专题12 含有绝对值的不等式 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版）

专题12 含有绝对值的不等式 一、知识梳理 1. 绝对值的定义 在实数集中，对任意实数a,|a|=，实数a的绝对值|a|，在数轴上等于对应实数a的点到原点的距离. 2． 实数绝对值的几何意义 |a|的几何意义是数轴上表示实数a的点到原点的距离 3． 含有绝对值的不等式的等价形式 1）＞0 |x|≤m |x|≥m 2）m=0 |x|<0⇒ |x|≤0⇒x=0 |x|>0⇒x≠0 |x|≥0⇒x∈R 3）m<0 |x|<m⇒ |x|≤m⇒ |x|>m⇒R |x|≥m⇒R 二、题型精练 题型1 简单绝对值不等式的解法 【典例1】．解下列各不等式： (1)3|x|-1>0; (2)2|x|≤6 答案： (1)  或 ，即 。 (2) ，即 。 分析： 解含绝对值的不等式，根据  的几何意义或分段讨论。 详解： (1)  解得  或 。 (2)  解得 。 【典例2】．解下列各不等式： (1)2|x|≥8; (2)2.6>|x|; (3)0<|x|-1. 答案： (1)  或 ，即 。 (2) ，即 。 (3)  或 ，即 。 分析： 解含绝对值的不等式，根据  或  的形式，利用绝对值的几何意义求解。 详解： (1)  ⇒  ⇒  或 。 (2)  ⇒  ⇒ 。 (3)  ⇒  ⇒  或 。 题型2 复杂绝对值不等式的解法 【典例1】．(1）解不等式|x-2|<1; （2）解不等式组 （3）解不等式|4x-3|>2x+1. 答案： (1)  (2)  (3)  分析： (1) 绝对值不等式  化为 。 (2) 分别解两个绝对值不等式，再取交集。 (3) 解绝对值不等式 ，分两种情况讨论。 详解： (1)  解集为 。 (2) 不等式组 第一个： 第二个： 取交集得： (3)  情况1： （即 ） 结合  得  情况2： （即 ） 结合  得  合并解集： 【典例2】.解不等式： （1）|x-10|<3; (2)|2x-5|>2 （3）|3-2x|≤5; (4)1≤|2x-1|<5 答案： (1)  (2)  (3)  (4)  分析： (1)(2)(3) 为基础绝对值不等式，按  或  的形式求解。 (4) 为复合形式，拆成两部分再取交集。 详解： (1)  解集： (2)  · · 解集： (3)  · 左： · 右： 解集： (4)  等价于  且 。 先解 ： · · 得  或 。 再解 ： · 取交集： · 第一段  与  得  · 第二段  与  得  解集：。 题型3 特殊绝对值不等式的解法 【典例1】．解下列各不等式：（特殊不等式） （1）|x|<-1; （2）|x|>-1. 答案： (1) 解集为 （无解） (2) 解集为  分析： 绝对值  对任意实数  成立。 (1)  不可能，因为绝对值非负。 (2)  对所有实数成立，因为  小于最小值 0。 详解： (1) ，而 ，所以  无解。 (2) ，所以  恒成立。 【典例2】. 解下列不等式 （1）|x|≤0; （2）|x|<0; （3）|x|≥0; （4）|x|>0. 答案： (1)  (2)  (3)  (4) ，即  分析： 绝对值  恒成立，等号当且仅当 。 详解： (1) ：只有  满足，解集 。 (2) ：不可能成立，解集 。 (3) ：对所有实数成立，解集 。 (4) ：除  外都成立，解集 。 【典例3】解不等式：|4x-3|≤x+1 答案： 分析： 见详解 详解：分两种情况讨论（绝对值定义） 情况 1： ，即  此时 ，不等式变为： 结合条件 ，得： 情况 2： ，即  此时 ，不等式变为： 结合条件 ，得： 合并解集 情况 1 的解： 情况 2 的解： 合并： 三、知识检测 1．|x-1|<5的解集是 ( ) A.(-6,4) B.(-4,6) C.(-∞,-6)∪(4,+∞) D.(-∞,-4)∪(6,+∞) 答案： 解集是 ，选 B。 分析： 解绝对值不等式 ，根据定义化为 。 详解： 即解集为 。 2．不等式|x|<1的解集是（ ） A.Ø B.R C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞） 答案： 解集是 ，选 C。 分析： 绝对值不等式  表示数轴上与原点的距离小于 1 的点，即 。 详解： 用区间表示为 。 3．不等式|x+2|>3的解集是( ) A.(-∞,-5)∪(1,+∞) B.(-5,1) C.(-∞,-1)∪(5,+∞) D.(-1,5) 答案： 解集是 ，选 A。 分析： 解绝对值不等式 ，等价于  或 。 详解： 用区间表示为 。 4． |x|=-x，则x的取值范围是( ) A.(-∞,0] B.[0,+∞) C.(-∞,1] D.[1,+∞) 答案： 分析： 由绝对值定义， 成立当且仅当 （即  为非正数）。 详解： 当  时，，等式 。 当  时，，等式恒成立。 因此满足条件的  为 ，即 。 5． |x+2|<m的解集为Ø，则m的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,0] C.(0,+∞) D.[0,+∞) 答案：  的取值范围是 ，选 B。 分析： 不等式  的解集为空集，意味着没有实数  满足该不等式。 由于 ，要使不等式无解，必须 。 详解： · 若 ，则存在实数 （如 ）使 ，解集非空。 · 若 ，不等式为 ，无解（绝对值非负，不能小于 0）。 · 若 ，不等式  显然无解（左边非负，右边为负）。 因此 ，即 。 6．若集合A={x|x-1≥0},B={x||x|>2}，则集合A∪B=( ) A.{x|x≥1} B.{x|x>1或x<-2} C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x<-2或x≥1} 答案： ，选 D。 分析： 先化简集合  和 ，再求并集。 详解： 1. 2. 3. 并集： 即 ，对应选项 D。 7．不等式|5x+3|≤0的解集为（ ） A.R B. C.Ø D. 答案： 解集为 ，选 D。 分析： 绝对值不等式 ，由于  恒成立，不等式成立当且仅当 。 详解： 因此解集为 。 8．已知集合A={x||x|≤2},B={x|x<1}，则集合AUB等于 ( ) A. {x|1≤x≤2} B. {x|x≥1} C. {x|x≤2} D.{x|x≥-2} 答案： ，选 C。 分析： 先化简集合 ，再求与  的并集。 详解： 1. 2. 3. 并集： 即 ，对应选项 C。 9．如果|-2a|=-2a，则实数a的取值范围是( ) A.a>0 B.a≥0 C.a≤0 D.a<0 答案： 实数  的取值范围是 ，选 C。 分析： 由绝对值定义， 成立当且仅当 。这里 ，则 。 详解： 两边除以 （负数，不等号反向）： 因此 ，选 C。 10． 集合A={}，B={}，则A,B间的关系是( ) A. B.B C. D. 答案： ，选 A。 分析： 先化简  和 ，再判断它们的关系。 详解： 1. 解 ： 所以 。 2. 解 ： 因式分解： 解为  或 ，即 。 3. 求并集： 。 因此 ，选 A。 11． 若全集U=，则集合A=的补集CUA为（    ） A． B． C． D． 答案： 补集 ，选 C。 分析： 先化简全集  和集合 ，再求  在  中的补集。 详解： 1. 全集 ： ，所以 。 2. 集合 ： ，所以 。 3. 补集 ：  中不属于  的元素：。 但注意  的右端点是 2（包括 2），所以补集为 。 但选项 A 是 ，不包括 2，而 2 ∈  且 2 ∉ ，应包含 2，因此 A 错。 选项 B 是 ，包含 0，但 0 ∈ ，不应在补集中，错。 选项 C 是 ，正确。 选项 D 是 ，包含 0，错。 12． 若不等式|ax+2|＜6的解集为（-1，2），则实数a等于（　　） A．8 B．2 C.-4 D．-8 答案： ，选 C。 分析： 已知  的解集为 ，可先解出含参解集，再与给定区间对应。 详解： 1. 若  令与  相等： 矛盾， 不能同时为 8 和 2，故  不成立。 2. 若  除以负数反向不等号： 令与  相等： 成立，所以 。 13． 不等式|x-1|>1-x的解集是 答案： 解集是 。 分析： 不等式 ，需根据  的符号分情况讨论。 详解： 情况1： ，即  此时 ，不等式化为： 结合条件 ，得 。 情况2： ，即  此时 ，不等式化为： 即 ，不成立，故无解。 合并解集： 只有 ，即 。 14． 不等式|3-2x|≤0的解集是 . 答案： 解集是 。 分析： 绝对值不等式 ，由于  恒成立，不等式成立当且仅当 。 详解： 因此解集为 。 15． 解不等式3<|5-2x|≤7 答案： 解集为 。 分析： 不等式  可拆成两部分： 且 。 分别解这两个绝对值不等式，再取交集。 详解： 1. 解  · · 所以  的解为  或 。 2. 解  · 左： · 右： 所以  的解为 。 3. 取交集 条件： · 第一段  与  相交得  · 第二段  与  相交得  注意原不等式为 ，要求 （严格大于），所以边界  和  检查：  时，，不满足 ，排除；  时，，不满足 ，排除。 因此解为 。 16．若不等式|x-1|<a(a>0)的解集是(-1,b)，求a+b的值 答案： 分析： 已知 （）的解集为 ，解出含参解集，再与给定区间对应。 详解： 由  得： 已知解集为 ，因此： 所以： 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 含有绝对值的不等式 一、知识梳理 1. 绝对值的定义 在实数集中，对任意实数a,|a|=，实数a的绝对值|a|，在数轴上等于对应实数a的点到原点的距离. 2． 实数绝对值的几何意义 |a|的几何意义是数轴上表示实数a的点到原点的距离 3． 含有绝对值的不等式的等价形式 1)＞0 |x|≤m |x|≥m 2）m=0 |x|<0⇒ |x|≤0⇒x=0 |x|>0⇒x≠0 |x|≥0⇒x∈R 3）m<0 |x|<m⇒ |x|≤m⇒ |x|>m⇒R |x|≥m⇒R 二、题型精练 题型1 简单绝对值不等式的解法 【典例1】．解下列各不等式： (1)3|x|-1>0; (2)2|x|≤6 【典例2】．解下列各不等式： (1)2|x|≥8; (2)2.6>|x|; (3)0<|x|-1. 题型2 复杂绝对值不等式的解法 【典例1】．(1）解不等式|x-2|<1; （2）解不等式组 （3）解不等式|4x-3|>2x+1. 【典例2】.解不等式： （1）|x-10|<3; (2)|2x-5|>2 （3）|3-2x|≤5; (4)1≤|2x-1|<5 题型3 特殊绝对值不等式的解法 【典例1】．解下列各不等式：（特殊不等式） （1）|x|<-1; （2）|x|>-1. 【典例2】. 解下列不等式 （1）|x|≤0; （2）|x|<0; （3）|x|≥0; （4）|x|>0. 【典例3】解不等式：|4x-3|≤x+1 三、知识检测 1．|x-1|<5的解集是 ( ) A.(-6,4) B.(-4,6) C.(-∞,-6)∪(4,+∞) D.(-∞,-4)∪(6,+∞) 2．不等式|x|<1的解集是（ ） A.Ø B.R C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞） 3．不等式|x+2|>3的解集是( ) A.(-∞,-5)∪(1,+∞) B.(-5,1) C.(-∞,-1)∪(5,+∞) D.(-1,5) 4． |x|=-x，则x的取值范围是( ) A.(-∞,0]) B.[0,+∞) C.(-∞,1] D.[1,+∞) 5． |x+2|<m的解集为Ø，则m的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,0] C.(0,+∞) D.[0,+∞) 6．若集合A={x|x-1≥0},B={x||x|>2}，则集合A∪B=( ) A.{x|x≥1} B.{x|x>1或x<-2} C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x<-2或x≥1} 7．不等式|5x+3|≤0的解集为（ ） A.R B. C.Ø D. 8．已知集合A={x||x|≤2},B={x|x<1}，则集合AUB等于 ( ) A. {x|1≤x≤2} B. {x|x≥1} C. {x|x≤2} D.{x|x≥-2} 9．如果|-2a|=-2a，则实数a的取值范围是( ) A.a>0 B.a≥0 C.a≤0 D.a<0 10． 集合A={}，B={}，则A,B间的关系是( ) A. B.B C. D. 11． 若全集U=，则集合A=的补集CUA为（    ） A． B． C． D． 12． 若不等式|ax+2|＜6的解集为（-1，2），则实数a等于（　　） A．8 B．2 B．-4 D．-8 13． 不等式|x-1|>1-x的解集是 14． 不等式|3-2x|≤0的解集是 . 15． 解不等式3<|5-2x|≤7 16．若不等式|x-1|<a(a>0)的解集是(-1,b)，求a+b的值 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $