2025年河北省初中学业水平考试 数学·乾卷-【一战成名新中考·乾坤卷】2025河北中考原创压轴卷（全学科）

2025年河北省初中学业水平考试 数学·乾卷答题卡 姓 名 贴条形码区 准考证号 缺考考生，由监 1,答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码 考员贴条形码 上的姓名、准考证号。在规定位置贴好条形码。 正确填涂 填写准考证号 注 2.选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题使用0.5毫米书写黑色字 梦 m 并用黑色字迹的 迹的签字笔作答，字迹要工整。 错误填涂 签字笔填涂下面 事3.请在与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答 例 ☑☒ 的缺考标记： 题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。不得用规定以外 的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。 中口 考生禁填☐ 4.保持卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损 一、选择题 1 A B C D 5AB©D9AB☒D 2ABC☒D6ABC☒D回10ABCD 3NB©D7四B CD 11 A B回 D 4团BC@D8NBCD12BCD 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18. 19. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学·乾卷答题卡第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20. 图14 21. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22. E 图16-2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23. 0 L D 0 B 图17 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学·乾卷答题卡第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24. 0 OB 图18 A B 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效机密★启用前 2025年河北省初中学业水平考试 数学·乾卷 注意事项：1.本试卷共8页，总分120分.考试时间120分钟 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置 3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效.答题前，请仔细阅读答 题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定作答 4.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答 题卡上对应题目的答题区域内答题 5.考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.下列各数中，是负整数的是 ( A.2 B.√（-2) C.-1-21 D.-(-2） R 2.如图1，位于点0北偏西方向上的点是 A.P点 B.Q点 C.M点 D.N点 x·x2 东 ② ① Q。 ( P。 ③ ④ 2 0 x÷x21 7 图1 图2 图3 3.如图2，若x≠0，在给出的四个运算中，结果为x8的是 A.① B.② C.③ D.④ g 製 4.如图3是一个正方体的展开图，折叠后相对两面的数字之和相等，则y-x的值为 A.-13 B.13 C.-3 D.3 5.如图4，数轴上有三个点A,B,C,其中C是线段AB的中点，则原点0的位置 A C B -7 5 图4 A.位于线段AC上，且靠近A点 B.位于线段AC上，且靠近C点 C.位于线段BC上，且靠近B点 D.位于线段BC上，且靠近C点 乾卷·河北数学第1页（共8页） 版权归一战成名新中考所有， 6.若3√5O√5=3，则“O”表示的运算符号是 A.+ B.- C.× D.÷ 7.如图5，若△ABC与△A'B'C'关于某个点对称，则这个点是 图5 A.0点 B.P点 C.R点 D.Q点 8.随着人工智能，大模型的迭代赋能，机器人具备了更灵巧的身体，天工机器人奔跑速度可达12 公里/小时，则奔跑1.5小时的路程用科学记数法可以表示为 () A.18×103m B.1.8×104m C.1.8×103m D.18×104m 9.已知关于x的一元二次方程x2-3x+m+2=0中，m<0,则该方程的根的情况为 A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.两根之和为3 D.两根之积为2 10.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图6，四边形ABCD是菱形，延长CA到E,延长AC到F,使AE=CF, 连接EB,BF,FD,DE. 求证：四边形EBFD是菱形. 证明：连接BD,交AC于点O, B ,四边形ABCD是菱形，.OB=OD,OA=OC,① AE=CF,②， ∴.四边形EBFD是平行四边形， 图6 EF⊥BD,.四边形EBFD是菱形 若以上解答过程正确，则①，②分别为 A.AB=BC.BE=BF B.AC⊥BD,OE=OF C.AB∥DC,OE=OF D.AD∥BC,BD=AC 乾卷·河北数学第2页（共8页） 11.如图7，在平面直角坐标系x0y中，点A(-1,0),B(3,0),C(2,3),P(2,1),点P关于直线x=a 的对称点为点Q,若点Q落在△ABC内，则a的取值范围是 ( 7 A.1<<3 3 5 B.2<a<1 D.0<a< 图7 图8 12.如图8，在△ABC中，∠B=∠C=30°，E,F分别是边AB,BC上一点，D是AC的中点，沿EF折叠 △ABC,使点B落在点D处，若BC=18,则BF的长为 ( A.6 B.7 C.63 D.12 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13.如图9，已知OA⊥OB,将OA绕点0顺时针旋转120°，若OA=4,OB=3,则在旋转过程中，AB的 最小值是 B 图9 图10 图11 14.已知m,n均为正整数，若3×3×…×3+3×3×…×3+3×3×…×3=(3+3+3)"×27，则用m的 m个 m个 m个 代数式表示n= 15.如图10，直线1与双曲线y=m(x>0)相交于A,B两点，若4(1,3)，点B的横坐标与纵坐标均为 整数，点Q在x轴上，若点A到点Q的距离与点B到点Q的距离和最小，则点Q的坐标 为 16.如图11，已知点M是正六边形ABCDEF边BC的中点，连接EM并延长交AB延长线于点N,若 AF=3,则MN的长为 乾卷·河北数学第3页（共8页） 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分7分) 数学活动课上，课代表嘉嘉同学设计了一款游戏，如图12，用A,B,C三张卡片分别表示一种 运算： (1)淇淇同学将数字4经过A→B→C的顺序运算，请你列出算式并求出计算结果： (2)若实数a经过C→B→A的顺序运算后，计算结果小于7，求a的取值范围. A B C 加上-5 乘以-3 减去1 图12 ← 新 18.(本小题满分8分) 如图3，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分： (1)若被污染的部分是一个代数式，求这个代数式； (2)若被污染的部分是常数1，求a的值. a+2a2-4 图13 乾卷·河北数学第4页（共8页） 19.（本小题满分8分) 实践小组在同样的条件下培养同一种农作物的两种秧苗，现随机抽取两种秧苗各7株并对它 们的高度进行测量，并将测量数据制成如下统计表： 编号 2 3 4 5 6 甲种秧苗的高度(mm)》 70 85 86 88 95 96 96 乙种秧苗的高度(mm) 80 84 86 90 90 92 94 (1)求抽取的7株乙种苗秧的平均高度； (2)若再抽取1株甲种秧苗，测量其高度为h(取整数)，并与原来7株甲种秧苗的高度数据合 并成一组新数据，发现新数据中位数比原数据的中位数大，求h的最小值； (3)从编号为5,6,7的甲种秧苗中随机抽取两株，请用列表法或画树状图法求抽到的两株甲种 秧苗高度均为96mm的概率. 一战 20.（本小题满分8分) 如图14，在平行四边形ABCD中， (1)尺规作图：作对角线BD的中点E(保留作图痕迹，不写作图过程)； (2)过点E作直线分别交AD,BC于点M,N, ①求证：△DME≌△BNE; ②连接BM,若△DME的外心在DM上，△ABM的周长为24，求平行四边形ABCD的周长. 图14 乾卷·河北数学第5页（共8页） 版权归一战成名新中考所有， 21.（本小题满分9分) 某车间接到一批总量为800个零件的加工任务，计划安排20名工人一天完成，零件分为大、 中、小三种型号，其中每名工人每天可以加工30个大型零件，或40个中型零件或50个小型零 件，已知每名工人只能加工同一种型号的零件，在整个过程中，每个零件的平均成本如条形统 计图所示（图15）： 设加工大型零件的工人为x名，加工中型零件的工人为y名， (1)求y与x的函数关系式； (2)若加工这批零件的总成本为9050元，求加工小型零件的工人人数. 每个零件的平均成本（元） 15 12 中 小 零件的型号 图15 新 22.(本小题满分9分) 中 如图16-1是某风力发电机实物图，图16-2是它在某一时刻太阳光线下的平面示意图，其中 OA,OB,OC表示三个风叶，每个风叶长均为40米，任意两风叶之间的夹角相等，风力发电机的 柱高OD为50√3米，AE,CF为太阳光线，EF表示三个风叶在太阳光线下的影长.（其中所有 点、线均在同一平面内，D,E,F在同一条直线上) E 图16-1 图16-2 (1)当OB∥地面DF时，求EF的长； (2)若太阳光线与地面的夹角与(1)相同，则EF的最大值是 米 乾卷·河北数学第6页（共8页） 23.(本小题满分11分) 如图17，抛物线L1:y=x2+bx+3与x轴交于点A,B(3,0),与y轴交于点C,顶点为P;抛物线 L2:y=-(x-t)2+3+2与抛物线L,相交于点D,顶点为Q. (1)直接写出b的值； (2)说明抛物线L,恒过定点C; (3)连接DA,当t=6时，求DA的长； (4)设m是实数，连接PQ,QD,DP,△PQD的面积为S,若m+4t<S,直接写出m的取值范围. O A B 图17 3 乾卷·河北数学第7页（共8页） 24.（本小题满分12分) 如图18，在矩形ABCD中，M是对角线BD的中点，Q是边AB上一点（不与，点A,B重合），过A, 点作⊙0交4D于点N,BC=4,inLD正 (1)连接NQ,求Q的最小值； (2)若⊙O与BD相切，求MN的长；（结果保留T) (3)直接写出AN长的取值范围. 4,c0s413 （参考数据：sin490≈3，c ,an370≈3 4 D D M 0 QB A 成名 图18 备用图 乾卷·河北数学第8页（共8页）第四场数学 快速对答案 一、选择题（共36分，每小题3分）》 1.C2.A3.D4.A5.D6.D7.A8.B9.C10.B11.A12.B 二、填空题（共12分，每小题3分） 13.1 4"号2s停0)16 三、解答题（共72分） 17.(7分)(1)[4+(-5)]×(-3)-1=2；(2)a>-3. 1收8全0代数式a:2加的值为 19.(8分)(1)xz=88mm;(2)h的最小值为89mm;(3)P(抽到的两株甲种秧苗高度均为96mm)= 3 20.(8分)(1)作图略：(2)①证明略：②平行四边形ABCD的周长为48. 21.(9分)(1)y与x的函数关系式为y=-2x+20(0<x<10):(2)加工小型零件的工人人数为5. 22.(9分)(1)EF=120米：(2)803. 23.(11分)(1)b=-4;(2)说明略；(3)DA=726:(4)m<-1. 24(12分)1D0的最小值是：(2)=925 17280:(3)7 4M2 详解详析 1.C2.A3.D 4.A【解析】由正方体的表面展开图特征可知：3和-6相对，x -9当=1时39=1学即学).当点0与点E 和y相对，-x和2相对.相对两面的数字之和相等，二.-x+2 2+ 8 =3-6,x+y=3-6,x=5,y=-8,.y-x=-8-5=-13. 37 个 5D【解析】：C是线段AB的中点C点表示的数是7+5 重合时，直线x=a=2=31a< 2 解题关键点… -1,原点O位于线段BC上，且靠近C点. 要求解α的取值范围，关键是确定对称点Q的临界 6.D7.A8.B 点的坐标，从而根据点P求出直线x=a,进而确定a的取 数 9.C【解析】由根的判别式得4=(-3)2-4×1×(m+2)=1-4m, 值范围。 学 m<0,.1-4m>0,方程有两个不相等的实数根x1,x2,两 12.B【解析】如解图，过点A作AG⊥BC于点G,过点D作DH 根之和=子-3.两根之积气·-2-m+2,放C法 ⊥BC于点H,.∠B=∠C=30°，∴.G为BC的中点，BG=GC 项说法正确。 ==9.4C-=6AG=1C=33,是 1 10.B 11.A【解析】如解图，过 AC的中点，DH/AG,DH是△AGC的中位线，.DH=2AG 点P作x轴的平行线1， 3 2,GH=HC= 1 ，设BF=DF=,则FH=BC-BR 9 分别交AC,BC于点D, 2 GC=- E,易知直线l:y=1, ,27 点Q落在△ABC内， =2x,在△DFH中，DF=FF+DH,即2=（之x)月 由对称的性质可知点Q 在直线I上，.xp<xo< 35),解得x=7,即BF的长为7， +( xg,设AC所在直线为y, 第11题解图 =kx+b,将A,C两点坐标代入得 0=-k+b,解得 (3=2k+b1, 即=+1，当y=1时+1=1x=0,即D0,,当点Q b,=1, B G H 第12题解图 与点D重合时，直线x=a=04 解题关键点… 2 =1,设BC所在直线为y2=kx+ 分别过点A,D作BC边的垂线，利用30°角的性质以 ,将C,B两点坐标代人得3=2解得你3即为 及中点D结合中位线定理，根据勾股定理求解 0=3k2+b2, (b,=9, 13.1【解析】如解图，在OA旋转过程中，当OA与OB重合时， 10 乾卷标答及重难题解析·河北 即在A"位置，AB有最小值，最小值为4-3=1. 1603 2 【解析】如解图，连接AE,过点F作FH⊥AE于点H, A 延长ED,BC交于点G,:六边形ABCDEF为正六边形，AF= B A" 3,∴.AB=BC=FE=ED=AF=3,AB∥ED,∠FAB=∠ABC= ∠AFE=120°，∠FAB=∠FEA=180-乙AFE_180-120 A 2 2 第13题解图 =30AH=4·m30=35AE=2M=35,如解图 14"2【解折3×3××3+3X3×X3+3x3xx33+ m个 m个 m个 连接BE,∠BAE=120°-30°=90°，易得∠ABE=∠CBE= 3m+3=3m1,(3+3+3)×27=3×33=323,.31=32+3 ∠FEB=∠BED=60°，∴.BE=2AB=6,△BEG为等边三角形， 六m+1=2n+3n=m-2 ÷BG=EG=BE=6,M为BC的中点，.BM=)BC=),☐ 2 方法指导 NG=GBN号易得△△8E-8微 (1)乘法的意义与乘方的意义的区别： 3 a+a+a+…ta=na;a·a·a·…·a=a”（n≠0） 21 93BN= G=2,NW=号EMM=4EN,AN= n个a n个a 2 (2)幂的运算 AB+BN=5,在Rt△EAN中，EN=√AE+AN=2√I3,.MN ①同底数幂相乘：底数不变，指数相加，am·a”=a"* (m,n均为正整数)： EN=V13 2 ②同底数幂相除：底数不变，指数相减，a"÷a”=a"(a ≠0，m,n均为正整数且m>n); ③幂的乘方：底数不变，指数相乘，（a")"=am"(m,n 均为正整数)： H ④积的乘方：先把积中的每个因式分别乘方，再把所 得的幂相乘，(ab)”=a6(n为正整数) D 15(,0)【解标】如解图，作点4(1,3)关于：轴的对称点 第16题解图 解题关键点 A'(1,-3),连接A'B交x轴于点Q,根据轴对称的性质，此时 巧作辅助线，构造相似三角形，利用正六边形的性质 点A到点Q的距离与点B到点Q的距离和最小，将A(1,3) 求解线段长. 数 代入双曲线y=”(x>0)中，得m=3,设B(x,3),:点B 17.解：(1)[4+(-5)]×(-3)-1 学 =(-1)×(-3)-1 的横坐标与纵坐标均为整数.3为整数，x=1(舍去)或 =3-1 =2:…4分 x=3,.B(3,1),设直线AB的解析式为y=x+b(k≠0)，将 (2)由题得-3(a-1)+(-5)<7, k=2, .-3a+3-5<7, B(3,1),A'(1,-3)代入，可得 1=3k+b:解得 -3=k+b, =-5,y= .-3a<9, 2x-5,令y=0,得x= a>-3.…7分 2…Q( 2,0) 18解：(1)这个代数式为4+=at2a- a(a-2) a2-2a+4 (a+2)(a-2)(a+2)(a-2）5…4分 a2-2a+4 (2)(1)得1=(a+2)(a-2)' 去分母，得(a+2)(a-2)=a2-2a+4, 解得a=4, 经检验，a=4是原分式方程的根。 .a的值为4.…8分 第15题解图 19.解：（1)2-80+84+86+90x2+92+94=88(mm）:…3分 乾卷标答及重难题解析·河北 11 (2)由题意得，原数据的中位数为88mm,则当h>88时，新 解得x=5, 数据中位数比原数据的中位数大， “加工小型零件的工人人数为20-x-y=20-x-(-2x+20)= h的最小值为89mm; …5分 x=5. …9分 (3)画树状图如解图， 22.解：(1).：∠AOB=∠B0C=∠AOC 开始 :∠A0B=∠B0C=∠A0C=120°， 0B=0C=40, 95 96 96 .∠OCB=∠OBC=30°， 969695969596 ,OB∥地面DF, 第19题解图 .∠CFD=∠OBC=30°，∠BOD=∠ODF=90° …6分 如解图①，延长A0交BC于点M,.∠B0M=60°， 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中抽到的两株甲 种秧苗高度均为96mm的有2种， ∴AM⊥CF,∴.OM= 20C=20,.AM=04+0M=60, .P(抽到的两株甲种秧苗高度均为96mm)- 21 过点E作EG⊥CF于点G,AE∥CF,.EG=AM=60, 63 .EF=2EG=120(米)；…6分 …8分 20.(1)解：如解图①，点E即为所求点； M D E B 第22题解图① 第20题解图① (2）80W3.…9分 …2分 【解法提示】由(I)知EF=2EG,要求EF的最大值，即求EG 一题多解法 的最大值，如解图②，连接BC,当OA与太阳光线平行，即 本题的另一种解法：如解图②，点E即为所求点； CB⊥太阳光线时，太阳光线照射风叶的范围最大，即EG最 大，由(1)易得EG=CB=403,此时EF最大，最大值为 80n3. 数 第20题解图② 学 (2)①证明：如解图①，：四边形ABCD是平行四边形，E为 BD的中点， ∴AD∥BC,DE=BE,∴.LMDE=∠NBE, ∠MDE=∠NBE. 第22题解图② 在△DME与△BNE中 DE=BE. 23.解：(1)b=-4;…2分 ∠DEM=∠BEN, 【解法提示】将点B(3,0)代入抛物线L1中，得0=32+3b+3, .△DME≌△BNE(ASA);…5分 解得b=-4. ②解：如解图①， (2)抛物线L:y=x2-4x+3与y轴相交于点C,.C(0,3), :△DME的外心在DM上，.∠DEM=90°， 抛物线L2:y=-(x-1)2+3+i2,当x=0时，y=3, DE=BE...BM=DM, 抛物线L2恒过定点C;…4分 .·△ABM的周长为24，∴.AB+AM+BM=24, ∴.AB+AM+DM=24,∴.AB+AD=24 (3)当t=6时，抛物线L2:y=-(x-6)2+3+62=-x2+12x+3, .平行四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=48. …8分 联立两抛物线解析式，得=一4+3， 21.解：(1)由题意得，30x+40y+50(20-x-y)=800, (y=-x2+12x+3, 即y=-2x+20(0<x<10), 解得 =0或=8， y与x的函数关系式为y=-2x+20(0<x<10);…4分 y=3(y=35 (2)由题意得，这批零件的总成本为30×15x+40×12y+50× .D(8,35), 8(20-x-y), 令抛物线L1:y=0,解得x,=1,x2=3, 即30×15x+40x12(-2x+20)+50×8[20-x-(-2x+20)]= ∴.A(1,0) 9050, DA=√352+(8-1)7=7/26；…7分 12 乾卷标答及重难题解析·河北 (4)m<-1. …11分 【解法提示】由(1)得抛物线L1:y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∠M0N=74m≈74mx125.925 180T×961728m…8分 .顶点P(2,-1),Q为抛物线L2的顶点，.Q(t,3+2),联 D 立抛物线L,L2,得 y=x2-4x+3, 解得 x=0或 y=-(x-t)2+3+2 (y=3 x=t+2, .D(t+2,2-1),如解图，过点D作x轴垂线，分别 y=t2-1, 过点Q,P作x轴平行线，交过点D的垂线于点E,F,易得 A Q B QE=2,PF=t,EF=+4,DE=4,DF=,SAPOD SWEOEEP- 第24题解图② Sam-Sam=(OE+PF)·EF_QE·DE_PF·DF 2 2 2 8425 (3) 8 …12分 (2+)(2+4)2×4t·2 2 22=+2=S,m+4<S,m+4<+ 【解法提示】由题可知，Q是边AB上一点，且不与点A,B重 合，结合图形可知，当点Q与点B重合时，AN取得最小值， 2t,.m<(t-1)2-1,即m<-1. 如解图③，连接BN,过点M作MG⊥AB,与BN交于点E,则 点E为此时过A,B(Q),M三点的圆的圆心，设EB=EM=T, 易知MG=10=2,BG=EG=2-,在△BG中，BG G=BE即（了）+(2-r)=r,解得= 16GE=2-r= /B\L2 6N=2GE=了；当点Q与点A重合时，AW取得最大 7 F 第23题解图 值，如解图④，过点M作MZ⊥AD于点Z,连接OM,设AO= 24.解：(1)如解图①，：四边形ABCD是矩形 .AD=BC=4,∠C=∠DAB=90°， 0W=,同理可得：一石4N=20=2x-空综上所述，4N 25 sin DBC=3 m0, 长的取值范围为 ANK8 25 8 .CD2+BC2=BD2,:.CD=3,BD=5, D C 连接AM. :M是BD的中点AW=宁0- 5 M 2 ∠DAB=90°，NQ是⊙0的直径， OB Z八 数 01 AM是⊙0的弦， 第24题解图① 学 5 G B(Q) .AM≤NQ,NQ≥2， A(Q) 图③ 图④ 二0的银小值起： …… …4分 第24题解图 (2)如解图②，连接ON,0M,∴.∠OMB=90°， 连接AM,过点A作AE⊥BD于点E,过点O作OF⊥AM于点 F. .OM∥AE,.∠OMA=∠MAE, >4D·AB三1BD·AE,HE=2 5 2 OF LAM..FM=AF-1 4 又.∠OFM=∠MEA,.△OMF∽△MAE 5 OM MA OM 2 25 MF-E5== 96 45 3 :tan∠ADB= 4,tan37° 4∠ADB≈37， 又：DM=MA,.∠DAM=∠ADB≈37°， 乾卷标答及重难题解析·河北 13