精品解析：陕西西安市西光中学教育集团2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测数学试题

西安市西光中学教育集团2025-2026年八年级下学期5月质量监测数学试题 时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列简笔画图案中，是利用轴对称方式绘画的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A，∵ ，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴ ，A判断正确． 对于B，∵ ，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ ，B判断正确． 对于C，题目未说明的取值范围，当时，不等式两边乘后不等号方向改变，可得 ，当时，可得 ，因此 不一定成立，C判断错误． 对于D，∵ ，且 ，可得 ，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变， ∴ ，D判断正确． 综上，不正确的是C． 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，即把一个多项式化成几个整式的积的形式，进行逐一分析判断即可 ． 【详解】解：A、不是因式分解，不符合题意； B、符合因式分解的概念，符合题意； C、该变形是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； D、该变形没有分解成积的形式，不符合题意． 故答案为：B ． 4. 如图，中，是边上一点，连接，分别是 的中点，连接，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质得，即得，再根据三角形中位线的性质解答即可求解． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵分别是 的中点， ∴ ． 5. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用，解题关键是根据 “数量差为3副” 这一等量关系，用含的代数式表示出两种球拍的购买数量，进而列出方程． 【详解】解：设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则W品牌每副球拍的单价为元，由等量关系如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副，列出方程： ． 7. 如图，函数的图象过点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象的平移规律即可得出结果． 【详解】解：函数的图象向左移动一个单位后， 即为函数的图象，该图象过点， 且函数图像上升， 故关于的不等式的解集为． 8. 如图，在等腰梯形中，，点为中点，联结，作交于点．如果，且，那么的长为．（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，过点A作于，过点D作于H，延长交于，可证明得到，，则，据此可求出，进而得到；求出，得到，则；证明四边形是矩形，得到，再证明，可得，则可求出． 【详解】解：如图所示，过点A作于，过点D作于H，延长交于 ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴ ∴，， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴ ． 故选：D． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 如图，以正方形的边向外作正五边形，则的度数为_____． 【答案】##162度 【解析】 【分析】利用多边形内角和及正多边形性质求得的度数，利用正方形性质求得的度数，然后根据角的和差即可求得答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴， ∵正方形中，， ∴ ． 10. 分解因式________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式，即可进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握完全平方公式． 11. 若关于x的分式方程无解，则m的值为_______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵原分式方程无解． ∴，即或． 解得或． 当时，； 当时，． ∴m的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是分式方程无解的知识，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 12. 如图，直线和直线相交于点，当 时，x的取值范围是___． 【答案】## 【解析】 【详解】解：由图象可知，当 时，的取值范围是． 13. 如图，在中，于点，于点，，．若刚好是的中点，则___． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，，则有，设，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 又∵，， ∴， 设， ∵刚好是的中点， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴． 14. 如图，等边中，是上一点，且，点为AB边上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转至，连接、，则的最小值为___． 【答案】 【解析】 【分析】过点N作于点F，过点D作于点H，则，证明，得出，求出，得出点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是，作点C关于该直线的对称点E，连接，则，说明当点A，N，E三点共线时，最小，即最小，连接交该直线于G，则，，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，过点N作于点F，过点D作于点H，则， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是， 作点C关于该直线的对称点E，连接，则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点A，N，E三点共线时，最小，即最小， 连接交该直线于G，则，， ∴， ∴的最小值为． 三．解答题（共12小题，共78分） 15. 求不等式组：的所有非负整数解． 【答案】非负整数解为0，1 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后写出非负整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴， ∴， 所有非负整数解为0，1． 16. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先确定方程中分母的最简公分母，再方程两边同时乘以最简公分母，求解得到的整式方程，得到未知数的解．对所得的解进行检验，因为去分母时可能产生增根，所以需要将解代入最简公分母验证是否为原方程的解． 【详解】方程两边同时乘得：  ， 整理：  ， ， 解得， 检验： 把 代入最简公分母  ， ∴是原方程的根． 17. 先化简，再求值：，其中x是满足的整数，请你从中选择一个合适的数代值计算． 【答案】，2 【解析】 【分析】先将括号内进行通分计算，再将除式的分子和分母分解因式，然后再把除法转化为乘法，通过约分化简；根据分式有意义的条件，取满足的整数，代入化简的结果进行计算即可． 【详解】解： ， ∵要使原分式有意义，则，且， 解得，且， 又∵且为整数， ， 当时，原式． 18. 如图，已知，请用尺规作图法在右侧找一点E，使得四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧的交点即为点E，连接、即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 证明：由作图可知，，， ∴四边形是平行四边形． 19. 如图，在四边形中，延长，两线相交于点A，已知，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质，勾股定理，解方程，三角形的面积求解即可； 【详解】解：因为， 所以 因为， 所以，，， 所以， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， 故， 所以，， 所以． 20. 如图，下列都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： （1）在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形； （2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称但不轴对称的图形．（只需画出符合条件的一种情形） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的定义求解即可； （2）利用中心对称图形的定义及轴对称图形的定义求解即可． 【小问1详解】 解：选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形，如图所示： 【小问2详解】 解：选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形且不轴对称，如图所示． 21. 如图，在中，点E、F分别为延长线上的点，且，连接，分别与相交于点G、H．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得,可得，再证明，然后根据“角角边”证明结论即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 , ． ， ，即． 在与中 ． 22. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购《西游记》和《骆驼祥子》两本书．经了解20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元． （1）求每本《西游记》和每本《骆驼祥子》各多少元？ （2）若学校要求购买《骆驼祥子》比《西游记》多20本，而且《西游记》不低于25本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【答案】（1）每本《西游记》40元，每本《骆驼祥子》20元 （2）有2种购买方案，详见解析 【解析】 【分析】（1）设每本《西游记》x元，每本《骆驼祥子》y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设学校购买m本《西游记》，则购买本《骆驼祥子》，根据题意列出不等式组求出的正整数解即可． 【小问1详解】 解：设每本《西游记》x元，每本《骆驼祥子》y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每本《西游记》40元，每本《骆驼祥子》20元； 【小问2详解】 解：设学校购买m本《西游记》，则购买本《骆驼祥子》， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以为25，26， ∴该学校共有2种购买方案， 方案1：购买25本《西游记》，45本《骆驼祥子》； 方案2：购买26本《西游记》，46本《骆驼祥子》． 23. 如图，将绕点逆时针方向旋转得到，． （1）若，求旋转角的度数； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）旋转角，根据旋转的性质，，而，，即可求解旋转角； （2）旋转角，由两直线平行，可知同旁内角互补，，从而求解． 【小问1详解】 解：∵将绕点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：根据旋转的性质，有， ∵，， ∴， 即， ∴． 24. “低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； （1）已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ （2）若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元 （2）售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润为10700元 【解析】 【分析】（1）设出B型车的进货单价，表示出A型车的进货单价，根据两种车购进数量相等列分式方程，求解检验后得到结果； （2）先计算出两种车的单件利润，设A型车的销售量，表示出B型车销售量，得到总利润关于A型销售量的一次函数，再根据B型销售量的限制条件列出不等式，求出自变量的整数取值范围，最后结合一次函数的增减性求出最大利润及对应销售量． 【小问1详解】 解：设B型自行车的进货单价为元，则A型自行车的进货单价为 元． 根据题意， 得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则 (元)． 答：A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元． 【小问2详解】 解：由题意得，每辆A型车的利润为 (元)，每辆B型车的利润为 (元)． 设售出A型车辆，则售出B型车辆，总利润为元． 则 ． 根据题意得 ． 解不等式 得 ． 解不等式得． 因为为正整数，所以的取值为．  中，，  随的增大而减小，  当时，取得最大值，此时 (元)，(辆)． 答：售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润是10700元． 25. 【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： ． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1） （2） （3），时，原式有最小值 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． （1）用平方差公式继续进行因式分解即可； （2）将原式改写为，先用完全平方公式，再用平方差公式，即可进行因式分解； （3）用题目所给方法，将原式整理为，即可进行解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ∵， ∴ ∴当，时，多项式有最小值，最小值为5． 26. 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点分别为上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图①，当为等边三角形时，甲同学发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则．你认为甲同学的想法正确吗？请说明理由； 【类比探究】（2）乙同学尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）陈老师提出新的探究方向：如图③，在中，，，连接，请直接写出的最小值． 【答案】[初步尝试]（1）正确，理由见解析； [类比探究]（2）四边形为平行四边形，理由见解析； [拓展延伸]（3） 【解析】 【分析】[初步尝试]（1）根据等边三角形的性质，旋转的性质可证，即可求解； [类比探究]（2）根据旋转的性质可得，得到，由（1）的证明方法得到，则，根据垂直的定义可得，得到，根据平行四边形的判定即可求解； [拓展延伸]（3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：[初步尝试]（1）正确，理由如下， ∵是等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； [类比探究]（2）四边形为平行四边形，理由如下， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； [拓展延伸]（3）∵， ∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与最短路径的计算，掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市西光中学教育集团2025-2026年八年级下学期5月质量监测数学试题 时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列简笔画图案中，是利用轴对称方式绘画的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，是边上一点，连接，分别是 的中点，连接，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，函数的图象过点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰梯形中，，点为中点，联结，作交于点．如果，且，那么的长为．（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 如图，以正方形的边向外作正五边形，则的度数为_____． 10. 分解因式________． 11. 若关于x的分式方程无解，则m的值为_______． 12. 如图，直线和直线相交于点，当时，x的取值范围是___． 13. 如图，在中，于点，于点，，．若刚好是的中点，则___． 14. 如图，等边中，是上一点，且，点为AB边上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转至，连接、，则的最小值为___． 三．解答题（共12小题，共78分） 15. 求不等式组：的所有非负整数解． 16. 解分式方程：． 17. 先化简，再求值：，其中x是满足的整数，请你从中选择一个合适的数代值计算． 18. 如图，已知，请用尺规作图法在右侧找一点E，使得四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在四边形中，延长，两线相交于点A，已知，求四边形的面积． 20. 如图，下列都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： （1）在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形； （2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称但不轴对称的图形．（只需画出符合条件的一种情形） 21. 如图，在中，点E、F分别为延长线上的点，且，连接，分别与相交于点G、H．求证：． 22. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购《西游记》和《骆驼祥子》两本书．经了解20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元． （1）求每本《西游记》和每本《骆驼祥子》各多少元？ （2）若学校要求购买《骆驼祥子》比《西游记》多20本，而且《西游记》不低于25本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 23. 如图，将绕点逆时针方向旋转得到，． （1）若，求旋转角的度数； （2）若，且，求的度数． 24. “低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； （1）已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ （2）若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 25. 【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： ． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 26. 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点分别为上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图①，当为等边三角形时，甲同学发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则．你认为甲同学的想法正确吗？请说明理由； 【类比探究】（2）乙同学尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）陈老师提出新的探究方向：如图③，在中，，，连接，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $