精品解析：广东深圳市南山区第二外国语学校(集团)海德学校初中部2025-2026学年度第二学期期中测试八年级数学科试题卷

南山二外（集团）海德学校初中部 2025-2026学年度第二学期期中测试八年级数学学科试题卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可； 本题考查的是中心对称图形概念，正确掌握相关定义是解题关键； 【详解】A．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】能用完全平方公式分解的多项式需满足：共三项，两项平方项符号相同，第三项是两平方项底数乘积的2倍，符合的形式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中，x不是两底数积的2倍，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求； B、中，常数项为负，两个平方项符号不同，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求； C、只有两项，可用平方差公式分解，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求； D、，符合完全平方公式的形式，可以因式分解，符合要求． 3. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可列不等式组，求解即可． 【详解】解：根据题意，可得， 解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确列出关于不等式组是解题关键． 4. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识，掌握运算法则和性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变据此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原变形错误，故此选项不符合题意； D、，与不一定相等，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于、两点；再分别以、为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、平行线的性质、三角形内角和定理、平角的定义，等腰三角形的性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 由题意得：平分，所以，再结合，得，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后用平角的定义直接求解即可． 【详解】解：由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 互为相反数的两个数的平方相等 C. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D. 等边三角形是锐角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查判断命题的真假；先交换原命题的题设和结论得到每个命题的逆命题，再逐一判断逆命题的真假，即可得到答案． 【详解】解：∵ A选项原命题为“对顶角相等”，逆命题为“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，∴ A的逆命题是假命题，故A选项不符合题意； ∵ B选项原命题为“互为相反数的两个数的平方相等”，逆命题为“平方相等的两个数互为相反数”，例如，但2与2不互为相反数，∴ B的逆命题是假命题，故B选项不符合题意； ∵ C选项原命题为“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，逆命题为“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，这是线段垂直平分线的性质定理，∴ C的逆命题是真命题，故C选项符合题意； ∵ D选项原命题为“等边三角形是锐角三角形”，逆命题为“锐角三角形是等边三角形”，例如内角为，，的三角形是锐角三角形，但不是等边三角形，∴ D的逆命题是假命题，故D选项不符合题意． 7. 如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集， 观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，， 即不等式的解集为． 故选：C． 8. 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，，由下图所表示的数学等式，则的值为（ ） A. 83 B. 7 C. 121 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与图形的等面积，根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式，即可求解． 【详解】解：由图2可得 ∵， ∴ ， 又∵ ∴． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 10. 如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是________． 【答案】12 【解析】 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都为， ∴该多边形的边数为， 故答案为12． 11. 如图，将周长为17的沿平移得到．平移后，如果四边形的周长是21，那么平移的距离是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质． 由平移可知四边形的周长，根据平移可知．再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 则 ； 故答案为． 12. 如图，在等腰三角形中，平分垂直平分交于点，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线性质，等腰三角形性质，勾股定理．根据题意连接，利用勾股定理求出，再设，即，在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接， ， ∵，平分， ∴是边中线， ∴， ∴在中应用勾股定理：， ∵垂直平分交于点， ∴设，则， 在中应用勾股定理：， ∴，解得：， 故答案为：． 13. 如图，在和中，，，在直线上运动．若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，将沿平移到位置，使E与F重合，作C点关于的对称点L，连接 ，则，进而说明的最小值为的长；再根据平行四边形的性质以及轴对称的性质可得，，过L作于G，再求得、，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在和中，，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， 如图∶将沿平移到位置，使E与F重合，作C点关于的对称点L，连接 ，交于点I，则， ∴，即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵C点关于的对称点L， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ， 如图：过L作于G， ∴ ， ∴， ∴． 三、解答题（共6小题，共61分） 14. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来． 【答案】，表示解集见解析． 【解析】 【详解】解：由①得， 由②得， 所以不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 15. 先化简，再求值：，再从0，1，2，3四个数中选择一个合适的数作为x的值，代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式的加减法法则计算括号里的，再将除法变为乘法计算，然后确定x的取值代入并计算． 【详解】原式 ． 由题意可知，且，且， ∴x只能取2． 当x=2时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 16. 在如图所示的平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出将向左平移5个单位得到的图形； （2）作出将绕点A顺时针旋转得到的图形； （3）若与成中心对称图形写出对称中心的坐标_______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查图形的平移，旋转以及中心对称的定义． （1）根据向左平移，横坐标减，先确定平移后的对应点，顺次连接即可； （2）先确定每个点旋转之后的对应点，再顺次连接即可； （3）连接对应点，连线的交点即为对称中心． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 由图可得，对称中心为点． 17. 如图，在中，． （1）利用尺规求作线段的垂直平分线，分别交于点D，E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． （1）利用基本作图，作的垂直平分线即可； （2）连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，，则，根据直角三角形斜边上中线的性质得出 ，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：如图，连接， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 点是的中点，， ， ． 18. 随着生活水平的提高，人们越来越注重健康饮食、均衡膳食营养．某校食堂为丰富日常餐食，采购小米、黑米两种优质杂粮食材．已知小米每千克的价格是黑米每千克价格的1.2倍，用150元购买小米的质量比用100元购买黑米的质量多5千克． （1）求小米、黑米每千克分别是多少元； （2）该食堂计划采购两种杂粮共60千克，且购买小米的质量不少于黑米质量的一半，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】（1）小米、黑米每千克分别是6元和5元 （2）当采购小米20千克，采购黑米40千克时，所需费用最少． 【解析】 【分析】（1）设黑米每千克x元，则小米每千克元，以质量为等量构造方程求解即可； （2）采购小米a千克，则采购黑米千克，用a表示所需费用为w元，根据题意求出a的取值范围，利用一次函数性质求最小值即可． 【小问1详解】 设黑米每千克x元，则小米每千克元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原列方程的解， （元）． 小米、黑米每千克分别是6元和5元； 【小问2详解】 设采购小米a千克，则采购黑米千克，所需费用为w元， 则有， 即， ， w随a的增大而增大， 购买小米的质量不少于黑米质量的一半， ， 解得：， 当时，w取得最小值，最小值（元）． 此时，千克 当采购小米20千克，采购黑米40千克时，所需费用最少． 19. 【阅读材料】 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式之和的形式， 如：，． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： （1）填空：①请写出一个含有字母x的真分式：________； ②把下列假分式化成带分式的形式：________． （2）把分式化为“带分式”的形式，并求它的最大值． （3）把分式化为“带分式”的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 【答案】（1）①（答案不唯一）；② （2），最大值是4 （3），或或或． 【解析】 【分析】（1）根据真分式定义和转化方法解答①②即可； （2）先把化成，再根据x的范围，依次求出的最小值、的最大值即可； （3）把转化成“带分式”形式即：，由题意可知，的值应为5的因数，据此分类讨论即可． 【小问1详解】 解：（1）①答案不唯一：如 ② 【小问2详解】 解：原式 ， 的最小值是2 的最大值是1 的最大值是4 即分式的最大值是4． 【小问3详解】 若这个分式的值为整数，的值应为5的因数， 则或或或， 或或或． 20. 综合与实践：研究的角平分线的性质． 【问题提出】 如下图，是的角平分线，某数学兴趣小组进行了如下探究： 分别过点作于，于，由角平分线的性质可得，进一步证得．于是小组成员们提出了一个新的问题：与有什么数量关系呢？ 【特例感知】 （1）如图1，是的角平分线，若，则______（填“＞”“＜”或“”）； 【深入探究】 （2）如图2，是的角平分线，当时，该小组成员猜想：能否再次利用面积法，类比证明出与的关系？请你完成该证明； 【结论应用】 （3）如图3，是的角平分线，是上一点，使得，连接，若，，则______； （4）如图4，是的角平分线，是的角平分线，且与相交于，若，，则的值是______． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质； （1）由等腰三角形的性质即可求解； （2）利用三角形的面积即可求证； （3）利用（2）的结论，求出，进而推导出，即可求证； （4）在上取，由，可得到，进而得到，又可证明，得到，即是的角平分线，利用角平分线的性质得到，又由是的角平分线，得到，即得到，，，代入计算即可求解． 【详解】（1）∵，平分， ∴平分， 即， ∴， 故答案为：； （2） 证明：设边上的高为， 则， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． （4）在上取， ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南山二外（集团）海德学校初中部 2025-2026学年度第二学期期中测试八年级数学学科试题卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 4. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于、两点；再分别以、为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 互为相反数的两个数的平方相等 C. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D. 等边三角形是锐角三角形 7. 如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，，由下图所表示的数学等式，则的值为（ ） A. 83 B. 7 C. 121 D. 11 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 10. 如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是________． 11. 如图，将周长为17的沿平移得到．平移后，如果四边形的周长是21，那么平移的距离是________． 12. 如图，在等腰三角形中，平分垂直平分交于点，则的长是______． 13. 如图，在和中，，，在直线上运动．若，则的最小值为________． 三、解答题（共6小题，共61分） 14. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来． 15. 先化简，再求值：，再从0，1，2，3四个数中选择一个合适的数作为x的值，代入求值． 16. 在如图所示的平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出将向左平移5个单位得到的图形； （2）作出将绕点A顺时针旋转得到的图形； （3）若与成中心对称图形写出对称中心的坐标_______． 17. 如图，在中，． （1）利用尺规求作线段的垂直平分线，分别交于点D，E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）连接，若，，求的长． 18. 随着生活水平的提高，人们越来越注重健康饮食、均衡膳食营养．某校食堂为丰富日常餐食，采购小米、黑米两种优质杂粮食材．已知小米每千克的价格是黑米每千克价格的1.2倍，用150元购买小米的质量比用100元购买黑米的质量多5千克． （1）求小米、黑米每千克分别是多少元； （2）该食堂计划采购两种杂粮共60千克，且购买小米的质量不少于黑米质量的一半，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 19. 【阅读材料】 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式之和的形式， 如：，． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： （1）填空：①请写出一个含有字母x的真分式：________； ②把下列假分式化成带分式的形式：________． （2）把分式化为“带分式”的形式，并求它的最大值． （3）把分式化为“带分式”的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 20. 综合与实践：研究的角平分线的性质． 【问题提出】 如下图，是的角平分线，某数学兴趣小组进行了如下探究： 分别过点作于，于，由角平分线的性质可得，进一步证得．于是小组成员们提出了一个新的问题：与有什么数量关系呢？ 【特例感知】 （1）如图1，是的角平分线，若，则______（填“＞”“＜”或“”）； 【深入探究】 （2）如图2，是的角平分线，当时，该小组成员猜想：能否再次利用面积法，类比证明出与的关系？请你完成该证明； 【结论应用】 （3）如图3，是的角平分线，是上一点，使得，连接，若，，则______； （4）如图4，是的角平分线，是的角平分线，且与相交于，若，，则的值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $