精品解析：2026年江西宜春市袁州区洪塘镇丰顶山中学九年级中考模拟训练数学试题

2026年中考模拟训练·数学 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列各数是整数的是（ ） A. B. C. D. 2. 标准乒乓球的质量为2.7克．现随机抽取4个样本进行检测，其中超过标准质量的克数用正数表示，不足标准质量的克数用负数表示，从质量的角度来看，最接近标准质量的是（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 在图中的①②③④的任意一个位置放置一个小正方形后所组成的图形能折成一个正方体，那么可放置的位置不能是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 在常温下向一定量的水中加入白糖，下列图象中，能表示糖水溶液的浓度y与加入的白糖的量x之间的变化关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：______． 8. 据悉，我省落实减免2025年秋季学期幼儿园学前一年在园儿童保教费，共惠及43万儿童，数据“43万”用科学记数法表示为______． 9. 若点M在第二象限，距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点M的坐标为______． 10. 定义一种运算，则不等式的解集是______． 11. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意列出方程 ____________________． 12. 如图，P是等边三角形内一动点，，将绕点A逆时针旋转60°，得到，若是等腰三角形，则的度数可以是______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算及证明： （1）计算：． （2）如图，在中，平分交于点，为边上一点，．求证：． 14. 下面是小超同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 ．…………第四步 （1）以上化简步骤中，从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是____________． （2）请直接写出该式子化简后的正确结果，并从，，1中选择一个合适的数代入求值． 15. 一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种球共3个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．发现摸到白球的概率为． （1）口袋中黑色的球有______个，白色的球有______个． （2）若从中先摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用列表或画树状图的方法求摸到一白一黑的概率． 16. 如图，已知是正八边形的一条对角线，请仅用无刻度的直尺完成以下作图． （1）如图1，在正八边形内部以为斜边作等腰直角三角形． （2）如图2，在正八边形内部以为边作正方形． 17. 如图，是的直径，弦平分，过点D的切线交于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某超市销售A，B两种笔记本，小杰第一次买了2本A笔记本和1本B笔记本，用了34元；第二次买了1本A笔记本和4本B笔记本，用了52元． （1）A，B两种笔记本每本分别是多少元？ （2）小丽打算买A，B两种笔记本共15本，且费用不超过160元，则小丽最多能买几本A笔记本？ 19. 如图，矩形的顶点，分别在，轴的正半轴上，点的坐标为，是边的中点，过点的反比例函数的图象与边交于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与，轴交于点，，求线段的长． 20. 图1为某机械臂的模型，图2为其抽象成的几何图形，该机械臂底座固定且垂直于地面，大臂的长为，小臂的长为，机械手的长为．点B，C，D是旋转关节，若，，与始终在同一平面内，转动，，使，，发生改变，其中，． （1）如图2，当最大且时，求的度数． （2）在（1）的条件下，求机械手端点E离底座的最大水平距离． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某校为了解七、八年级学生的科学素养，随机抽取了七、八年级各20名学生的测试成绩x（满分为50分．单位：分．A．；B．；C．；D．）进行整理、描述和分析，得到如下部分信息： 信息一：七年级20名学生的测试成绩在A组的为46，46，47，48，49，49，50，50，50，50，50，50，50． 信息二：八年级20名学生的测试成绩为33，45，46，47，47，48，48，48，48，48，49，49，49，49，49，49，50，50，50，50． 信息三： 七、八年级学生测试成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 46.7 a 47.5 八年级 47.6 49 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图． （2）填空：______，______． （3）若小霞本次测试成绩为48分，且在本年级抽取的20名学生成绩中属于中上游，请你判断小霞所在的年级，并说明理由． （4）若该校七年级有学生600人，八年级有学生800人，估计该校七、八年级这次测试成绩为满分的学生总人数． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线C的解析式：（m是常数）： （1）下列关于抛物线（m是常数）的说法中，正确的有______．（填序号） ①不论m取何值，抛物线C必经过点； ②抛物线C与y轴的交点坐标为； ③当时，y随x的增大而增大； ④抛物线C的顶点坐标为． （2）若该抛物线与x轴有两个交点，分别记为点M和点N（点M在点N的左边），当时，求m的值． （3）若点，在该抛物线上，且，求m的取值范围． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 问题提出 综合实践课上，老师带领同学们探究菱形中的动点问题． 如图，在菱形中，，E，F分别为线段和上的动点且满足，取的中点G，连接，并延长至点H，使得，连接，． （1）如图1，当点、分别与点、重合时，与的数量关系是______，与的数量关系是______． 尝试探究 （2）如图2，当点、不与点、重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，取的中点并连接，若菱形的边长为4，求的最小值． 拓展应用 （4）如图4，在边长为4的正方形中，、分别为线段和上的动点且满足，分别取，的中点、，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟训练·数学 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列各数是整数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简各选项，整数包含正整数、零、负整数，再结合整数定义，对各选项逐一判断． 【详解】解：A、是无限不循环小数，属于无理数，不是整数，故该选项不符合题意； B、，是负整数，属于整数，故该选项符合题意； C、是有限小数，属于分数，不是整数，故该选项不符合题意； D、是分数，不是整数，故该选项不符合题意． 2. 标准乒乓球的质量为2.7克．现随机抽取4个样本进行检测，其中超过标准质量的克数用正数表示，不足标准质量的克数用负数表示，从质量的角度来看，最接近标准质量的是（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 【答案】D 【解析】 【分析】最接近标准质量的乒乓球，是与标准质量偏差的绝对值最小的那个，只需计算各选项数的绝对值，比较大小即可得到结果. 【详解】解：∵ 最接近标准质量等价于与标准质量的偏差的绝对值最小，分别计算各选项偏差的绝对值：， ， ，， 又∵ ， ∴ 最小，即克最接近标准质量. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方的运算法则计算，即可作答． 【详解】解：． 4. 在图中的①②③④的任意一个位置放置一个小正方形后所组成的图形能折成一个正方体，那么可放置的位置不能是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图解题． 【详解】将小正方形放在②③④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体，放在①处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故答案为：A． 5. 在常温下向一定量的水中加入白糖，下列图象中，能表示糖水溶液的浓度y与加入的白糖的量x之间的变化关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】初始水中无糖，浓度为0；随着白糖加入，浓度逐渐增大；当溶液达到饱和状态时，浓度不再变化．根据糖水浓度的定义及溶解度特性进行分析，即可作答． 【详解】解：∵初始时水中没有白糖， ∴当时，浓度，图象应过原点，排除D选项； ∵随着白糖的加入，糖溶解在水中，溶液浓度逐渐增大， ∴图象呈上升趋势，排除A选项（A中有下降过程）； 在一定温度下，一定量的水中溶解白糖的量是有限的（即存在饱和状态）， ∴当达到饱和后，继续加入白糖，浓度不再改变，图象应变为水平直线，排除B选项； 综上所述，选项C的图象符合题意． 6. 如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似比得出相邻两个三角形的相似比，进而得出与的相似比，利用面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， 与的相似比为，与的相似比为，…，与的相似比为， 与的相似比为， ， ， ， 当时，． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】解：． 8. 据悉，我省落实减免2025年秋季学期幼儿园学前一年在园儿童保教费，共惠及43万儿童，数据“43万”用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义：科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值，得到最终结果． 【详解】解：万． 9. 若点M在第二象限，距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点M的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解． 【详解】解：设点M的坐标为， ∵距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度， ∴ ∵点M在第二象限， ∴ ∴点M的坐标为． 10. 定义一种运算，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义的运算规则列出正确的一元一次不等式，再按照一元一次不等式的解法求解即可． 【详解】解： ， ， ∴ ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 解得． 11. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意列出方程 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．设运输这批公粮原计划每日行，根据“运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站”，列出分式方程，即可求解． 【详解】设运输这批公粮原计划每日行，根据题意得， ， 故答案为：． 12. 如图，P是等边三角形内一动点，，将绕点A逆时针旋转60°，得到，若是等腰三角形，则的度数可以是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】先证明，分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵等边三角形 ∴， ∵旋转， ∴ ， ∴为等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， 当是等腰三角形时，分三种情况： ①当时，则， ∴ ， ∴ ； ②当时，则， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ③当时， ∵， ∴垂直平分， ∴ ， ∴ ； 综上：的度数可以是或或. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算及证明： （1）计算：． （2）如图，在中，平分交于点，为边上一点，．求证：． 【答案】（1）； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、等腰三角形的性质、角平分线的定义以及平行线的判定． （1）根据零指数幂等于，以及负整数指数幂的定义，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质，以及结合角平分线的定义可求得，根据内错角相等，两直线平行即可求证． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 证明：， ， 平分， ， ， ． 14. 下面是小超同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 ．…………第四步 （1）以上化简步骤中，从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是____________． （2）请直接写出该式子化简后的正确结果，并从，，1中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1）二；通分时第二个分式的分子未乘，不符合分式的基本性质 （2）， 【解析】 【分析】（1）先理解题意，观察解题过程，发现从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时第二个分式的分子未乘，即可作答． （2）先理解题意，再通分，然后运算乘法化简，得，结合分式有意义，把代入计算，即可作答． 【小问1详解】 解：观察解题过程，得出从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时第二个分式的分子未乘，不符合分式的基本性质． 【小问2详解】 解： ， ∵ ∴， 把代入，得 ． 15. 一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种球共3个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．发现摸到白球的概率为． （1）口袋中黑色的球有______个，白色的球有______个． （2）若从中先摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用列表或画树状图的方法求摸到一白一黑的概率． 【答案】（1） 2，1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用概率公式，结合总球数和摸到白球的概率，计算得到白球和黑球的个数； （2）画出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵摸到白球的概率为， ∴白球的数量为（个）； ∴黑球的数量为（个）； 【小问2详解】 解：由题意，列表如下： 白 黑 黑 白 白，黑 白，黑 黑 黑，白 黑，黑 黑 黑，白 黑，黑 共6种等可能的结果，其中摸到一白一黑的结果有4种， ∴． 16. 如图，已知是正八边形的一条对角线，请仅用无刻度的直尺完成以下作图． （1）如图1，在正八边形内部以为斜边作等腰直角三角形． （2）如图2，在正八边形内部以为边作正方形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【小问1详解】 如图所示： 连接、，与相交于点，即为等腰直角三角形； 根据正八边形可知，每一个内角的大小为 ，且四边形为等腰梯形，内角和为，， ， ， ， 同理可得，， 为等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：如图所示： 连接、，与相交于点，连接、，交于点，交于点，连接，四边形即为正方形； ，，可求， ， 则满足，且， 四边形即为正方形． 17. 如图，是的直径，弦平分，过点D的切线交于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据切线的性质得，再结合角平分线的定义得，又因为半径都相等，故，整理得，证明，得，即可作答． （2）先根据，，得出，再运用三角形内角和性质得，最后把数值代入弧长公式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：连接， ∵过点D的切线交于点E． ∴， ∵弦平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某超市销售A，B两种笔记本，小杰第一次买了2本A笔记本和1本B笔记本，用了34元；第二次买了1本A笔记本和4本B笔记本，用了52元． （1）A，B两种笔记本每本分别是多少元？ （2）小丽打算买A，B两种笔记本共15本，且费用不超过160元，则小丽最多能买几本A笔记本？ 【答案】（1） A笔记本每本12元，B笔记本每本10元 （2） 小丽最多能买5本A笔记本 【解析】 【分析】（1）设出两种笔记本的单价，根据两次购买的总花费列出二元一次方程组，求解即可得到两种笔记本的单价； （2）设购买A笔记本的数量，根据总费用不超过160元的限制列出一元一次不等式，求解后取符合题意的最大正整数即可得到结果.  【小问1详解】 解：设A笔记本每本元，B笔记本每本元， 根据题意得， 解得， 答：A笔记本每本12元，B笔记本每本10元. 【小问2详解】 解：设小丽买本A笔记本，则买本B笔记本， 根据题意得 ， 整理得， 解得， 答：小丽最多能买5本A笔记本. 19. 如图，矩形的顶点，分别在，轴的正半轴上，点的坐标为，是边的中点，过点的反比例函数的图象与边交于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与，轴交于点，，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质和点的坐标确定点的坐标，再利用中点坐标公式求出边中点的坐标，将点坐标代入反比例函数解析式求出比例系数，即可得到反比例函数的表达式； （2）先根据点在边上确定其横坐标与点相同，代入反比例函数表达式求出点的纵坐标，得到点坐标，再根据折叠的性质得出折痕垂直平分，即，设的长为，用表示出点坐标和的长度，最后在中利用勾股定理列方程求解，即可得到线段的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴ ，点的坐标为， ∵是的中点， ∴点的坐标为，即， 将代入反比例函数，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴轴，点的坐标为，， ∵点在边上， ∴点的横坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由折叠的性质可知，折痕垂直平分线段， ∴， 设，则 ，， 在中， ， ∴， 解得， ∴线段的长为 ． 20. 图1为某机械臂的模型，图2为其抽象成的几何图形，该机械臂底座固定且垂直于地面，大臂的长为，小臂的长为，机械手的长为．点B，C，D是旋转关节，若，，与始终在同一平面内，转动，，使，，发生改变，其中，． （1）如图2，当最大且时，求的度数． （2）在（1）的条件下，求机械手端点E离底座的最大水平距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用、推出垂直关系，取最大值，借助平角、直角三角形两锐角互余求出，最后利用邻补角关系算出． （2）直接沿用已求角度，作垂线构造直角三角形，先求出的水平偏移长度；依据角度取值范围判断，取最大值时水平投影最长，最后把几段水平长度相加，求得最大水平距离． 【小问1详解】 解：如图，延长与的延长线交于点G． ∵，， ∴，即． ∵最大，且， ∴． ∴ ． 在中， ． ∵与互为邻补角， ∴ ． 【小问2详解】 如图，过点B作交的延长线于点H，过点E作交的延长线于点． 由（1）已证， ∵点H在的延长线上，与互为邻补角， ∴． 在中，， ∴． ∵，， ∴为水平直线， ∴点D到直线的水平距离为． 要使点E离底座的水平距离最大，需使在水平方向上的投影最大． ∵ ， ∴当时，最贴近水平方向，向外的水平投影线段长度达到最大． 在中， ，． ∴． ∴点E离底座的最大水平距离为：． 答：机械手端点E离底座的最大水平距离为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某校为了解七、八年级学生的科学素养，随机抽取了七、八年级各20名学生的测试成绩x（满分为50分．单位：分．A．；B．；C．；D．）进行整理、描述和分析，得到如下部分信息： 信息一：七年级20名学生的测试成绩在A组的为46，46，47，48，49，49，50，50，50，50，50，50，50． 信息二：八年级20名学生的测试成绩为33，45，46，47，47，48，48，48，48，48，49，49，49，49，49，49，50，50，50，50． 信息三： 七、八年级学生测试成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 46.7 a 47.5 八年级 47.6 49 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图． （2）填空：______，______． （3）若小霞本次测试成绩为48分，且在本年级抽取的20名学生成绩中属于中上游，请你判断小霞所在的年级，并说明理由． （4）若该校七年级有学生600人，八年级有学生800人，估计该校七、八年级这次测试成绩为满分的学生总人数． 【答案】（1）见解析 （2）， （3）小霞所在的年级是七年级，理由见解析 （4）人 【解析】 【分析】（1）先确定七年级A组的数据有13个，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）根据中位数的意义求解即可； （4）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：七年级A组的数据有13个，补全频数分布直方图为： 【小问2详解】 解：七年级D、C、B组的人数分别为1、3、3，A组中50这个数据出现了7次，且最多， ∴七年级的众数为 八年级20个数据，则中位数是第10，11个数据的平均数，由数据可得第10，11个数据是48，49， 故中位数； 【小问3详解】 解：小霞所在的年级是七年级，理由如下： 由于七年级的中位数是，八年级的中位数是， 而，小霞本次测试成绩在本年级抽取的20名学生成绩中属于中上游， ∴小霞所在的年级是七年级； 【小问4详解】 解：（人） 答：该校七、八年级这次测试成绩为满分的学生总人数为人． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线C的解析式：（m是常数）： （1）下列关于抛物线（m是常数）的说法中，正确的有______．（填序号） ①不论m取何值，抛物线C必经过点； ②抛物线C与y轴的交点坐标为； ③当时，y随x的增大而增大； ④抛物线C的顶点坐标为． （2）若该抛物线与x轴有两个交点，分别记为点M和点N（点M在点N的左边），当时，求m的值． （3）若点，在该抛物线上，且，求m的取值范围． 【答案】（1）①③ （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）对每个说法逐一验证，利用二次函数的对称轴、增减性、顶点坐标的性质判断正误即可； （2） 根据抛物线与x轴交点与一元二次方程的关系，利用根与系数的关系结合完全平方公式变形列方程，求解得到的值； （3） 根据二次函数开口向上时，点离对称轴越远函数值越大的性质，比较两点到对称轴的距离列不等式，求解得到的取值范围.  【小问1详解】  ①将代入抛物线解析式得：，结果与无关，故不论取何值，抛物线都经过 ，①正确； ②令，得 ， 故抛物线与y轴交点为 ，只有时交点为，故②错误； ③抛物线 中，，对称轴为 ， 故抛物线的开口向上， 当时，随增大而增大，③正确； ④顶点横坐标为，代入得顶点纵坐标为 ， 故顶点坐标为 ，故④错误； 综上：正确的是①③； 【小问2详解】 解：令 ，设点M和点N的横坐标分别为， 则 ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 解得或； 【小问3详解】 解：∵抛物线的开口向上，对称轴为 ， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在该抛物线上，且， ∴， ∴. 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 问题提出 综合实践课上，老师带领同学们探究菱形中的动点问题． 如图，在菱形中，，E，F分别为线段和上的动点且满足，取的中点G，连接，并延长至点H，使得，连接，． （1）如图1，当点、分别与点、重合时，与的数量关系是______，与的数量关系是______． 尝试探究 （2）如图2，当点、不与点、重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，取的中点并连接，若菱形的边长为4，求的最小值． 拓展应用 （4）如图4，在边长为4的正方形中，、分别为线段和上的动点且满足，分别取，的中点、，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；； （2）成立，理由见解析； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（1）通过等边三角形的性质即可解得； （2）通过构造全等三角形，来证明线段相等和角度关系； （3）利用三角形中位线定理将求的最小值转化为求的最小值，确定点的运动轨迹，从而确定何时取最小值； （4）通过建立平面直角坐标系，来表示各点的坐标，由此用函数表示，从而转化成二次函数求最值问题． 【小问1详解】 在菱形中， ，， 为等边三角形， 点为的中点， 当点、分别与点、重合时，垂直平分， ，； 【小问2详解】 解：成立，理由如下： 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是菱形，， ，， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ，； 【小问3详解】 解：连接， 在菱形中，， ， 由（2）知，， ， 于点， 点在过点且垂直的直线上， 当点与点重合时，有最小值为 菱形的边长为， ， 的最小值为， 点、分别为、的中点， 为的中位线， ， 的最小值为． 【小问4详解】 解：的最小值为 在正方形中，边长为，、分别为、上的动点， 、分别为、的中点， 建立平面直角坐标系，以为原点，为轴，为轴， ，，， 设，则， ，且在上，， ， 为中点：，， ， 为中点：，， ， 计算的长度平方：， ， 这是一个关于的二次函数，开口向上，有最小值， 对称轴， 当时，取得最小值。 最小值， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $