精品解析：广东珠海市麒麟中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题

2025—2026学年第二学期高一5月月考 数学 命题人：叶盛棠 何婉婷 审题人：谢芷凝 邓清睿 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、试室、座位号和准考证号填写在答题卡上.将条形码模贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（是虚数单位），则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由已知可得. 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 解得． 3. 为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（　　） A. 横坐标伸长到原来的2倍，向左平移个单位长度，纵坐标不变 B. 横坐标伸长到原来的2倍，向右平移个单位长度，纵坐标不变 C. 横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标不变 D. 横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象的变换直接可得. 【详解】将函数图象上所有的点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到函数的图象， 再将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. 故选：C 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求出角，再由面积公式求面积. 【详解】中，由，得， 由余弦定理，，得， 又，所以. 5. 四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点 对应的复数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设对应点的坐标为，根据为平行四边形，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由在复平面内，点对应的复数分别为， 可得点在复平面内对应的点的坐标为， 设在复平面内对应点的坐标为， 因为为平行四边形，所以， 又因为，，所以，解得， 所以点对应的复数为. 故选：C. 6. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法还原，可求各边长度和周长. 【详解】由题可作出图形，如下图所示： 由，可知，，， 所以， 故的周长为. 7. 如果是空间中的两条直线，是空间中的两个平面，下列命题错误的是（　　） A. 直线与要么相交，要么不相交 B. 当直线与不相交时，与要么平行，要么异面 C. 直线与平面，要么与平行，要么在内 D. 平面与要么相交，要么不相交 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间两条直线的共面或异面的位置空间及线面位置关系，两个平面的位置关系可判断各个命题的真假. 【详解】对于AB，空间中的两条直线的位置关系有共面和异面两种情况，共面时有相交和平行两种情况， 所以直线与要么相交，要么不相交，故A正确； 当与不相交时，与要么平行，要么异面，故B正确； 对于C，直线，平面，要么与平行，要么在内， 还有可能直线与平面相交，故C错误； 对于D，空间两个平面与的位置关系为相交或平行， 空间两个平面要么相交，要么不相交，故D正确． 故选：C 8. 已知，为三角形所在平面上的动点，且满足，则为三角形的（ ）． A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的数量积运算可得，即，同理可证即可得出结果. 【详解】由，所以， 则，同理可证， 所以为三角形的垂心. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是增函数 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A正确，再由正弦型函数的单调性可判断B错误，结合正弦型函数的对称性利用检验法代入计算可判断C正确，由三角函数图象的变换规则可得D正确. 【详解】对于A，易知函数的最小正周期是，可得A正确； 对于B，当时，，易知在上不单调， 所以函数在区间上不单调，即B错误； 对于C，因为， 因此直线是函数图象的一条对称轴，即C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位长度可得，因此D正确. 故选：ACD 10. 如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则（ ） A. B. C. 四点共面 D. 四边形是梯形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据中位线的性质，结合平行的性质逐一分析即可. 【详解】由题意知，且，所以，故错误； 又，，所以，又， 所以四点共面，且四边形是梯形．故正确． 故选：. 11. （多选）已知，，是任意的非零向量，则（ ） A. 若且与同向，则 B. C. 若，则不与垂直 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的概念，可判定A错误；根据向量的数量积的定义，以及，可判定B正确；根据向量的运算律，得到，可判定C错误；根据向量的运算法则，可判定D正确. 【详解】对于A中，根据向量的概念，向量不能比较大小，所以A错误； 对于B中，由向量的数量积的定义，可得， 因为，可得，所以，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以或，所以C错误； 对于D中，由， 又， 因为，所以，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为________. 【答案】 【解析】 【详解】∵向量，的夹角为，且，， ∴ ，向量在向量上的投影向量为. 13. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于______． 【答案】8 【解析】 【分析】由数量积的定义求得，由平方关系得，再根据新定义计算. 【详解】由已知，， 所以， 所以. 14. 已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用基本不等式，得到圆柱底面半径和高，进而求出外接球的半径，再利用球的体积公式，即可求解. 【详解】设圆柱底面半径为，高为，则轴截面周长为，即， 侧面积， 当，即，时等号成立，此时侧面积最大， 设圆柱外接球的半径为，又外接球直径等于轴截面对角线长， 所以，得到， 所以球的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在复数集中，解方程 【答案】， 【解析】 【详解】， 所以在复数集中，方程有两个解，依次为，. 16. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为36m，在它们之间的地面上的点三点共线处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为15°，试估算圣·索菲亚教堂的高度. 【答案】54m 【解析】 【分析】先求出，然后在中，利用正弦定理求出，最后求出. 【详解】由题可得在直角中，，， . 在中，，， ， 由正弦定理可得，. 直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m. 17. 如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． （1）求平面四边形的面积； （2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】（1）； （2）体积为，表面积为． 【解析】 【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积即可； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算其表面积和体积即可求出答案. 【小问1详解】 把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中，，，如图所示： 所以平面四边形的面积为. 【小问2详解】 四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 其中圆柱的底面半径，高，圆锥的底面半径为，高， 母线长， 则旋转体的体积为， 表面积为. 18. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，求证，再利用线面平行的判定定理判定即可； （2）将问题转化为求或其补角的余弦值，利用余弦定理计算即可. 【小问1详解】 设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. 【小问2详解】 连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 19. 近年来，六盘水市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以鳗、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在上，且，米，设． （1）求扇形的面积； （2）求矩形的面积的表达式； （3）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 【答案】（1）平方米 （2）， （3）时，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用扇形的面积公式可求答案； （2）先求出矩形的长和宽，利用面积公式可得答案； （3）先确定的范围，利用三角函数的性质可得最大值. 【小问1详解】 因为，，所以， 即扇形的面积为平方米. 【小问2详解】 在直角三角形中，； 在直角三角形中，，所以， 所以， ，. 所以，其中. 【小问3详解】 因为，所以， 当时，即时，取到最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期高一5月月考 数学 命题人：叶盛棠 何婉婷 审题人：谢芷凝 邓清睿 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、试室、座位号和准考证号填写在答题卡上.将条形码模贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（是虚数单位），则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（　　） A. 横坐标伸长到原来的2倍，向左平移个单位长度，纵坐标不变 B. 横坐标伸长到原来的2倍，向右平移个单位长度，纵坐标不变 C. 横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标不变 D. 横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标不变 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点 对应的复数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A. B. C. D. 12 7. 如果是空间中的两条直线，是空间中的两个平面，下列命题错误的是（　　） A. 直线与要么相交，要么不相交 B. 当直线与不相交时，与要么平行，要么异面 C. 直线与平面，要么与平行，要么在内 D. 平面与要么相交，要么不相交 8. 已知，为三角形所在平面上的动点，且满足，则为三角形的（ ）． A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是增函数 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到 10. 如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则（ ） A. B. C. 四点共面 D. 四边形是梯形 11. （多选）已知，，是任意的非零向量，则（ ） A. 若且与同向，则 B. C. 若，则不与垂直 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为________. 13. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于______． 14. 已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在复数集中，解方程 16. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为36m，在它们之间的地面上的点三点共线处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为15°，试估算圣·索菲亚教堂的高度. 17. 如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． （1）求平面四边形的面积； （2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 18. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 19. 近年来，六盘水市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以鳗、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在上，且，米，设． （1）求扇形的面积； （2）求矩形的面积的表达式； （3）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $