精品解析：湖南永州市宁远县2024-2025学年人教版下学期期末质量监测试卷六年级数学

2025年下期期末质量监测试卷（六年级数学） （时间：90分钟 分值：120分） 学校：_________ 姓名：_________ 准考证号 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的学校、姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目； 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，非选择部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无效；在草稿纸上答题无效； 4.请勿折叠试卷，请保持字迹工整、笔迹清晰、卡面清洁。 一、计算题。（共35分） 1. 直接写出得数。 2. 脱式计算。 3. 解方程。 4. 求图中涂色部分的面积。 二、认真填一填。（每空1分，共22分） 5. （ ）（ ）（ ）（填小数）。 6. 最小质数的倒数是（ ）；a和b互为倒数，则（ ）。 7. （ ）t的是t；7m比（ ）m多。 8. 小时∶40分钟的最简整数比是（ ），比值是（ ）。 9. 在2025年湘超足球联赛中，永州队最终以11胜3平2负的战绩夺得冠军。在这次联赛中，永州队的胜率是（ ）%。 10. 舜帝陵是中国有记载的始祖陵中最古老的陵。其寝殿内有一块题为“帝舜有虞氏之陵”的石碑。石碑高和宽的比为4∶3，周长为7米，面积为（ ）平方米。 11. 今天是小麓的生日，他把自己做的一个圆形蛋糕卷（如图所示）沿着半径剪开，得到一个近似的三角形。三角形的底是18.84cm，这个圆形蛋糕卷的直径是（ ）cm，面积是（ ）。 12. 一袋橘子的是16千克，这袋橘子的是（ ）千克。 13. 湖南省省级非物质文化遗产保护项目九嶷木雕传承人毛先生在给一座古建筑上色时，想把红黄两种颜料按照1∶3混合得到红橙色，他在配色盘中倒入9mL红色颜料后又倒入了45mL黄色，意识到黄色加多了，他再加入（ ）mL红色才能得到他想要的颜色。 14. 一批零件共300个，现在要检验它们是否合格。甲单独检验需要8小时完成；乙单独检验需要10小时。现在甲乙合作需要（ ）小时检验完。 15. 一个正方形时钟（如下图）边长为20cm，分针长10cm（忽略分针针尖与时钟的接触）。从中午12时整到12时45分，分针针尖走了（ ）cm；如果分针走了一小时，那么时钟未被分针扫到部分的面积是（ ）。 16. 如图，搭一个三角形需要3根火柴，搭2个三角形需要5根火柴……那么搭第8个三角形需要（ ）根火柴，搭第2026个三角形需要（ ）根火柴，搭n个三角形需要（ ）根火柴。 三、选择题。（每小题3分，共15分） 17. “数形结合”是很重要的数学思想，用乘法算式表示下图中的深色部分，下列算式正确的是（ ）。 A. B. C. D. 18. 东外街坐落于宁远古城东城门外、泠江河畔，2025年经修复后，成为热门的旅游景点。远远从家向西偏北42°方向走了300m到达东外街喜雨亭，他原路返回时应向（ ）方向走300m。 A. 西偏北42° B. 北偏西42° C. 南偏东42° D. 东偏南42° 19. 小乐读一本课外书，第一天读了全书的，又读了24页，恰好读完这本书的一半，这本书一共有（ ）页。 A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 20. 随着技术的进步3D打印有望成为智能制造的关键一环，小红外出旅游时按照自己的样子打印了一款模型，已知小红身高为160cm，打印的模型高度缩小了，模型高（ ）cm。 A. 32 B. 200 C. D. 128 21. 下面说法中，正确的有（ ）个。 ①圆周率π就是3.14。 ②圆的半径扩大到原来的2倍，周长和面积也扩大到原来的2倍。 ③如果甲比乙多20%，那么乙一定比甲少25%。 ④一根绳子，第一次用去，第二次用去米刚好用完，则第二次用的多。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 四、操作题。（22题6分，23题4分，共10分） 22. （1）在下面的长方形中画一个最大的半圆。 （2）计算这个半圆形的周长。 23. 周六，小麓从家里出发向北偏西60°方向走了1000m到达商场，再往南偏西40°方向走了400m到达书店，根据上面的描述，把小麓的行走路线画出来。 五、解决问题。（24题5分，29题9分，其余每题6分，共38分） 24. 为了加强公园绿化建设，现购买了一些绿化树，其中女贞树112棵，女贞树是桂花树的，购买的桂花树有多少棵？ 25. 跳绳检测中，小明跳了150个，比小麓跳绳个数多，小麓跳绳跳了多少个？ 26. 学校开展“一书一世界”为主题的读书活动，六年级三个班共90名学生参加了此项活动，六（1）班和六（2）班参加的人数比是2∶3，六（3）班参加的人数占总人数的。六（1）班和六（2）班各有多少人参加？ 27. 通常情况下，体积相等的冰和水，冰的质量是水的，现在有一桶冰水，已知冰和水的体积相等，当冰融化成水后的总质量是38千克，求原来冰和水的质量分别是多少？ 28. 一块蔬菜地中种着青椒，黄瓜，丝瓜和茄子四种蔬菜，下图表示各种蔬菜的种植面积。 （1）青椒的种植面积占（ ）%。 （2）如果丝瓜的种植面积是300平方米，那么茄子的种植面积是（ ）平方米。 （3）（ ）的种植面积最大，比青椒的种植面积多（ ）%。 29. 我们已经学习了“外方内圆”的问题，现在让你继续研究，你会有新的发现。 斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多。斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34，根据斐波那契数列画出来的图形是螺旋曲线（如图，这些数值依次为从内到外扇形的半径）。如果最小正方形的边长是1厘米。 （1）任取一个正方形并挖掉一个最大的圆，则挖掉的面积和正方形面积的比是（ ）∶（ ）。 （2）图中涂色部分的面积是多少？（用含π的式子表示）。 （3）涂色部分的面积和最大长方形的面积比是多少？你发现了什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期期末质量监测试卷（六年级数学） （时间：90分钟 分值：120分） 学校：_________ 姓名：_________ 准考证号 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的学校、姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目； 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，非选择部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无效；在草稿纸上答题无效； 4.请勿折叠试卷，请保持字迹工整、笔迹清晰、卡面清洁。 一、计算题。（共35分） 1. 直接写出得数。 【答案】；；；； ；；； 2. 脱式计算。 【答案】；； 【解析】 【分析】利用减法的性质，先把小括号内同分母分数相加凑整后相减，最后再进行除法运算； 先把除法转化为乘法、百分数化为分数，再逆用乘法分配律进行简算； 利用乘法分配律，把括号外的3×7分别与括号内的两个分数相乘，再相加。 【详解】 3. 解方程。 【答案】； 【解析】 【分析】先将左边进行合并，再根据等式的性质2，两边都除以，解得即可； 先根据被减数＝减数＋差，将原式变为，再根据等式的性质2，两边都除以4，解得即可。 【详解】 解：（1－40%）x＝12 ÷＝12÷ x＝12× 解：4x＝ 4x÷4＝÷4 x＝ 4. 求图中涂色部分的面积。 【答案】6.88 【解析】 【分析】图中涂色部分的面积可以看作是2个“正方形面积－圆的面积”组成，据此算出正方形面积和圆的面积，两者相减后再乘2即可算出阴影部分的面积。 【详解】4×4＝16（） （） 2×（16－12.56） ＝2×3.44 ＝6.88（） 二、认真填一填。（每空1分，共22分） 5. （ ）（ ）（ ）（填小数）。 【答案】3；21；8；1.5 【解析】 【分析】先算出是多少，再根据分数的基本性质、比的基本性质，分数与除法的关系得到答案。 【详解】 6. 最小质数的倒数是（ ）；a和b互为倒数，则（ ）。 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】质数是指因数只有和它本身的数，最小的质数是；若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数；反之两个数互为倒数，则它们的乘积是1；分数除法的计算法则：除以一个不为零的数相当于乘这个数的倒数。 【详解】 最小质数的倒数是；a和b互为倒数，则。 7. （ ）t的是t；7m比（ ）m多。 【答案】 ①. ##0.4 ②. 5 【解析】 【分析】第一个空，未知质量是单位“1”，求单位“1”＝已知质量÷对应百分率；第二个空，求长度单位“1”，单位“1”＝已知长度÷（1＋）。 【详解】÷12.5% ＝÷0.125 ＝÷ ＝×8 ＝（t） 7÷（1＋） ＝7÷ ＝7× ＝5（m） 8. 小时∶40分钟的最简整数比是（ ），比值是（ ）。 【答案】 ①. 3∶4 ②. ##0.75 【解析】 【分析】不同单位比需要先统一单位，再将前后项同时除以最大公因数得到最简整数比，最后用化简后比的前项除以比的后项得到比值。 【详解】1小时＝60分钟，因此小时＝30分钟 30分钟：40分钟 ＝（30÷10）：（40÷10） ＝3：4 3÷4＝＝0.75 9. 在2025年湘超足球联赛中，永州队最终以11胜3平2负的战绩夺得冠军。在这次联赛中，永州队的胜率是（ ）%。 【答案】68.75 【解析】 【分析】先用11＋3＋2＝16算出总场次，再根据“＝胜率”算出胜率即可。 【详解】11＋3＋2＝16（场） 10. 舜帝陵是中国有记载的始祖陵中最古老的陵。其寝殿内有一块题为“帝舜有虞氏之陵”的石碑。石碑高和宽的比为4∶3，周长为7米，面积为（ ）平方米。 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可知石碑是长方形，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可知，（长＋宽）＝长方形的周长÷2，即用周长求出宽和高的和；已知石碑高和宽的比为4∶3，则把高看作4份，宽看作3份，总分数为3＋4＝7（份），用宽和高的和除以总分数，求出1份是多少，再分别求出宽和高，再根据长方形的面积＝长×宽，代入数据，求出面积即可。 【详解】7÷2＝3.5（米） 3.5÷7＝0.5（米） 0.5×4＝2（米） 0.5×3＝1.5（米） 2×1.5＝3（平方米） 面积为3平方米。 11. 今天是小麓的生日，他把自己做的一个圆形蛋糕卷（如图所示）沿着半径剪开，得到一个近似的三角形。三角形的底是18.84cm，这个圆形蛋糕卷的直径是（ ）cm，面积是（ ）。 【答案】 ①. 6 ②. 28.26 【解析】 【分析】把圆形蛋糕卷沿半径剪开拼成近似三角形时，三角形的底等于圆的周长，三角形的高等于圆的半径。根据圆的周长公式可知求出直径，再用直径d÷2求出半径，再将半径r代入圆的面积公式计算圆的面积。 【详解】18.84÷3.14＝6（cm） 6÷2＝3（cm） （） 12. 一袋橘子的是16千克，这袋橘子的是（ ）千克。 【答案】25 【解析】 【分析】把这袋橘子的质量看作单位“1”，数量16对应分率是，单位“1”未知用除法求出这袋橘子的质量，再根据求一个数的几分之几用乘法求解。 【详解】16÷× ＝40× ＝25（千克） 【点睛】此题考查的是分数乘除法的应用，根据数量除以对应分率求出这袋橘子的质量是解题关键。 13. 湖南省省级非物质文化遗产保护项目九嶷木雕传承人毛先生在给一座古建筑上色时，想把红黄两种颜料按照1∶3混合得到红橙色，他在配色盘中倒入9mL红色颜料后又倒入了45mL黄色，意识到黄色加多了，他再加入（ ）mL红色才能得到他想要的颜色。 【答案】 【解析】 【分析】红黄两种颜料的比是，即黄色是份，红色是份，根据黄色颜料的容积，算出红色颜料的容积，再减去已经加了的红色颜料的容积即可。 【详解】 （mL） 他再加mL红色才能得到他想要的颜色。 14. 一批零件共300个，现在要检验它们是否合格。甲单独检验需要8小时完成；乙单独检验需要10小时。现在甲乙合作需要（ ）小时检验完。 【答案】 【解析】 【分析】把300个零件的检验工作看作单位“1”，先分别求出甲、乙的工作效率，再根据“工作总量÷工作效率＝工作时间”用工作总量“1”除以两人的效率和，就能算出合作需要的时间。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝（小时） 15. 一个正方形时钟（如下图）边长为20cm，分针长10cm（忽略分针针尖与时钟的接触）。从中午12时整到12时45分，分针针尖走了（ ）cm；如果分针走了一小时，那么时钟未被分针扫到部分的面积是（ ）。 【答案】 ①. 47.1 ②. 86 【解析】 【分析】分针针尖走过的路程是扇形的弧长，未被扫到的面积是正方形面积减去圆的面积。 从12时整到12时45分，分针走45分钟，转动了圈，对应的弧长是圆周长的。 分针走了一小时走过的面积是一个以分针长度为半径的圆的面积，未被扫到的面积＝正方形面积－圆的面积。 【详解】12时45分－12时＝45（分钟） 2×3.14×10× ＝6.28×10× ＝62.8× ＝47.1（cm） （） 16. 如图，搭一个三角形需要3根火柴，搭2个三角形需要5根火柴……那么搭第8个三角形需要（ ）根火柴，搭第2026个三角形需要（ ）根火柴，搭n个三角形需要（ ）根火柴。 【答案】 ①. 17 ②. 4053 ③. 1＋2n##2n＋1 【解析】 【分析】搭1个三角形需要3根火柴棒，搭2个三角形需要（3＋2）根火柴棒，搭3个三角形需要（3＋2×2）根火柴棒，搭4个三角形要（3＋2×3）根火柴棒。所以搭第8个三角形需要（3＋7×2）根火柴棒，搭第2026个三角形需要（3＋2025×2）根火柴棒。搭n个三角形需要根火柴棒。 【详解】3＋（8－1）×2 ＝3＋7×2 ＝3＋14 ＝17（根） 3＋（2026－1）×2 ＝3＋2025×2 ＝3＋4050 ＝4053 3＋（n－1）×2 ＝3＋2n－2 ＝2n＋1 所以，搭第8个三角形需要17根火柴，搭第2026个三角形需要4053根火柴，搭n个三角形需要2n＋1根火柴。 三、选择题。（每小题3分，共15分） 17. “数形结合”是很重要的数学思想，用乘法算式表示下图中的深色部分，下列算式正确的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形可知，先把整个大长方形看作单位“1”，把它平均分成3份，浅灰色部分占其中的2份，用分数表示为；再把浅灰色部分看作单位“1”，平均分成5份，深灰色部分占其中的3份，用分数表示为；那么深灰色部分占整个大长方形的。 【详解】根据图形可知，深灰色部分占整个大长方形的。 18. 东外街坐落于宁远古城东城门外、泠江河畔，2025年经修复后，成为热门的旅游景点。远远从家向西偏北42°方向走了300m到达东外街喜雨亭，他原路返回时应向（ ）方向走300m。 A. 西偏北42° B. 北偏西42° C. 南偏东42° D. 东偏南42° 【答案】D 【解析】 【分析】根据位置的相对性可知，甲地在乙地的什么方向，乙地就在甲地的相反方向，且角度相等，距离相等。 【详解】根据分析：远远从家向西偏北42°方向走了300m到达东外街喜雨亭，他原路返回时应向东偏南42°方向走300m。 19. 小乐读一本课外书，第一天读了全书的，又读了24页，恰好读完这本书的一半，这本书一共有（ ）页。 A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”。根据题意，第一天读了全书的，再读24页后达到全书的一半（即），说明24页对应的分率是全书的与的差。根据分数除法的意义，已知量除以对应的分率等于单位“1”的量，据此列式计算即可。 【详解】24÷（－） ＝24÷（－） ＝24÷ ＝24× ＝80（页） 所以这本书一共有80页。 20. 随着技术的进步3D打印有望成为智能制造的关键一环，小红外出旅游时按照自己的样子打印了一款模型，已知小红身高为160cm，打印的模型高度缩小了，模型高（ ）cm。 A. 32 B. 200 C. D. 128 【答案】A 【解析】 【分析】把小红的身高看作单位“1”，模型高度缩小了，则模型高度是小红身高的（1－）。根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】160×（1－） ＝160× ＝32（cm） 所以模型高32cm。 21. 下面说法中，正确的有（ ）个。 ①圆周率π就是3.14。 ②圆的半径扩大到原来的2倍，周长和面积也扩大到原来的2倍。 ③如果甲比乙多20%，那么乙一定比甲少25%。 ④一根绳子，第一次用去，第二次用去米刚好用完，则第二次用的多。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】①π是无限不循环小数，3.14是它的近似值。 ②设原来的半径为r，则扩大后的半径为2r，圆的周长公式C＝2πr，面积公式S＝πr2，分别求出原来的周长和面积，再用现在的周长和面积分别除以原来的周长和面积，即可求出扩大的倍数。 ③甲比乙多百分之几，单位“1”是乙；乙比甲少百分之几，单位“1”是甲，两者的单位“1”不同，结果也不同。 ④把绳子总长看作单位“1”，先用减法求第二次用去的占比，再比较大小。 【详解】①π≈3.1415926…，不是等于3.14，错误。 ②设原来的半径为r，则扩大后的半径为2r。 原来的周长：2πr 现在的周长：2π×2r＝4πr 4πr÷2πr＝2，所以周长扩大到原来的2倍。 原来的面积：πr2 现在的面积：π×（2r）2＝π×4r2＝4πr2 4πr2÷πr2＝4，所以面积扩大到原来的4倍，错误。 ③设乙＝1，则甲＝1×（1＋20%） ＝1×1.2 ＝1.2 乙比甲少：（1.2－1）÷1.2 ＝0.2÷1.2 ≈16.7% 16.7%≠25%，错误。 ④第二次用去的占比：1－＝ ＞，第二次用的多，正确。 综上，只有1个说法正确。 四、操作题。（22题6分，23题4分，共10分） 22. （1）在下面的长方形中画一个最大的半圆。 （2）计算这个半圆形的周长。 【答案】（1）如图所示： （2）10.28厘米 【解析】 【分析】（1）结合图形可知：在长方形中画一个最大的半圆，半圆的半径等于长方形的宽2厘米；由于同一个圆中，直径是半径的2倍，2×2＝4厘米，正好等于长，据此即可画图。 （2）半圆形的周长＝圆形周长的一半＋直径，同时圆的周长：，代入数据计算即可。 【详解】（1）作图如下： （2）2×3.14×2÷2＋4 ＝6.28×2÷2＋4 ＝12.56÷2＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（厘米） 这个半圆形的周长是10.28厘米。 23. 周六，小麓从家里出发向北偏西60°方向走了1000m到达商场，再往南偏西40°方向走了400m到达书店，根据上面的描述，把小麓的行走路线画出来。 【答案】见详解； 【解析】 【分析】已知图中段代表实际距离m。小麓从家到商场走了m，（段），所以以小麓家为起点，先确定正北方向，再向西偏转°，画出段图中的线段，终点标记为 “商场”。从商场到书店走了m，（段），所以以“商场”为起点，先确定正南方向，再向西偏转°，画出段图中的线段，终点标记为“书店”。据此可完整画出小麓从家出发经商场到书店的行走路线图。 【详解】 五、解决问题。（24题5分，29题9分，其余每题6分，共38分） 24. 为了加强公园绿化建设，现购买了一些绿化树，其中女贞树112棵，女贞树是桂花树的，购买的桂花树有多少棵？ 【答案】84棵 【解析】 【分析】把桂花树的棵数看作单位“1”，女贞树的棵数112棵对应的分率是。已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量，用除法计算。 【详解】112÷ ＝112× ＝84（棵） 答：购买的桂花树有84棵。 25. 跳绳检测中，小明跳了150个，比小麓跳绳个数多，小麓跳绳跳了多少个？ 【答案】125个 【解析】 【分析】把小麓跳绳的个数看作单位“1”，则小明跳绳的个数是小麓的（1＋）。已知小明跳了 150个，即单位“1”的（1＋）是150，求单位“1”的量，用除法计算。 【详解】150÷（1＋） ＝150÷ ＝150× ＝125（个） 答：小麓跳绳跳了125个。 26. 学校开展“一书一世界”为主题的读书活动，六年级三个班共90名学生参加了此项活动，六（1）班和六（2）班参加的人数比是2∶3，六（3）班参加的人数占总人数的。六（1）班和六（2）班各有多少人参加？ 【答案】六（1）班24名，六（2）班36名。 【解析】 【分析】把总人数看作单位“1”，先根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法”，用总人数乘六（）班人数占总人数的分率，求出六（）班的人数；然后用总人数减去六（）班的人数，求出六（）班和六（）班的总人数；最后根据六（）班和六（）班的人数比，用六（）班和六（）班的人数和除以它们的份数和，求出一份的量，再用一份量分别乘两个班对应的份数，求出两个班的人数。 【详解】90×＝30（名） 90－30＝60（名） 60÷（2＋3） ＝12（名） 12×2＝24（名） 12×3＝36（名） 答：六（1）班24名，六（2）班36名。 27. 通常情况下，体积相等的冰和水，冰的质量是水的，现在有一桶冰水，已知冰和水的体积相等，当冰融化成水后的总质量是38千克，求原来冰和水的质量分别是多少？ 【答案】 水有20千克，冰有18千克。 【解析】 【分析】冰融化成水，状态发生改变，但质量不变。已知这桶冰水中“冰和水的体积相等”，所以原来冰的质量是水的质量的，将原来水的质量看作单位“1”，则原来冰的质量对应分率为，总质量对应的分率为 。已知总质量和总质量对应的分率，求单位“1”的量（水的质量），用除法计算，再求冰的质量。 【详解】原来水的质量： 原来冰的质量： 或 答：原来冰的质量是18千克，水的质量是20千克。 28. 一块蔬菜地中种着青椒，黄瓜，丝瓜和茄子四种蔬菜，下图表示各种蔬菜的种植面积。 （1）青椒的种植面积占（ ）%。 （2）如果丝瓜的种植面积是300平方米，那么茄子的种植面积是（ ）平方米。 （3）（ ）的种植面积最大，比青椒的种植面积多（ ）%。 【答案】（1）20 （2）120 （3） ①. 黄瓜 ②. 125 【解析】 【分析】（1）将总面积看作单位“1”，1－茄子对应百分率－黄瓜对应百分率－丝瓜对应百分率＝青椒对应百分率； （2）丝瓜种植面积÷对应百分率＝总面积，总面积×茄子对应百分率＝茄子种植面积； （3）观察统计图，哪种蔬菜所占面积最大，哪种蔬菜种植面积最大；黄瓜种植面积和青椒种植面积对应百分率的差÷青椒种植面积对应百分率＝黄瓜比青椒的种植面积多百分之几。 【小问1详解】 1－10%－45%－25%＝20% 青椒的种植面积占20%。 【小问2详解】 300÷25%×10% ＝300÷0.25×0.1 ＝120（平方米） 茄子的种植面积是120平方米。 【小问3详解】 （45%－20%）÷20% ＝0.25÷0.2 ＝1.25 ＝125% 黄瓜的种植面积最大，比青椒的种植面积多125%。 【点睛】利用扇形统计图解决问题，就是解决有关不同类型的百分数应用题，按照百分数相关解题思路解答即可。 29. 我们已经学习了“外方内圆”的问题，现在让你继续研究，你会有新的发现。 斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多。斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34，根据斐波那契数列画出来的图形是螺旋曲线（如图，这些数值依次为从内到外扇形的半径）。如果最小正方形的边长是1厘米。 （1）任取一个正方形并挖掉一个最大的圆，则挖掉的面积和正方形面积的比是（ ）∶（ ）。 （2）图中涂色部分的面积是多少？（用含π的式子表示）。 （3）涂色部分的面积和最大长方形的面积比是多少？你发现了什么？ 【答案】（1） ①. π ②. 4 （2）26π （3）π∶4；发现见详解 【解析】 【分析】（1）设正方形边长为a，则最大的圆的半径也为a。先分别计算圆的面积和正方形的面积，再求它们的比。 （2）涂色部分是多个圆的面积和，根据斐波那契数列，各圆的半径依次为1、1、2、3、5、8厘米，代入圆面积公式求和即可。 （3）先算出最大长方形的长和宽，再计算它的面积，最后与涂色部分面积求比，观察比值规律。 【小问1详解】 设正方形的边长为a。 （平方厘米） （平方厘米） ∶＝∶＝∶1＝∶4 【小问2详解】 根据斐波那契数列，各扇形的半径为1、1、2、3、5、8厘米。 （平方厘米） 答：图中涂色部分的面积是平方厘米。 【小问3详解】 长：5＋8＝13（厘米） 宽：8厘米 13×8＝104（平方厘米） ∶＝∶104＝（÷26）∶（104÷26）＝∶4 答：涂色部分的面积和最大长方形的面积比是∶4，与第（1）题中单个正方形内圆和正方形的面积比相同（表述不唯一，合理即可）。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $