专题14 函数的概念 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版）

该中职数学专题系统梳理了函数的概念知识体系。从函数定义出发，明确定义域、值域、函数值的概念，进而掌握函数的要素（定义域和对应法则）及同一个函数的判断标准，构建函数概念的基础认知支架。 知识链路按“定义-要素-应用”逻辑展开，题型精练针对概念理解、定义域求解等核心能力，典例与检测题结合。通过抽象函数要素培养数学眼光，借助逻辑判断训练数学思维，以符号表达强化数学语言，助力学生形成完整函数概念框架。

专题14 函数的概念 一、知识梳理 1. 函数的定义 设集合A是一个非空的实数集，对A内任意实数x，按照某个确定的对应法则f，有唯一确定的实数y与它对应，则称这种对应关系f为集合A上的一个函数，记作y=f（x） .上式中x为自变量，y为因变量. 2.函数的定义域 自变量x的取值集合A称为函数的定义域. 3．函数的值域 对应的因变量值的集合称为函数的值域， 4.函数值 函数y=f(x)，在x=a时对应的因变量值y，记作y=f(a),f(a)称为函数f(x)在x=a处的函数值. 5.函数的要素及同一个函数 1）函数的要素：定义域和对应法则 2）函数的判断：要检验给定两个变量之间的关系是不是函数。只要检验： （1）定义域是否给出； （2）对应法则是否给出并且根据这个对应法则，能否由自变量x的每一个值，确定唯一的函数值 同一个函数：如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应法则也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的是同一个函数 二、题型精练 题型1 函数的概念的理解 【典例1】．已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是 .（填序号） ① ③ 答案： 不是函数的是 ③。 分析： 函数要求：对于 P 中的每一个 x，在 Q 中都有唯一的 y 与之对应，且 y 必须在 Q 的范围内（即 ）。 详解： ① ：当  时，，且唯一对应 ✅ ② ：当  时， ✅ ③ ：当  时，，超出 Q 的范围 ❌ ④ ：当  时，，唯一对应 ✅ 因此只有 ③ 不是函数。 【典例2】．函数y=f(x)与y轴的交点个数为 ( ) A．至少1个 B.至多一个 C.有且只有一个 D.与f(x)有关，不能确定 答案： 至多一个，选 B。 分析： 函数  的定义是：对定义域内的每一个 ，有唯一的  与之对应。 与  轴的交点即  时对应的点 。 如果  在定义域内，则有且只有一个交点；如果  不在定义域内，则没有交点。 因此交点个数要么 0，要么 1，即至多一个。 详解： · 若  在定义域内，则交点为 ，唯一。 · 若  不在定义域内，则没有交点。 所以交点个数为 0 或 1，即至多一个。 A 错误（不一定至少一个）； C 错误（可能没有）； D 错误（可以确定：至多一个）。 题型2 函数的定义域 【典例1】．求下列函数的定义域． (1) (2) 答案： (1)  (2)  分析： 求定义域需考虑根号内非负、分母不为零。 详解： (1)  根号内非负： 所以定义域为 。 (2)  · 根号内： · 分母不为零： 取交集得 。 【典例2】. 求下列函数的定义域． (1) (2 ) 答案： (1)  (2)  分析： 求定义域需考虑：分母不为零、根号内非负（二次根式时）。 详解： (1)  · 先看分母 。 · 根号内： 乘  得  因式分解： 解得 。 取交集且 ，得 。 (2)  · 根号内：。 · 分母： 且 。 取交集得： 题型3 函数值和函数的值域 【典例1】．（1）已知则 ,f(f(-2))= （2）若，则f(3)= 答案： (1) ， (2)  分析： 直接代入自变量到函数表达式计算。 详解： (1)  (2)  【典例2】. 函数f(x)=x+1,x∈{-1,1,2}的值域是 ( ) A.0,2,3 B.0≤y≤3 C.{0,2,3) D.[0,3] 答案： 值域是 ，选 C。 分析： 函数定义在离散点集  上，值域由这些点的函数值构成。 详解： · · · 因此值域为 。 【典例3】.函数的值域是（ ） A. B.[-2,0) C.(0,1] D.[-2,-1] 答案： 值域是 ，选 A。 分析： 函数  在区间  上单调递增（因为分母  且递增，取负倒数为递增）。 计算端点值即可得值域。 详解： · 当  时， · 当  时， 由于函数在  上递增，值域为 。 因此选 A。 题型4 判断函数为同一个函数 【典例1】．下列函数中与函数y=x表示同一函数的是（ ） A. B. C. D.y=|x| 答案： 与函数  表示同一函数的是 A（）。 分析： 两个函数相同需满足：定义域相同，对应法则相同。 详解： · A. ，定义域为 ，与  一致 ✅ · B. ，值域非负，与  不同 ❌ · C. （当 ），定义域为 ，与  定义域不同 ❌ · D. ，对应法则不同 ❌ 【典例2】. 已知四组函数： ②. ④ 其中表示同一函数的是 答案： ②、③、④。 分析： 两个函数相同需满足：定义域相同，对应法则相同。 详解： ① ，定义域 ； ，定义域 ，不同 ❌ ② ，定义域 ； ，定义域  ✅ ③ ，定义域 ； ，定义域 ，但  对所有 ，而 （当 ），对应法则相同，但通常认为  与  法则一致，所以 ③ 也是同一函数？ 实际上， 在  时无定义，两者定义域相同（），且函数值恒为 1，所以 ③ 也是同一函数。 ④ ，定义域 ； ，定义域 ，只是自变量字母不同，是同一函数 ✅ 所以 ②、③、④ 都正确。 三、知识检测 1．如图可作为函数y=f(x)的图象的是（ ） A. B. C. D 答案： D 分析： 根据函数的定义，每一个x值对应一个y值 详解： 只有D选项满足 2．下列选项中不是函数的是( ) A.y=x+1 B. C.x=y+1 D. 答案： D 分析： 函数要求：对于每一个 （在定义域内），有唯一确定的  与之对应。 详解： A. ：一次函数，每个  对应唯一  ✅ B. ：二次函数，每个  对应唯一  ✅ C. ：可化为 ，每个  对应唯一  ✅（这也是一次函数，只是写成  形式，仍是函数） D. ：对于  在  内，如 ，得  ⇒ ，两个  值，不符合函数定义 ❌ 因此 D 不是函数。 3．已知函数，则f(1)=（ ） A.-2 B.-1 C.0 D.2 答案： ，选 A。 分析： 将  代入函数  计算即可。 详解： 4．已知对应关系 B，若4∈A，则在B中的对应元素是 ( ) A.15 B.17 C.5 答案： 对应元素是 15，选 A。 分析： 对应关系 ，已知 ，则 。 详解： 5．与函数y=2x表示同一函数是( ) A. B. C. D 答案： 与函数  表示同一函数的是 B（）。 分析： 两个函数相同需满足：定义域相同，对应法则相同。 详解： · A. ：定义域为 ，而  定义域为 ，不同 ❌ · B. ，定义域为 ，与  相同 ✅ · C. ，对应法则不同 ❌ · D. （），定义域为 ，与  不同 ❌ 6．函数的定义域是( ) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.(-1,1) D.(1,+∞) 答案： 定义域是 ，选 B。 分析： 根号内 ，即 ，解得  或 。 详解： 用区间表示为 。 选 B。 7．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A.y=x与 B.与y=1 C.y=1与 D.y=x与 答案： 表示同一函数的是 D（ 与 ）。 分析： 两个函数相同需满足：定义域相同，对应法则相同。 详解： A.  定义域 ； 定义域 ，不同 ❌ B.  定义域 ； 定义域 ，不同 ❌ C.  定义域 ； 定义域 ，不同 ❌ D.  定义域 ；，定义域 ，相同 ✅ 选 D。 8．下列关系式不是函数解析式的是 ( ) A.y=kx+b B. C. D. 答案： 不是函数解析式的是 D（）。 分析： 函数解析式要求对于自变量的每一个取值，因变量有唯一确定的值与之对应。 A、B、C 都能写成  的形式，是函数。 D 中，对于 ，如 ，得 ，两个  值，不满足函数定义。 详解： · A. ：一次函数 ✅ · B. ：反比例函数， 时每个  对应唯一  ✅ · C.二次函数 ✅ · D. ：圆的方程，一个  对应两个 （除端点外），不是函数 ❌ 9．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A.f(x)=x-3与 B.f(x)=x与 C.f(x)=x与 D.f(x)=4x与g(x)=4x,x∈Z. 答案： 表示同一函数的是 B（ 与 ）。 分析： 两个函数相同需满足：定义域相同，对应法则相同。 详解： A.  定义域为 ； （），定义域不同 ❌ B.  定义域 ； ，定义域  ✅ C.  定义域 ； ，对应法则不同 ❌ D.  定义域 ；  定义域为整数集，不同 ❌ 10. 函数的定义域是( ) A. B. C. D. 答案： 定义域是 ，选 B。 分析： 根号内 ，解得 。 详解： 用区间表示为 。 11．已知函数，则f(-3)=( ) A.-16 B.-13 C.2 D.9 答案： ，选 C。 分析： 将  代入  计算。 详解： 12.的定义域是（ ） A.[-2,2] B.{-2,2} C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) 答案： 定义域是 ，选 B。 分析： 根号内需非负： 即  且  ⇒  ⇒ 。 详解： · 第一项： · 第二项： 或  取交集得  或 。 因此定义域为 。 13． 已知函数，则f(x-1)=（ ） A. B. C. D. 答案：，选 A。 分析： 将  代入 ，再化简。 详解： 14．函数的定义域是 答案： 定义域是 。 分析： 函数  需满足： 1. 根号内 （分母不为零，且根号内非负且不为零）； 2. 根号在分母中，不能为零，所以严格大于 0。 详解： 因此定义域为 。 15．函数的值域为 答案： 值域为 。 分析： 函数  是开口向上的二次函数，对称轴  在区间  内，因此最小值在顶点处取得，最大值在区间端点比较后取较大者。 详解： 配方： · 在  时，取最小值 。 · 在区间  内，右端点 5 不在定义域内， 时，，但不包括 11。 · 左端点  时，，大于最小值。 因此值域为 。 16．已知集合A表示由2、4、6组成的集合，并且a∈A,6-a∈A，a的值为 . 答案：  或 。 分析： 集合 ，且 ，同时 。 逐一检验  的可能取值。 详解： · 若 ，则 ，成立 ✅ · 若 ，则 ，成立 ✅ · 若 ，则 ，不成立 ❌ 因此  或 。 17．已知函数，当x=0，2，5时的函数值为 . 答案： 分析： 将  的值代入  计算，注意分母不能为零（此处 ，给的  均满足）。 详解： · ： · ： · ： 18．若函数的定义域是R，求a的取值范围 答案：  的取值范围是 。 分析： 函数  的定义域为 ，即对任意实数 ，有 恒成立。需讨论  和  的情况，且 。 详解： 1. 若  二次函数开口向上，恒非负的条件是判别式 。 由  得 ，结合 ，得 。 2. 若  二次函数开口向下，不可能对所有实数  恒非负，舍去。 3. 若  原式无意义（分母为零），舍去。 因此  的取值范围是 。 19．已知函数 （1）求f(2）的值； （2）求函数f(x)的定义域和值域 答案： (1)  (2) 定义域为 ，值域为  分析： (1) 将  代入解析式即可。 (2) 定义域需分母不为零；值域可将函数化为分式形式，解出  关于  的表达式，再找  的范围。 详解： (1) (2) · 定义域：分母 ，即 。 · 值域：设 ，则 要使  有定义，需 ，即 。 又因为 ，代入验证： 若 ，原方程无解，故  不在值域中。 因此值域为 。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 函数的概念 一、知识梳理 1. 函数的定义 设集合A是一个非空的实数集，对A内任意实数x，按照某个确定的对应法则f，有唯一确定的实数y与它对应，则称这种对应关系f为集合A上的一个函数，记作y=f（x） .上式中x为自变量，y为因变量. 2.函数的定义域 自变量x的取值集合A称为函数的定义域. 3．函数的值域 对应的因变量值的集合称为函数的值域， 4.函数值 函数y=f(x)，在x=a时对应的因变量值y，记作y=f(a),f(a)称为函数f(x)在x=a处的函数值. 5.函数的要素及同一个函数 1）函数的要素：定义域和对应法则 2）函数的判断：要检验给定两个变量之间的关系是不是函数。只要检验： （1）定义域是否给出； （2）对应法则是否给出并且根据这个对应法则，能否由自变量x的每一个值，确定唯一的函数值 同一个函数：如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应法则也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的是同一个函数 二、题型精练 题型1 函数的概念的理解 【典例1】．已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是 .（填序号） ① ③ 【典例2】．函数y=f(x)与y轴的交点个数为 ( ) A．至少1个 B.至多一个 C.有且只有一个 D.与f(x)有关，不能确定 题型2 函数的定义域 【典例1】．求下列函数的定义域． (1) (2) 【典例2】.求下列函数的定义域． (1) (2 ) 题型3 函数值和函数的值域 【典例1】．（1）已知则 ,f(f(-2))= （2）若，则f(3)= 【典例2】. 函数f(x)=x+1,x∈{-1,1,2}的值域是 ( ) A.0,2,3 B.0≤y≤3 C.{0,2,3) D.[0,3] 【典例3】.函数的值域是（ ） A. B.[-2,0) C.(0,1] D.[-2,-1] 题型4 判断函数为同一个函数 【典例1】．下列函数中与函数y=x表示同一函数的是（ ） A. B. C. D.y=|x| 【典例2】. 已知四组函数： ②. ④ 其中表示同一函数的是 三、知识检测 1．如图可作为函数y=f(x)的图象的是（ ） A. B. C. D 2．下列选项中不是函数的是( ) A.y=x+1 B. C.x=y+1 D. 3．已知函数，则f(1)=（ ） A.-2 B.-1 C.0 D.2 4．已知对应关系 B，若4∈A，则在B中的对应元素是 ( ) A.15 B.17 C.5 5．与函数y=2x表示同一函数是( ) A. B. C. D 6．函数的定义域是( ) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.(-1,1) D.(1,+∞) 7．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A.y=x与 B.与y=1 C.y=1与 D.y=x与 8．下列关系式不是函数解析式的是 ( ) A.y=kx+b B. C. D. 9．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A.f(x)=x-3与 B.f(x)=x与 C.f(x)=x与 D.f(x)=4x与g(x)=4x,x∈Z. 10. 函数的定义域是( ) A. B. C. D. 11．已知函数，则f(-3)=( ) A.-16 B.-13 C.2 D.9 12.的定义域是（ ） A.[-2,2] B.{-2,2} C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) 13． 已知函数，则f(x-1)=（ ） A. B. C. D. 14．函数的定义域是 15．函数的值域为 16．已知集合A表示由2、4、6组成的集合，并且a∈A,6-a∈A，a的值为 . 17．已知函数，当x=0，2，5时的函数值为 . 18．若函数的定义域是R，求a的取值范围 19．已知函数 （1）求f(2）的值； （2）求函数f(x)的定义域和值域 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $