精品解析：上海市张江集团中学2025-2026学年九年级下学期5月学情自测数学试卷

2025学年第二学期阶段练习 初三年级 数学学科 试卷 时间：100分钟 满分：150分 一、选择题（共24分，每小题4分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，，原计算错误，故此项不符合题意； B选项，，原计算正确，故此项符合题意； C选项，，原计算错误，故此项不符合题意； D选项，，原计算错误，故此项不符合题意； 故选：B． 2. 如果单项式与是同类项，那么的值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项的定义求解即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：由题意, ∵单项式与是同类项， ∴a1=2，b+1=3， ∴a=3，b=2， ∴a+b=3+2=5． 故选：C． 【点睛】本题考查了同类项．解题的关键是熟练掌握同类项的定义． 3. 以下四种传统纹样中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项B：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 对于选项C：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 4. 在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（ ） A. 6 B. 8 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数的概念，将数据按从小到大排序后，根据数据个数的奇偶性确定中间位置的数，得到中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大排列得： 6，7，7，7，8，9，9 则该组数据的中位数为． 5. 某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为人，则列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设原计划人数为人，根据总零件数分别表示出原计划和实际的平均每人生产零件个数，再结合实际平均每人生产零件个数比原计划少个的等量关系列出方程，即可选出正确选项． 【详解】解：设原计划人数为人， ∵实际参与生产的人数是原计划人数的倍，∴实际参与生产的人数为人． 原计划平均每人生产零件个数为，实际平均每人生产零件个数为， ∵实际平均每人生产零件个数比原计划少了个， ∴原计划平均生产个数减去实际平均生产个数等于，因此列出方程为， 故选A． 6. 如图，点是函数的图象上的点，点，的坐标分别为，．试利用性质：“函数的图象上任意一点都满足”求解下面问题：作的角平分线，过作的垂线交于，已知当点在函数的图象上运动时，点所经过的路径是（ ）的一部分 A. 直线 B. 圆 C. 抛物线 D. 反比例函数的曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理，圆等知识，解题的关键是学会添加辅助线，利用三角形的中位线定理解决问题，属于中考选择题中的压轴题．如图：延长交的延长线于，连接．只要证明是的中位线，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图：延长交的延长线于，连接． ， ， ，， 为的平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 点在以为圆心为半径的圆上运动． 故选：B． 二、填空题（共48分，每小题4分） 7. 分解因式： ______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接根据平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 9. 不等式组的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解出两个不等式的解集，合并得到最终的解集． 【详解】解不等式得：x≥－1 解不等式得：x＜3 故答案为： 【点睛】本题考查求不等式组的解集，在合并两个不等式的解集时，有口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间夹，大大小小无解答”． 10. 某种细胞的直径只有1.56微米，即0.000 001 56米，把数据0.000 001 56用科学记数法表示为______. 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将数0.000 00156用科学记数法表示为， 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 11. 已知点在正比例函数的图像上，则的值为_______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数解析式，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：点在正比例函数的图象上， 将点的坐标代入解析式得：， 解得． 12. 小明手中有、、、四张牌，小军手中有、、、四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌上的数字和自己原有牌上的数字相同的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】确定所有等可能的结果总数，找出符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意可得，小明从小军手中抽一张牌，所有等可能的结果共有种，其中抽到的牌与小明原有的牌数字相同的结果有种，分别为抽到和抽到， 根据概率公式可得： ． 13. 如果是一元二次方程的解，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把代入，进而可求出a的值． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， 故答案为： 14. 如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个长的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是_______（结果精确到0.1，参考数据，）． 【答案】 【解析】 【分析】先得出时，安全攀上墙的高度最高，再利用角的正弦函数求解即可． 【详解】解：∵要使用这个梯子安全攀上墙的高度最高， ∴应尽可能大， ∵， ∴当时，安全攀上墙的高度最高， ∵梯子长， ∴使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是． 15. 如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为_______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数值求出，利用勾股定理计算出，则阴影部分的面积等于所对扇形的面积减去的面积． 【详解】解：中，，，， ，， ， 所对扇形的面积为：， ， 阴影部分的面积为． 16. 如图，四边形中，，，，交的延长线于点，若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点C作于点F，先证明，得出，进而证明是等边三角形，根据，设，，则，，得出，解，进而求得，，然后根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点F， ，， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 设，，则，， ， ， ， ， ． 17. 在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点是轴上一点，，将绕点旋转，点的对应点分别为．当四边形的面积等于8时，点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数、平行四边形的性质，旋转的性质，熟练掌握是解答本题的关键．根据题意画出图像，先证明四边形是平行四边形，易得，在中利用三线合一得到，利用面积即可求解． 【详解】解：根据题意画出图像得， 过点作于点， ，， 根据旋转得，，，， ， 四边形是平行四边形， 易知， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 在一张直角三角形纸片的两条直角边上各取一点，沿它们与斜边中点的连线剪掉两个三角形，剩下的部分是一个直角梯形，已知这个直角梯形上底为2，下底为3，面积为5，那么原直角三角形的斜边长为_______． 【答案】 或 【解析】 【分析】先利用直角梯形面积公式求出梯形的高，再分情况讨论平行对边的位置，结合中点性质得到原直角三角形两条直角边的长度，最后利用勾股定理计算斜边长． 【详解】设原直角三角形为Rt，，斜边中点为，剩余直角梯形为，在上，在上． 由直角梯形面积公式 ， 代入已知，上底，下底3，得：， 解得，即梯形的高为． 分情况讨论： 情况1：，，为梯形的两个底，为梯形的高． 连接，在Rt中，∵点 为中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∵点 为中点，， ∴是的中位线， ∴， 若，则， 在Rt中，根据勾股定理得： ． 若，则， 在Rt中，根据勾股定理得： ． 情况2：，，为梯形的两个底，为梯形的高． 连接， 在Rt中，∵点 为中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∵点 为中点，， ∴是的中位线， ∴， 若，则， 在Rt中，根据勾股定理得： ． 若，则， 在Rt中，根据勾股定理得： ． 综上，原直角三角形的斜边长为或． 三、解答题（共78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算乘方，绝对值，算术平方根，零次幂，再进行加减运算． 【详解】解： ． 20. 解方程 【答案】原分式方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把分式方程化为整式方程，进而即可求解． 【详解】解：去分母，得， 去括号得：， 移项并合并同类项得： 解得， 检验∶把代入， ∴原分式方程无解． 21. 如图，在中，是边上的高，是边上的中线，已知，，． （1）求高的长； （2）求的值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）先解求出，再利用勾股定理求出的长即可； （2）过点E作，垂足为F，证明，得到，则，，则，最后根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵是边上的高， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点E作，垂足为F，如图， ∵是边上的中线， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴， 在中，，即． 22. 某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． （1）如果的长为，直接写出： ， （2）记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值： ； ． ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？如果可以，画出示意图并证明其可行性；如果不行，说明理由． 【答案】（1），； （2）①，②可以，图形和理由见解析 【解析】 【分析】（1）设，，则，利用圆的周长公式和弧长公式解答即可； （2）①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可； ②将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长度，再利用它们与的矩形纸片的长与宽作比较即可． 【小问1详解】 解：由题意得：的长为，的长为， 设，，则， ， ， ．； 【小问2详解】 解：①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，如图， 则， 四边形为矩形， 四边形，为矩形， ， 由题意得：，，，， 为等边三角形， ，，， ，， ，， ， ． ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，理由： 将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点， 由题意得：，，，， ，， ， ， ，， ，， 用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片． 23. 如图9，在梯形中，，连接，点在上，连接，使得，点在边上，连接，分别交、于点、，且，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）如果，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意得出，进而得出，根据中位线的性质可得出，结合已知可得四边形是平行四边形，根据，即可得证； （2）证明，得出进而证明得出，证明，即可证明得出，进而根据，，即可得证． 【小问1详解】 证明：如图， ∵，即 ∴ ∵，即 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即是的中点， 又∵， ∴是的中点， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 证明：∵，即 又 ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵是的中位线， ∴ 又 ∴即 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，顶点为． （1）求，的值与顶点的坐标； （2）抛物线（且）过点，，且与x轴另一个交点为，顶点为． ①求的余切值（用含有的代数式表示）； ②如果，求此时点的坐标． 【答案】（1），， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求得抛物线的解析式为，再配方成顶点式，得出顶点的坐标； （2）先求得抛物线的解析式为，再令，解得点的坐标为，最后根据余切的定义求解即可； （3）先求得点的坐标为，设抛物线的对称轴与轴交于点，则，，可得；设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的横坐标，纵坐标，得出， 结合点的坐标为和正切的定义再求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和， ∴将点代入方程，即，得， 将点及代入方程，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； ， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：①∵抛物线过点和，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 即， 解得， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 如图，在中，， ； ②由（1）知，抛物线的对称轴为直线，顶点， 令，得，解得， ∴点的坐标为． 如图，设抛物线的对称轴与轴交于点，则，连接、， 在中，， ， ， ， 如图，设抛物线的对称轴与轴交于点，连接、， 则点的横坐标，纵坐标， ； ∵点的坐标为， ， 在中，， ∴，即， 解得或， ， ， 当时，顶点的坐标为：横坐标，纵坐标， ∴点的坐标为． 25. 如图1，菱形中，过点，，三点的圆与边交于点． （1）请用尺规作图，确定点的位置，并证明：点在对角线上；（保留作图痕迹，不必叙述作图过程） （2）如图2，连接，如果，求的值； （3）如图3，连接并延长，交于点，如果，求的值（用含有的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作线段和的垂直平分线，交点即为圆心，根据结合菱形的边的性质，得垂直平分，由菱形对角线互相垂直平分的性质，得到O在上． （2）如果，那么可结合菱形对边平行的性质得到平行关系，利用平行线的性质、圆周角定理、等腰三角形的角的关系推导各角的数量关系，再结合菱形边长相等的性质，设边长为参数，建立和的数量关系求比值． （3）因为，所以可构造相似三角形，结合圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，用k表示相关线段的长度，再推导和的比例关系． 【小问1详解】 解：如图所示，作、的垂直平分线，两线交点即为圆心，点即为所求． 证明：连接， ∵点O是边的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵菱形中垂直平分， ∴点在对角线上； 【小问2详解】 解：如图，连接，，设菱形边长，半径为，． ∴， ∵， ∴，  ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，​ 解得， ∴ ． 【小问3详解】 解：过点O作于点G，交于点H，连接，设菱形的边长为1，的半径为r， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期阶段练习 初三年级 数学学科 试卷 时间：100分钟 满分：150分 一、选择题（共24分，每小题4分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果单项式与是同类项，那么的值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 以下四种传统纹样中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（ ） A. 6 B. 8 C. 7 D. 9 5. 某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为人，则列出的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点是函数的图象上的点，点，的坐标分别为，．试利用性质：“函数的图象上任意一点都满足”求解下面问题：作的角平分线，过作的垂线交于，已知当点在函数的图象上运动时，点所经过的路径是（ ）的一部分 A. 直线 B. 圆 C. 抛物线 D. 反比例函数的曲线 二、填空题（共48分，每小题4分） 7. 分解因式： ______． 8. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________． 9. 不等式组的解集是___________． 10. 某种细胞的直径只有1.56微米，即0.000 001 56米，把数据0.000 001 56用科学记数法表示为______. 11. 已知点在正比例函数的图像上，则的值为_______． 12. 小明手中有、、、四张牌，小军手中有、、、四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌上的数字和自己原有牌上的数字相同的概率为_______． 13. 如果是一元二次方程的解，那么______． 14. 如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个长的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是_______（结果精确到0.1，参考数据，）． 15. 如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为_______．（结果保留） 16. 如图，四边形中，，，，交的延长线于点，若，则的值为_______． 17. 在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点是轴上一点，，将绕点旋转，点的对应点分别为．当四边形的面积等于8时，点的坐标是_______． 18. 在一张直角三角形纸片的两条直角边上各取一点，沿它们与斜边中点的连线剪掉两个三角形，剩下的部分是一个直角梯形，已知这个直角梯形上底为2，下底为3，面积为5，那么原直角三角形的斜边长为_______． 三、解答题（共78分） 19. 计算：． 20. 解方程 21. 如图，在中，是边上的高，是边上的中线，已知，，． （1）求高的长； （2）求的值． 22. 某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． （1）如果的长为，直接写出： ， （2）记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值： ； ． ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？如果可以，画出示意图并证明其可行性；如果不行，说明理由． 23. 如图9，在梯形中，，连接，点在上，连接，使得，点在边上，连接，分别交、于点、，且，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）如果，求证：． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，顶点为． （1）求，的值与顶点的坐标； （2）抛物线（且）过点，，且与x轴另一个交点为，顶点为． ①求的余切值（用含有的代数式表示）； ②如果，求此时点的坐标． 25. 如图1，菱形中，过点，，三点的圆与边交于点． （1）请用尺规作图，确定点的位置，并证明：点在对角线上；（保留作图痕迹，不必叙述作图过程） （2）如图2，连接，如果，求的值； （3）如图3，连接并延长，交于点，如果，求的值（用含有的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $