专题13 不等式的应用 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版）

专题13 不等式的应用 一、知识梳理 解决不等式应用题的一般步骤： 1．审题：认真阅读题目、充分理解题意，明确隐含条件，把所求的量设成未知数. 2．列式：理顺题目中各种数量之间关系，根据实际问题建立相应关系式. 3．求解：运用不等式相关知识恒等变形，进行求解. 4．作答：依据题目条件，给出最终答案． 二、题型精练 题型1 一元一次不等式的应用 【典例1】．某厂生产新产品需要一种新零件，可以外购，也可自产.如果外购，每个零件价格为1.2元；如果自产，固定成本增加800元，并且生产每个零件的材料费和劳力费共支出合计0.7元，请决定该厂自产还是外购这种零件 【典例2】．某工厂制作机器零件，若每天比原计划多做1件，那么8天所做零件超过100件，若每天比计划少做1件，那么8天所做零件小于90件，求工厂原计划每天制作零件数 题型2 一元二次不等式的应用 【典例1】．某工厂生产一种产品，当销售单价为x 万元时，月销售量（10-x）万件．若月销售量收入不低于9万元时，求销售单价x取值范围. 【典例2】. 一家宾馆有客房300间，每间出租30元时，天天客满，如果每间房租金每增加2元，每天客房出租数减少10间，若不考虑其它因素，宾馆将租金定为多少时，可以保证客房总租金不少于10000元。 三、知识检测 1．小明同学到学校的路程2500米，早上7:30步行上学，7:50~8:10之间到校，若小明步行速度为x米／分钟，则小明步行速度范围是 ( ) A.62.5≤x≤125 B.x≤62.5 C.x≥125 D.x≥125或x≤62.5 2．小红同学用20元购买中性笔和笔记本，中性笔2元／支，笔记本4元／本，她买了3支中性笔，x本笔记本，则关于x的不等式正确的是 ( ) A.3×4+2x<20 B.3×4+2x≤20 C.3×2+4x≤20 D.3×2+4x≥20 3．小辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是 ( ) A.30x-60≥400 B.30x+60≥400 C.30x-60≤400 D.30x+40≤400 4．某商品在最近30天内的价格m与时间t （单位：天）的函数关系是m=t+10(0<t≤30,t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y=-t+35(0<t≤30,t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为( ) A.{t|15≤t≤20} B.{t|10≤t≤15} C.{t|10<t<15} D.{t|0<t≤10} 5．小明有存款600元，小刚有存款2000元，从本月开始小明每月存款500元，小刚每月存款200元，试问到第几个月，小明的存款能超过小刚的存款 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 6. 雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是 7. 甲厂以x千克／小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围. 8. 假设国家计划收购m kg某种农副产品，收购价格是每千克12元，其中征税标准是每100元征税8元（称为税率是8%)，为了减轻农民负担，国家决定将税率降低x百分点，预计收购量可增加2x百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定实数x的取值范围. 9. 某施工单位在对一个长800m，宽600m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围 10. 国家为了加强食品生产管理，实行征收附加税政策．已知某种食品每千克70元，不收附加税时，每年销售量大约为180万千克，若征收税率为x%，则销量减少10x 万千克，若每年的税收不少于119万元，求x的取值范围. 11. 某商品销售单价为x元，销售量p与单价的关系为p=60-x，若销售收入不低于800元，求单价x的取值范围． 12. 某校旅游服务专业学生在一次实践活动中，自己购买食材，甲班和乙班都买了两次猪肉，第一次价格为a元／斤，第二次价格为b元／斤(a≠b)．其中甲班每次都买2斤，乙班每次都买50元的，请问哪个班购买的更划算？ 13. 某工厂生产的产品每件单价800元，直接生产成本60元，该工厂每月其它开支50000元．如果该工厂计划每月获得200000元利润，假定生产的产品都能卖出，每月的产量至少多少件？ 14. 某商品的成本价80元／件，售价100元／件，每天售出100件，若售价降低x成（1成＝10%)，售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价. （1）设该商店一天的营业额为y，试求出y 与x之间的函数关系式y=f(x)，并写出定义域； （2）若再要求该商品一天营业额至少10260元，求x的取值范围 15. 某校王校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游.甲旅行社说如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠，乙旅行社说包括校长在内全部按全票价的6折优惠（按全票价的60％收费，且全票价为1200元）． ①设学生数为x，甲旅行社收费为，乙旅行社收费为，分别计算两家旅行社的收费（写出表达式）； ②就学生数x讨论哪家旅行社更优惠 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 不等式的应用 一、知识梳理 解决不等式应用题的一般步骤： 1．审题：认真阅读题目、充分理解题意，明确隐含条件，把所求的量设成未知数. 2．列式：理顺题目中各种数量之间关系，根据实际问题建立相应关系式. 3．求解：运用不等式相关知识恒等变形，进行求解. 4．作答：依据题目条件，给出最终答案． 二、题型精练 题型1 一元一次不等式的应用 【典例1】．某厂生产新产品需要一种新零件，可以外购，也可自产.如果外购，每个零件价格为1.2元；如果自产，固定成本增加800元，并且生产每个零件的材料费和劳力费共支出合计0.7元，请决定该厂自产还是外购这种零件 答案： 当生产数量  时，自产更划算；当  时，外购更划算；当  时，两者费用相等，可任选。 分析： 设生产（或购买）零件数量为  个。 · 外购总费用： 元。 · 自产总费用： 元。 比较两者大小，找出使自产更经济的  范围。 详解： 令自产费用 ≤ 外购费用： · 若 ，自产费用更低，选自产。 · 若 ，外购费用更低，选外购。 · 若 ，两者费用相等，可任意选择。 因此决策依据为： 【典例2】．某工厂制作机器零件，若每天比原计划多做1件，那么8天所做零件超过100件，若每天比计划少做1件，那么8天所做零件小于90件，求工厂原计划每天制作零件数 答案： 原计划每天制作 12 件。 分析： 设原计划每天制作  件。 根据题意，列出不等式组，解出  的范围，再结合  为整数确定具体值。 详解： 1. “每天比原计划多做 1 件，8 天所做零件超过 100 件”： 2. “每天比原计划少做 1 件，8 天所做零件小于 90 件”： 3. 结合得： 由于  为整数，故 。 题型2 一元二次不等式的应用 【典例1】．某工厂生产一种产品，当销售单价为x 万元时，月销售量（10-x）万件．若月销售量收入不低于9万元时，求销售单价x取值范围. 答案： 销售单价  的取值范围是 （单位：万元）。 分析： 月销售收入 = 销售单价 × 月销售量 =  万元。 要求销售收入不低于 9 万元，即 ，解这个一元二次不等式。 详解： 两边乘 （不等号反向）： 因式分解： 解集为 因此销售单价  的取值范围是  万元。 【典例2】. 一家宾馆有客房300间，每间出租30元时，天天客满，如果每间房租金每增加2元，每天客房出租数减少10间，若不考虑其它因素，宾馆将租金定为多少时，可以保证客房总租金不少于10000元。 答案： 租金定为  元到  元之间（包括两端）时，总租金不少于 10000 元。 分析： 设租金比 30 元增加  个 2 元，即租金为  元，此时出租房间数为  间。 总租金为 ，要求 ，解不等式求  的范围，再得租金范围。 详解： 1. 总租金： 展开： 两边除以 （不等号反向）： 2. 因式分解： 解为 。 3. 租金： 但需注意  对应租金 30 元，此时总租金 = ，不满足。 检查端点：  时租金 40 元，出租  间，总租金  ✅  时租金 50 元，出租  间，总租金  ✅ 但题目问“租金定为多少时”为可取值，可能包括 30 元吗？30 元时 9000<10000，不包括。 40 元到 50 元之间（含端点）都满足。 三、知识检测 1．小明同学到学校的路程2500米，早上7:30步行上学，7:50~8:10之间到校，若小明步行速度为x米／分钟，则小明步行速度范围是 ( ) A.62.5≤x≤125 B.x≤62.5 C.x≥125 D.x≥125或x≤62.5 答案： ，选 A。 分析： 小明 7:30 出发，7:50 到 8:10 之间到校，即所用时间  满足  分钟。 路程  米，速度 。 当  时，速度最小为  米/分； 当  时，速度最大为  米/分。 因此速度范围是 。 详解： 所以 。 2．小红同学用20元购买中性笔和笔记本，中性笔2元／支，笔记本4元／本，她买了3支中性笔，x本笔记本，则关于x的不等式正确的是 ( ) A.3×4+2x<20 B.3×4+2x≤20 C.3×2+4x≤20 D.3×2+4x≥20 答案： 正确的是 C（）。 分析： 中性笔每支 2 元，买 3 支共  元； 笔记本每本 4 元，买  本共  元； 总花费不超过 20 元，即 。 详解： 即选项 C。 A、B 错误（将中性笔和笔记本价格写反了），D 错误（不等式方向反了）。 选 C。 3．小辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是 ( ) A.30x-60≥400 B.30x+60≥400 C.30x-60≤400 D.30x+40≤400 答案： 正确的是 B（）。 分析： 小辉已存 60 元，以后每月存 30 元， 个月后总存款为  元。 要求总存款至少 400 元，即 。 详解： 即 ，对应选项 B。 选 B。 4．某商品在最近30天内的价格m与时间t （单位：天）的函数关系是m=t+10(0<t≤30,t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y=-t+35(0<t≤30,t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为( ) A.{t|15≤t≤20} B.{t|10≤t≤15} C.{t|10<t<15} D.{t|0<t≤10} 答案：  的范围是 ，选 B。 分析： 日销售金额 = 价格 × 销售量 = 。 要求 ≥ 500，解不等式。 详解： 两边乘 （不等号反向）： 因式分解： 解得： 且  为正整数，所以 。 用区间表示为 ，对应选项 B。 5．小明有存款600元，小刚有存款2000元，从本月开始小明每月存款500元，小刚每月存款200元，试问到第几个月，小明的存款能超过小刚的存款 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案： 到第 5 个月，小明的存款能超过小刚的存款，选 B。 分析： 设  个月后（从本月开始算， 为月数），小明存款 ，小刚存款 。 要求小明存款超过小刚存款，即： 详解：  取整数，最小 。 因此第 5 个月时，小明的存款超过小刚的存款。 6.雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是 答案： 分析： 设太阳表面温度为  ℃，则太阳表面温度的 4.5 倍是 。 雷电的温度是 28000℃，比太阳表面温度的 4.5 倍还要高，即 。 详解： “比……高”说明雷电温度大于太阳表面温度的 4.5 倍，所以： 这就是  应满足的关系式。 7.甲厂以x千克／小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围. 答案：  的取值范围是 。 分析： 每小时利润为  元，生产 2 小时的总利润为  元。 要求不低于 3000 元，即： 两边除以 200： 详解： 两边乘 （因 ）： 解方程 ： 抛物线开口向上，不等式  的解为  或 。 结合条件 ，得： 因此  的取值范围是 。 8.假设国家计划收购m kg某种农副产品，收购价格是每千克12元，其中征税标准是每100元征税8元（称为税率是8%)，为了减轻农民负担，国家决定将税率降低x百分点，预计收购量可增加2x百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定实数x的取值范围. 答案：  的取值范围是 。 分析： 原计划总金额  元，税率 8%，税收  元。 税率降低  个百分点后，新税率为 ，收购量变为  千克，新税收为  元。 要求新税收不低于原计划的 78%，即 ，解此不等式并结合实际意义得  范围。 详解： 1. 原税收： 2. 新税收： 新税率 ，新收购量 ， 3. 不等式： 两边除以 ，并计算右边： 除以 0.12： 4. 展开化简： 乘 （不等号反向）： 5. 化整数：乘 50 得 解方程 ： 所以 。 6. 结合实际：  是降低的百分点，需 ，且 ，故取 。 9.某施工单位在对一个长800m，宽600m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围 答案： 花坛宽度的取值范围是  米。 分析： 设花坛宽度为  米，则绿草坪的长为 ，宽为 。 绿草坪面积不小于总面积的一半，即： 解此不等式，并结合实际意义（，且绿草坪边长正数）得  的范围。 详解： 总面积： 绿草坪面积： 条件： 展开 除以 4： 解方程 ： 抛物线开口向上，不等式解为： 实际意义：，且绿草坪长宽为正： 取更严格 ，结合  得： 10.国家为了加强食品生产管理，实行征收附加税政策．已知某种食品每千克70元，不收附加税时，每年销售量大约为180万千克，若征收税率为x%，则销量减少10x 万千克，若每年的税收不少于119万元，求x的取值范围. 答案：  的取值范围是  分析： 设税率为 （即税率用百分数表示，例如  表示 5%），则每千克收税  元。 原销量 180 万千克，征收税率后销量减少  万千克，故新销量为  万千克。 税收总额 = 每千克税额 × 销量（万千克） =  万元。 要求税收不少于 119 万元。 详解： 税收总额： 要求： 两边乘 10 化简： 两边除以 （不等号反向）： 因式分解： 解得： 结合实际：销量需为正数，即 ，且 ，税率一般为正，且题中“税率 ”通常指 。 还需保证税收不少于 119 万，已得 。 综合得： 11.某商品销售单价为x元，销售量p与单价的关系为p=60-x，若销售收入不低于800元，求单价x的取值范围． 答案：单价  的取值范围是 。 分析： 销售收入 = 单价 × 销售量 =  元。 要求 ，解这个一元二次不等式。 详解： 两边乘 （不等号反向）： 解方程 ： 抛物线开口向上，不等式  的解集为 。 同时销售量 （销量为正），得 ，自动满足。 因此单价  的取值范围是 。 12.某校旅游服务专业学生在一次实践活动中，自己购买食材，甲班和乙班都买了两次猪肉，第一次价格为a元／斤，第二次价格为b元／斤(a≠b)．其中甲班每次都买2斤，乙班每次都买50元的，请问哪个班购买的更划算？ 答案： 乙班购买的更划算。 分析： 比较两班的平均价格（每斤花费），平均价格越低越划算。 · 甲班每次买固定数量（斤），其平均价格为价格的平均数，即 。 · 乙班每次买固定金额（元），其平均价格为调和平均数，即 。 由均值不等式（ 时，调和平均数 < 算术平均数）可知乙班平均价格更低。 详解： 甲班： 共买  斤， 总花费  元， 平均价格： 乙班： 第一次买  斤，第二次买  斤， 共买  斤， 总花费  元， 平均价格： 因为 ，且 ，由均值不等式： 所以 ，乙班平均价格更低，更划算。 13.某工厂生产的产品每件单价800元，直接生产成本60元，该工厂每月其它开支50000元．如果该工厂计划每月获得200000元利润，假定生产的产品都能卖出，每月的产量至少多少件？ 答案： 每月产量至少 338件。 分析： 每件产品的利润 = 售价 - 直接生产成本 =  元。 设每月产量为  件，则总利润 = 每件利润 × 产量 - 固定开支 解此不等式可得  的最小整数值。 详解： 由于产量必须为整数，且要保证利润不少于 200000 元，故至少 338 件。 740 × 338 = 250120，减去 50000 = 200120 ≥ 200000，成立。 740 × 337 = 249380，减去 50000 = 199380 < 200000，不成立。 因此最小整数产量为 338 件。 14.某商品的成本价80元／件，售价100元／件，每天售出100件，若售价降低x成（1成＝10%)，售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价. （1）设该商店一天的营业额为y，试求出y 与x之间的函数关系式y=f(x)，并写出定义域； （2）若再要求该商品一天营业额至少10260元，求x的取值范围 答案： (1) 定义域：售价 ≥ 成本价 ⇒  ⇒ ，且 ，故定义域为 。 (2) 的取值范围是 。 分析： · 原价 100 元，降低  成（1 成=10%），则新售价  元。 · 原销量 100 件，销量增加  成 =  倍，新销量  件。 · 营业额 。 · 售价不能低于 80 元 ⇒ 。 · (2) 要求 ，解不等式并取定义域内部分。 详解： (1) 定义域：，且 。 所以 。 (2) 设 ，展开左边： 不等式： 两边乘 1000： 两边除以 （不等号反向）： 解 ： 不等式  的解为 。 结合定义域 ，得 。 但题目还给了“售价不能低于成本价”，已包含在定义域中。 15.某校王校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游.甲旅行社说如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠，乙旅行社说包括校长在内全部按全票价的6折优惠（按全票价的60％收费，且全票价为1200元）． ①设学生数为x，甲旅行社收费为，乙旅行社收费为，分别计算两家旅行社的收费（写出表达式）； ②就学生数x讨论哪家旅行社更优惠 答案： ① ， ② 当  时，乙旅行社更优惠；当  时，两家一样；当  时，甲旅行社更优惠。 分析： 全票价 1200 元。 · 甲：校长 1 张全票，学生半价（600 元/人） · 乙：所有人（含校长）按全价的 60%，即 720 元/人。 详解： ① 收费表达式 ② 比较两家收费 若 ，甲更优惠 若 ，两家相等 若 ，乙更优惠 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $