精品解析：江苏南京市七校联合体2025-2026学年度第二学期高一下学期5月学情调研数学试卷

2025-2026学年高一年级第二学期学情调研 数学试卷 2026.05 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由向量减法与加法的三角形法则可得. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式求得正确答案. 【详解】. 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（ ） A. 2π B. 4π C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】设外接圆的半径为， 因为，，由正弦定理，， 解得，故外接圆的周长为. 4. 下列结论中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线判断A，根据特例判断B，根据数量积的运算判断CD. 【详解】对A，当中至少有一个为零向量时，成立， 当都为非零向量时，由知或， 所以，综上，A正确； 对B，若为零向量时，满足，， 但是不一定成立，故B错误； 对C， ， 所以，即，故C正确； 对D，因为 ， 所以，所以，故D正确. 5. 小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则A，B两地之间的距离是（ ） A. 40米 B. 米 C. 米 D. 60米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，利用正弦定理和余弦定理计算即可得. 【详解】如下图：由题可得、、，，， ，即， 故，则，则， 故. 故选：C. 6. 在中，，，，则（ ） A. 16 B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，再根据平面向量数量积的坐标运算公式即可求解；方法二：根据平面向量线性运算及数量积的运算律即可求解． 【详解】方法一：坐标法． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，则，，． ，， 则． 方法二：利用向量关系． ． 由于，， 所以． 7. 已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案 【详解】以A为原点，、所在的直线分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则，，， ，所以， 设，故， 因为，所以， 则，， 所以， 因为，其对称轴为，取得最小值， 当，取得最大值，所以 8. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式得出，再根据三角形中线的向量表示及平面向量数量积的运算律得出，由三角形面积公式即可求解． 【详解】由已知条件，化简得． 由正弦定理得，， 又，所以， 所以，由于为锐角三角形，所以． 边上的中线长为， 设边上的中线长为，则， 所以 ， 所以， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为 B. 复数的虚部为 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】A：复数的模，正确. B：复数的虚部为，正确. C：复数不能比较大小，错误. D：设则，，正确. 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，，则符合条件的有两个 D. 若，则是锐角三角形 【答案】ACD 【解析】 【详解】三角形中，大角对大边，若，则，由正弦定理， 则，即，故A正确； 由正弦定理， 已知，则， 由余弦定理，说明是锐角，无法确定是否是锐角， 故三角形不一定是锐角三角形，故B错误； 已知，，，则， ， ，， 可能是大于的锐角或钝角，即符合条件的有两个，C正确； ， ，由大角对大边可知为最大角， 要证是锐角三角形，只需证， 由三角形的性质知， ， ，令，则，， ， 即， ， ，故是锐角三角形，故D正确． 11. 已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（ ） A. 的面积的最大值为 B. 当P为BC中点时， C. 若的面积为面积的，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义，平面向量数量积的运算律及三角形面积公式即可判断A；由平面向量数量积的运算律即可判断B；由三点共线即可判断C；由平面向量数量积的运算律即可判断D． 【详解】对于A，由已知条件，得， 由，得， 平方得，得，． ， 由，得，则， 所以，故A正确． 对于B，当为中点时，， 则，故B正确． 对于C，由在上，设且，则与面积比等于， 由得，故C正确． 对于D，若，则，结合，得，为等边三角形． ,， 则 ， 当时，取得最小值，故D错误． 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分． 12. 已知向量，，满足，则_____. 【答案】 【解析】 【详解】，， 因为，所以，解得， 因此. 13. 在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为复数，，，所对应的点分别是，，， 所以，，， 即，，， 所以 由，所以， 解得，因此. 14. 在中，内角,,所对的边分别为,，，若 ，则的最大值等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理，化简已知条件，得到；再根据正弦定理和余弦定理，将目标式化为关于的三角函数，进而求三角函数的最大值即可. 【详解】因为 ，由正弦定理可得：， 又，，则 因为 ， 当且仅当时，取得最大值，最大值为，也即的最大值为. 四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设复数，，其中为虚数单位． （1）若是纯虚数，求． （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对进行分母实数化，根据是纯虚数构造方程组求出，进而求出复数，再求出； （2）求出复数，根据其在复平面内对应的点位于第四象限构造不等式组求解． 【小问1详解】 ， 若为纯虚数，则，解得， 故， ． 【小问2详解】 ， 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得， ． 16. 的三边长度分别为：，，， （1）求：的值 （2）若，，点在线段上，且 （ⅰ）试用，的适当形式表示 （ⅱ）求 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先根据余弦定理求出，再根据数量积的定义求解； （2）（ⅰ）根据向量的线性运算求解； （ⅱ）根据向量数量积的运算律求解． 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 （ⅰ） ； （ⅱ） ． 17. （1）已知，，求的值； （2）已知角，，且，，求和的值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）先对已知式子进行平方，再相加结合正弦差角公式求解； （2）根据题意，利用倍角公式及同角三角函数的关系求出、、，再由展开计算即可． 【详解】（1）， 得， 解得； （2），，，， ，， 又，， ． 18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． （1）求， （2）若，且的面积为，求的周长； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解； （2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案； （3）根据面积公式、正弦定理转化为三角函数，再由三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质求解. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 其中，故．∴，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理可得 即，所以， 所以的周长为. 【小问3详解】 因为是锐角三角形，， 所以，解得， 由正弦定理，，则 ， 所以， ， 由得，所以， 所以， 即面积的取值范围为. 19. 我们把山平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，，分别为，正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记． （1）已知向量的“广义坐标”为．求的模； （2）以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． （3）如图3，在“广义坐标系”中，点，分别在射线、射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义及运算律求解. （2）利用向量线性运算的坐标表示求解. （3）令，利用向量的线性运算及数量积的运算律建立函数关系，再借助换元法及基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 依题意，，由单位向量的夹角为，得， 所以. 【小问2详解】 在平面直角坐标系中，， 设，由向量在平面直角坐标系中的坐标为， 得，则，解得， 所以向量的“广义坐标”为. 【小问3详解】 在中，令，则， 由，得，即，， 由分别为的中点，得， 因此 ， 令，由，得，且， 则， 当且仅当时取等号，于是当时，， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级第二学期学情调研 数学试卷 2026.05 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（ ） A. 2π B. 4π C. 2 D. 1 4. 下列结论中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 5. 小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则A，B两地之间的距离是（ ） A. 40米 B. 米 C. 米 D. 60米 6. 在中，，，，则（ ） A. 16 B. C. 9 D. 7. 已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为 B. 复数的虚部为 C. 若，则 D. 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，，则符合条件的有两个 D. 若，则是锐角三角形 11. 已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（ ） A. 的面积的最大值为 B. 当P为BC中点时， C. 若的面积为面积的，则 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分． 12. 已知向量，，满足，则_____. 13. 在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 14. 在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________. 四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设复数，，其中为虚数单位． （1）若是纯虚数，求． （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 的三边长度分别为：，，， （1）求：的值 （2）若，，点在线段上，且 （ⅰ）试用，的适当形式表示 （ⅱ）求 17. （1）已知，，求的值； （2）已知角，，且，，求和的值． 18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． （1）求， （2）若，且的面积为，求的周长； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 19. 我们把山平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，，分别为，正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记． （1）已知向量的“广义坐标”为．求的模； （2）以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． （3）如图3，在“广义坐标系”中，点，分别在射线、射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $