专题11 一元二次不等式的解法 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题11 一元二次不等式的解法 1、 知识梳理 1、一元二次不等式的定义及形式 1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式称为一元二次不等式. 2）一元二次不等式的一般形式： >0或 3）一元二次不等式的解集：满足一元二次不等式的未知数的取值集合，称为这个不等式的解集. 2、一元二次不等式的解法 1）把二次项系数等价转化为正数． 2）将分解因式（求根公式法、十字相乘法、提取公因式法）求出方程+bx+c=0的根. 3）得出解集：两根之外（大于大的或小于小的）. 两根之内（大于小的且小于大的） 3、一元二次不等式恒成立的条件 恒成立条件：a>0且Δ<0 恒成立条件：a<0且Δ<0 二、题型精练 题型1 一元二次不等式的解法 【典例1】．解下列不等式： (1) (2) 答案： (1) 解集为 ，即 。 (2) 解集为 ，即 。 分析： (1) 解一元二次不等式 ，先求对应方程的根，再利用二次函数图象确定解集。 (2) 先将不等式化为标准形式，再求解。 详解： (1)  判别式 ， 根 ， 得 ，。 抛物线开口向上，不等式小于0的解在两根之间， 故 。 (2)  移项得 ，两边乘 （不等号反向）： 。 判别式 ， 根 。 抛物线开口向上，不等式大于等于0的解在两根之外， 故  或 。 【典例2】．解下列不等式： (1) ( 答案： (1) 解集为 ，即 。 (2) 解集为 ，即 。 分析： 解一元二次不等式，先求对应方程的根，再根据二次函数图象确定解集。 详解： (1)  因式分解： 两根为  和 ，抛物线开口向上，大于0的解在两根之外， 故  或 。 (2)  两边乘 （不等号反向）： 因式分解： 两根为  和 ，抛物线开口向上，大于0的解在两根之外， 故  或 。 题型2 特殊的一元二次不等式的解法 【典例1】．解下列不等式： (1) (2) (3) 答案： (1) ，即 。 (2) 解集为 （无解）。 (3) 解集为 （无解）。 分析： 解一元二次不等式，先看判别式 ，再根据开口方向确定解集。 详解： (1)  方程有重根 ，抛物线开口向上，不等式大于0的解为 。 (2)  ，重根 ，抛物线开口向上，不等式小于0的解为空集 。 (3)  两边乘 （不等号反向）： ，抛物线开口向上且与  轴无交点，函数值恒大于0，故不等式  无解，原不等式也无解。 【典例2】. 解下列不等式： (2) (3) 答案： (1) 解集为 ，即 。 (2) 解集为 。 (3) 解集为 。 分析： 解一元二次不等式，先化简为标准形式，再根据判别式和开口方向判断解集。 详解： (1)  展开： 移项： 重根 ，开口向上，不等式大于0的解为 。 (2)  乘  得  ，开口向上且与  轴无交点，函数值恒正，故不等式小于0无解。 (3)  即 ，平方非负，不可能小于0，无解。 题型3 含参数的一元二次不等式的解法 【典例1】．若-1<a<0，则不等式(x-a)的解是 ( ) A. B.或x<a} C. D.或x>a} 答案： C 分析： 已知 ，则 ，，且 （因为负数越小，其倒数绝对值越大）。 不等式  的解在两根之间。 详解： 由  得： · ，，且 （例如 ，则 ，）。 所以两根中 （因为 ，，-2 < -0.5）。 抛物线  开口向上，小于 0 的解在两根之间，即 。 检查符号：若 ，则 ，解集为 ，符合选项 C。 【典例2】. 关于x的不等式的解为R，则实数m的取值范围是( ) A.{m|0<m<4} B.{m|m<-2或m>2} C.{m|-2≤m≤2} D.{m|-2<m<2} 答案： 实数  的取值范围是 ，选 D。 分析： 不等式  对任意实数  恒成立，即二次函数  的图象全部在  轴上方，故判别式  且开口向上（开口向上显然成立）。 详解： 要求 ，即： 解得： 因此  的取值范围是 。 选 D。 题型4 一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系 【典例1】．若不等式{x|x＜-1或x＞2}，求a、b的值 答案： ，。 分析： 不等式  的解集为  或 ，说明对应方程  的两根为  和 ，且抛物线开口向下（因为小于0的解在两根之外）。 详解： 1. 由根与系数的关系（韦达定理）： 2. 检查：，抛物线开口向下，不等式  的解集为  或 ，符合题意。 【典例2】. 若不等式（-1，6），求a、b的值 答案： ，。 分析： 不等式  的解集为 ，说明方程  的两根是  和 ，且抛物线开口向上（ 系数为正），小于 0 的解在两根之间。 详解： 由根与系数的关系（韦达定理）： 因此： 题型5 一元二次不等式恒成立条件 【典例1】．若一元二次不等式  的解集为R，求实数a范围. 答案： 实数  的取值范围是 。 分析： 不等式  对任意实数  恒成立，需分  和  讨论。 详解： 1. 当  时 原不等式化为 ，恒成立，符合条件。✅ 2. 当  时 二次函数  要恒正，需满足： · 开口向上： · 判别式  计算 ： 要求  且 ： 解得 。 3. 综合两种情况  或 ，即 。 【典例2】. 关于x的不等式1<0解集是R，求实数a的取值范围. 答案： 实数  的取值范围是 。 分析： 不等式  的解集为 ，即对一切实数  恒成立。需分两种情况讨论： 1. 二次项系数为零（退化一次）； 2. 二次项系数不为零（二次不等式）。 详解： 1. 当  时，即  或 。 · 若 ，原式变为 ，恒成立 ✅ · 若 ，原式变为 ，即 ，解集不是  ❌ 故只取 。 2. 当  时，为二次不等式，要解集为 ，需： · 开口向下： ⇒  · 判别式  计算判别式： 令 ： 解方程 ，得  或 ， 故解集为 。 结合开口向下条件 ，得 。 3. 综合 将  与  合并，得 。 三、知识检测 1．不等式(x-1)(x-2)<0的解集是 ( ) A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-2,-1) D.(-∞,-2)∪(-1,+∞） 答案：A 分析： 不等式  表示两个因式异号。抛物线  开口向上，小于0的解在两根之间。 详解： 方程  的根为  和 。 抛物线开口向上，不等式小于0的解集为 ，即 。 2．不等式的解集是 ( ) A.{x|x<-1} B. C. D.{x|x<-1，或 答案： 解集是 ，选 D。 分析： 解一元二次不等式 ，先化为 ，再因式分解求根。 详解： 原式： 两边乘 （不等号反向）： 因式分解： 两根为  和 ，抛物线开口向上，大于0的解在两根之外， 故  或 。 3．不等式的解集为 ( ) A. B C. D. 答案： 解集为 ，选 C。 分析： 解一元二次不等式 ，先化为标准形式 ，再因式分解求根。 详解： 原式： 两边乘 （不等号反向）： 因式分解： 两根为  和 ，抛物线开口向上，小于0的解在两根之间， 故 。 4．不等式(x-2)(2x-3)>0的解集是( ) A. B.R C. D.Ø 答案： 解集为 ，选 A。 分析： 不等式  表示两个因式同号。分别解两种情况。 详解： 方程  的两根为  和 。 因式乘积大于 0 的解集为两根之外，即  或 。 用区间表示为 。 5．已知集合-5x-6<0}，则M∪N=（ ） A.{x|-1<x<2} B.{x|-4<x<2} C.{x|-4<x<6} D.{x|2<x<6} 答案： ，选 C。 分析： 先化简 ，再求并集。 详解： 1. 解 ： 因式分解得  解为 ，即 。 2. 3. 并集： 因此 。 6．在下列不等式中，解集为空集的是( ) A. B. C. D. 答案： 解集为空集的是 B（）。 分析： 解集为空集即不等式无实数解。观察二次函数的开口方向和判别式。 详解： A.  ，有解，不是空集 ❌ B.  ，开口向上，函数值恒正，不等式小于0无解 ✅ C.  ，有解，不是空集 ❌ D.  ，开口向上，函数值恒正，不等式大于0恒成立，解集为 ，不是空集 ❌ 7．不等式的解集是 ( ) A.[1,+∞) B. C.(-∞,1)∪(2,+∞) D. 答案： 解集为 ，选 D。 分析： 解不等式 ，先解方程  求出两根，再利用二次函数开口方向判断解集。 详解： 判别式： 抛物线  开口向上，大于 0 的解集在两根之外： 用区间表示为  8．关于x的不等式的解集是，则a+b等于( ) A.-7 B.7 C.-5 D.5 答案： ，选 A。 分析： 已知不等式  的解集是 ，说明对应方程  的两根为  和 ，且抛物线开口向下（因为大于0的解在两根之间）。 详解： 1. 由韦达定理： 2. 两根之积： 3. 于是： 9．已知二次方程的两个根是-1和3，则不等式的解集为（ ） A.{x|-3<x<1} B.{x|-1<x<3} C.{x|x>1或x<-3} D.{x|x>3或x<-1} 答案： 解集为 ，选 B。 分析： 已知 ，抛物线开口向下，方程两根为  和 ，不等式  的解集为两根之间。 详解： 开口向下，大于0的解集在两根之间，所以解集为 ，即 。 10．解不等式 ( ) A.[-4,-3]∪[1，2] B.[-4,-3] C.[1，2] D.[-4,-3]∩[1，2] 答案： 解集为 ，选 A。 分析： 解不等式  可拆为两个不等式： 详解： 1. 解  因式分解： 解集： 或 。 2. 解  因式分解： 解集：。 3. 取交集 · 左边部分： · 右边部分： 因此： 11．使式子有意义的实数x的取值范围是 答案： 实数  的取值范围是 。 分析： 要使  有意义，需满足： 根号内非负： 分母不为零：，即  详解： 两边乘 （不等号反向）： 因式分解： 解得 。 因此  的取值范围是 。 12.已知不等式恒成立，则a 的取值范围是 答案： 实数  的取值范围是 。 分析： 不等式  对所有实数  恒成立，即二次函数  的图像全部在  轴上方。 因抛物线开口向上，只需判别式 。 详解： 要求 ： 因此 。 13.关于x不等式恒成立，则实数a的取值范围是 答案： 实数  的取值范围是 。 分析： 不等式  对所有实数  恒成立，即二次函数开口向上，且与  轴无交点，因此判别式 。 详解： 要求 ： 解得 。 因此  的取值范围是 。 14.设实数a使方程有两个不等实根，求a的取值范围是 答案： 分析： 方程  有两个不等实根，则判别式 。 详解： 要求 ： 因式分解： 解为  或 。 因此  的取值范围是 。 15．解不等式(x-1)(x-a)≥0. 答案： 当  时，解集为 ； 当  时，解集为 ； 当  时，解集为 。 分析： 不等式  的解集取决于  与  的大小关系。需分三种情况讨论。 详解： 1. 若  两根为  和 ，且 ，抛物线开口向上，大于等于 0 的解集为  或 ，即 。 2. 若  不等式化为 ，对所有实数  成立，解集为 。 3. 若  两根为  和 ，且 ，抛物线开口向上，大于等于 0 的解集为  或 ，即 。 16. 已知不等式的解集为Ø，求实数m的取值范围. 答案： 实数  的取值范围是 。 分析： 不等式  的解集为空集，即对于所有实数 ，有  恒成立。 由于二次项系数 ，抛物线开口向上，只需判别式 。 详解： 要求 ： 解得： 因此  的取值范围是 。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 一元二次不等式的解法 1、 知识梳理 1、一元二次不等式的定义及形式 1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式称为一元二次不等式. 2）一元二次不等式的一般形式： >0或 3）一元二次不等式的解集：满足一元二次不等式的未知数的取值集合，称为这个不等式的解集. 2、一元二次不等式的解法 1）把二次项系数等价转化为正数． 2）将分解因式（求根公式法、十字相乘法、提取公因式法）求出方程+bx+c=0的根. 3）得出解集：两根之外（大于大的或小于小的）. 两根之内（大于小的且小于大的） 3、一元二次不等式恒成立的条件 恒成立条件：a>0且Δ<0 恒成立条件：a<0且Δ<0 二、题型精练 题型1 一元二次不等式的解法 【典例1】．解下列不等式： (1) (2) 【典例2】．解下列不等式： (1) ( 题型2 特殊的一元二次不等式的解法 【典例1】．解下列不等式： (1) (2) (3) 【典例2】. 解下列不等式： (2) (3) 题型3 含参数的一元二次不等式的解法 【典例1】．若-1<a<0，则不等式(x-a)的解是 ( ) A. B.或x<a} C. D.或x>a} 【典例2】. 关于x的不等式的解为R，则实数m的取值范围是( ) A.{m|0<m<4} B.{m|m<-2或m>2} C.{m|-2≤m≤2} D.{m|-2<m<2} 题型4 一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系 【典例1】．若不等式{x|x＜-1或x＞2}，求a、b的值 【典例2】. 若不等式（-1，6），求a、b的值 题型5 一元二次不等式恒成立条件 【典例1】．若一元二次不等式的解集为R，求实数a范围. 【典例2】. 关于x的不等式1<0解集是R，求实数a的取值范围. 三、知识检测 1．不等式(x-1)(x-2)<0的解集是 ( ) A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-2,-1) D.(-∞,-2)∪(-1,+∞） 2．不等式的解集是 ( ) A.{x|x<-1} B. C. D.{x|x<-1，或 3．不等式的解集为 ( ) A. B C. D. 4．不等式(x-2)(2x-3)>0的解集是( ) A. B.R C. D.Ø 5．已知集合-5x-6<0}，则M∪N=（ ） A.{x|-1<x<2} B.{x|-4<x<2} C.{x|-4<x<6} D.{x|2<x<6} 6．在下列不等式中，解集为空集的是( ) A. B. C. D. 7．不等式的解集是 ( ) A.[1,+∞) B. C.(-∞,1)∪(2,+∞) D. 8．关于x的不等式的解集是，则a+b等于( ) A.-7 B.7 C.-5 D.5 9．已知二次方程的两个根是-1和3，则不等式的解集为（ ） A.{x|-3<x<1} B.{x|-1<x<3} C.{x|x>1或x<-3} D.{x|x>3或x<-1} 10．解不等式 ( ) A.[-4,-3]∪[1，2] B.[-4,-3] C.[1，2] D.[-4,-3]∩[1，2] 11．使式子有意义的实数x的取值范围是 12.已知不等式恒成立，则a 的取值范围是 13.关于x不等式恒成立，则实数a的取值范围是 14.设实数a使方程有两个不等实根，求a的取值范围是 15．解不等式(x-1)(x-a)≥0. 16. 已知不等式的解集为Ø，求实数m的取值范围. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $