专题2 充分条件、必要条件与充要条件（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充分条件、必要条件与充要条件 【复习目标】 1. 掌握命题、四种命题及复合命题的核心概念与真假判断规则。 2. 理解充分条件、必要条件、充要条件的定义，能准确判断条件间的逻辑关系。 3. 会运用 “小推大” 原则解决基础题型，提升逻辑推理能力。 考点1 命题 1.命题及简单的逻辑关系词 1.命题：一般地，把用、或表达的，可以判断真假的陈述句称为。 ①：判断为真的语句。 ②：判断为假的语句。 表示：一般用小写字母,…来表示命题。 简单命题：p,q,r,s,…称为简单命题。 复合命题：p或q，p且q，非p，称为复合命题。 复合命题的真假：p或q一真必真；p且q一假必假。 2.四种命题 ①一般地，在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题称为②同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的。 ③交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得到的命题是原命题的。 四种命题的形式如下： 原命题：若p，则q。 逆命题：若q，则p。 否命题：若¬p，则¬q。 逆否命题：若¬q，则¬p。 ★两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性。 ★两个命题互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系。 3.四种命题间的相互关系 4.全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” ▲注意：常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 5.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 存在量词命题 含有的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” ▲注意：常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【即时训练】 1．下列命题为真命题的是（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 2．下列命题中的真命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．命题若“，则”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的是（     ） A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题 C．逆命题、否命题 D．原命题、逆否命题 4．命题“若，则”的逆命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．在一次数学测试中，成绩在区间内视为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p：“甲测试成绩优秀”，q：“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”可表示为（    ） A．或 B．p或 C．且 D．p或q 6．已知命题，命题，则（ ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 7．下列结论错误的是（    ） A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则” B．“”是“”的充分条件 C．命题“若，则方程有实数根”的逆命题为真命题 D．命题“，则且”的否命题“，则或” 8．命题“，都有”的否定为（ ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 9．（多选题）下列说法正确的是（ ） A． B．若集合中只有一个元素，则 C．命题“，”的否定是“，” D．若命题“，”为假命题，则 10．命题p：，；命题q：，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围； 考点2 充分条件和必要条件 1.充分条件和必要条件 当“若p，则q”为真命题时，我们说由p可推出q，记作，读作“p推出q”，称p是q的，或q是p的。 (1)如果p⇒q，则称p是q的，q是p的． (2)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的，简称p是q的，记作． (3)如果p⇒q，但qp，那么称p是q的． (4)如果pq，但q⇒p，那么称p是q的． (5)如果pq，且qp，那么称p是q的． ▲注意：要判断两个条件间的关系，关键是写出推出关系，原则是“小推大”。 2.充要条件 如果p是q的充分条件（p⇒q），p又是q的必要条件（q⇒p），则称p是q的，简称，记作，也常说。 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。 3.充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 【即时训练】 11. “”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 12. “角为第三象限角”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13. “若，则”中，“”，是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14. 已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16. 已知，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17. “”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 18. “”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19. “”是“”的________条件． 20. “” 是 “” 的______________条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充分条件、必要条件与充要条件 【复习目标】 1. 掌握命题、四种命题及复合命题的核心概念与真假判断规则。 2. 理解充分条件、必要条件、充要条件的定义，能准确判断条件间的逻辑关系。 3. 会运用 “小推大” 原则解决基础题型，提升逻辑推理能力。 考点1 命题 1.命题及简单的逻辑关系词 1.命题：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题。 ①真命题：判断为真的语句。 ②假命题：判断为假的语句。 表示：一般用小写字母p,q,r,s,…来表示命题。 简单命题：p,q,r,s,…称为简单命题。 复合命题：p或q，p且q，非p，称为复合命题。 复合命题的真假：p或q一真必真；p且q一假必假。 2.四种命题 ①一般地，在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个称为原命题的逆命题。 ②同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题。 ③交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得到的命题是原命题的逆否命题。 四种命题的形式如下： 原命题：若p，则q。 逆命题：若q，则p。 否命题：若¬p，则¬q。 逆否命题：若¬q，则¬p。 ★两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性。 ★两个命题互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系。 3.四种命题间的相互关系 4.全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” ▲注意：常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 5.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” ▲注意：常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【即时训练】 1．下列命题为真命题的是（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 【答案】D 【分析】对于A、B、C项可使用特殊值代入验证为错误，D选项可用作差法判断其正确，即可得解. 【详解】对于A，当时，不等式显然不成立，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，，显然不成立，故C错误； 对于D，因为所以，， 所以，所以，故D正确. 故选： D. 2．下列命题中的真命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】根据不等式的性质和赋值法判断即可. 【详解】A：如果，则说明，所以可得，是真命题； B：如果，当时，则有，是假命题； C：如果，当时，则有，是假命题； D：如果，满足，但，是假命题. 故选：A. 3．命题若“，则”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的是（     ） A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题 C．逆命题、否命题 D．原命题、逆否命题 【答案】D 【分析】写出逆命题，否命题，逆否命题并判断真假即可得解. 【详解】原命题“，则”，为真命题； 逆命题：“，则”，因为，，所以逆命题为假命题； 否命题：“，则”，当时，，所以否命题为假命题； 逆否命题：“，则”，为真命题； 所以真命题为原命题，逆否命题， 故选：. 4．命题“若，则”的逆命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由逆命题的定义确定答案. 【详解】已知命题“若，则”， 可知它的逆命题是“若，则”， 故选：C. 5．在一次数学测试中，成绩在区间内视为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p：“甲测试成绩优秀”，q：“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”可表示为（    ） A．或 B．p或 C．且 D．p或q 【答案】A 【分析】根据逻辑联结词的意义即可求解. 【详解】因为命题p：“甲测试成绩优秀”，q：“乙测试成绩优秀”， 所以命题：“甲测试成绩不是优秀”，：“乙测试成绩不是优秀”， 所以命题“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”可表示为：或. 故选：A. 6．已知命题，命题，则（ ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】D 【分析】根据指数函数与对数函数的性质得出的真假，判断各选项即可. 【详解】因为，所以命题是假命题，是真命题， 当时，，此时， 所以命题是假命题，是真命题， 对于A，和都是假命题，A错误； 对于B，是真命题，是假命题，B错误； 对于C，是假命题，是真命题，C错误； 对于D，和都是真命题，D正确. 故选：D. 7．下列结论错误的是（    ） A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则” B．“”是“”的充分条件 C．命题“若，则方程有实数根”的逆命题为真命题 D．命题“，则且”的否命题“，则或” 【答案】C 【分析】由逆否命题、否命题的定义可知，A、D正确；因为“若，则”是真命题，故B正确；若方程有实数根，则，解得，故C错误； 【详解】由逆否命题的定义可知，A正确； 因为“若，则”是真命题，故B正确； 若方程有实数根，则，解得. 所以“若，则方程有实数根”的逆命题为假命题. 故C错误； 由否命题的定义可知，D正确. 故选：C 8．命题“，都有”的否定为（ ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解． 【详解】命题“，都有”的否定是，使得. 故选：B 9．（多选题）下列说法正确的是（ ） A． B．若集合中只有一个元素，则 C．命题“，”的否定是“，” D．若命题“，”为假命题，则 【答案】ACD 【分析】对A选项：分数是有理数；对B选项： 当时，集合也仅有一个元素；对C选项：运用命题的否定即可得；对D选项：写出该命题的否定，计算即可得. 【详解】对A选项：是有理数，故A正确； 对B选项：当时，有，故B错误； 对C选项：“，”的否定是“，”，故C正确； 对D选项：命题“，”为假命题， 即“，使”为真命题， 即小于在上的最大值，即，故D正确. 故选：ACD. 10．命题p：，；命题q：，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】(1)当p为真命题时，，求解即可; (2)当命题q为假命题时，，求解即可; (3)由（1）和（2）分别求出命题p为假且命题q为真的取值范围，即可求解m的取值的范围， 【详解】（1）若命题p为真命题，则， 解得, 所以实数m的取值范围是; （2）若命题q为假命题，则， 则. 解得, 所以实数m的取值范围是; 考点2 充分条件和必要条件 1.充分条件和必要条件 当“若p，则q”为真命题时，我们说由p可推出q，记作p⇒q，读作“p推出q”，称p是q的充分条件，或q是p的必要条件。 (1)如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． (3)如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． (4)如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． (5)如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． ▲注意：要判断两个条件间的关系，关键是写出推出关系，原则是“小推大”。 2.充要条件 如果p是q的充分条件（p⇒q），p又是q的必要条件（q⇒p），则称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q，也常说p与q等价。 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。 3.充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 【即时训练】 11. “”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】，当时，得；当时，恒成立，解得或； 当时，必然成立，故充分性成立； 当即或，不能推出，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分非必要条件， 故选：. 12. “角为第三象限角”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性及必要性定义结合象限角三角函数值的符号即可得解. 【详解】角为第三象限角时，，故充分性成立； 当时，角为第三或第四象限角，或终边落在轴负半轴上，故必要性不成立， 所以“角为第三象限角”是“”的充分不必要条件， 故选：. 13. “若，则”中，“”，是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的判断求解. 【详解】若，则无论取何值，一定成立， 若，则或，无法推出， 故“”，是“”的充分不必要条件. 故选：A. 14. 已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合集合间的包含关系判断. 【详解】若，则，所以有； 反之，若，则或，即或. 因此可以推出，但不一定能推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 15. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件与必要条件的判定方法可判断. 【详解】若，则，故充分性得证； 若，则或，必要性无法证明； 故“”是“”的充分不必要条件； 故选：A. 16. 已知，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】因为，， 当时，不一定能推出且， 例如，满足，但不符合且，故充分性不成立； 当且时，成立，故必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件， 故选：. 17. “”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案． 【详解】不等式可化为， 解得或， 所以“”是“或”的充分不必要条件. 故选：C. 18. “”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式和充要条件的判定即可解得. 【详解】不等式可化为， 解得，即充分性成立； 由也可以推出，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C． 19. “”是“”的________条件． 【答案】充分不必要 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】由题意，若，则一定成立，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 20. “” 是 “” 的______________条件. 【答案】必要不充分条件 【分析】根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】当 时，不一定会大于（如 ）所以充分性不成立； 时，一定能推出大于，所以必要性成立； 所以“” 是 “” 的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $