精品解析：2026年河南省商丘市民权县一模数学试题

九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为 100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题(每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的) 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 5 2. 某年河南全省地区生产总值亿元，按不变价格计算，同比增长，经济运行呈现稳中向好、趋新向优、韧性增强的良好态势．将“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体的三视图中，主视图与左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　） A. B. C. D. 5. 计算 的结果等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 四大怀药，即产自河南焦作古怀庆府的怀山药、怀地黄、怀牛膝、怀菊花，其种植与炮制为国家级非遗传承技艺．正面分别印有四大怀药的四张卡片如图所示，它们除正面外其他完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“怀山药”和“怀菊花”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（ ） A. B. C. D. 3 10. 某“地磅检测”模拟电路的简化原理如图1所示，电源电压恒为，定值电阻的阻值为 ，力敏电阻的阻值随所受压力的变化而变化，它们的关系如图2所示．当电压表示数超过 时，触发超载警报．下列说法正确的是（ ） 知识小链接：①导体两端的电压、导体的电阻、通过导体的电流满足关系式 ；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A. 力敏电阻的阻值随压力的增大而增大 B. 压力为 时，电压表示数为 C. 触发警报时，力敏电阻R所受到的压力大于 D. 若将定值电阻，更换为阻值更大的电阻，警报触发时对应的压力会更大 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 请写出一个在直角坐标平面内不属于任何象限的点的坐标：______． 12. 近年来，我省依托农村电商发展，打造特色农产品新渠道，提高了农民收入．某农户通过网络销售新县红薯干特色农产品，利润由原来的每斤 10元增加到每斤 25元．该农户通过网络售出a斤农产品，则他的利润增加了_____元．（用含a的代数式表示，结果化为最简） 13. 甲、乙两组学生的数学期末测试成绩(满分 100分)如下． 甲组∶85，88，90，92，95． 乙组∶80，85，90，95，100． 则方差较小的是_____组（填“甲”或“乙”）． 14. 如图，在正方形中，分别以点 C，D 为圆心，的长为半径画，，两弧相交于点E．若，则阴影部分的面积为______（结果保留π）． 15. 定义：若三角形一条边上的高在三角形内部，且等于这条边长的一半，则称这个三角形为“半高三角形”．如图，在中，，，D为边上的一点．若为“半高三角形”，则的长为____． 三、解答题(本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 计算、化简： （1）； （2）． 17. 从文本生成到语音识别、从绘画到编程，AI的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取8名，记录使用者对两款软件的评分(10分为满分，8分或8分以上为优秀)，并进行整理、描述和分析． 评分统计表 AI软件 平均数 方差 优秀率 甲 m n 乙 9 根据以上信息，解答下列问题． （1）表格中，______，_____ (填“>”“=”或“<”)， ； （2）你认为哪款AI软件的使用效果更好？请说明理由． 18. 如图，B为上的一点，连接． （1）请用无刻度直尺和圆规作出线段的垂直平分线，并交于点A，C(保留作图痕迹，不写作法)． （2）连接，，，．求证∶四边形为菱形． 19. 在平面直角坐标系中，将一块含有 45°角的直角三角板按如图所示的方式放置，直角顶点 C 的坐标为(2,0)，顶点 B 的坐标为(0,4)，顶点 A 恰好落在反比例函数 的图象上． （1）求反比例函数的表达式． （2）将直线OA 向上平移m(m>0)个单位长度后所得的直线与反比例函数 的图象的交点的横坐标为3m，求m 的值． 20. 洛阳宫灯是河南洛阳传统灯彩手工技艺之一，也是洛阳节庆装饰的核心载体，被列入国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为传承和弘扬非遗文化，某文创店计划购进一批甲、乙两种款式的洛阳宫灯文创产品，已知购进2件甲款和3件乙款洛阳宫灯文创产品共需270元，购进1件甲款和2件乙款洛阳宫灯文创产品共需170元． （1）求甲、乙两种款式的洛阳宫灯文创产品每件的进价． （2）该文创店决定将甲款洛阳宫灯文创产品以每件40元的价格出售，乙款洛阳宫灯文创产品以每件90元的价格出售．为满足市场需求，该文创店需购进甲、乙两种款式的洛阳宫灯文创产品共100件，且甲款的数量不少于乙款数量的4倍，请你求出该文创店将这100件洛阳宫灯文创产品全部出售后，可获得的最大利润． 21. 为保证社区居民安全，物业按规定执行人车分流，机动车不允许在小区地面行驶．如图，这是某小区地下停车库入口的设计示意图，延长，与交于点E，坡道的坡比(指坡面的铅直高度与水平宽度的比) ，已知米，米． （1）请求出的长． （2）按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志．根据图中所给数据，试确定该车库入口的限高数值，即点 D 到的距离． （3）为保障安全，车辆顶部到车库顶部至少保留米的安全距离．现有一辆装满家具的小型货车，车装满家具后的高度为2米，通过计算判断这辆货车 (填“能”或“不能”)驶入该车库． 22. 已知二次函数 的图象的顶点坐标为． （1）求该二次函数的表达式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． （2）若点在抛物线上，且满足，求m 的取值范围． （3）当 时，二次函数的最大值与最小值的差为2，请直接写出n的取值． 23. 在中， ，点，分别在，上，，为的中点，为的中点，连接． （1）观察猜想 如图1，连接，为的中点，当时，的形状是 ． （2）类比探究 如图2，当时，求的长． （3）解决问题 如图3，在四边形中， ，，，点，分别在，上，，为的三等分点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为 100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题(每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的) 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】解： ，， 又∵ ，， ∴ 比小的数是． 2. 某年河南全省地区生产总值亿元，按不变价格计算，同比增长，经济运行呈现稳中向好、趋新向优、韧性增强的良好态势．将“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 1亿， ∴亿， ． 3. 下列几何体的三视图中，主视图与左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断简单几何体的三视图，解题关键是理解三视图的意义． 【详解】解：圆锥的主视图是等腰三角形，左视图也是等腰三角形，主视图与左视图相同，故A不符合； 球的主视图与左视图都是圆，故B不符合； 长方体的主视图与左视图是不相同的矩形，故C符合； 圆柱的主视图与左视图是相同的矩形，故D不符合． 4. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定、平角定义，利用即可求解． 【详解】解：如图，，，则， 当，， 故选：C． 5. 计算 的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先变形统一分母，将异分母分式化为同分母分式，再合并分子，利用平方差公式分解因式后，约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 6. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴, ∴， 故选：． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，据此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由于方程有两个不相等的实数根， 则判别式 解得：． 8. 四大怀药，即产自河南焦作古怀庆府的怀山药、怀地黄、怀牛膝、怀菊花，其种植与炮制为国家级非遗传承技艺．正面分别印有四大怀药的四张卡片如图所示，它们除正面外其他完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“怀山药”和“怀菊花”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为“怀山药”和“怀菊花”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“怀山药”“怀地黄”“怀牛膝”“怀菊花”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为“怀山药”和“怀菊花”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为“怀山药”和“怀菊花”的概率为． 9. 如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 10. 某“地磅检测”模拟电路的简化原理如图1所示，电源电压恒为，定值电阻的阻值为 ，力敏电阻的阻值随所受压力的变化而变化，它们的关系如图2所示．当电压表示数超过 时，触发超载警报．下列说法正确的是（ ） 知识小链接：①导体两端的电压、导体的电阻、通过导体的电流满足关系式 ；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A. 力敏电阻的阻值随压力的增大而增大 B. 压力为 时，电压表示数为 C. 触发警报时，力敏电阻R所受到的压力大于 D. 若将定值电阻，更换为阻值更大的电阻，警报触发时对应的压力会更大 【答案】C 【解析】 【分析】先明确电路为力敏电阻与定值电阻串联，电压表测定值电阻两端电压，结合力敏电阻阻值随压力变化的图像，利用欧姆定律和串联电路的电流、电压规律逐一分析选项：A选项：直接观察图像趋势判断力敏电阻阻值与压力的关系即可判断；B选项：从图像中找到压力为时对应的力敏电阻阻值，计算电路总电阻和电流，进而求出电压表示数即可判断；C选项：由触发警报的临界电压算出临界电流和总电阻，得出此时力敏电阻的临界阻值，再对应图像找到对应的压力，结合阻值随压力增大而减小的规律判断压力范围即可；D选项：分析更换更大阻值的后，警报触发时的电流、总电阻和力敏电阻阻值的变化，再对应压力的变化即可判断． 【详解】解：A、从图2可以看出，力敏电阻的阻值随压力的增大而减小， ∴A选项错误，该选项不符合题意； B、当压力为时，由图2可知， ∴电路总电阻， ∵电源电压， ∴电路电流， ∴电压表示数， ∴B选项错误，该选项不符合题意； C、触发警报时电压表示数超过，即，， 此时电路电流， ∵电源电压， ∴总电阻， ∴力敏电阻阻值， 由图2可知，时对应，且随增大而减小， ∴触发警报时力敏电阻所受压力大于， ∴C选项正确，该选项符合题意； D、若将定值电阻更换为阻值更大的电阻，警报触发时不变， ∴电路电流会变小， ∵电源电压， ∴总电阻会变大， ∴力敏电阻阻值会变大， ∵随增大而减小， ∴变大对应变小，即警报触发时对应的压力会更小， ∴D选项错误，该选项不符合题意． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 请写出一个在直角坐标平面内不属于任何象限的点的坐标：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】在直角坐标平面内不属于任何象限的点在坐标轴上，任意写出一个满足条件的点即可． 本题主要考查了平面直角坐标系中坐标轴上的点的特征： x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，原点的坐标为．注意坐标原点不属于任何象限．熟练掌握平面直角坐标系中坐标轴上点的特征是解题的关键． 【详解】在直角坐标平面内不属于任何象限的点在坐标轴上，如，，，…等． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 近年来，我省依托农村电商发展，打造特色农产品新渠道，提高了农民收入．某农户通过网络销售新县红薯干特色农产品，利润由原来的每斤 10元增加到每斤 25元．该农户通过网络售出a斤农产品，则他的利润增加了_____元．（用含a的代数式表示，结果化为最简） 【答案】 【解析】 【详解】解：因为每斤利润的增加量为， 则总利润的增加量为． 13. 甲、乙两组学生的数学期末测试成绩(满分 100分)如下． 甲组∶85，88，90，92，95． 乙组∶80，85，90，95，100． 则方差较小的是_____组（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】先分别计算甲、乙两组成绩的平均数，再根据方差公式计算两组方差，比较方差大小即可得出结论． 【详解】解：甲组成绩的平均数： 甲组方差： 乙组成绩的平均数： 乙组方差： 因为 ，即， 所以方差较小的是甲组． 14. 如图，在正方形中，分别以点 C，D 为圆心，的长为半径画，，两弧相交于点E．若，则阴影部分的面积为______（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】先连接、，由题意可知，判断为等边三角形，得出；再计算扇形的圆心角为，求出扇形的面积和扇形的面积，然后计算出的面积，最后得出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接、，如图， 因为以点C、D为圆心，长为半径画弧， 所以， 所以是等边三角形， 所以； 因为扇形的圆心角为， 所以扇形的面积为， 所以扇形的面积为； 因为是等边三角形， 所以面积为， 所以阴影部分面积为： ． 15. 定义：若三角形一条边上的高在三角形内部，且等于这条边长的一半，则称这个三角形为“半高三角形”．如图，在中，，，D为边上的一点．若为“半高三角形”，则的长为____． 【答案】2或 【解析】 【分析】过点A作，，设，则，，分情况讨论：①在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时，，可推得；②在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时，由和可推得；③在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时，D只能在P的左边，在中，，和可推得不满足，舍去． 【详解】解：如图，过点A作， ，， ， , 设，则，， 分情况讨论： ①在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时， , ，解得，即； ②在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时， ， ， ，解得，，即； ③在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时， 如图，当D在P的右边时，，上的高不在三角形内部， D只能在P的左边，如图，此时， ， ， 在中， ， ，即， 化简得，，解得，不满足，舍去； 综上所述，或． 三、解答题(本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 从文本生成到语音识别、从绘画到编程，AI的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取8名，记录使用者对两款软件的评分(10分为满分，8分或8分以上为优秀)，并进行整理、描述和分析． 评分统计表 AI软件 平均数 方差 优秀率 甲 m n 乙 9 根据以上信息，解答下列问题． （1）表格中，______，_____ (填“>”“=”或“<”)， ； （2）你认为哪款AI软件的使用效果更好？请说明理由． 【答案】（1）； ； （2）乙款AI软件的使用效果更好，见解析 【解析】 【小问1详解】 解：， 由折线统计图可知，乙的评分波动程度更小，则， ， 故答案为：； ；； 【小问2详解】 解：乙款AI软件的使用效果更好； 理由：方差较小，优秀率更高． 18. 如图，B为上的一点，连接． （1）请用无刻度直尺和圆规作出线段的垂直平分线，并交于点A，C(保留作图痕迹，不写作法)． （2）连接，，，．求证∶四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意作线段的垂直平分线即可； （2）由是线段的垂直平分线和证明四边形四边相等即可． 【小问1详解】 解：如图所示，直线即为所求； 【小问2详解】 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴，， 又∵， ∴， 四边形为菱形． 19. 在平面直角坐标系中，将一块含有 45°角的直角三角板按如图所示的方式放置，直角顶点 C 的坐标为(2,0)，顶点 B 的坐标为(0,4)，顶点 A 恰好落在反比例函数 的图象上． （1）求反比例函数的表达式． （2）将直线OA 向上平移m(m>0)个单位长度后所得的直线与反比例函数 的图象的交点的横坐标为3m，求m 的值． 【答案】（1），见详解 （2），见详解 【解析】 【分析】（1）结合已知条件构造“一线三等角模型”即可确定点A的坐标，进而可确定反比例函数的表达式； （2）首先利用反比例的表达式确定交点坐标，然后把交点坐标代入平移后直线的表达式即可确定m的值． 【小问1详解】 解：如图，作AD轴于点D． =，， =， =． 在和中， ， ，， ， A点坐标为． 把A点代入 ，得 ， 解得 ， 所以反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 把代入， 得 ，解得． 所以直线的表达式为． 把代入，得y=． 所以平移后两个函数图象的交点坐标为 ． 由题意可知直线平移后得函数表达式为 ， 将交点坐标代入 ，得 =， 解得． 【点睛】本题考查了全等、待定系数法求函数解析式以及函数的平移等知识．能够准确识别和构造基本图形是解题的关键． 20. 洛阳宫灯是河南洛阳传统灯彩手工技艺之一，也是洛阳节庆装饰的核心载体，被列入国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为传承和弘扬非遗文化，某文创店计划购进一批甲、乙两种款式的洛阳宫灯文创产品，已知购进2件甲款和3件乙款洛阳宫灯文创产品共需270元，购进1件甲款和2件乙款洛阳宫灯文创产品共需170元． （1）求甲、乙两种款式的洛阳宫灯文创产品每件的进价． （2）该文创店决定将甲款洛阳宫灯文创产品以每件40元的价格出售，乙款洛阳宫灯文创产品以每件90元的价格出售．为满足市场需求，该文创店需购进甲、乙两种款式的洛阳宫灯文创产品共100件，且甲款的数量不少于乙款数量的4倍，请你求出该文创店将这100件洛阳宫灯文创产品全部出售后，可获得的最大利润． 【答案】（1）甲、乙两种产品每件的进价分别是30元，70元 （2）最大利润是1200元 【解析】 【分析】（1）设甲乙两种商品的每件的进价分别是元、元，根据购进2件甲款和3件乙款洛阳宫灯文创产品共需270元，购进1件甲款和2件乙款洛阳宫灯文创产品共需170元，列出方程，解方程即可； （2）设购进甲种商品a件，则购进乙种商品件，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据甲款的数量不少于乙款数量的4倍，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：设甲乙两种商品的每件的进价分别是元、元，根据题意得： 解得： 答：甲乙两种商品的每件的进价分别是30元，70元； 【小问2详解】 解：设购进甲种商品a件，则购进乙种商品件，利润为w元， ， ∵甲款的数量不少于乙款数量的4倍， ∴， 解得：， ∵， ∴随a的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴该文创店将这100件洛阳宫灯文创产品全部出售后，可获得的最大利润是1200元． 21. 为保证社区居民安全，物业按规定执行人车分流，机动车不允许在小区地面行驶．如图，这是某小区地下停车库入口的设计示意图，延长，与交于点E，坡道的坡比(指坡面的铅直高度与水平宽度的比) ，已知米，米． （1）请求出的长． （2）按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志．根据图中所给数据，试确定该车库入口的限高数值，即点 D 到的距离． （3）为保障安全，车辆顶部到车库顶部至少保留米的安全距离．现有一辆装满家具的小型货车，车装满家具后的高度为2米，通过计算判断这辆货车 (填“能”或“不能”)驶入该车库． 【答案】（1）米 （2）该车库入口的限高数值为米 （3）能 【解析】 【分析】（1）根据，得出，即，根据米，求出即可； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可； （3）根据（2）中结果求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴（米）； 【小问2详解】 解：过点D作于点H，如图所示： ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米，米， ∴（米）， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为米； 【小问3详解】 解：∵， 这辆货车能驶入该车库． 22. 已知二次函数 的图象的顶点坐标为． （1）求该二次函数的表达式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． （2）若点在抛物线上，且满足，求m 的取值范围． （3）当 时，二次函数的最大值与最小值的差为2，请直接写出n的取值． 【答案】（1），见解析 （2） （3）的取值为或 【解析】 【分析】（1）已知二次函数一般式和顶点坐标，可利用顶点坐标公式或顶点式代入求解参数、，再根据函数性质描点画图; （2）求时对应的值，结合抛物线开口向上的性质，确定时的范围； （3）抛物线开口向上，对称轴，顶点纵坐标（最小值），分区间在对称轴左侧、跨对称轴、在对称轴右侧三种情况讨论最值，结合“最值差”列方程求解． 【小问1详解】 解：二次函数的顶点坐标为， 设顶点式为， 展开得：， 与原式对比一次项系数： ， 常数项：，， 二次函数表达式为． 画图步骤： 对称轴为直线，顶点； 令， ，，， 得到与轴交点、； 令，得到与轴交点； 描点：、、、、，用平滑曲线连接． 图像如下： 【小问2详解】 解：当时，， 整理：， 解得 ，， ，抛物线开口向上， 时，． 【小问3详解】 解：二次函数，对称轴，最小值为， ① 区间在对称轴左侧：， 二次函数的最大值为，最小值为 ， ， ，但(不合题意，舍去)； ②区间在对称轴右侧：， 二次函数的最大值为，最小值为， ， ，但(不合题意，舍去)； ③区间跨对称轴：，最小值为 此时最大值在区间端点取到： 若右端点更大：，，；（满足） 若左端点更大：，，．（满足） 综上，或． 23. 在中， ，点，分别在，上，，为的中点，为的中点，连接． （1）观察猜想 如图1，连接，为的中点，当时，的形状是 ． （2）类比探究 如图2，当时，求的长． （3）解决问题 如图3，在四边形中， ，，，点，分别在，上，，为的三等分点，请直接写出的长． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理，结合直角条件判断边长与角度关系； （2）连接，取中点，构造中位线，利用有一个角为的等腰三角形是等边三角形求解； （3）延长、交于点，结合比例关系构造中位线，分、 两种情况求解． 【小问1详解】 解：为中点，为中点，为中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ， ， ，， 则与相等或互补， 又 ， ， 的形状是等腰直角三角形． 【小问2详解】 解：如图，连接，取的中点，连接、， 为中点，为中点，为中点， 是的中位线，是的中位线， ， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， 过点作交延长线于， 则 ， ， ， 在中，． 【小问3详解】 解：如图3，延长、交于点， ， ， ①当时，连接，取的三等分点， ，连接、， ， ∵ ， ， ∴， ， 又， ， ∵ ， ， ∴， ∴ ， 根据解析（2）可得： ， ∴ ， 过点作交延长线于， ， ， 在中，； ②当 时，连接，取的三等分点， ，连接、， ， ∵ ， ， ∴， ∴ ， 又， ， ∵ ， ， ∴， ∴ ， 根据解析（2）得： ， ∴ ， 过点作交延长线于， ， ， 在中，， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $