专题16 函数的单调性 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版）

该中职数学资料聚焦函数的单调性，从增减函数定义出发，明确单调区间概念，归纳正比例、一次、二次、反比例函数的单调性特征，再通过定义法证明单调性的步骤，构建从概念到应用的学习支架。 知识链路以“定义-实例-证明-应用”为逻辑主线，知识点梳理条理清晰，题型精练涵盖图象判定、定义证明及单调性应用三类典型问题。通过具体函数实例和阶梯式习题设计，培养学生用数学眼光观察函数变化规律，用数学思维进行逻辑推理，提升数学语言表达的准确性与应用意识。

专题16 函数的单调性 一、知识梳理 1. 增、减函数 如果在给定的区间上自变量增大（减小）时，函数值也随着增大（减小），这时称函数在这个区间上是增函数，即时，f(x)为增函数. 如果在给定的区间上自变量增大（减小）时，函数值反而随着减小（增大），这时称函数在这个区间上是减函数，即时，f(x)为减函数. 2. 单调区间 如果一个函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，函数在这个区间上具有（严格的）单调性，这个区间就称为这个函数的单调区间.函数的单调区间，一般是指保持函数单调性的最大区间. 常见函数的单调性如下： ①正比例函数f(x)=kx(k≠0) k>0，在R上是增函数； k<0，在R上是减函数. ②一次函数y=kx+b(k≠0) k>0，在R上是增函数；k<0，在R上是减函数. ③二次函数 若a>0，在上是减函数，在上是增函数； 若a<0，在上是增函数，在上是减函数. ④反比例函数） k>0时，在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数. k<0时，在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函数. 3.由函数的解析式判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤 ①取值：在给定区间上任取两个不相等的实数 则 ②计算（一一般写成因式相乘的形式）； ③判断的符号； ④结论：当时，函数在这个区间上是增函数； 当时，函数在这个区间上是减函数。 二、题型精练 题型1 由图象判定函数的单调性 【典例1】．下图为函数y=f(x),x∈[-6,8]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间 【典例2】．观察下列函数的图象，指出它的单调区间 (1)(3)） 题型2 利用定义证明函数的单调性 【典例1】．判断函数在区间(-∞.0)上的单调性并证明 【典例2】. 函数在区间(-∞,0)上是减函数. 题型3 函数单调性的应用 【典例1】．已知函数f(x)在区间[0,+∞)上为减函数，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【典例2】. 已知函数f(x)在R上是增函数，求满足条件的实数a的取值范围. 三、知识检测 1．下列函数中，在区间[1,+∞)上是增函数的是 ( ) A.y=-2x+1 B.y= -x C. D. 2．如果定义在R上的函数f(x)对任意两个互不相等的实数a,b，总有成立，那么一定有 ( ) A.f(x)在R上是减函数 B.f(x)在R上是增函数 C.f(x)在（a,b）上是减函数 D.f(x)在R上不具有单调性 3．已知函数f(x)在区间［-4,-2］上是增函数，则( ) A. f(-2)>f(-3) B.f(-2)＜f(-3) C. f(-2=f(-3) D.f(-2)与f(-3)的大小关系无法确定 4．设函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数，则有( ) A. B. C. D. 5．下列说法正确的有( )个 ①若当时，则y=f(x)在I上是增函数； ②函数在R上是增函数； ③函数在定义域上是增函数 ④的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞) A.1 B.2 C.3 D.0 6．若函数y=f(x)在(0,+∞)上是减函数，则( ) A.f(1)>f(2) Bf(1)＜f(2) C.f(-1)>f(-2) D.f(-1)＜f(-2) 7．已知y=f(x)在定义域（-1,1）上是减函数，且，则a的取值范围( ) A.（0，1） B.（-2，1） C.（0，） D.（0，2） 8．函数的单调递增区间为( ) A.（ B.[0，+） C.（0，+） D.（，+） 9．在[3，4]的最大值为( ) A.2 B. C. D.4 10． 已知函数f(x)=在区间（上是减函数，则实数a的取值范围是( ) A.[1，+） B.（ C..[-1，+） D.（ 11．已知函数f(x)=在（2）上是减函数，则m与2的关系是（    ） A．m≥2 B．m≤2 C．m≠2 D．无法比较 12．下列函数中，在区间（0，+）内不是单调递增的是（　　） A． B． C． D． 13．已知函数f(x)在区间[0，+）上是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系是（ ） A．f()＞f(2)＞f(3) B．f(3)＞f()＞f(2) C．f(2)＞f(3)＞f() D．f()＞f(3)＞f(2) 14．已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，a∈R比较大小： 15．函数的单调递减区间是 . 16．函数，的值域为 . 17．证明：函数在区间[0,+∞)上是减函数. 18．若函数y=f(x)是定义在（1,4）上单调递减函数，且，求t的取借范围 19．设函数f(x)在R上是减函数，且f(5+2a)<f(5-2a)，求a的取值范围. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 函数的单调性 一、知识梳理 1. 增、减函数 如果在给定的区间上自变量增大（减小）时，函数值也随着增大（减小），这时称函数在这个区间上是增函数，即时，f(x)为增函数. 如果在给定的区间上自变量增大（减小）时，函数值反而随着减小（增大），这时称函数在这个区间上是减函数，即时，f(x)为减函数. 2. 单调区间 如果一个函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，函数在这个区间上具有（严格的）单调性，这个区间就称为这个函数的单调区间.函数的单调区间，一般是指保持函数单调性的最大区间. 常见函数的单调性如下： ①正比例函数f(x)=kx(k≠0) k>0，在R上是增函数； k<0，在R上是减函数. ②一次函数y=kx+b(k≠0) k>0，在R上是增函数；k<0，在R上是减函数. ③二次函数 若a>0，在上是减函数，在上是增函数； 若a<0，在上是增函数，在上是减函数. ④反比例函数） k>0时，在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数. k<0时，在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函数. 3.由函数的解析式判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤 ①取值：在给定区间上任取两个不相等的实数 则 ②计算（一一般写成因式相乘的形式）； ③判断的符号； ④结论：当时，函数在这个区间上是增函数； 当时，函数在这个区间上是减函数。 二、题型精练 题型1 由图象判定函数的单调性 【典例1】．下图为函数y=f(x),x∈[-6,8]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间 答案： 见详解 分析： 见详解 详解： 当x=5时，函数的最大值为5； 当x=-4时，函数的最小值为-3； 函数的增区间为：（-4，0], （2，5]; 函数的减区间为：[-6，-4], （0，2]，（5，8]; 【典例2】．观察下列函数的图象，指出它的单调区间 (1)(3)） 答案： 见详解 分析： 见详解 详解： （1）单调增区间为（-∞，+∞） （2）单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（-∞，1] （3）单调减区间为（0，+∞） 题型2 利用定义证明函数的单调性 【典例1】．判断函数在区间(-∞.0)上的单调性并证明 答案： 函数  在区间  上单调递减。 分析： 用定义法证明：任取 ，且 ，判断  的符号。 详解： 设 ，且 。 因为 ，所以 ，且 （同号为正），因此： 即 。 由定义，当  时 ，所以  在  上单调递减。 【典例2】. 函数在区间(-∞,0)上是减函数. 答案： 正确（是减函数）。 分析： 用定义法或导数法判断单调性。 详解： 定义法： 设 ，且 。 因为 ，且 （两个负数相加为负），所以 （负×负=正），因此： 所以当  时，，函数在  上单调递减。 题型3 函数单调性的应用 【典例1】．已知函数f(x)在区间[0,+∞)上为减函数，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 答案： ，选 A。 分析： 已知  在  上为减函数，因此自变量越大，函数值越小。 比较  与  的大小。 详解： 所以 。 由于  在  上单调递减，自变量越大，函数值越小，因此： 即 。 当  时，两者相等；当  时，前者大于后者。因此选 A（包含相等情况）。 【典例2】. 已知函数f(x)在R上是增函数，求满足条件的实数a的取值范围. 答案： 实数  的取值范围是  或 。 分析： 因为  在  上是增函数，所以  等价于 。 详解： 解得  或 。 因此  的取值范围是 。 三、知识检测 1．下列函数中，在区间[1,+∞)上是增函数的是 ( ) A.y=-2x+1 B.y= -x C. D. 答案： 在区间  上是增函数的是 D（）。 分析： 逐个判断函数的单调性。 详解： A. ：斜率为负，在  上单调递减 ❌ B. ：斜率为负，单调递减 ❌ C. ：在  上单调递减 ❌ D. ：开口向上，对称轴 ，在  上单调递增 ✅ 2．如果定义在R上的函数f(x)对任意两个互不相等的实数a,b，总有成立，那么一定有 ( ) A.f(x)在R上是减函数 B.f(x)在R上是增函数 C.f(x)在（a,b）上是减函数 D.f(x)在R上不具有单调性 答案： 一定有 B（ 在  上是增函数）。 分析： 条件  对任意互不相等的实数  成立，意味着当  时，；当  时，。这正是增函数的定义。 详解： · 若 ，则 ，由  得 ，即 。 · 若 ，同理可得 。 因此  在  上是增函数，选 B。 3．已知函数f(x)在区间［-4,-2］上是增函数，则( ) A. f(-2)>f(-3) B.f(-2)＜f(-3) C. f(-2=f(-3) D.f(-2)与f(-3)的大小关系无法确定 答案： ，选 A。 分析： 函数  在区间  上是增函数，且 ，所以自变量越大，函数值越大。 详解： 因为 ，且两者都在区间  内，由增函数定义得： 4．设函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数，则有( ) A. B. C. D. 答案： ，选 D。 分析： 一次函数  在  上是减函数，当且仅当斜率 。 详解： 5．下列说法正确的有( )个 ①若当时，则y=f(x)在I上是增函数； ②函数在R上是增函数； ③函数在定义域上是增函数 ④的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞) A.1 B.2 C.3 D.0 答案： D。 分析： 逐个判断每个说法的正确性。 详解： ① 若 ，当  时 ，则  在  上是增函数。 这是增函数的定义，但要注意是对 任意  都成立，❌ ②  在  上是增函数？ 错，它在  上递减， 上递增，在  上不是单调的 ❌ ③  在定义域上是增函数？ 定义域为 ，它在两个区间内分别递增，但不能说在整个定义域上递增（因为  时值域为 ， 时值域为 ，取  时  但 ，不满足递增），所以 ❌ ④  的单调区间是  严格说单调区间应分开写为  和 ，不能写成并集（因为并集不是区间，且函数在并集上不单调），所以该说法不严谨，通常判为 ❌ 6．若函数y=f(x)在(0,+∞)上是减函数，则( ) A.f(1)>f(2) Bf(1)＜f(2) C.f(-1)>f(-2) D.f(-1)＜f(-2) 答案： ，选 A。 分析： 函数在  上是减函数，因此自变量越大，函数值越小。 1 和 2 都在该区间内，且 ，所以 。 详解： A.  ⇒  ✅ B.  ⇒  ❌ C.  不在区间  内，不能判断 ❌ D. 同 C ❌ 7．已知y=f(x)在定义域（-1,1）上是减函数，且，则a的取值范围( ) A.（0，1） B.（-2，1） C.（0，） D.（0，2） 答案：  的取值范围是 ，选 A。 分析： 由  在  上为减函数，不等式  等价于 ，且自变量需在定义域内。 详解： 1. 自变量在定义域内 取交集得 （因为 ）。 2. 由减函数得 3. 综合  且  ⇒ 。 因此 ，选 A。 8．函数的单调递增区间为( ) A.（ B.[0，+） C.（0，+） D.（，+） 答案： 单调递增区间为 ，选 A。 分析： 函数  是开口向下的抛物线，对称轴为 ，在对称轴左侧递增，右侧递减。 详解： · 当  时， 增大， 增大 → 递增。 · 当  时，函数值为 0，是最大值。 · 当  时，递减。 因此单调递增区间为 。 9．在[3，4]的最大值为( ) A.2 B. C. D.4 答案： 最大值为 2，选 A。 分析： 函数  在  上，分母  且单调递增，因此  单调递减。 详解： · 在区间  上， 随  增大而增大， 随之减小，所以  单调递减。 · 最大值在左端点  处取得： · 最小值在  处：。 因此最大值为 2，选 A。 10． 已知函数f(x)=在区间（上是减函数，则实数a的取值范围是( ) A.[1，+） B.（ C..[-1，+） D.（ 答案： 实数  的取值范围是 ，选 A。 分析： 二次函数  开口向上，对称轴 。 在区间  上是减函数，要求对称轴 （因为开口向上，对称轴左侧递减）。 详解： 对称轴 ，函数在  上递减，在  上递增。 要使  在  上递减，需 ，即 。 因此 ，选 A。 11．已知函数f(x)=在（2）上是减函数，则m与2的关系是（    ） A．m≥2 B．m≤2 C．m≠2 D．无法比较 答案： ，选 A。 分析： 函数  是开口向上的二次函数，对称轴为 。 在  上是减函数，要求区间  位于对称轴的左侧，即 。 详解： 二次函数在对称轴左侧单调递减，因此要使  在  上递减，需 ，即 。 所以 ，选 A。 12．下列函数中，在区间（0，+）内不是单调递增的是（　　） A． B． C． D． 答案： 在区间  内不是单调递增的是 C（）。 分析： 分别判断各函数在  上的单调性。 详解： A. ：斜率 ，单调递增 ✅ B. ：开口向上，对称轴 ，在  上单调递增 ✅ C. ：反比例函数，在  上单调递减 ❌ D. ：当  时， 且随  增大而增大（例如  时 ， 时 ），单调递增 ✅ 13．已知函数f(x)在区间[0，+）上是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系是（ ） A．f()＞f(2)＞f(3) B．f(3)＞f()＞f(2) C．f(2)＞f(3)＞f() D．f()＞f(3)＞f(2) 答案： ，选 D。 分析： 已知  在  上是增函数，且 ，因此函数值从小到大为 。 详解： 即 ，对应选项 D。 14．已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，a∈R比较大小： 答案： ，即前者 ≤ 后者。 分析： 比较  与  的大小，利用减函数性质：若自变量大，则函数值小。 详解： 所以 。 由于  在  上是减函数，自变量越大，函数值越小，因此： 当  时取等号。 因此填 。 15．函数的单调递减区间是 . 答案： 单调递减区间是 。 分析： 二次函数  开口向上，对称轴为 ，在对称轴左侧递减，右侧递增。 详解： 对称轴 ，开口向上，所以单调递减区间为 。 注意： 处可以包含在递减区间内，通常写法包含端点。 填：。 16．函数，的值域为 . 答案： 值域为 。 分析： 函数  是开口向上的二次函数，对称轴 ，在区间  上单调递减（因为对称轴在右侧）。 因此最小值在  处，最大值在  处。 详解： ·  时， ·  时， 值域为 。 17．证明：函数在区间[0,+∞)上是减函数. 答案： 函数  在区间  上是减函数。 分析： 用定义法证明：任取 ，且 ，证明 。 详解： 设 ，且 。 因为 ，所以 ，且 ，因此： 即 ，所以 。 由减函数定义，当  时 ，因此  在  上是减函数。 18．若函数y=f(x)是定义在（1,4）上单调递减函数，且，求t的取借范围 答案：  的取值范围是 。 分析： 函数  在  上单调递减，且 ，即 。 由减函数性质，自变量越大，函数值越小，所以  等价于 。 同时，自变量  和  必须在定义域  内。 详解： 1. 由单调递减得 解得  或 。 2. 自变量在定义域内 · ·  或  结合 ，得  且 ，即 。 3. 综合  且 ，得 。 因此 。 19．设函数f(x)在R上是减函数，且f(5+2a)<f(5-2a)，求a的取值范围. 答案：  的取值范围是 。 分析： 函数  在  上是减函数，因此  等价于 。 详解： 由减函数性质， 因此 。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $