精品解析：广东广州市增城区2025学年第二学期期中质量检测 八年级数学

2025学年第二学期期中质量检测 八年级数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考点考场号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡同时交回． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本题有10个小题，每小题4分，满分40分．下面每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 如图，平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 镜，古称“鉴”，如图，是六边形镜及其抽象出的正六边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（ ） A. 、、均是变量，2是常量 B. 和是变量，2和是常量 C. 是变量，2，和是常量 D. 是变量，是常量 5. 下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（ ） A. 正方形的面积与边长之间的关系 B. 等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C. 小明进行短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 D. 铅笔每支元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 6. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（ ） A. 30平方里 B. 32.5平方里 C. 60平方里 D. 65平方里 7. 如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 8. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 9. 一次函数与（），在同一平面直角坐标系的图像是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11. 小斌用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一条边长为16m，则它的邻边长为________m． 12. 如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 13. 如图，中，于点，则的长为______． 14. 按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是5，则输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是__________． 15. 在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为_______cm， 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为．点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________． 三、解答题（本题有9个小题，共86分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 已知中，，为直角边，为斜边． （1）若，求； （2）若，求． 18. 如图：在平行四边形中，的平分线交于，若，，求的长． 19. 请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 1 1 3 7 … （1）表格中： ， ． （2）在直角坐标系中画出该函数图像． （3）观察图象： ①根据函数图像可得，该函数的最小值是 ； ②观察函数的图像，写出该图像的一条性质． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求该一次函数的解析式； （2）若点在该一次函数图象上，当时，求n的取值范围． 21. 如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点． （1）求的长度； （2）求的面积． 22. 如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． （1）求证：是菱形； （2）若，求的面积． 23. 某公司准备购置一辆车用于运输业务，现有两种选择：传统燃油（汽油）车和氢能源车．一辆传统燃油车的购买成本是15万元，每千米的燃油费用为0.8元；一辆氢能源车的购买成本比一辆传统燃油车的购买成本高10万元，每千米的氢气费用为0.3元．设车辆行驶的总路程为x万千米，传统燃油车的总费用为万元，氢能源车的总费用为万元． （1）请分别写出，关于x的函数解析式． （2）若公司购车及运营总预算不超过30万元，在不考虑其他因素的情况下，分别计算两种车辆最多能行驶多少万千米？在预算范围内，你认为购买哪种车更合算？ （3）请你在平面直角坐标系中，分别画出（1）中的两个函数图象，从图象和计算两个角度说明：车辆行驶的总路程达到50万千米时，购买哪种车更合算？ 24. 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张矩形纸片，宽．如图1，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开得黄金矩形（）． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长； （3）如图2，点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 25. 如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，点，点．动点P从点O出发向点A匀速运动，同时动点Q从点A向点B匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒（）． （1）求点B的坐标； （2）当t为何值时，的面积是平行四边形OABC面积的一半； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中质量检测 八年级数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考点考场号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡同时交回． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本题有10个小题，每小题4分，满分40分．下面每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理即可求得斜边需要的小木棒的数量． 【详解】解：∵两直角边分别用了3根、4根长度相同的小木棒， ∴由勾股定理，得到斜边需要：（根）， 故选：C． 2. 如图，平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 3. 镜，古称“鉴”，如图，是六边形镜及其抽象出的正六边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（ ） A. 、、均是变量，2是常量 B. 和是变量，2和是常量 C. 是变量，2，和是常量 D. 是变量，是常量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查常量与变量的定义，关键是明确在变化过程中，常量是数值固定不变的量，变量是数值可以发生变化的量．在圆的周长公式中，2是固定系数，是圆周率，二者数值固定不变，属于常量；半径可取不同值，对应的周长会随之改变，故和是变量，据此可判断正确选项． 【详解】解：根据常量与变量的定义，在中，2和是固定不变的量，为常量；随的变化而变化，因此和是变量． 故选：B． 5. 下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（ ） A. 正方形的面积与边长之间的关系 B. 等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C. 小明进行短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 D. 铅笔每支元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 【答案】D 【解析】 【分析】正比例函数的形式为（为不等于的常数），写出各选项变量的函数关系式，再根据定义判断即可． 【详解】解：对于选项A：正方形面积与边长的关系式为，不是正比例函数，不符合题意； 对于选项B：等腰三角形周长为，底边长与腰长的关系式为，不是正比例函数，不符合题意； 对于选项C：短跑中时间与速度的关系式为，不是正比例函数，不符合题意； 对于选项D：总价与购买数量的关系式为，是正比例函数，符合题意． 6. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（ ） A. 30平方里 B. 32.5平方里 C. 60平方里 D. 65平方里 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积计算，解题的关键是判断三角形的形状，再计算其面积． 先根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形的面积公式计算沙田的面积． 【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为5里，12里，13里． ， ． 这个三角形沙田是直角三角形，其中5里和12里为两条直角边． 沙田的面积为（平方里）． 故选：A． 7. 如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵点O是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 8. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，掌握相关知识点是解题的关键． 根据分式中分母不等于，被开方数大于或等于，列式求解即可． 【详解】解：∵根号内， ∴； ∵分母， ∴； 故答案为：且． 9. 一次函数与（），在同一平面直角坐标系的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．观察每个选项的函数图象，得出的取值范围，再进行分析，即可作答． 【详解】解：A、观察函数图象，得出经过第一、二、三象限，则，观察函数图象，得出经过第二、四象限，故，则异号，与相矛盾，故不符合题意； B、观察函数图象，得出经过第一、三、四象限，则，观察函数图象，得出经过第一、三象限，故，则同号，与相矛盾，故不符合题意； C、观察函数图象，得出经过第一、三、四象限，则，观察函数图象，得出经过第二、四象限，则异号，故符合题意； D、观察函数图象，得出经过第一、二、四象限，则，观察函数图象，得出经过第一、三象限，故，则同号，与相矛盾，故不符合题意； 故选：C 10. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键． 把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：D． 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11. 小斌用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一条边长为16m，则它的邻边长为________m． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对边相等，周长等于两邻边之和的2倍是解题的关键． 根据平行四边形的性质，对边相等，因此周长等于两邻边之和的两倍． 【详解】解：设邻边长为， 则周长为， 解得， ． 故答案为：9． 12. 如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用证明即可． 【详解】解：在正方形中，，， ∴在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 如图，中，于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用，根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是5，则输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的值和函数值，与流程图有关的计算，根据流程图可得，则；再分和，两种情况根据的值是讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，，解得； 若，当输出的值是时，则，解得（舍去）； 若，当输出的值是时，则，解得； 综上所述，， 故答案为：． 15. 在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为_______cm， 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由题意，得， 解得：， 故与之间的关系式为：， 当时，． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为．点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出，，，从而可得，再分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，分别求解即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在点左侧时， ∵，， ∴， 过点作，交直线于点，过点作轴，过点作于，过点作于，则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴； 当点在点的右侧时， 作点关于直线的对称点，连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 三、解答题（本题有9个小题，共86分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 已知中，，为直角边，为斜边． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （）利用勾股定理直接计算即可； （）利用勾股定理直接计算即可； 【小问1详解】 解：∵为直角边，为斜边，， ∴； 【小问2详解】 解：∵为直角边，为斜边，， ∴． 18. 如图：在平行四边形中，的平分线交于，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，等角对等边确定与的关系，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 19. 请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 1 1 3 7 … （1）表格中： ， ． （2）在直角坐标系中画出该函数图像． （3）观察图象： ①根据函数图像可得，该函数的最小值是 ； ②观察函数的图像，写出该图像的一条性质． 【答案】（1）3；5 （2）见解析 （3）①；②见解析 【解析】 【分析】（1）分别将和代入函数解析式，即可解答； （2）根据表格数据，先描点，再连线画出函数图像即可； （3）直接根据函数图像解答即可． 【小问1详解】 解：当时，；当时，， ∴，； 【小问2详解】 解：如图函数图像即为所求作： 【小问3详解】 解：①根据函数图像可得，函数的最小值是； ②观察函数的图像，该图像的性质有：关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小；当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求该一次函数的解析式； （2）若点在该一次函数图象上，当时，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解； （2）由（1）得一次函数的图象y随x的增大而减小，即可求解． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为 ∵一次函数的图像经过和 解得： ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得：， 一次函数的图像y随x的增大而减小， ∵点在该一次函数图象上， ∴当时，， 当时，， 当时，． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握利用待定系数解答是解题的关键． 21. 如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点． （1）求的长度； （2）求的面积． 【答案】（1）3 （2）15 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由勾股定理得，设，由折叠的性质得，从而可得，，再由勾股定理得，代入数值并求解即可； （2）由三角形面积公式得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 设，由折叠可得，，，， ∴，，， 在中，可有， 即，解得， ∴， 故的长度为3； 【小问2详解】 解：结合（1），可知，，， ∴， 故的面积为15． 22. 如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． （1）求证：是菱形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形； （2）先由等腰三角形可设，求出，由角直角三角形得到，可得为等边三角形，再由等腰三角形的性质证明，则，由勾股定理得，最后由即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为对角线上的中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形； 【小问2详解】 解：如图： ∵， ∴， 设 ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 23. 某公司准备购置一辆车用于运输业务，现有两种选择：传统燃油（汽油）车和氢能源车．一辆传统燃油车的购买成本是15万元，每千米的燃油费用为0.8元；一辆氢能源车的购买成本比一辆传统燃油车的购买成本高10万元，每千米的氢气费用为0.3元．设车辆行驶的总路程为x万千米，传统燃油车的总费用为万元，氢能源车的总费用为万元． （1）请分别写出，关于x的函数解析式． （2）若公司购车及运营总预算不超过30万元，在不考虑其他因素的情况下，分别计算两种车辆最多能行驶多少万千米？在预算范围内，你认为购买哪种车更合算？ （3）请你在平面直角坐标系中，分别画出（1）中的两个函数图象，从图象和计算两个角度说明：车辆行驶的总路程达到50万千米时，购买哪种车更合算？ 【答案】（1）， （2）传统燃油车最多能行驶万千米，氢能源车最多能行驶万千米，在预算范围内，传统燃油车行驶的总路程更长，所以选择传统燃油车． （3）购买氢能源车更合算． 【解析】 【分析】（1）根据购车成本和每千米的费用列出函数解析式即可； （2）根据公司购车及运营总预算不超过30万元列出不等式，解不等式即可； （3）画出一次函数的图象并计算即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， ， 【小问2详解】 解：令 ，即 ， 解得．即传统燃油车最多能行驶万千米， 令 ，即 ， 解得． 因为 ，氢能源车最多能行驶万千米， 即在预算范围内，传统燃油车行驶的总路程更长，所以选择传统燃油车． 【小问3详解】 解：图象如图， 车辆行驶的总路程达到50万千米时，， ， 由图像可知，当行驶总路程为50万千米时，即，氢能源车的总费用明显低于传统燃油车，所以选择购买氢能源车． 24. 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张矩形纸片，宽．如图1，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开得黄金矩形（）． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长； （3）如图2，点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）四边形是黄金矩形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，结合矩形的性质可得，则，结合，因此四边形是正方形； （2）由正方形的性质可得，根据黄金矩形的定义可得，计算出后，与相加即可； （3）连接，设，由折叠的性质可得，，，，由勾股定理可得，则．利用勾股定理可得，从而求出，容易证明四边形是矩形，结合，因此四边形是黄金矩形． 【小问1详解】 证明：由折叠的性质可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵矩形是黄金矩形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：四边形是黄金矩形，证明如下： 如图，连接，设， 由折叠的性质可得，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是黄金矩形． 25. 如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，点，点．动点P从点O出发向点A匀速运动，同时动点Q从点A向点B匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒（）． （1）求点B的坐标； （2）当t为何值时，的面积是平行四边形OABC面积的一半； （3）求的最小值． 【答案】（1）点B的坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由四边形是平行四边形，点，可得，即可求解； （2）过点作交延长线于点，延长交于点，过点作于点，可得，由题意得，，，，由的面积是平行四边形OABC面积的一半，可得，代入值即可求解； （3）由（2）可得，，，可得，取点，作点关于轴的对称点，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴点B的坐标为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点，延长交于点，过点作于点，过点作轴于点，取的中点，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵轴，是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）可得， 由题意得，，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴由题意得，， ∴，符合题意， ∴当时，的面积是平行四边形面积的一半． 【小问3详解】 解：由（2）可得，，， ∵， ∴， ∴， 取点， ∵， ∴要使最小，即在轴上找一点，使得最小， 作点关于轴的对称点， ∴当，，三点共线时，的最小值为， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $