三、分类讨论-【一战成名新中考·乾坤卷】2025河北中考原创压轴卷（全学科）

3.扇形弧长与面积的计算 公式 图形 圆的周长 C=2m7 扇形的弧长 nTr l= 180 圆的面积 8=mr2 r为⊙0的半径， n为AB所对的圆心角的度数， 扇形的面积 S= =l 3602 1是扇形AOB的弧长 三、分类讨论 分类讨论是初中数学解题过程中一种非常重要的思想方法，是河北中考的必考 内容，每年设题1~3道，在解答题中遇到“直接写出…”，就要考虑是否用分类 讨论解题 答题技方 当题目遇到代数中含参，几何中动点、动线、动图、对应关系、变换方式不明确时 考虑分类讨论，做题时不要盲目开始解题. 第一步：根据题目要求进行分类讨论； 第二步：根据分类情况画出草图； 数 第三步：每种情况下根据所画草图将动图转化为定图，再按照常规静态几 学 何题进行作答. 1.已知数轴上两点间的距离和其中一点对应的实数，求另一点对应的实数时，要 分情况讨论： -4湃适州型￥日学储[=柔乐豫运明型V罩T聘裤 2.分式方程无解时，需要分类讨论 分式方程无解的两种情况： (1)分式方程化为整式方程后，整式方程无解，所以分式方程无解； (2)分式方程化为整式方程后，整式方程的解是分式方程的增根，所以分式方 程无解. 60 中考心法·河北 3.三条直线不能围成三角形时，需要分类讨论 三条直线不能围成三角形时，分为两种情况：(1)三条直线中至少两条直线平 行：(2)三条直线相交于一点. 4.利用二次函数对称轴求自变量取值范围内的函数最值时，需要分类讨论 已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其 对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为 (B) A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6 【思维点拨】如图，通过对对称轴在所给区间左侧、内部、右侧三种情况分类讨 论，求出符合条件的h的值 5.一段抛物线与直线有唯一公共点时，需要分①抛物线与直线相切，②抛物线与 直线不相切但有唯一公共点两种情况讨论 6.一条线段的三等分点有2个，遇到三等分点时要注意分类讨论 7.点到直线的距离是定值时，要分点在直线上方和点在直线下方两种情况讨论 8.等腰三角形的分类讨论 (1)遇角需讨论（顶角和底角）》 已知等腰三角形的一个角为α，求顶角或底角的度数时，分三种情况： ①若a为纯角，则α为顶角，底角的度数为2(180°-a): 数 ②若α为直角，则α为顶角，且该三角形为等腰直角三角形，底角的度数为45°； 学 ③若α为锐角，则应分两种情况讨论：第一种，当α为顶角时，底角的度数 为2(180°-a);第二种，当α为底角时，顶角的度数为180°-2a. (2)遇边需讨论（腰和底）》 己知等腰三角形的两边长分别为a,b(a≠b),求周长C时，分两种情况： ①若腰长为a,则有20>b,此时周长为24+6. 2a≤b,此时不能构成三角形； (2b>a,此时周长为2b+a, ②若腰长为b,则有 (2b≤a,此时不能构成三角形 注：分类讨论要注意三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”，三 个角必须满足“三角形的内角和等于180”. 中考心法·河北 61 9.直角三角形的分类讨论 (1)已知直角三角形两边长求第三边，没有确定直角边和斜边，需要分类讨论. 若直角三角形的两边长是3和4，则分为两种情况（如图1）： BA 图1 图2 (2)已知三角形为直角三角形，若没有确定直角顶点，需要分类讨论， 若三角形ABC是直角三角形，则分为三种情况（如图2）. 10.当△，与△，全等或相似时，两个三角形的顶点、边、角的对应关系不确定，需 要进行分类讨论 11.遇到多边形裁剪题时，需要分类讨论 一个n(n>3)边形剪去一个角（只经过一个顶点和一条边）剩下的图形是n 边形：若剪去的一个角经过两条邻边，则剩下的图形是(+1)边形：若剪去的 一个角经过两个顶点（间隔一个顶点），则剩下的图形是(m-1)边形， 12.求圆内两条平行弦间的距离时，需要分情况讨论 已知弦AB、弦CD、⊙O的半径长，若AB∥CD,求两条弦之间的距离d.分为 以下两种情况 B 数 学 当两条弦位于圆心同侧时，d=OF-OE 当两条弦位于圆心异侧时，d=OF+OE 13.点在圆上运动时，相关计算需要分情况讨论 如图，根据圆的轴对称性，⊙O上到直径AB距离(0<d<r)相等的点的个数为4 B C, 点D在圆心左侧 点D在圆心右侧 62 中考心法·河北 14.已知圆内一条弦和其对应的圆心角，求其对应的圆周角时要分类讨论 B 圆周角和圆心角在弦的同侧， 圆周角和圆心角在弦的异侧， B=180°-4 2 15.圆与几何图形的边相切的几个分类讨论 (1)圆心动，半径不变：半径固定的圆，其圆心在直角三角形一边所在的直线 上运动，当圆与直角三角形的边所在的直线相切时，要分情况讨论，如 下图： (2)圆在转，半径不变：半径固定的半圆，绕着点M逆时针旋转，当半圆与矩 形的边相切时，要分情况讨论，如下图： 数学 中考心法·河北 63 (3)圆心不动，半径变：半圆的圆心固定为直角三角形斜边的中点，半径变 化，当半圆与直角三角形的边相切时，要分情况讨论，如下图： 16.锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形 的外心在三角形外.当三角形形状不确定时，应用外心一定要分类讨论， 四、几何最值模型 类型1利用垂线段最短求最值 方法指导：如图，点P在直线1外，过点P作直线1的垂线段PH,则点P与直线1 上各点所连的所有线段中，线段PH最短，即“垂线段最短” P H 类型2利用两点之间线段最短求最值 方法指导：如图1，两定点A,B位于直线I异侧，在直线1上找一点P,使PA+PB 的值最小 解决方法：如图2，连接AB,交直线1于点P. A. A 数 学 B B 图1 图2 类型3利用三边关系及共线求最值 方法指导：如图，AP,BP的长一定，结合三角形三边关系，得AP+BP≥AB,则当 A,P,B三点共线时，AB的长取最大值 B 64 中考心法·河北