：抛物线与线段有1个交点。 【变式2-1】（2025·云南玉溪·一模）已知抛物线，m为实数． (1)如果该抛物线经过点，求m的值； (2)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：该抛物线经过点， 解得； （2）解：当，， 当时，， 当交点在线段之间时，当时，， 解得； 当时， 解得； 综上，或． 【变式2-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数 (1)求该抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系中，已知点，若且线段与该抛物线恰有一个交点，请直接写出的取值范围； (3)当时，y有最小值为，求的值． 【答案】(1)直线 (2)或 (3)或 【详解】（1）解： ∴抛物线的对称轴为直线 （2）解：∵当时， ∴ 又∵ ∴或， 当时，抛物线开口向下， ∵点，线段与该抛物线恰有一个交点， ∴或 （3）抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴当时，当时取得最小值， 代入得， 解得： 当时，抛物线开口向上，顶点坐标为 ∴， 解得：． 综上所述，或． 【变式2-3】（25-26九年级下·安徽阜阳·阶段检测）已知，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B． (1)若抛物线经过点，点B的坐标为_________； (2)若点，在抛物线上，且，求m的取值范围； (3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【详解】（1）解：①抛物线过点， ， ， 抛物线解析式为：， 抛物线与y轴交于点A坐标为， 当时，即， 解得：，， 点； （2）解：点，在抛物线上， ，， 当时，即， 即：， 解得：； （3）解：抛物线， 抛物线对称轴为，顶点为， 点，，若抛物线与线段有且只有一个交点， 分以下两种情况讨论： ①当抛物线的顶点在线段上时，即：， 解得：； ②当抛物线顶点落在上方时，当时，， 当时，，，对称轴为， ， 抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H）， 与线段GH有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ． 解得：， 综上，a的取值范围是或． 【变式2-4】（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为 (2)或 (3) 【详解】（1）解：由题意，对于抛物线， ∴对称轴为直线； （2）解： 令，即， 解得，， 又∵抛物线与线段有两个交点，， ∴或， 解得或， ∴b的取值范围是或； （3）解：由题意，将代入抛物线， ∴， 又将代入抛物线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 题型三：二次函数与坐标轴交点问题（基础必考） 1. 与y轴交点：令 ，解得 ，交点为 ； 2. 与x轴交点：令 ，解一元二次方程 ，根即为交点横坐标。 【例3】求抛物线 与坐标轴的交点坐标。 解：① 与y轴交点：令 ，得 ，交点为 ； ② 与x轴交点：令 ，即 ，解得 ，交点为 。 综上，坐标轴交点为 。 【变式3-1】（25-26九年级上·广东广州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与x轴交于点A，B，且，求a的值． 【详解】（1）解：∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简得：， 解得：或7． 【变式3-2】（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）已知关于的二次函数（是常数）． (1)求证：二次函数的图象与轴总有两个交点； (2)若该抛物线与轴的交点分别为，且，求的值． 【详解】（1）证明：令，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有2个不相等的根， 即二次函数的图象与轴总有两个交点； （2）解：由题意得：和是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数．（为常数，且）． (1)求证：该函数的图象与轴总有公共点； (2)若点，在函数图象上，且，，比较与的大小，并说明理由． 【详解】（1）证明：令，得， 此时， ， ， ， ， ， 即一元二次方程有实数解， 二次函数的图象与轴总有公共点； （2）解：二次函数的对称轴， ， ， ， ， 即二次函数的对称轴， 又，即二次函数图象开口向上， 当时，随着的增大而增大， 当时，． 【变式3-4】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知函数（m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； (2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． (3)在（2）的条件下，若有，两点在抛物线上，且，求实数n的取值范围． 【详解】（1）证明：∵当时，， ∴不论为何值，函数图象都经过点 （2）解：函数与轴只有一个交点 当时，，与轴有一个交点 当时，，解得 ∴的值为或 （3）解：由题意可知函数是二次函数， ∴，函数为， ∴抛物线对称轴为， ∵，有，两点在抛物线上，且， ∴，即 或， 故n的取值范围为或． 【变式3-5】（25-26九年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，． (1)求二次函数的表达式： (2)将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得图象与轴交点的坐标为___________． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， 则， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得，二次函数的表达式为， ∵将二次函数的图象向右平移2个单位长度， ∴所得图象的表达式为， 令，则， ∴所得图象与轴交点的坐标为． 故答案为：． 【变式3-6】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数．（m是常数）． (1)当时，求该二次函数图象顶点的纵坐标． (2)若该二次函数的图象与x 轴有且只有一个公共点，求m的值． 【答案】(1) (2)或4 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点坐标为：； ∴二次函数图象顶点的纵坐标为． （2）解：∵该二次函数的图象与x 轴有且只有一个公共点， ∴， 解得：或． 题型四：与围成的区域的整点问题（压轴高频） 1. 求二次函数与围成图形的交点，确定封闭区域x的取值范围； 2. 筛选范围内所有整数x； 3. 对每个整数x，求出区域内y的取值区间； 4. 统计区间内整数y的个数，汇总总整点数量。 1. 误将区域外、边界外的整数点计入； 2. 忽略上下y值之间无整数的情况； 3. 参数范围等号取舍错误导致整点个数偏差； 4. 漏算边界实线对应的整点。 【例4】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（．为常数且）与轴交于点． （1）若，则抛物线的顶点坐标为________； （2）若线段（含端点）上的“完美点”个数大于个且小于个，则的取值范围是________； （3）若抛物线与直线交于、两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有个“完美点”，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：当时，抛物线． ∴顶点坐标． 故答案为：． （2）令，则， ∴， ∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个， ∴“完美点”的个数为4个或5个． ∵， ∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，； 当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，． ∴． ∴a的取值范围是． 故答案为：． （3）根据， 得抛物线的顶点坐标为，过点，，． ∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 显然，“完美点”，，符合题意． 下面讨论抛物线经过，的两种情况： ①当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个． ②当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个． ∴a的取值范围是． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（为常数且）与轴交于点．若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：如图所示： 由抛物线（为常数且）与轴交于点，则令可得，， 即， 若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个， 由图可知，， 解得， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是______． 【答案】或 【详解】解：Ⅰ抛物线的顶点坐标为， 过点， ，， 当时，显然，“整点”，，符合题意下面讨论抛物线经过，的两种情况∶ ①当拋物线经过时，，解得此时， ， ，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，共4个， ②当抛物线经过时，，解得，此时，，，，如图所示，满足题意的“整点”有， ，，，，，共6个， 的取值范围是； Ⅱ抛物线的顶点坐标为， 过点， ，，， 当时，显然，“整点”，，符合题意下面讨论抛物线经过，的两种情况∶ ①当拋物线经过时，，解得，此时， ， ，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，共4个， ②当抛物线经过时，，解得，此时，，，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，，共5个， 的取值范围是； 故答案为：或 ． 【变式4-3】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 【答案】(1)、 (2) (3) 【详解】（1）解：令 ∴， 则或， ∴点、； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点，则点，点， ∴，， ∵， ∴，则， ∴ ； （3）解：如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”， 只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”， 此时． 根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点， 此时是临界位置，， 所以． 【变式4-4】（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（a为常数且）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点P． (1)若，则抛物线的顶点坐标为_______，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有_______个； (2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求a的值； (3)若抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，15 (2)或 (3) 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， 结合图形可知，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有个， 故答案为：，15； （2）， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 则，，， 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 此时方程无解； 综上，当或时，是直角三角形； （3）由（2）可知顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则轴上有5个“整数点”， ∴在轴上方只有3个“整数点”， 当与轴得交点为“整数点”时，，即，此时顶点的坐标为，并非“整数点”， 可知此时，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，符合题意； 当，即时，显然在轴上方没有3个“整数点”，不符合题意； 当顶点的坐标为“整数点”，且在上方时，，即，此时点的坐标为，并非“整数点”， 可知此时，在轴上方有4个“整数点”，不符合题意； 当时，即时，显然在轴上方不止3个“整数点”，不符合题意； 综上，当时，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个． 【变式4-5】（24-25九年级上·福建福州·月考）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（合边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：当时，抛物线． ∴顶点坐标． （2）令，则， ∴， ∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个， ∴“完美点”的个数为4个或5个． ∵， ∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，； 当“完美点”个数为7个时，分别为，，，，，，． ∴． ∴a的取值范围是． （3）∵， ∴抛物线的顶点坐标为，过点，，． ∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 显然，“完美点”，，符合题意． 下面讨论抛物线经过，的两种情况： ①当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个． ②当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个． ∴a的取值范围是． 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）若二次函数（m是常数）的图象与其向下平移个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则n的值为________ 【答案】 【详解】解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，， 如图， ∴抛物线与轴的交点之间的距离为， ∵二次函数（m是常数）的图象与其向下平移个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， ∴每相邻两点间的距离都为， ∴平移后的抛物线与轴的交点坐标为，，如图， ∴平移后的抛物线解析式为， 即， 原抛物线为， 由题抛物线向下平移个单位所得的抛物线解析式为， ∴平移距离． 2．（25-26九年级上·北京顺义·期末）若二次函数的图象与轴交于两点，，则______． 【答案】 【详解】解：由二次函数的图象与轴交于两点，， 所以，是方程，即的两个根， 根据根与系数的关系，可得，，且，， 对进行通分化简得， 将，代入上式得． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知二次函数（为常数）． （1）当时，该函数图象的顶点坐标为________； （2）若将该函数图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新函数的图象与轴两交点之间的距离为2，则的值为________． 【答案】 【详解】解：（1）当时，， ∴该函数图象的顶点坐标为； 故答案为：； （2）∵， ∴将该函数图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴新函数与x轴的交点坐标为， ∵新函数的图象与轴两交点之间的距离为2， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数（）． (1)若，求该函数图象的顶点坐标； (2)若，求证：该函数图象与轴有两个公共点； (3)该函数图象与轴交于点，它的对称轴与轴交于点．当确定时，该函数图象上是否存在唯一的点，使得是一个以为底边的等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由？ 【详解】（1）解：若，，顶点坐标为； （2）解：当时，， 则． ， ， ， 该函数图象与轴有两个公共点； （3）解：存在， 由题意，得，对称轴为直线， ． 是一个以为底边的等腰三角形， ，设存在点 ． 有两个相等的实数根． ， ，． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象关于直线对称，且与轴交于． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； (3)若是该函数图象上的两个点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：二次函数的图象关于直线对称， ，解得； 二次函数的图象与轴交于， ； 则该二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知二次函数的表达式为，开口向上、对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 则当时，二次函数的最小值为；当时，二次函数的最大值为； 当时，二次函数的最大值与最小值的差为， ， 即， ， 解得或（由可知，此值不满足条件，舍去）， ； （3）解：由（1）知二次函数的表达式为， 令，则， 解得或， 二次函数的图象与轴的交点坐标为和， 是该函数图象上的两个点，且， 或， 解不等式组得或． 6．（25-26九年级上·吉林延边·月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该图象与x轴的另一个交点坐标； (3)观察图象，当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意，设该二次函数的表达式为． 把，分别代入解析式，得 ， 解得， 该二次函数的表达式为． （2）解：设该图象与x轴的另一个交点坐标为， 根据题意，得， 解得． （3）解：∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值， 且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴在这个范围内， ∴二次函数的最大值为４, ∵， ∴当时，取得最小值，且最小值为， 故的取值范围为． 7．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的对称轴为直线，顶点为，点为抛物线上一点． (1)当时，求的最小值． (2)当时， ①若抛物线与轴有两个交点，自左向右分别为点，且，求抛物线的解析式． ②当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围． (3)①若，直接写出的最大值． ②当时，的最大值为，最小值为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①或；② (3)①；② 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴顶点坐标为 ∵， ∴的最小值为； （2）解：①当时， ∴对称轴为直线， 设点的横坐标为， ∵， ∴ 又∵关于直线对称， ∴ 解得：或 ∴或 ②∵当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，对称轴为直线， ∴当时，，当时， 即 ∴ （3）解：①∵图象的顶点为， 当时， ∴ 即的最大值为 ②∵图象的顶点为，对称轴为直线，则 点为抛物线上一点，当时， ∵，的最大值为，最小值为， ∴， ∴ 8．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图1，已知抛物线，把此抛物线沿轴折叠，得到抛物线． (1)当抛物线经过原点时，直接写出的值； (2)当抛物线和有且只有一个公共点，求的值； (3)若抛物线经过． ①求抛物线的函数解析式和顶点坐标； ②直线与、分别交于点、、、，如图2，直接写出时的值． 【答案】(1)； (2)； (3)①，顶点坐标为；② 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点， ∴， 解得； （2）解：∵抛物线沿轴折叠，得到抛物线， ∴， ∵抛物线和有且只有一个公共点， ∴联立得， 整理得， ∴， 解得； （3）解：①∵抛物线经过， ∴，解得； ∴， ∵抛物线沿轴折叠，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为； ②∵直线与交于点、， ∴， 整理得， 设两根为和， ∴，， ∴ ， ∵直线与交于点、， ∴，整理得， 设两根为和， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴． 9．（25-26九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． (1)当，时，求此函数的表达式及函数图象的对称轴； (2)试判断二次函数图象与x轴的交点个数； (3)若，当，时，总有，求a的取值范围． 【答案】(1)；对称轴为； (2)当时， 二次函数图象与x轴有1个交点； 当不全为0时，二次函数图象与x轴有2个交点． (3)或． 【详解】（1）解：当，时， 对称轴为直线； （2）解： ， 当二次函数与x轴相交时，， 则 ∴当且，即时，，二次函数图象与x轴有1个交点； 当a、b不全为0时，，二次函数图象与x轴有2个交点． （3）解：∵， ∴， 对称轴为直线， ①当时，若点A、B都在对称轴右侧， ∵时，总有， ∴，解得，即； ②当时，若点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧， 则，解得，不合题意，舍去； ③当时，点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧， 则，解得， ∴； 综上所述，a的取值范围是或． 10．（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知抛物线（a，b，c为常数且）经过和两点． (1)求的值； (2)求当随的增大而减小时，自变量的取值范围； (3)若直线与抛物线有且只有一个交点． ①求的值； ②若点在直线上，点在抛物线上．当时，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)当，函数开口向上，时，随的增大而减小；当，函数开口向下，时，随的增大而减小 (3)①；② 【详解】（1）解：将代入解析式，得， 解得． （2）解：由（1）可知，则解析式为， 把点代入解析式，得， 化简得， 二次函数的对称轴为直线， 当，函数开口向上，时，随的增大而减小； 当，函数开口向下，时，随的增大而减小． （3）解：①可知二次函数解析式为， 联立函数解析式，得 ， ∵， ∴， 直线与抛物线有且只有一个交点， ， 解得或（不合题意，舍去）． ②根据题意可知直线解析式为，二次函数解析式为， 当时，，， 则， ， 当时，n有最大值，最大值为． 11．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知抛物线（为常数，）． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在原点的左侧），． ①求的值； ②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2)①；② 【详解】（1）解：因为， 所以该抛物线的对称轴为直线； （2）①解：令，则， 设该方程的两根为， 因为点在原点的左侧，， 所以， 由根与系数关系得：， 即， 所以，， 把代入， 得， 所以； ②解：因为， 所以该函数表达式为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 因为该抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线和之间，且， 所以如图，上方的平行线不能在顶点下方， 因为直线和之间的距离为9， 所以要使最大，则直线经过顶点， 此时直线为， 所以当时， 解得，， 所以的最大值为． 12．（25-26九年级上·山东德州·期末）平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若该抛物线的对称轴为直线，且，则抛物线的顶点坐标为_____； (2)若，求证：抛物线与轴一定有两个交点； (3)若，点在抛物线上，且． ①若的最小值是，求抛物线的解析式： ②若也在抛物线上，且．若对于，都有，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且， ， ， 函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）证明：当时，抛物线方程，化简为， 令，得， ， 该方程有两个不相等的实数根， 抛物线与轴一定有两个交点． （3）解：当时，抛物线方程，化简为， 抛物线的顶点为，开口向上， ①抛物线开口向上，对称轴为且， 当时，抛物线的最小值为，即顶点纵坐标， ， 故函数解析式为； ②当时，， 抛物线开口向上，在内的最大值出现在范围端点离对称轴更远的点， 若对于，都有成立，需保证在取值范围内，两端点的函数值均小于， 当时，， 当时，， ， ， 化简得， 解得或， 的取值范围为或． 13．（25-26九年级上·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交于点C，交x轴于点D． (1)若点A为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段长度的最大值． (2)若该二次函数与x轴的一交点为，且，求a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）解：（1）①∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； ②∵正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则， ∴， ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴a的取值范围是． 14．（25-26九年级上·山东·期末）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若是该抛物线上的一点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 【答案】(1)①抛物线的解析式为；②或； (2) 【详解】（1）解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点为， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； （2）解：∵抛物线过点， ， 则， ∵对于任意实数，都有， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得，即， 解得，， ∴交点的横坐标分别为和， ． 15．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，抛物线与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，抛物线的顶点为，点关于对称轴直线的对称点为点． (1)求该抛物线的表达式； (2)当时，求函数值y的取值范围； (3)将抛物线在点右方的图象沿着直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有个公共点时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：将代入中得， ∵对称轴，即， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵，开口向下，对称轴直线， 又 ∴时，取得最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为； （3）解：①当直线过点D时： ∵B，D两点关于对称轴直线对称，， ∴点D的坐标为， 将点代入直线中得， ∴； ②当直线与抛物线相切时， 令，即， 当，解得； 综上：或． 16．（24-25九年级上·云南昆明·期中）平面直角坐标系中，我们称横坐标，纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若．求抛物线的顶点坐标； (2)若时，线段（含端点）上有多少个的“完美点”？请你写出这些“完美点”的坐标； (3)若抛物线与直线交于M，N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)、、、 (3) 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， 配方可得， 故抛物线的顶点坐标为； （2）解：由解析式可得，当时，即， 故，根据“完美点”的定义可知线段上有4个“完美点”坐标，分别是： 、、、． （3）解：抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，， ，故抛物线与轴无交点， 画出大致图象，如图1所示， 线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 这4个完美点必须且只包含、、、个“完美点”， 因此，必须同时满足以下条件： 当，；当时，；当时，， 即， 解得， 故解集为：． 即的取值范围为． 17．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，，连接，，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点为线段（不含端点，）上一点，连接并延长交抛物线于点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移，当它过点时得到新抛物线，点为新抛物线与轴的另一个交点，点为新抛物线的顶点，连接，，过点作交新抛物线于点，连接．在新抛物线上确定一点，使得，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)，的面积有最大值 (3)N点坐标为或 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ， ， 将、、三点代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交于点，如图1， 设，则， ， ， 当时，的面积有最大值，此时， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ； （3）解：设抛物线沿轴正半轴方向平移个单位，则沿轴正方向平移个单位， 平移后的函数解析式为， 经过点， ， 解得（舍或， 平移后的函数解析式为， 当时，， 解得或， ， 是顶点， ， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 当时，解得或， ， 过点作轴的垂线与的延长线交于点，与轴交于点，过点作交于点，过点作轴的平行线，过点作交于点，如图2， 直线与轴的交点，， ， ，， ， ， ， ， 直线的解析式为， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点在点上方时， ， ， ， ， ， 设， ， 解得（舍或， ∴； 当点在点下方时，设与直线交于点，过点作交于点， ∴， ， ， ， ， ， 设， ， 解得， ∴， 直线的解析式为， 设点关于直线的对称点为， ， ， 解得或（舍， ∴， 直线的解析式为， 当时，解得或（舍； ∴； 综上所述：点坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点04 二次函数图象与图形的交点问题 考点一：核心考点总览 1. 交点本质：二次函数与几何图形的交点问题，核心是联立两者解析式，方程实数解的个数即为有效交点个数。 2. 常考几何图形：直线、线段、坐标轴、三角形、矩形等多边形。 3. 核心判定依据：一元二次方程判别式Δ、自变量取值范围、图形边界临界位置、数形结合思想。 4. 命题核心：判断交点个数、求交点坐标、根据交点个数求参数取值范围。 考点二：通用标准解题步骤 步骤1：设二次函数解析式 ； 步骤2：联立几何图形解析式，消去一个变量，得到一元二次方程； 步骤3：利用判别式Δ判断方程实数根的总个数； 步骤4：结合图形自带的自变量取值范围，筛选有效根（有效交点）； 步骤5：针对含参数题型，结合图像临界位置，列不等式求解参数范围。 考点三：核心解题方法辨析 1. 代数法（精准计算） 适用场景：需要求解交点坐标、精准判断交点个数、参数计算。核心是联立方程、算根、判范围，结果精准无误差。 2. 几何数形结合法（快速解题） 适用场景：选择题、填空题快速判断，参数范围临界分析。通过画图观察抛物线平移、翻折后的位置，快速锁定临界状态。 3. 端点临界法（线段/多边形专属） 所有有限图形（线段、多边形），必须优先验证端点交点，临界值单独判断取舍，是解决易错题型的关键。 4. 分类讨论法 针对含参数题型，根据抛物线开口方向、参数正负、交点位置左右分类讨论，避免漏解。 考点四：考场速记结论 1. 无限直线交点：Δ定个数，无需考虑范围； 2. 有限线段交点：Δ判有根 + 区间筛有效，双重判定； 3. 坐标轴交点：x轴看根，y轴看常数项； 4. 二次函数与图形围成区域整点问题 ① 先定区间，逐x筛查：优先锁定封闭区域的x整数取值，对每个整数x，计算区域上下边界的y值，夹在边界之间的整数y即为有效整点。 ② 边界取舍口诀：图像实线可取等号（边界整点算），图像虚线不含等号（边界整点舍去）；开口向上看上下界，开口向下看上下限。 ③ 无整点快速判定：同一整数x对应的上下边界y值之差小于1时，该x区间内一定无整点，无需逐个验证。 ④ 参数类整点临界：整点个数固定求参数，只卡两个临界——刚好包住整点、刚好漏掉整点，临界位置代入端点验证等号取舍。 题型一：二次函数与直线交点问题（基础题型） 联立抛物线与直线解析式，消元得到一元二次方程，通过Δ直接判定交点个数： Δ＞0 → 2个不同交点；Δ＝0 → 1个相切交点；Δ＜0 → 无交点。 【例1】判断抛物线 与直线 的交点个数。 【变式1-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线的图象交轴于点． (1)直接写出的值：_____； (2)若直线与该抛物线有唯一公共点，求的值． 【变式1-2】（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，已知二次函数与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)若直线与二次函数有两个公共点，直接写出的取值范围． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知抛物线（m为常数）． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，则t的取值范围为_____； (2)若对于任意实数x，都有，此时抛物线与直线交于M，N两点，求的长． 【变式1-4】（25-26九年级上·北京海淀·期中）小君在课后探究学习中遇到一个函数．她类比二次函数对其进行探究，请回答下列问题： (1)函数的自变量的取值范围是___________； (2)小君写出该函数与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 0 459 … ①的值为___________； ②小君发现该函数的图象关于轴对称，并用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； (3)写出方程最小的解的近似值：___________（精确到0.1）； (4)过点作垂直于轴的直线，若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________． 题型二：二次函数与线段交点问题（高频重难点） 解题核心 线段是有限范围的直线，不能只看Δ，必须双重判定：方程有实数根 + 根的横坐标落在线段横坐标区间内。 解题步骤 1. 求线段所在直线解析式，联立抛物线得方程； 2. 求解方程根，判断根是否在线段自变量取值范围内； 3. 验证线段端点临界情况，确定最终交点个数。 【例2】已知抛物线 ，线段CD端点为 、，判断两者交点个数。 【变式2-1】（2025·云南玉溪·一模）已知抛物线，m为实数． (1)如果该抛物线经过点，求m的值； (2)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围． 【变式2-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数 (1)求该抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系中，已知点，若且线段与该抛物线恰有一个交点，请直接写出的取值范围； (3)当时，y有最小值为，求的值． 【变式2-3】（25-26九年级下·安徽阜阳·阶段检测）已知，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B． (1)若抛物线经过点，点B的坐标为_________； (2)若点，在抛物线上，且，求m的取值范围； (3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），请直接写出a的取值范围． 【变式2-4】（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． 题型三：二次函数与坐标轴交点问题（基础必考） 1. 与y轴交点：令 ，解得 ，交点为 ； 2. 与x轴交点：令 ，解一元二次方程 ，根即为交点横坐标。 【例3】求抛物线 与坐标轴的交点坐标。 【变式3-1】（25-26九年级上·广东广州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与x轴交于点A，B，且，求a的值． 【变式3-2】（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）已知关于的二次函数（是常数）． (1)求证：二次函数的图象与轴总有两个交点； (2)若该抛物线与轴的交点分别为，且，求的值． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数．（为常数，且）． (1)求证：该函数的图象与轴总有公共点； (2)若点，在函数图象上，且，，比较与的大小，并说明理由． 【变式3-4】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知函数（m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； (2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． (3)在（2）的条件下，若有，两点在抛物线上，且，求实数n的取值范围． 【变式3-5】（25-26九年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，． (1)求二次函数的表达式： (2)将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得图象与轴交点的坐标为___________． 【变式3-6】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数．（m是常数）． (1)当时，求该二次函数图象顶点的纵坐标． (2)若该二次函数的图象与x 轴有且只有一个公共点，求m的值． 题型四：与围成的区域的整点问题（压轴高频） 1. 求二次函数与围成图形的交点，确定封闭区域x的取值范围； 2. 筛选范围内所有整数x； 3. 对每个整数x，求出区域内y的取值区间； 4. 统计区间内整数y的个数，汇总总整点数量。 1. 误将区域外、边界外的整数点计入； 2. 忽略上下y值之间无整数的情况； 3. 参数范围等号取舍错误导致整点个数偏差； 4. 漏算边界实线对应的整点。 【例4】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（．为常数且）与轴交于点． （1）若，则抛物线的顶点坐标为________； （2）若线段（含端点）上的“完美点”个数大于个且小于个，则的取值范围是________； （3）若抛物线与直线交于、两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有个“完美点”，则的取值范围是________． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（为常数且）与轴交于点．若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，则的取值范围是___________． 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是______． 【变式4-3】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 【变式4-4】（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（a为常数且）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点P． (1)若，则抛物线的顶点坐标为_______，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有_______个； (2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求a的值； (3)若抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，请直接写出a的取值范围． 【变式4-5】（24-25九年级上·福建福州·月考）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（合边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）若二次函数（m是常数）的图象与其向下平移个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则n的值为________ 2．（25-26九年级上·北京顺义·期末）若二次函数的图象与轴交于两点，，则______． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知二次函数（为常数）． （1）当时，该函数图象的顶点坐标为________； （2）若将该函数图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新函数的图象与轴两交点之间的距离为2，则的值为________． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数（）． (1)若，求该函数图象的顶点坐标； (2)若，求证：该函数图象与轴有两个公共点； (3)该函数图象与轴交于点，它的对称轴与轴交于点．当确定时，该函数图象上是否存在唯一的点，使得是一个以为底边的等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由？ 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象关于直线对称，且与轴交于． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； (3)若是该函数图象上的两个点，且，求的取值范围． 6．（25-26九年级上·吉林延边·月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该图象与x轴的另一个交点坐标； (3)观察图象，当时，直接写出y的取值范围． 7．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的对称轴为直线，顶点为，点为抛物线上一点． (1)当时，求的最小值． (2)当时， ①若抛物线与轴有两个交点，自左向右分别为点，且，求抛物线的解析式． ②当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围． (3)①若，直接写出的最大值． ②当时，的最大值为，最小值为，请直接写出的值． 8．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图1，已知抛物线，把此抛物线沿轴折叠，得到抛物线． (1)当抛物线经过原点时，直接写出的值； (2)当抛物线和有且只有一个公共点，求的值； (3)若抛物线经过． ①求抛物线的函数解析式和顶点坐标； ②直线与、分别交于点、、、，如图2，直接写出时的值． 9．（25-26九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． (1)当，时，求此函数的表达式及函数图象的对称轴； (2)试判断二次函数图象与x轴的交点个数； (3)若，当，时，总有，求a的取值范围． 10．（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知抛物线（a，b，c为常数且）经过和两点． (1)求的值； (2)求当随的增大而减小时，自变量的取值范围； (3)若直线与抛物线有且只有一个交点． ①求的值； ②若点在直线上，点在抛物线上．当时，直接写出的最大值． 11．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知抛物线（为常数，）． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在原点的左侧），． ①求的值； ②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值． 12．（25-26九年级上·山东德州·期末）平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若该抛物线的对称轴为直线，且，则抛物线的顶点坐标为_____； (2)若，求证：抛物线与轴一定有两个交点； (3)若，点在抛物线上，且． ①若的最小值是，求抛物线的解析式： ②若也在抛物线上，且．若对于，都有，求的取值范围． 13．（25-26九年级上·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交于点C，交x轴于点D． (1)若点A为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段长度的最大值． (2)若该二次函数与x轴的一交点为，且，求a的取值范围． 14．（25-26九年级上·山东·期末）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若是该抛物线上的一点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 15．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，抛物线与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，抛物线的顶点为，点关于对称轴直线的对称点为点． (1)求该抛物线的表达式； (2)当时，求函数值y的取值范围； (3)将抛物线在点右方的图象沿着直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有个公共点时，请直接写出的值． 16．（24-25九年级上·云南昆明·期中）平面直角坐标系中，我们称横坐标，纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若．求抛物线的顶点坐标； (2)若时，线段（含端点）上有多少个的“完美点”？请你写出这些“完美点”的坐标； (3)若抛物线与直线交于M，N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 17．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，，连接，，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点为线段（不含端点，）上一点，连接并延长交抛物线于点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移，当它过点时得到新抛物线，点为新抛物线与轴的另一个交点，点为新抛物线的顶点，连接，，过点作交新抛物线于点，连接．在新抛物线上确定一点，使得，直接写出所有符合条件的点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $