精品解析：广东深圳市福田区外国语学校集团 2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 说明： 答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．选择题用2B铅笔作答，填涂时要将选中项框内涂黑、涂满．修改时须用橡皮将原作答擦除干净，再重新作答．主观题用黑色字迹的签字笔作答；答题字迹不可压在黑色框线上，更不可写在框线外．考试结束后，不要将试卷、草稿纸或其它物品夹在答题卡中． 1．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 2．全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 新能源汽车作为强势崛起的一股汽车产业新势力，正在持续迈入新的发展阶段，对行业内外产生着深远影响．下列四个新能源汽车标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，下列各式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列用提公因式法分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 用反证法证明“”时，应假设“” B. 三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等． C. 有一个角是的三角形是等边三角形． D. 命题“若，则”的逆命题为“若，则” 5. 如图，将绕点O逆时针旋转得到．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 使分式有意义的的取值范围是________． 10. 正五边形的一个外角的大小为__________度． 11. 已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 12. 福田外国语学校的长方形体育馆长40米、宽20米，A是场馆西北入口，E是边中点的器材存放处，D是场馆东北角的舞台．要在边的观众区预留10米长的通道，规划一条从器材存放处E经通道到入口A的最短搬运路线，则的最小值__________米． 13. 在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 三、解答题（共7小题，其中第14题6分，第15题9分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题10分，第20题11分） 14. 分解因式、解不等式组 （1）分解因式：； （2）解不等式组 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．请按要求画图： （1）将先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出； （2）将以原点O为旋转中心，旋转后得到，画出． （3）若与关于点Q成中心对称，则点Q的坐标为_______． 17. 如图，在中，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，并延长交于点E，且． （1）求证：； （2）若E为中点，，求的值． 18. 请根据素材，解决任务1与任务2． 背景 随着新能源汽车市场的发展，某经销商计划购进两种型号的新能源汽车进行销售． 素材1 已知2辆中型和1辆紧凑型新能源汽车的进价共计64万元；2辆紧凑型比3辆中型的进价少40万元． 素材2 中型售价为27万元/辆，紧凑型售价为20万元/辆．该经销商准备购进两种车型共100辆． 素材3 据市场预测，中型的购进数量应不低于紧凑型购进数量的，且两种车辆的总进价不超过1840万元． 问题解决： （1）任务1：分别求中型和紧凑型新能源汽车的进货单价． （2）任务2：该经销商应如何购进两种型号的汽车，才能使总利润最大？最大利润是多少万元？ 19. 材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：； （1）根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________ 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则 ， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． （2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________； （3）已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； （4）当时，分式的最小值为____________． 20. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动．在中，，，中，．将其按如图1位置摆放，使点A、B、D在同一直线上，点F与点C重合，． 初步分析： （1）如图1，直接写出线段_____，线段_______________； 操作探究： （2）如图2，将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转（）得到，点D的对应点为点G，点E的对应点为点H，当线段经过点A时，连接，①判断的形状，并说明理由；②求点B到线段的距离，直接写出答案． （3）如图3，将从图1位置开始沿射线方向平移，平移过程中，始终保持，当为直角三角形时，直接写出平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 说明： 答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．选择题用2B铅笔作答，填涂时要将选中项框内涂黑、涂满．修改时须用橡皮将原作答擦除干净，再重新作答．主观题用黑色字迹的签字笔作答；答题字迹不可压在黑色框线上，更不可写在框线外．考试结束后，不要将试卷、草稿纸或其它物品夹在答题卡中． 1．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 2．全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 新能源汽车作为强势崛起的一股汽车产业新势力，正在持续迈入新的发展阶段，对行业内外产生着深远影响．下列四个新能源汽车标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A. 不是中心对称图形，本选项不符合题意； B. 是中心对称图形，本选项符合题意； C. 不是中心对称图形，本选项不符合题意； D.不是中心对称图形，本选项不符合题意． 2. 若，下列各式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质．熟练掌握不等式的基本性质，是解题的关键． 根据不等式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、当时，；当时，，故选项错误，不符合题意； 故选B 3. 下列用提公因式法分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对每个选项提取公因式后，和选项给出的结果对比，即可得到正确答案． 【详解】解：A. ，本选项运算错误，不符合题意； B. ，本选项运算错误，不符合题意； C. ，分解结果正确，本选项运算正确，符合题意； D. ，本选项运算错误，不符合题意． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 用反证法证明“”时，应假设“” B. 三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等． C. 有一个角是的三角形是等边三角形． D. 命题“若，则”的逆命题为“若，则” 【答案】D 【解析】 【详解】解：A. ∵反证法证明时需要先假设结论的否定成立，原结论为，其否定为，∴本选项错误，不符合题意； B. ∵三角形三条角平分线的交点是内心，性质是到三边的距离相等，到三个顶点距离相等的是三角形三边垂直平分线的交点，∴本选项错误，不符合题意； C. ∵有一个角是的等腰三角形才是等边三角形，任意含角的三角形不一定是等边三角形，∴本选项错误，不符合题意； D. ∵逆命题的改写方法是将原命题的条件与结论互换，原命题条件为，结论为，互换后得到“若，则”，符合逆命题定义，∴本选项正确，符合题意． 5. 如图，将绕点O逆时针旋转得到．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定，再根据旋转的性质可得，，进一步由三角形内角和定理解得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 6. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，直接根据一次函数的图象即可得出的取值范围，然后在数轴上表示即可，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象下方， ∴不等式的解集是， 在数轴上表示的解集为 ， 故选：． 7. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解两个不等式组，再依据不等式组无解可以得出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ∴， 解得． 8. 如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】在中，利用直角三角形性质得到，再、分别平分、，即可得到，从而，故①正确；又根据上述条件得到，结合，得到，从而根据三角形全等的判定定理得到，所以，，，故②正确；再根据上述条件及结论有，进而可以由图中线段关系确定，故③正确；连接，，结合前面，，得到，，，根据，确定，则由平行线的判定定理得到，从而有，根据，确定④正确，综上可知正确的结论有个． 【详解】解：在中，， ， 又、分别平分、， ， ，故①正确； ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，，，故②正确； ， 在和中， ， ， ， 又， ，故③正确； 连接，，如图所示： ，， ，，， ， ， ， ， ，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 使分式有意义的的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 10. 正五边形的一个外角的大小为__________度． 【答案】72 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解． 【详解】解：正五边形的一个外角的度数为：， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和为360°是解题的关键． 11. 已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设另一个因式为，可得 ，根据整式的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：设另一个因式为，可得 ， 则 ， ∴，解得， ∴另一个因式为，m的值为． 12. 福田外国语学校的长方形体育馆长40米、宽20米，A是场馆西北入口，E是边中点的器材存放处，D是场馆东北角的舞台．要在边的观众区预留10米长的通道，规划一条从器材存放处E经通道到入口A的最短搬运路线，则的最小值__________米． 【答案】 【解析】 【分析】在线段上取点，使得米，连接，首先证明四边形为平行四边形，易得，进而可知，结合为定值米，故当取最小值时，的值最小；作点关于直线的对称点，则，米，当点在同一直线上时，取最小值，此时米，即的最小值为米，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，四边形为矩形， ∴米，米，，， ∵E是边的中点， ∴米， 如下图，在线段上取点，使得米，连接， 则（米）， ∵，即，且米， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵为定值米， ∴当取最小值时，的值最小， 如图，作点关于直线的对称点， 则，米，此时米， ∴， 当点在同一直线上时，取最小值， 此时（米）， 即的最小值为米， ∴米， ∴的最小值为米． 13. 在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，，， ∴， ∵， ∴，即：． 故答案为：． 三、解答题（共7小题，其中第14题6分，第15题9分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题10分，第20题11分） 14. 分解因式、解不等式组 （1）分解因式：； （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为． 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．请按要求画图： （1）将先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出； （2）将以原点O为旋转中心，旋转后得到，画出． （3）若与关于点Q成中心对称，则点Q的坐标为_______． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，即可获得答案； （2）根据旋转的性质，即可获得答案； （3）连接，则交点即为与的对称中心，结合图形确定点Q的坐标即可． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 如图，连接，则交点即为与的对称中心， 由图可知，． 17. 如图，在中，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，并延长交于点E，且． （1）求证：； （2）若E为中点，，求的值． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，结合证明，进而可得，即可证明结论； （2）设，首先证明垂直平分，易得，再根据垂直平分线的性质证明，进而可得，在中，由勾股定理解得的值，进一步求解即可获得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ，即； 【小问2详解】 解：设， ∵E为中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即，解得（负值舍去）， ∴， ∴． 18. 请根据素材，解决任务1与任务2． 背景 随着新能源汽车市场的发展，某经销商计划购进两种型号的新能源汽车进行销售． 素材1 已知2辆中型和1辆紧凑型新能源汽车的进价共计64万元；2辆紧凑型比3辆中型的进价少40万元． 素材2 中型售价为27万元/辆，紧凑型售价为20万元/辆．该经销商准备购进两种车型共100辆． 素材3 据市场预测，中型的购进数量应不低于紧凑型购进数量的，且两种车辆的总进价不超过1840万元． 问题解决： （1）任务1：分别求中型和紧凑型新能源汽车的进货单价． （2）任务2：该经销商应如何购进两种型号的汽车，才能使总利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1）中型新能源汽车的进货单价为24万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为16万元 （2）购进紧凑型新能源汽车75辆，购进中型新能源汽车25辆，才能使总利润最大，最大利润是375万元 【解析】 【分析】（1）设中型新能源汽车的进货单价为万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为万元，根据题意列出二元一次方程并求解，即可获得答案； （2）设购进紧凑型新能源汽车辆，则购进中型新能源汽车辆，根据题意列出关于的一元一次不等式组并求解，即可确定的取值范围；设总利润为，由题意可得关于的一次函数，结合一次函数的性质，即可获得答案． 【小问1详解】 解：设中型新能源汽车的进货单价为万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为万元， 根据题意，可得，解得， 答：中型新能源汽车的进货单价为24万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为16万元； 【小问2详解】 设购进紧凑型新能源汽车辆，则购进中型新能源汽车辆， 根据题意，可得， 解得， 设总利润为万元，则 ， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴当时，总利润最大，最大利润是 万元， 答：购进紧凑型新能源汽车75辆，购进中型新能源汽车25辆，才能使总利润最大，最大利润是375万元． 19. 材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：； （1）根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________ 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． （2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________； （3）已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； （4）当时，分式的最小值为____________． 【答案】（1） （2） （3）满足条件的整数或2或16或 （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意，即可获得答案； （2）由分母，可设 ，进而可得，求解即可获得答案； （3）对于分式，由分母，可设 ，进而可得，求解可得，若整数x使分式的值为整数，则为整数，即或，进一步求解即可； （4）对于分式，由分母，可设 ，进而的，求解可得；令，则，当时，可知，当取最小值时，取最小值，据此进一步求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由分母，可设 ， 则 ， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴； 【小问3详解】 解：对于分式， 由分母，可设 ， 则 ， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴满足条件的整数或2或16或； 【小问4详解】 解：对于分式， 由分母，可设 ， 则 ， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， 令，则， 当时，， ∴， 当取最小值时，取最大值，则取最小值， 此时取最小值， ∴当时，取最小值，此时， 即分式的最小值为． 20. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动．在中，，，中，．将其按如图1位置摆放，使点A、B、D在同一直线上，点F与点C重合，． 初步分析： （1）如图1，直接写出线段_____，线段_______________； 操作探究： （2）如图2，将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转（）得到，点D的对应点为点G，点E的对应点为点H，当线段经过点A时，连接，①判断的形状，并说明理由；②求点B到线段的距离，直接写出答案． （3）如图3，将从图1位置开始沿射线方向平移，平移过程中，始终保持，当为直角三角形时，直接写出平移的距离． 【答案】（1）， （2）①为等边三角形，理由见详解；② （3）或 【解析】 【分析】（1）首先在中，由含30度角的直角三角形的性质确定的长度，再由勾股定理确定的长度，结合且点F与点C重合，可得，进而可得，由勾股定理可得 ，由为等腰直角三角形可得，然后由求解即可； （2）①设交于点，由旋转的性质可得，，当线段经过点时，证明，易得，再证明，结合，即可证明是等边三角形；②过点作于点，由旋转的性质可知，首先在中确定，的长度，再在中计算的长度，即可获得答案； （3）根据题意，可知将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线，易得在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离，然后分和两种情况，分别计算的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴ ， ∴， ∵，点F与点C重合， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①为等边三角形，理由如下： 如下图，设交于点， ∵将绕点F顺时针旋转得到， ∴，， 当线段经过点时，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴是等边三角形； ②如下图，过点作于点， 由旋转可知，， ∵，即， ∴， 在中，可得， ∵， ∴ ，解得， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点B到线段的距离为； 【小问3详解】 如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线， ∴， ∴，即， ∴在平移过程中，点在上运动，即为平移距离， 当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由（1）可得，， ∴，即 ∴， ∴平移距离为； 如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，即， 解得， ∴， 在中，， ∴， ∴平移距离为； 综上所述，平移距离为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $