第四单元 解决问题的策略（期末复习讲义-培优版）知识梳理+2个考点讲练+2个奥数拓展+真题演练 共36题-2025-2026学年苏教版数学四年级下册真题汇编必刷冲关练

2025-2026学年苏教版数学四年级下册期末真题汇编培优讲练 第四单元 解决问题的策略『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+2个考点讲练+2个奥数拓展+真题演练 共36题） 同学你好，该份讲义用于苏教版四年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 2 知识回顾 温故知新 3 知识点一 画线段图解决问题 3 知识点二 画示意图解决面积计算问题 3 知识点三 画示意图解决行程问题 3 考点训练 真题汇总 4 高频考点一 画线段图解决和差倍问题 4 高频考点二 画示意图解决面积计算问题 5 奥数拓展 拔尖冲刺 6 奥数拓展一 画示意图解决面积计算问题 6 奥数拓展二 画线段图解决较复杂的和差倍问题 8 优选真题 实战演练 9 【基础夯实 知识巩固】 9 【拓展提高 能力拔尖】 11 知识点一 画线段图解决问题 (1)画线段图表示题意，可以使数量关系更直观、更清楚，比较容易找 到解题方法； (2)和差问题是指已知两个数的和与两个数的差，要求这两个数。和差 问题的数量关系：(和+差)÷2=较大数，(和-差)÷2=较小数 示例： 知识点二 画示意图解决面积计算问题 (1)画图时，要注按教宰顺序完成画图过程； (2)要注意图中各路的长度美系； (3)要注意在图中的适当位置标注出题目中的条件和问题。 示例： 解题关键：变化的面积÷变化的长(宽)=不变的宽(长)。 知识点三 画示意图解决行程问题 画线段图是分析行程问题比较有效的方法，有助于分析、理解题中的数量关系，使问题得以解决。 高频考点一 画线段图解决和差倍问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏徐州·阶段检测）哥哥和弟弟一共有72枚邮票，哥哥给弟弟12枚邮票后，两人的邮票枚数就相同了。下面能正确表示哥哥和弟弟的邮票数量关系的是（    ）。 A．B．C． 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏扬州·期中）小明和小刚一共有68枚邮票，小明给小刚9枚后，两人邮票数相同，两人原来各有邮票多少枚？（先把已知条件在线段图上表示出来，再解答） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏宿迁·期中）小宁和小春共有72枚邮票，如果小宁给小春6枚邮票，他们俩的邮票就同样多了。小宁和小春原来各有邮票多少枚？（先根据题意把线段图补充完整，再解答） 【变式训练3】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·广西钦州·期中）李玲在手工课上剪了3张纸条（如图），每张纸条长多少厘米？ 高频考点二 画示意图解决面积计算问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·广西钦州·期中）看图列式计算。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏苏州·期中）李大伯家有一块长方形菜地用来种蔬菜，种番茄的面积比菜地的一半还少10平方米，其余的35平方米种茄子。这个菜地有多少平方米？（先在图中表示出番茄和茄子的种植面积，再解答。） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏苏州·期中）苏绣起源于苏州，是四大名绣之一，下图是一幅苏绣展品，展品的长12分米、宽9分米，现要扩大展品面积，相邻两边分别增加2分米，问现在展品的面积是多少平方分米？（先画一画，再解答） 【变式训练3】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏扬州·期中）某实验小学的劳动基地有一块正方形苗圃，如果把苗圃的一组对边各增加2米，苗圃的面积就增加12平方米。这个正方形苗圃的面积是多少平方米？（先在图上画一画，再列式解答） 奥数拓展一 画示意图解决面积计算问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·江苏淮安·期中）用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，先按图①的方式放置，再按图②的方式放置。测量的数据如图，这张桌子的高度是多少厘米？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·江苏淮安·期中）如图所示，“行知农场”有一块长方形花圃。扩建时，把它的长增加到48米，扩建后，花圃的面积是多少平方米？ （1）画出增加的部分并用阴影表示。 （2）下面是四位同学的解题方法，请你对他们的方法做出评价（谁的方法正确或谁的方法错误）。 小明：96÷16＝6（米） 48×6＝288（平方米） 小红：48÷16＝3 （3－1）×96＝192（平方米） 小丽：96÷16＝6（米） 48×6＝288 288－96＝192（平方米） 小军：48÷16＝3 3×96＝288（平方米） （3）选择一种正确的方法，请说一说他解决问题的思路。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏泰州·阶段检测）一块长方形土地上种了两种花，种月季的面积比这块地面积的一半少30平方米，剩余的78平方米种郁金香。这块地的面积是多少平方米？（先补充图上信息，再解答） 【变式训练3】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏苏州·期中）有一个长方形鱼塘的长是63米，为了扩大水面，现在又把长增加了7米，面积就增加了350平方米，这个鱼塘原来的面积是多少平方米？（先画图再解答） 奥数拓展二 画线段图解决较复杂的和差倍问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·广西防城港·期末）先填空，再解答。 (1)假设黄气球、蓝气球都与红气球的个数同样多，三种气球一共有( )个。 (2)你能算出三种气球各有多少个吗？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级上·江苏扬州·期末）小红家养牛和羊一共84头，卖掉20头牛后，牛和羊的头数同样多。她家原来养羊多少头？养牛多少头？（请把线段图补充完整，再解答） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·江苏南通·期末）甲、乙两地相距495千米，一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了3小时，剩下的路程比已行的多45千米。这辆汽车的平均速度是多少千米/时？（先根据题意把左、右两边的线段图的条件补充完整，再解答） 【变式训练3】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西太原·期末）（1）王叔叔家有一个长方形苗圃，长55米。他计划将其扩建成具备智能温控、智能灌溉及智能数据监测功能的智能苗圃。在扩建过程中，苗圃的长度增加了8米，面积随之增加了96平方米。那么，原来苗圃的面积是多少平方米呢？（先在图上画一画，再解答） （2）大棚射扩建后，王叔叔种了多个品种的草莓。根据下图中的数量关系，计算桃薰草莓有多少株。 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25四年级下·江苏南京·期末）根据下面的线段图，算式“90－10”算的是（    ）。 A．短花布长度×4 B．长花布长度×4 C．短花布长度×3＋长花布长度 2．（24-25四年级下·江苏南京·期末）学校啦啦操队员排成4×4的方阵（每行4人，有4行），如果想增加两行、两列，排成一个6×6的方阵，那么需要增加（    ）人。 A．36 B．20 C．16 3．（24-25四年级下·山西临汾·期末）为庆祝“六一”儿童节，四年级同学举行列队表演，他们排成了一个“7×7”的方阵，方阵最外圈的同学穿红色运动服，其余都穿绿色运动服，至少要准备（    ）套红色运动服。 A．28 B．49 C．24 4．（24-25四年级下·江苏泰州·期末）学校举行运动会，小明所在班级排成方阵进场。方阵共6行，每行6个同学。站在最外圈的同学需要手举一束鲜花，小明所在班级一共要准备( )束鲜花。 5．（23-24四年级下·江苏扬州·期末）学校航模队的同学用无人机进行演出，无人机共排成6行，每行6架。最外圈的无人机闪烁红灯，其余的闪烁黄灯，闪烁红灯的有( )架。 6．如图，由四个一样大的小长方形和一个边长是4分米的小正方形拼成了一个边长是24分米的大正方形。每个小长方形的周长是________分米，面积是________平方分米。    7．（23-24四年级下·江苏南京·期末）看图列式并解答。 8．（23-24四年级下·山西大同·期末）我国的地形丰富。地貌多样，呈现出了很多美景，使得旅游已成为人们度假的热门方式。“五一”假期，苗苗的爸妈带着她和朋友们一起组团外出旅游，她们提前在网上预定宾馆，以下就是她们预定的宾馆的价格表。 单人间 双人间 三人间 160元/间 180元/间 240元/间 我们一共14人，怎样选择房间，钱数最少呢？ 9．（24-25四年级下·江苏南京·期末）一种铁合金管每米重5千克，每根长8米，运送这样的铁合金管130根，用一辆载重5吨的货车一次可以运完吗？ 10．（24-25四年级下·河南洛阳·期末）在航天科技实验室中，机器人团队排列成一个矩形方阵进行程序调试。每行8个，需要排成6行，最外圈的机器人用于空间勘测，其余的用于空间站服务。两种机器人各需要多少个？（建议：可以先画方阵图再解决问题） 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25四年级下·江苏苏州·期末）从甲杯往乙杯倒入50毫升水后，两个杯子中的水同样多。下面线段图中可以表示这一数量关系的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（24-25四年级下·江苏宿迁·期末）运动会开幕式上，四（7）班同学方阵表演，每行7人，有7行。最外圈同学手持鲜花，其余同学手持气球，四（7）班手持气球的有（    ）人。 A．21 B．25 C．28 D．36 3．（24-25四年级下·江苏苏州·期末）根据下面的线段图中的信息，李欢列式“（105＋15）÷2”，她解决的问题是（    ）。 A．科技书有多少本 B．文艺书有多少本 C．科技书比文艺书多多少本 D．把多少本科技书换成文艺书，两种书就同样多 4．（24-25四年级下·江苏扬州·期末）娟娟和宁宁一共有56张画片，宁宁送给娟娟6张后，两人的画片同样多。娟娟原有画片( )张，宁宁原有画片( )张。 5．（24-25四年级下·海南省直辖县级单位·期末）一个减法算式，已知被减数是628，减数与差相等，则减数是( )。 6．看图列式并解答。 7．（24-25四年级下·江苏淮安·期末）看图编题，再解答。 我编的题是： 我的解答是： 8．（24-25四年级下·江苏南通·期末）农场主有五捆干草。在把它们交给一位客户之前，他吩咐手下称一称它们的重量。这个愚蠢的家伙却用了所有可能的组合方式把它们两捆一称，然后告诉主人称出的重量（单位：千克）分别是：110，112，113，114，115，116，117，118，120和121，你能根据这些数据帮农场主算出这五捆干草每一捆单独重多少千克吗？ 9．（23-24四年级下·江苏苏州·期末）包粽子是我国端午节的传统习俗。亮亮一家和邻居们一起参加了“粽叶飘香，品味端午”的包粽子活动。他们分为两组，第一组包的总个数比第二组的3倍还多6个，两组共包了146个粽子。你能提出一个问题并解答吗？（先画线段图表示条件和问题，再解答）（1＋2＋3＝6分） 提问：______________________________？ 线段图： 列式并解答： 10．徐大伯家有一个长方形菜园，种白菜的面积比菜园面积的一半还多15平方米，剩下的面积一半种茄子，还剩下25平方米种西红柿。这个菜园有多少平方米？（先在图中表示出茄子、白菜和西红柿的种植面积，再解答） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学四年级下册期末真题汇编培优讲练 第四单元 解决问题的策略『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+2个考点讲练+2个奥数拓展+真题演练 共36题） 同学你好，该份讲义用于苏教版四年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识回顾 温故知新 4 知识点一 画线段图解决问题 4 知识点二 画示意图解决面积计算问题 4 知识点三 画示意图解决行程问题 4 考点训练 真题汇总 5 高频考点一 画线段图解决和差倍问题 5 高频考点二 画示意图解决面积计算问题 8 奥数拓展 拔尖冲刺 10 奥数拓展一 画示意图解决面积计算问题 10 奥数拓展二 画线段图解决较复杂的和差倍问题 14 优选真题 实战演练 17 【基础夯实 知识巩固】 17 【拓展提高 能力拔尖】 22 知识点一 画线段图解决问题 (1)画线段图表示题意，可以使数量关系更直观、更清楚，比较容易找 到解题方法； (2)和差问题是指已知两个数的和与两个数的差，要求这两个数。和差 问题的数量关系：(和+差)÷2=较大数，(和-差)÷2=较小数 示例： 知识点二 画示意图解决面积计算问题 (1)画图时，要注按教宰顺序完成画图过程； (2)要注意图中各路的长度美系； (3)要注意在图中的适当位置标注出题目中的条件和问题。 示例： 解题关键：变化的面积÷变化的长(宽)=不变的宽(长)。 知识点三 画示意图解决行程问题 画线段图是分析行程问题比较有效的方法，有助于分析、理解题中的数量关系，使问题得以解决。 高频考点一 画线段图解决和差倍问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏徐州·阶段检测）哥哥和弟弟一共有72枚邮票，哥哥给弟弟12枚邮票后，两人的邮票枚数就相同了。下面能正确表示哥哥和弟弟的邮票数量关系的是（    ）。 A．B．C． 【答案】C 【思路引导】根据题目可知，哥哥原来比弟弟多12×2＝24枚邮票，哥哥的线段长度要比弟弟长，且多出的部分是2个12枚，据此解答。 【规范解答】 A．弟弟给哥哥12枚后两人一样多，说明弟弟比哥哥多24枚，不符合题意； B．哥哥给弟弟12枚后，弟弟就比哥哥多12枚，说明哥哥比弟弟只多12枚，不符合题意； C．哥哥给弟弟12枚后两人一样多，说明哥哥比弟弟多24枚，符合题意。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏扬州·期中）小明和小刚一共有68枚邮票，小明给小刚9枚后，两人邮票数相同，两人原来各有邮票多少枚？（先把已知条件在线段图上表示出来，再解答） 【答案】 小明原来有43枚邮票，小刚原来有25枚邮票。 【思路引导】由题意可知，两人邮票总数不变，始终是68枚；给完之后两人数量相同，说明此时每人的邮票数是总数的一半；小明给了小刚9枚才相等，说明小明原来比小刚多枚邮票。 【规范解答】（1）线段图如下： （2）根据分析，两人邮票总数不变，始终是68枚，当两人邮票数相等时，每人的邮票数： （枚） 求小明原来的邮票数（他给出去9枚才变成34枚，因此原来的数量要把这9枚加回来） （枚） 求小刚原来的邮票数（他得到9枚才变成34枚，因此原来的数量要把这9枚减去） （枚） 答：小明原来有43枚邮票，小刚原来有25枚邮票。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏宿迁·期中）小宁和小春共有72枚邮票，如果小宁给小春6枚邮票，他们俩的邮票就同样多了。小宁和小春原来各有邮票多少枚？（先根据题意把线段图补充完整，再解答） 【答案】图见详解；小宁原来有42枚邮票，小春原来有30枚邮票 【思路引导】根据题意，小宁给小春6枚邮票后，他们俩的邮票就同样多，则小宁原来比小春多（6×2）枚，用一共有的邮票枚数减去多的枚数再除以2即可求出小春原来的邮票枚数，再用邮票总枚数减去小春原来的邮票枚数，即可求出小宁原来的邮票枚数。 【规范解答】如图： 6×2＝12（枚） （72－12）÷2 ＝60÷2 ＝30（枚） 72－30＝42（枚） 答：小宁原来有42枚邮票，小春原来有30枚邮票。 【变式训练3】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·广西钦州·期中）李玲在手工课上剪了3张纸条（如图），每张纸条长多少厘米？ 【答案】32厘米；32厘米；20厘米 【思路引导】根据上面的图片可知，有3条纸片总长度为84厘米，其中有2条较长纸条的长度相同，且它们比短的长12厘米；可将较短的补12厘米，求得相同的3条较长的纸条的总长，除以3，求得较长的纸条长度，再减去12厘米，进而求得较短的纸条长度。 【规范解答】最长的纸条长： （84＋12 ）÷3 ＝96÷3 ＝32（厘米） 较短的纸条长：32－12＝20（厘米） 答：三条纸条的长分别为32厘米，32厘米，20厘米。 高频考点二 画示意图解决面积计算问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·广西钦州·期中）看图列式计算。 【答案】280÷8×15＝525（平方米） 【思路引导】观察图形可知，上下两个长方形的长相等，我们先根据下方长方形的面积和宽，用280除以8，求出长，再乘15，计算上方长方形的面积，列式计算即可。 【规范解答】280÷8×15 ＝35×15 ＝525（平方米） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏苏州·期中）李大伯家有一块长方形菜地用来种蔬菜，种番茄的面积比菜地的一半还少10平方米，其余的35平方米种茄子。这个菜地有多少平方米？（先在图中表示出番茄和茄子的种植面积，再解答。） 【答案】50平方米 【思路引导】根据题意，种番茄的面积比菜地的一半还少10平方米，说明种茄子的面积比菜地的一半多10平方米。已知种茄子的面积是35平方米，用35减去10即可求出菜地面积的一半是多少，再用它乘2，求出这个菜地的面积是多少平方米。 【规范解答】作图如下： （35−10）×2 ＝25×2 ＝50（平方米） 答：这个菜地有50平方米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏苏州·期中）苏绣起源于苏州，是四大名绣之一，下图是一幅苏绣展品，展品的长12分米、宽9分米，现要扩大展品面积，相邻两边分别增加2分米，问现在展品的面积是多少平方分米？（先画一画，再解答） 【答案】154平方分米 【思路引导】本题考查长方形面积的计算与实际应用。原展品为长方形，长12分米、宽9分米，相邻两边各增加2分米后，形成新的长方形。需先确定新长、新宽，再代入面积公式计算。作图可帮助直观理解尺寸变化，强化空间感知。 【规范解答】 如上图：相邻两边各增加2分米后，形成新的长方形。 新长＝12＋2＝14（分米） 新宽＝9＋2＝11（分米） 新面积＝14×11＝154（平方分米） 答：现在展品的面积是154平方分米。 【变式训练3】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏扬州·期中）某实验小学的劳动基地有一块正方形苗圃，如果把苗圃的一组对边各增加2米，苗圃的面积就增加12平方米。这个正方形苗圃的面积是多少平方米？（先在图上画一画，再列式解答） 【答案】画图见详解；36平方米 【思路引导】 如图： 增加的部分是一个长为原正方形边长，宽为2米的长方形，根据长＝面积÷宽可算出长，也就是原正方形的边长，再用边长×边长可计算出面积。 【规范解答】 12÷2＝6（米） 6×6＝36（平方米） 答：这个正方形苗圃的面积是36平方米。 奥数拓展一 画示意图解决面积计算问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·江苏淮安·期中）用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，先按图①的方式放置，再按图②的方式放置。测量的数据如图，这张桌子的高度是多少厘米？ 【答案】75厘米 【思路引导】从图中可以发现数量关系： 图①中：桌子的高度＋木块的长边－木块的短边＝80厘米；图②中：桌子的高度＋木块的短边－木块的长边＝70厘米；将两个等式左右两边分别相加，可以得到：桌子的高度＋木块的长边－木块的短边＋桌子的高度＋木块的短边－木块的长边＝80厘米 ＋ 70厘米，将左边相同的加数和减数抵销，得桌子的高度＋桌子的高度＝150厘米；从而可以求出桌子的高度：用150厘米除以2即可。 也可以将图②与图①重叠（使图②上面的木块和图①下面的木块重合）（如下图），再把图①上面的木块下移到图②下面的木块位置，这样可以看出，80厘米和70厘米的和就是两张桌子的总高度；所以，用80与70的和再除以2，即得到这张桌子的高度。据此解答。 【规范解答】（80＋70）÷2 ＝150÷2 ＝75（厘米） 答：这张桌子的高度是75厘米。 【考点剖析】这道题的解题关键在于找到题目中的等量关系，找到80厘米与70厘米的和就是两张桌子的高度，从而求出桌子的高度。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·江苏淮安·期中）如图所示，“行知农场”有一块长方形花圃。扩建时，把它的长增加到48米，扩建后，花圃的面积是多少平方米？ （1）画出增加的部分并用阴影表示。 （2）下面是四位同学的解题方法，请你对他们的方法做出评价（谁的方法正确或谁的方法错误）。 小明：96÷16＝6（米） 48×6＝288（平方米） 小红：48÷16＝3 （3－1）×96＝192（平方米） 小丽：96÷16＝6（米） 48×6＝288 288－96＝192（平方米） 小军：48÷16＝3 3×96＝288（平方米） （3）选择一种正确的方法，请说一说他解决问题的思路。 【答案】（1）图见详解； （2）小明和小军的方法是正确的；小红和小丽的方法错误。 （3）小明的方法：先计算花圃的宽，再计算扩建后的面积。（答案不唯一） 【思路引导】（1）画出增加的部分并用阴影表示：根据题目要求，在原长方形花圃的基础上，将长增加到48米，增加的部分用阴影表示，图见详解。 （2）判断四位同学的解题方法： 小明：已知原来长方形花圃面积为96平方米，原来长为16米，根据长方形面积公式S ＝ a×b（S表示面积，a表示长，b表示宽），那么宽b＝S÷a，所以96÷16＝6（米），求出了原来花圃的宽。又因为扩建后宽不变，长增加到48米，此时扩建后面积S＝48×6＝288（平方米），小明方法正确。 小红：48÷16＝3得到的是扩建后的长是原来长的倍数，（3－1）×96＝192（平方米）这种计算逻辑错误，它并不是扩建后花圃的面积，所以小红方法错误。 小丽：96÷16＝6（米），求出了原来花圃的宽，48×6＝288得到了扩建后花圃的面积，但后面288－96＝192（平方米），所求并非题目所问的扩建后花圃的面积，所以小丽方法错误。 小军：48÷16＝3得到扩建后的长是原来长的倍数，因为宽不变，根据积不变的性质，面积也会扩大为原来相同的倍数，所以3×96＝288（平方米），求出了扩建后花圃的面积，小军方法正确。 所以，小明和小军的方法是正确的；小红和小丽的方法错误。 （3）阐述正确方法的解题思路（以小明为例） 先根据原来长方形花圃的面积96平方米和原来的长16米，利用长方形面积公式求出花圃的宽为6米。因为扩建时宽不变，长增加到48米，再根据长方形面积公式，用扩建后的长48米乘宽6米，从而计算出扩建后的面积为288平方米。 【规范解答】（1）如图： （2）答：小明和小军的方法正确，小红和小丽的方法错误； （3）答：以小明的方法为例：小明的方法是先计算花圃的宽，再计算扩建后的面积。（答案不唯一） 【考点剖析】本题主要围绕长方形花圃的扩建问题，包括画出扩建增加部分、判断不同解题方法的正误以及阐述正确方法的解题思路。首先要根据题目要求画出增加部分的图形，然后依据长方形面积公式及相关计算逻辑判断各同学方法的对错，最后说明正确方法的具体求解过程。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏泰州·阶段检测）一块长方形土地上种了两种花，种月季的面积比这块地面积的一半少30平方米，剩余的78平方米种郁金香。这块地的面积是多少平方米？（先补充图上信息，再解答） 【答案】 见详解；96平方米 【思路引导】在长方形中画一条中线（总面积的一半），再画线将长方形分为两块，月季区域比中线小，标注月季，比总面积一半少30平方米；郁金香区域标注郁金香，78平方米，标出郁金香比总面积一半多出的30平方米即可。 种月季的面积比总面积一半少30平方米，说明种郁金香的面积＝总面积的一半＋30平方米。先用78减去30，求出总面积的一半，再乘2，计算总面积；列式计算即可。 【规范解答】 （78－30）×2 ＝48×2 ＝96（平方米） 答：这块地的面积是96平方米。 【变式训练3】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏苏州·期中）有一个长方形鱼塘的长是63米，为了扩大水面，现在又把长增加了7米，面积就增加了350平方米，这个鱼塘原来的面积是多少平方米？（先画图再解答） 【答案】画图见详解，3150平方米 【思路引导】长增加了7米，宽不变，所以增加的部分是一个长方形。这个新增长方形的长是7米，面积是350平方米，我们可以先算出它的宽，也就是原鱼塘的宽。再用长方形面积＝长×宽，算出原来的面积。 画图需要把增加的部分单独画出来，在原长方形的右边，向外画一个小长方形：沿原图的两条长分别画两条等长线段，标上“7米”，再把两条线段的端点连起来，形成的小长方形就是面积增加的部分。 【规范解答】 350÷7＝50（米） 63×50＝3150（平方米） 答：这个鱼塘原来的面积是3150平方米。 奥数拓展二 画线段图解决较复杂的和差倍问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·广西防城港·期末）先填空，再解答。 (1)假设黄气球、蓝气球都与红气球的个数同样多，三种气球一共有( )个。 (2)你能算出三种气球各有多少个吗？ 【答案】(1)210 (2)红气球70个，黄气球115个，蓝气球130个 【思路引导】（1）假设黄气球、蓝气球都与红气球的个数同样多，则要从总数315中，将黄气球、蓝气球比红气球多的数量去掉，用315减去45和60即可。 （2）用（1）中所求的假设的总数除以3，求出红气球的数量，分别加上45、60即可求得黄气球和蓝气球的数量。 【规范解答】（1）315－45－60 ＝270－60 ＝210（个） 则三种气球一共有210个。 （2）210÷3＝70（个） 70＋45＝115（个） 70＋60＝130（个） 答：红气球有70个，黄气球有115个，蓝气球有130个。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25三年级上·江苏扬州·期末）小红家养牛和羊一共84头，卖掉20头牛后，牛和羊的头数同样多。她家原来养羊多少头？养牛多少头？（请把线段图补充完整，再解答） 【答案】作图见详解；羊：32头；牛：52头 【思路引导】由题意得，小红家养牛和羊一共84头，卖掉20头牛后，牛和羊的头数同样多。卖掉20头牛后，牛和羊的总数量也会减少20头，可以先用84减去20算出还剩多少头牛和羊。此时，牛和羊的头数同样多，直接用前面的得数除以2可以算出羊的头数。最后再用84减去前面的得数即可算出牛的头数。 【规范解答】 84－20＝64（头） 羊的头数：64÷2＝32（头） 牛的头数：84－32＝52（头） 答：她家原来养羊32头，养牛52头。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·江苏南通·期末）甲、乙两地相距495千米，一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了3小时，剩下的路程比已行的多45千米。这辆汽车的平均速度是多少千米/时？（先根据题意把左、右两边的线段图的条件补充完整，再解答） 【答案】图见详解；75千米/时 【思路引导】观察线段图可知，左图上面标识表示3小时行的路程，下面标识表示全程的路程，右图长出的线段表示剩下的路程比已行的多45千米，括住的两条线段表示全程的路程，据此补充完整线段图；（和－差）÷2＝小数，用两地的距离减45千米，再除以2等于已经行驶的距离，再除以3，即等于汽车的平均速度，据此即可解答。 【规范解答】如图： （495－45）÷2 ＝450÷2 ＝225（千米） 225÷3＝75（千米/时） 答：这辆汽车的平均速度是75千米/时。 【变式训练3】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西太原·期末）（1）王叔叔家有一个长方形苗圃，长55米。他计划将其扩建成具备智能温控、智能灌溉及智能数据监测功能的智能苗圃。在扩建过程中，苗圃的长度增加了8米，面积随之增加了96平方米。那么，原来苗圃的面积是多少平方米呢？（先在图上画一画，再解答） （2）大棚射扩建后，王叔叔种了多个品种的草莓。根据下图中的数量关系，计算桃薰草莓有多少株。 【答案】（1）见详解；660平方米 （2）4000株 【思路引导】（1）根据题意，苗圃的长度增加了8米，面积随之增加了96平方米，根据长方形面积＝长×宽，先用96÷8即可求出原来长方形苗圃的宽是多少米，再乘原来的长，即可求出原来苗圃的面积是多少平方米。 （2）根据数量关系图可知，桃薰草莓和红颜草莓一样多，奶油草莓比桃薰草莓多300株，先用三种草莓的总株数减去多的300株，即可求出桃薰草莓株数的3倍是多少株，除以3即可求出桃薰草莓有多少株。 【规范解答】 （1） 如图： 96÷8＝12（米）     55×12＝660（平方米） 答：原来的苗圃面积是660平方米。 （2）（12300－300）÷3 ＝12000÷3 ＝4000（株） 答：桃熏草莓有4000株。 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25四年级下·江苏南京·期末）根据下面的线段图，算式“90－10”算的是（    ）。 A．短花布长度×4 B．长花布长度×4 C．短花布长度×3＋长花布长度 【答案】A 【思路引导】根据线段图，我们可以看到总长度为90厘米，由三块短花布和一块长花布组成，其中长花布比短花布长10厘米，90－10就是把长花布多的10厘米减掉，剩下的就是4个短花布的长度和。据此解答。 【规范解答】90－10＝80（厘米）表示的是去掉10厘米后的剩余长度，即四个同样长度的短花布的长度和。所以，算式“90－10”算的是：短花布长度×4。 故答案为：A 2．（24-25四年级下·江苏南京·期末）学校啦啦操队员排成4×4的方阵（每行4人，有4行），如果想增加两行、两列，排成一个6×6的方阵，那么需要增加（    ）人。 A．36 B．20 C．16 【答案】B 【思路引导】分别算出6×6方阵和4×4方阵的人数，然后用前者减去后者，得到增加的人数。6×6方阵表示每行有6人，一共有6行，那么把它们相乘就得到该方阵的人数；4×4方阵表示每行有4人，一共有4行，同理得到该方阵的人数；再用6×6方阵的人数减去4×4方阵的人数就是需要增加的人数。 【规范解答】6×6－4×4 ＝36－16 ＝20（人） 所以，需要增加20人。 故答案为：B 3．（24-25四年级下·山西临汾·期末）为庆祝“六一”儿童节，四年级同学举行列队表演，他们排成了一个“7×7”的方阵，方阵最外圈的同学穿红色运动服，其余都穿绿色运动服，至少要准备（    ）套红色运动服。 A．28 B．49 C．24 【答案】C 【思路引导】方阵最外圈四条边，每条边有7人。若直接用7×4计算，四个顶点的人会被重复计算一次，所以需要减去重复的4个人。 【规范解答】7×4－4 ＝28－4 ＝24（人） 所以，至少需要准备24套红色运动服。 故答案为：C 4．（24-25四年级下·江苏泰州·期末）学校举行运动会，小明所在班级排成方阵进场。方阵共6行，每行6个同学。站在最外圈的同学需要手举一束鲜花，小明所在班级一共要准备( )束鲜花。 【答案】20 【思路引导】方阵每行有6个同学，共6行，那么四条边的人数总和为：6×4＝24（人）；由于四个角上的同学在计算四条边人数总和时都被重复计算了一次，所以需要减去重复的部分。 【规范解答】6×4－4 ＝24－4 ＝20（人） 所以，小明所在班级一共要准备20束鲜花。 5．（23-24四年级下·江苏扬州·期末）学校航模队的同学用无人机进行演出，无人机共排成6行，每行6架。最外圈的无人机闪烁红灯，其余的闪烁黄灯，闪烁红灯的有( )架。 【答案】20 【思路引导】可以将无人机排列的图形看作一个长方形，因为“最外圈的无人机闪烁红灯，其余的闪烁黄灯”，那么闪烁黄灯的行数为6－2＝4（行），每行为6－2＝4（架），计算出闪烁黄灯的无人机架数然后再用无人机总数减去黄灯数，则可求出红灯数，据此解答。 【规范解答】根据分析可知： 黄灯：4×4＝16（架） 总数：6×6＝36（架） 红灯：36－16＝20（架） 即闪烁红灯的有20架。 6．如图，由四个一样大的小长方形和一个边长是4分米的小正方形拼成了一个边长是24分米的大正方形。每个小长方形的周长是________分米，面积是________平方分米。    【答案】 48 140 【思路引导】由图可知小长方形的长与宽的差是4分米，小长方形的长与宽的和即大正方形的边长，小长方形长与宽的和是24分米，若给宽增加4分米，此时长与宽相等，所以先求出24与4的和，再除以2即为小长方形的长，根据长与宽的数量关系，给长减4即可得到小长方形的宽，根据长方形周长公式，先求出长与宽的和，再乘2即为周长，根据面积公式求出长与宽的积即为面积。 【规范解答】长方形的长是： （分米） 长方形的宽是：（分米） 长方形的周长是： （分米） 长方形的面积是：（平方分米） 每个小长方形的周长是48分米，面积是140平方分米。 【考点剖析】和差问题中，较大数＝（和＋差）÷2，较小数＝较大数－差。 7．（23-24四年级下·江苏南京·期末）看图列式并解答。 【答案】145本；115本 【思路引导】根据题图可知，科技书和故事书一共有260本，故事书比科技书少30本；求科技书和故事书各有多少本。先用260加上30，求出科技书的2倍，再除以2即可求出科技书是多少本，用科技书的本数减去30，即可求出故事书的本数；据此解答。 【规范解答】（260＋30）÷2 ＝290÷2 ＝145（本） 145－30＝115（本） 科技书有145本；故事书有115本。 8．（23-24四年级下·山西大同·期末）我国的地形丰富。地貌多样，呈现出了很多美景，使得旅游已成为人们度假的热门方式。“五一”假期，苗苗的爸妈带着她和朋友们一起组团外出旅游，她们提前在网上预定宾馆，以下就是她们预定的宾馆的价格表。 单人间 双人间 三人间 160元/间 180元/间 240元/间 我们一共14人，怎样选择房间，钱数最少呢？ 【答案】 住4个三人间和一个双人间；1140元 【思路引导】先分别求出三种房间的人均价格是多少，尽量选择人均便宜的，然后看剩下的人数是否正好可以住另外两种房间，用每种房型的单价乘需要选择的房间数量，据此即可求出需要花多少钱。 【规范解答】240÷3＝80（元） 180÷2＝90（元） 80＜90＜160，所以三人间最便宜。 14÷3＝4（间）……2（人） 2人正好可以住一个双人间。 240×4＋180 ＝960＋180 ＝1140（元） 答：住4个三人间和一个双人间，一共花1140元。 9．（24-25四年级下·江苏南京·期末）一种铁合金管每米重5千克，每根长8米，运送这样的铁合金管130根，用一辆载重5吨的货车一次可以运完吗？ 【答案】不可以 【思路引导】已知铁合金管每米重5千克，每根管子长8米，那么一根管子的重量就是每米的重量乘长度，一共有130根，所以130根管子的总重量为一根管子的重量乘管子的数量。因为货车载重是以“吨”为单位，而管子总重量是“千克”，需要将单位统一。1吨等于1000千克，那么5吨换算成千克要乘进率1000。最后比较管子总重量和货车载重。 【规范解答】5×8×130 ＝40×130 ＝5200（千克） 5吨＝5000千克 5200＞5000 答：用一辆载重5吨的货车一次不可以运完。 10．（24-25四年级下·河南洛阳·期末）在航天科技实验室中，机器人团队排列成一个矩形方阵进行程序调试。每行8个，需要排成6行，最外圈的机器人用于空间勘测，其余的用于空间站服务。两种机器人各需要多少个？（建议：可以先画方阵图再解决问题） 【答案】空间勘测：24个；空间站服务：24个 【思路引导】根据题意，可以用红色表示空间勘测，白色表示空间站服务的机器人，每行8个，排成6行，画出示意图。用每行的个数乘行数就是机器人总个数。空间站服务的机器人共有4行，每行6个，用4乘6算出用于空间站服务的机器人个数。再用总个数减去空间服务的机器人个数就是空间勘测的机器人个数。 【规范解答】如图： 总个数：8×6＝48（个） 空间站服务的机器人有： （8－2）×（6－2） ＝6×4 ＝24（个） 空间勘测的机器人有： 48－24＝24（个） 答：空间勘测需要24个，空间站服务也需要24个。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25四年级下·江苏苏州·期末）从甲杯往乙杯倒入50毫升水后，两个杯子中的水同样多。下面线段图中可以表示这一数量关系的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据“从甲杯往乙杯倒入50毫升水后，两个杯子中的水同样多”这一条件，分析出原来甲杯和乙杯的水量关系，再据此判断各个选项。从甲杯往乙杯倒入50毫升水后两个杯子中的水同样多，这说明原来甲杯中的水比乙杯多，多出来的部分是倒入乙杯的50毫升的2倍，即50×2＝100（毫升），也就是说原来甲杯的水比乙杯多100毫升。比较选项做出解答即可。 【规范解答】A．从图中可以看出甲杯比乙杯多的部分是两个50毫升，即甲杯比乙杯多50×2＝100（毫升），符合原来甲杯比乙杯多100毫升的关系。 B．从图中可以看出甲杯比乙杯多的部分是1个50毫升，不符合原来甲杯比乙杯多100毫升的关系。 C．从图中可以看出甲杯比乙杯多的部分大于1个50毫升，但不足100毫升，不符合原来甲杯比乙杯多100毫升的关系。 D．从图中可以看出甲杯比乙杯多的部分小于1个50毫升，不符合原来甲杯比乙杯多100毫升的关系。 根据分析可得，A选项线段图中可以表示这一数量关系。 故答案为：A 2．（24-25四年级下·江苏宿迁·期末）运动会开幕式上，四（7）班同学方阵表演，每行7人，有7行。最外圈同学手持鲜花，其余同学手持气球，四（7）班手持气球的有（    ）人。 A．21 B．25 C．28 D．36 【答案】B 【思路引导】根据方阵问题，最外圈人数＝（每边人数－1）×4，方队每行7人，有7行，用（7－1）×4，求出最外圈人数，再用每行的人数乘行数，求出总人数，然后用总人数减去最外圈人数，即可求出四（7）班手持气球的有多少人。 【规范解答】（7－1）×4 ＝6×4 ＝24（人） 7×7－24 ＝49－24 ＝25（人） 运动会开幕式上，四（7）班同学方阵表演，每行7人，有7行。最外圈同学手持鲜花，其余同学手持气球，四（7）班手持气球的有25人。 故答案为：B 3．（24-25四年级下·江苏苏州·期末）根据下面的线段图中的信息，李欢列式“（105＋15）÷2”，她解决的问题是（    ）。 A．科技书有多少本 B．文艺书有多少本 C．科技书比文艺书多多少本 D．把多少本科技书换成文艺书，两种书就同样多 【答案】A 【思路引导】由图可知，文艺书比科技书少15本，文艺书和科技书一共有105本。在算式“（105＋15）÷2”中，105＋15算的是科技书的2倍有多少本，然后再除以2算的是科技书有多少本。 【规范解答】由分析得，算式“（105＋15）÷2”解决的是科技书有多少本。 故答案为：A 4．（24-25四年级下·江苏扬州·期末）娟娟和宁宁一共有56张画片，宁宁送给娟娟6张后，两人的画片同样多。娟娟原有画片( )张，宁宁原有画片( )张。 【答案】 22 34 【思路引导】由题意得，娟娟和宁宁一共有56张画片，宁宁送给娟娟6张后，两人的画片同样多。宁宁送给娟娟6张画片后，两人拥有画片的总数不变，直接用56除以2可以算出两人现在分别有多少张画片。然后再用得数减去6张或加上6张即可分别算出娟娟和宁宁原来各有画片多少张。 【规范解答】56÷2＝28（张） 28－6＝22（张） 28＋6＝34（张） 故娟娟原有画片22张，宁宁原有画片34张。 5．（24-25四年级下·海南省直辖县级单位·期末）一个减法算式，已知被减数是628，减数与差相等，则减数是( )。 【答案】314 【思路引导】减数与差相等，由此可知被减数是减数的2倍，用628除以2即可求出减数。 【规范解答】628÷2＝314 一个减法算式，已知被减数是628，减数与差相等，则减数是314。 6．看图列式并解答。 【答案】玫瑰有130枝，百合有110枝 【思路引导】根题图可知，百合比玫瑰少20枝，百合和玫瑰共240支，则百合有（240－20）÷2枝，玫瑰有（240＋20）÷2枝。 【规范解答】（240－20）÷2 ＝220÷2 ＝110（枝） （240＋20）÷2 ＝260÷2 ＝130（枝） 则玫瑰有130枝，百合有110枝。 7．（24-25四年级下·江苏淮安·期末）看图编题，再解答。 我编的题是： 我的解答是： 【答案】文艺书比科技书少15本，文艺书和科技书一共有105本，求两种书各有多少本？ 科技书60本，文艺书45本。 【思路引导】根据关系图可知，文艺书比科技书少15本，文艺书和科技书一共有105本，求两种书各有多少本；先用105加上文艺书比科技书少的15本，即可求出科技书本数的2倍是多少，除以2即可求出科技书有多少本；用科技书的本数减15本即可求出文艺书的本数。 【规范解答】我编的题是：文艺书比科技书少15本，文艺书和科技书一共有105本，求两种书各有多少本？ （105＋15）÷2 ＝120÷2 ＝60（本） 60－15＝45（本） 答：科技书有60本，文艺书有45本。 8．（24-25四年级下·江苏南通·期末）农场主有五捆干草。在把它们交给一位客户之前，他吩咐手下称一称它们的重量。这个愚蠢的家伙却用了所有可能的组合方式把它们两捆一称，然后告诉主人称出的重量（单位：千克）分别是：110，112，113，114，115，116，117，118，120和121，你能根据这些数据帮农场主算出这五捆干草每一捆单独重多少千克吗？ 【答案】五捆干草分别重54千克、56千克、58千克、59千克、62千克。 【思路引导】已知称出的两捆组合重量分别是110，112，113，114，115，116，117，118，120和121。把这十个重量加起来得出十次的总重量；因为每个捆干草都被称了4次（例如第一捆与第二捆称一次，第一捆又会与第三捆、第四捆、第五捆分别称一次），所以将总和除以4就得到五捆干草的总重量。 按重量大小的顺序称这五捆干草为A，B，C，D，E，其中A为最轻，E为最重。 最轻的重量110千克一定是A和B的重量和，即A＋B＝110； 第二轻的重量112千克，一定是A和C的重量和，即A＋C＝112； 最重的两捆干草D和E，其重量和一定是121千克，即D＋E＝121； 第二重的重量120千克，一定是C和E的重量和，即C＋E＝120； 那么A、B、D、E的重量和为（A＋B）＋（D＋E）＝110＋121＝231（千克） 用五捆干草的总重量减去A、B、D、E的重量和231千克，就得到C的重量；再计算出其他四捆干草的重量即可。 【规范解答】110＋112＋113＋114＋115＋116＋117＋118＋120＋121 ＝（110＋120）＋（112＋118）＋（113＋117）＋（114＋116）＋（115＋121） ＝230＋230＋230＋230＋236 ＝920＋236 ＝1156（千克） 1156÷4＝289（千克） A＋B＋C＋D＋E＝289 A＋B＝110； A＋C＝112； D＋E＝121； C＋E＝120； C捆：289－（110＋121） ＝289－231 ＝58（千克） A捆：112－58＝54（千克） E捆：120－58＝62（千克） D捆：121－62＝59（千克） B捆：110－54＝56（千克） 答：五捆干草分别重54千克、56千克、58千克、59千克、62千克。 9．（23-24四年级下·江苏苏州·期末）包粽子是我国端午节的传统习俗。亮亮一家和邻居们一起参加了“粽叶飘香，品味端午”的包粽子活动。他们分为两组，第一组包的总个数比第二组的3倍还多6个，两组共包了146个粽子。你能提出一个问题并解答吗？（先画线段图表示条件和问题，再解答）（1＋2＋3＝6分） 提问：______________________________？ 线段图： 列式并解答： 【答案】第二组包了多少个粽子？ 线段图见详解； 35个 【思路引导】根据“第一组包的总个数比第二组的3倍还多6个”，把第二组包的个数看作1份，则第一组包的个数是3份还多6个；还知两组共包了146个粽子，可以求1份数第二组包了多少个粽子，据此提问；（答案不唯一） 画线段图时，先用一条线段表示1份数，即第二组包的个数，再画出第二条线段，长度是3个第一条线段还多一点，并将多一点标注为“多6个”，再把两条线段括起来表示两组共包的个数，并标上“146个”，最后在第二组线段上标上“？个”；据此作线段图； 根据分析可知：把第二组看作1份，则第一份是3份还多6个，则从总数146个里面减去6个后，剩下的就是1＋3＝4份的个数，再用剩下的总个数除以4份，得到每份数，即是第二组包的个数。据此解答。 【规范解答】提问：第二组包了多少个粽子？（答案不唯一） 线段图： 列式解答： （146－6）÷（1＋3） ＝140÷4 ＝35（个） 答：第二组包了35个。 【考点剖析】本题主要考查对和倍问题数量关系的理解，要抓住关键条件“第一组包的总个数比第二组的3倍还多6个”分清一倍数和几倍数，从而找准总个数和总份数，求到一份数。 10．徐大伯家有一个长方形菜园，种白菜的面积比菜园面积的一半还多15平方米，剩下的面积一半种茄子，还剩下25平方米种西红柿。这个菜园有多少平方米？（先在图中表示出茄子、白菜和西红柿的种植面积，再解答） 【答案】 130平方米 【思路引导】根据题意，可得种的白菜的面积比菜园的一半还多15平方米，剩下的面积一半种茄子，还剩下25平方米种西红柿，由此可知种茄子和种西红柿的面积相等，则菜园面积的一半是种茄子和种西红柿的面积只和还多15平方米，再进一步求出这个菜园的面积是多少平方米即可解答。 【规范解答】 25×2＋15 ＝50＋15 ＝65（平方米） 65×2＝130（平方米） 答：这个菜园有130平方米。 【考点剖析】此题主要考查了乘法、加法的意义的应用，解答此题的关键是判断出：种茄子和西红柿的面积之和比菜园总面积的一半少15平方米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $