专题15 函数的表示方法 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题15 函数的表示方法 一、知识梳理 1. 函数的表示方法 1）解析法：用数学表达式（如s=100t(0≤t≤2)）给出了函数的自变量t和因变量s的关系，这种表示函数的方法称为解析法（也称公式法），并且这个等式称为函数的解析式. 2）列表法：把函数的自变量和对应的因变量的值列成表格来表示函数，这种方法称为列表法. 3）图象法：用函数的图象来表示函数，这种方法称为图象法. 2.描点法作图 作函数图象时，经常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图象，这种方法称为描点作图法. 3.分段函数 1）分段函数 在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数称为分段函数. 2．分段函数的定义域、值域 分段函数的定义域是各段自变量的取值范围的并集；分段函数的值域是自变量在各段不同取值范围的集合的并集. 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数. 二、题型精练 题型1 函数的三种表示法的应用 【典例1】．某公共汽车行进的站数与票价关系如下表： 行进的站数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 票价 1 1 1 2 2 2 3 3 3 此函数的关系除了图表之外，能否用其他方法表示？ 【典例2】. 某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来 题型2 求函数的解析式 【典例1】．(1）已知求f(x)的解析式； （2）已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]=4x+8，求f(x)的解析式. （3）已知求f(x). 【典例2】. (1）已知反比例函数f(x)满足f(3)=-6,求f(x)的解析式； （2）已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x -3，求f(x)的解析式； （3）已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5，求f(x)的解析式； （4）已知，求f(x)的解析式. 题型3 分段函数及其图象 【典例1】．已知 （1）写出f(x)的定义域； （2）若，求x的取值范围； （3）求f(f(3))的值； （4）求f(x)的值域. 【典例2】.已知函数 （1）写出函数的单调递减区间； （2）写出不等式f(x)≥1的解集. 三、知识检测 1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加速行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( ) A. B. C. D. 2．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4}）的函数为( ) A.y=2x B.y=2x(x∈R) C.y=2x(x∈{1,2,3,⋯}) D.y=2x(x∈{1,2,3,4}) 3．已知函数由下表给出，则f(3)=( ) x 2 1 2 3 A.1 B.2 C.3 D.不存在 4．已知函数，则f(2)的值为( ) A.-2 B.6 C.1 D.0 5．已知函数，则f(t-1)=( ) A. B. C. D. 6． 下列图象是函数 的图象的是( ) A. B. C. D. 7．已知函数则f{f[f(-2)]}的值等于 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8．若函数，则f(2)+f(-2）的值等于( ) A.1 B.2 C. D. 9． 如图所示函数的解析式是( ) A. f(x)=x+1 B.f(x)=-x B. D. 10． 已知函数则f(0+f(1)+f(4)=( ) A.3 B.4 C.5 D. 11．下列各点在函数的图象上的是（    ） A．（1，3） B．（1，4） C．（-1，2） D．（2，4） 12．函数S=100t（0≤t≤2）的图象是（　　） A．点 B．直线 C．线段 D．曲线 13． 已知函数，且此函数图象过（5,4)，则实数m的值为 14．若函数，且f(a)=4,则实数a的值为 15． 已知函数 ，则f[f(-2)]= . 16.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 2 3 1 x 1 2 3 3 2 1 （1）则当g(f(x))=2时，x= （2）则f(g(2))= 17．函数，若f(a)=3，求a的值.. 18.已知函数，求不等式f(x)+1<0的解集 19．已知函数） （1）用分段函数的形式表示f(x); （2）写出函数f(x)的值域. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 函数的表示方法 一、知识梳理 1. 函数的表示方法 1）解析法：用数学表达式（如s=100t(0≤t≤2)）给出了函数的自变量t和因变量s的关系，这种表示函数的方法称为解析法（也称公式法），并且这个等式称为函数的解析式. 2）列表法：把函数的自变量和对应的因变量的值列成表格来表示函数，这种方法称为列表法. 3）图象法：用函数的图象来表示函数，这种方法称为图象法. 2.描点法作图 作函数图象时，经常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图象，这种方法称为描点作图法. 3.分段函数 1）分段函数 在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数称为分段函数. 2．分段函数的定义域、值域 分段函数的定义域是各段自变量的取值范围的并集；分段函数的值域是自变量在各段不同取值范围的集合的并集. 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数. 二、题型精练 题型1 函数的三种表示法的应用 【典例1】．某公共汽车行进的站数与票价关系如下表： 行进的站数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 票价 1 1 1 2 2 2 3 3 3 此函数的关系除了图表之外，能否用其他方法表示？ 答案： 见详解 分析： 见详解 详解： 解析式法：设票价为y元，行进的站数为x，则y= 图象法： 【典例2】. 某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来 答案： 见详解 分析： 见详解 详解： （1）列表法： （2）图象法： （3）解析式法：y=3000x，x∈{1，2，3…..，10} 题型2 求函数的解析式 【典例1】．(1）已知求f(x)的解析式； （2）已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]=4x+8，求f(x)的解析式. （3）已知求f(x). 答案： (1)  (2)  或  (3)  分析： (1) 换元法：令 ，则 ，代入原式化简。 (2) 设 ，代入  得恒等式，解 。 (3) 构造方程组法：用  替换原方程中的 ，再与原方程联立解出 。 详解： (1) 令 ，则 ， 所以 。 (2) 设 ， 已知 ，得： · 若 ，则 ，得 。 · 若 ，则 ，得 。 (3) 已知 ，① 将  替换为  得： ② 将②乘2得：， 减去①得： ⇒  所以 。 【典例2】. (1）已知反比例函数f(x)满足f(3)=-6,求f(x)的解析式； （2）已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x -3，求f(x)的解析式； （3）已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5，求f(x)的解析式； （4）已知，求f(x)的解析式. 答案： (1)  (2)  或  (3)  (4)  分析： (1) 反比例函数设为 ，代入  求 。 (2) 设 ，代入  解 。 (3) 设 ，代入三点求系数。 (4) 换元法：令 ，注意 ，用  表示  和 。 详解： (1) 设 ，由  得 ，所以 。 (2) 设 ，则 已知 ，得 · 若 ，则 ，得  · 若 ，则 ，得  (3) 设 ， 解方程组： 相减得 ，代入  得 ，所以 。 (4) 令 ，则 ，，且 。 已知 ，代入得： 所以 ，定义域 。 题型3 分段函数及其图象 【典例1】．已知 （1）写出f(x)的定义域； （2）若，求x的取值范围； （3）求f(f(3))的值； （4）求f(x)的值域. 答案： (1) 定义域为  (2)  或  或  (3)  (4) 值域为   分析： 函数  为分段函数： 详解： (1) 所有实数  都有定义，所以定义域为 。 (2) 解 ： · 当  时， ⇒  ⇒  或 ，结合区间得  或 。 · 当  或  时， 恒成立，取  或 。 合并得： 或  或 。 (3) （因为 ），再求 ，而  在  内，。 (4) 值域： · 当  时，。 · 当  或  时，。 所以整体值域为 ，即 ？ 但注意  在  时取到 ，在  时固定为 ，所以值域是 。 【典例2】.已知函数 （1）写出函数的单调递减区间； （2）写出不等式f(x)≥1的解集. 答案： (1) 单调递减区间为 。 (2) 不等式  的解集为 。 分析： 分段函数： 在  上， 单调递增；在  上， 单调递减。 详解： (1) 由分析知，单调递减区间为 。 (2) 解不等式 ： · 当  时， 得 。 · 当  时，（因 ），得 ，结合  得 。 取并集：。 但还要考虑  时 ，所以不对。 再检查第一段： 时  ⇒ 。 第二段  时 ，恒成立？不，，所以 ，结合  得 。 并集得 。 三、知识检测 1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加速行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( ) A. B.C. D. 答案： 分析： 详解： 由题意知，C选项合适 2．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4}）的函数为( ) A.y=2x B.y=2x(x∈R) C.y=2x(x∈{1,2,3,⋯}) D.y=2x(x∈{1,2,3,4}) 答案： D 分析： 根据题意，每听 2 元，购买  听，总价 ，但  只能取 1,2,3,4，所以定义域需明确。 详解： A. ：没写定义域，默认 ，不符合题意 ❌ B. ：定义域为全体实数，不符合 ❌ C. ：定义域为正整数，但题目要求 ，不是所有正整数 ❌ D. ：定义域与值域均符合题意 ✅ 3．已知函数由下表给出，则f(3)=( ) x 2 1 2 3 A.1 B.2 C.3 D.不存在 答案： 分析： 详解： 由题意知，C选项合适 4．已知函数，则f(2)的值为( ) A.-2 B.6 C.1 D.0 答案： ，选 B。 分析： 由 ，令 ，则 ，代入得 。 详解： 设 ，则 ， 所以 。 5．已知函数，则f(t-1)=( ) A. B. C. D. 答案： ，选 A。 分析： 将  代入 。 详解： 6． 下列图象是函数 的图象的是( ) A. B. C. D. 答案： 分析： 详解： 由题意知，D选项合适 7．已知函数则f{f[f(-2)]}的值等于 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案： 分析： 分段函数： 详解： 1. ： ⇒  2. ： ⇒  3. ： ⇒  8．若函数，则f(2)+f(-2）的值等于( ) A.1 B.2 C. D. 答案： ，选 A。 分析： 分别计算  和 ，再求和。 详解： 9． 如图所示函数的解析式是( ) A. f(x)=x+1 B.f(x)=-x D. 答案：C 分析： 详解： 有图像可知，函数为分层函数，排除A,B，当x=-1时，y=0，排除D 10． 已知函数则f(0+f(1)+f(4)=( ) A.3 B.4 C.5 D. 答案： 分析： 分段函数： 详解： · ： ⇒  · ： ⇒  · ： ⇒  11．下列各点在函数的图象上的是（    ） A．（1，3） B．（1，4） C．（-1，2） D．（2，4） 答案： 在图象上的点是 C．（-1,2）。 分析： 将各点的横坐标代入 ，看纵坐标是否相等。 详解： · A.（1,3）： ❌ · B.（1,4）： ❌ · C.（-1,2）： ✅ · D.（2,4）： ❌ 12．函数S=100t（0≤t≤2）的图象是（　　） A．点 B．直线 C．线段 D．曲线 答案： 图象是 C．线段。 分析： 函数  是正比例函数，定义域 ，对应图象是直线在  上的一部分，即一条线段（包括端点）。 详解： · 当  时， · 当  时， 图象为连接  与  的一条线段，不包括  或  的部分。 13． 已知函数，且此函数图象过（5,4)，则实数m的值为 答案： 。 分析： 函数  过点 ，即 。 详解： 因此 。 14．若函数，且f(a)=4,则实数a的值为 答案：  或 。 分析： 分段函数： 已知 ，分别讨论两种情况。 详解： 情况1： 4 满足 ，成立。 情况2： 成立。 因此  或 。 15． 已知函数 ，则f[f(-2)]= . 答案： 分析： 分段函数： 先求 ，再求 。 详解： 1. ： ⇒  2. ： ⇒  16.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 2 3 1 x 1 2 3 3 2 1 （1）则当g(f(x))=2时，x= （2）则f(g(2))= 答案： 分析： 详解： （1）由题意知，当g（f（x））=2时，f（x）=2，解得x=1 （2）由题意知，当g（2）=2时，f（g（2））=3 17．函数，若f(a)=3，求a的值.. 答案：  或 。 分析： 已知分段函数 ，分别在各段上求解，并检验是否符合定义域。 详解： 情况1： 但  不成立，舍去。 情况2：  和  均在  内，符合条件。 情况3： 但  不成立，舍去。 因此  或 。 18.已知函数，求不等式f(x)+1<0的解集 答案： 解集为 。 分析： 分段函数： 解不等式 ，即 ，分两部分求解。 详解： 情况1：  结合 ，得 ，即 。 情况2：  解得  或 ，结合  得 ，即 。 取并集： 19．已知函数） （1）用分段函数的形式表示f(x); （2）写出函数f(x)的值域. 答案： (1)  (2) 值域为 分析： 原函数 ，去掉绝对值后分段表示，再求值域。 详解： 当  时，，代入得： 因为定义域为 ，所以当  时，。 当  时，，代入得： 所以  在  上成立。 因此： 值域： · 当  时，（因为  时 ，但取不到 3； 时 ） · 当  时， 合并得值域为 。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $