云南省玉溪第一中学2025-2026学年高三下学期仿真训练数学试题（二）

**基本信息** 玉溪一中高三数学仿真卷以新能源汽车保值率、浮桥设计等现实情境为载体，融合函数、几何、概率统计等核心知识，通过分层设问考查数学建模、逻辑推理与数据分析能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、复数、三角函数、立体几何|第5题指数衰减模型解决保值率问题，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|3/15|条件概率、椭圆与抛物线、函数存在性|第12题以市场合格率为背景考查条件概率，培养数据观念| |解答题|5/77|数列、统计案例、立体几何、导数、圆锥曲线|第16题结合教师命题能力研修考独立性检验与分布列，第19题抛物线与数列综合论证，突出数学思维与表达的综合应用|

绝密★启用前 玉溪一中2025—2026学年下学期高三仿真考（二） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 已知集合，，则 A． B． C． D． 2． 已知，则的虚部为 A．3 B．2 C．3 D．6 3． 已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点 A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 4． 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为 A．98 B．99 C．100 D．101 5． 某新能源汽车研究机构发现，A款电动汽车的保值率（即使用t年后的二手车价格与新车指导价的比值）P随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型：P=a·bt，其中，a和b为常数．已知A款电动汽车使用2年后保值率为72%，使用4年后保值率为51.84%.若该车的保值率低于40%即被视为“大幅贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477） A．8年 B．7年 C．6年 D．5年 6． 游乐园里有一个半径为4的圆形水池（对应圆：x2+y2=16）．现在要在水池里搭一条直线形的浮桥，浮桥的位置满足方程mx+y=m+2（m是可以调节的参数），需要找到浮桥被水池截得的最短长度，这样的浮桥既节省材料，又能让游客体验最佳．则浮桥的最短长度是 A． B． C． D． 7． 已知三棱锥各个顶点都在半径为的球的球面上，且，，，则球心到平面的距离为 A． B． C． D． 8． 若函数图象的一条对称轴是，且在上有唯一零点，则的最小值为 A． B．4 C．5 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9． 下列说法正确的是 A．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C．样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 10．已知向量，，则下列结论正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D．的最大值为 11．函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其他函数进行运算产生新的函数已知函数，则下列结论正确的是 A．函数在上单调递减 B．函数既有极大值，也有极小值 C．方程有个不同的实数解 D．在定义域内，恒有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为________． 13．椭圆的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率__________. 14．已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16．（15分） 在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力某省开展年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括名经验丰富教师年龄在岁及以上的教师，名经验不丰富教师年龄在岁以下的教师，会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表： 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计 优秀 合格 总计 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关 （2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取名教师，再从这名教师中随机抽取人进行调研，设抽取的人中经验不丰富教师的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 17．（15分） 已知三棱锥中，侧面是边长为的正三角形，，，，，，平面与底面的交线为直线． （1）若，证明：； （2）若三棱锥的体积为，为交线上的动点，若直线与平面的夹角为，求的取值范围． 18．（17分） 设函数，为的导函数． （1）求的单调区间； （2）当时，证明； （3）设为函数在区间内的零点，其中，证明． 19．（17分） 已知抛物线，点在上，为常数，，按如下方式依次构造点，过点作轴的垂线交于点，过且斜率为的直线与的另一个交点为记的坐标为． （1）当时，求； （2）设，证明：数列是等差数列； （3）设为的面积，证明：为定值． 数学试题第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $玉溪一中2025一2026学年下学期高三仿真考（二） 数学试题评分参考 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 6 7 8 答案 D 0 A B C C A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分。 题号 9 10 11 答案 BD ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 答案 57 1 e a≤- 89 3 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。 15.(13分) 解：(1)设数列{an的公差为d,bn的公比为9， (2a1+4d=2b19 13+2d=3q 则1a(a1+2d)-b92,即{3+2d=g2, 因为q≠0，所以d=q=3,所以an=3n,b=3”; (2)由(1)知，Ga==品， 令S=1+经+++品， 则S专+子++…+母， 丙式相减得9=1+++特++产争-学(1-)学， 所以S=是-生点， 16.(15分) 数学试题评分参考第1页（共7页） 解：(1)零假设为Ho:这次考核结果与经验丰富与否无关， 500×(-5000)2 500×25000000 X2-300x200×350×150=300x200x350x150≈N3.968, 查临界值表，a=0.01对应的临界值x.01=6.635, 由于3.968<6.635， 故依据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断Ho成立， 即认为这次考核结果与经验丰富与否无关，此推断犯错的概率不大于0.01· (2)分层抽样时，经验丰富教师抽取比例为品=动， 因此：经验丰富教师抽取人数：300×纺=6人， 经验不丰富教师抽取人数：200×命=4人， 从10人中抽取4人，设经验不丰富教师人数为X,则X服从超几何分布，可能取值 为0,1,2,3,4， 计算各概率： P(X=0)= _1×器 40 4x3x2×1 id P(X=1)= 4×x5 _ o =1098x7 21, 4×3×2×1 P(X-2)= 6× o == 4×3×2×1 p(X=3)- CC 4×6 =1098x=33, 4×3x2×1 P(X=4)-家 1×1 =1098x=210, 4×3×2x1 则X的分布列为： 0 X 1 2 3 4 P 年 0 数学期望E(X由超几何分布性质得： E(X9=nx袋=4×t=1.6 17.(15分) 解：(1)由题意，：P=C,P=,B,F分别为棱PC,PB的中点，EF/BC BCLPC,.EFLPC. 数学试题评分参考第2页（共7页） :△PAC为等边三角形，E为PC中点，.PCLAE. 又EFOAE=E,EF,AEC平面AEF,:PCI平面AEF. :AFc平面AEF,PCLAF. (2)如图，在底面ABC内过点A作BC的平行线即面AEF与底面ABC的交线1. 由题意可得AC2+BC2=AB2,即AC1BC 故底面△ABC的面积为S=ACxBC=4, 设底面△ABC上的高为n,则誓Sh=×4h,于是h=F. 注意到侧面PAC是边长为2的正三角形，取AC中点D· 连接PD,则PD=V5,从而PD⊥平面ABC 取AB中点M,连接DM,则DMAC 于是，以点D为坐标原点，DA,DM,DP分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角 坐标系， 则A(10,0,P0,05),C(-1,00,B(-1,40,E(-0,号)F(-,2号) Q(1y,0): 于是6=(1y5),A=(-0,号)，=(02,0)： 设平面AEF的一个法向量为i=(&oy,1), A正i=0, -x+9-0, 则高i=0,即2y。=0, 6-5 解得y。-0, 即=（停，0,10 数学试题评分参考第3页（共7页） 悟同 由线面所成角的定义可知，sina=k0s<西，>=屏带一4女≤生， 1 ∴singE(0,] 18.(17分) (1)解：由已知，f'(x)=e(cosx-sinx),因此， 当x∈[2k+,2kT+平]CkEZ)时，有sinx>cosx,得f'(x)<0,f8)单调递减： 当xE[2k-买，2kT+]k∈Z)时，有sinx<cosx,得f'(s)>0,f(8)单调递增. f8)的单调增区间为[2k-平，2k+]k∈Z),单调减区间为 [2k+,2k+F]keZ): (2)证明：记h(8)=f8)+g8(受-x),依题意及(I), g(x)=e*(cosx-sinx),g'(x)=-2e*sinx<0, 从而h'☒)=f'☒)+g'☒（受-）+g8)×(-1)=g☒（受-为≤0. 因此，h(x)在区间[，晋]上单调递减，有h8)≥h()=f(受)=0. 当x∈[，]时，f☒+g☒)受-x)≥0： (3)证明：依题意，u(&)=f(&n)-1=0,即e*CoSXn=-1, 记ynxm-2nπ，则yn∈(，5)，且 f(y)=e%cosy=ex-2nrcos(Xn-2nnt)=e-2nRE(nEN). 由fyn)=e-a≤1=fy及(I),得ynyo 由(2)知，当xE[,]时，g'(8)<0, g☒)在[军]上为减函数， 因此，gyn)≤gy)g()=0, 又由(I)知，fyn)+gy)(受-y>≥0， e-2un 故y户y6co sinxo-cosxo e边π 所以2nT+号-8n<sim0co感0 数学试题评分参考第4页（共7页） 19.(17分) 解：(1) 因为点P1,1)在C上，所以1=2px,解得p=1, 由题意知Q1的坐标为(，-1)， 直线P2Q1的方程为：y+1=2(x-), y,+1=2(x2支) |y2=2x2-2 由y经2&2 ，整理得y2x ，解得x2=2V2=2; (2)证明：法一：由题意知Qa-1的坐标为(×--ya-1), 所以y2-1=2x-1,又y=2x, 两式相减得yy,=2(xx-,即学整。 由题意知兴=k,可得。y。-1民， 所以数列{y}是以1为首项，是为公差的等差数列， 所以y。-1+(m-1)×-梦兰，可得x禁 (2am+k-2)2 所以aX+1名@-2t2， 2k2 1k2 可得+1-an=专，所以数列{an}是等差数列； 法二： 由题意知Q-1的坐标为(--yn-1), 所以直线Qn-1Pn的方程为y+ym-1=k(x-x-1), ∫y+yn-1=k(x-xn-1) 由y2=2x ，可得ky2-2y-2yn-12ks-1=0, 数学试题评分参考第5页（共7页） 由题意知Qa-Pn是直线Qm-1Pn与C的公共点， 所以y。ya-1最， 所以数列{y}是以1为首项，是为公差的等差数列， 所以y。=1+(n-1)×爱-22 可得x,=②k-2 2k2, 所以a=x+1X-@-地-22， 2k2 所以a+1一an=专，所以数列{an}是等差数列； (3)证明：法一：△PnPn+1Pn+2的三个顶点为 Pn(Xnyn)Pn+1(Xn+V+1)Pn+2(Xn+2n2), (y=2xn 因为y+1=2x+1,丙式相减得4V=2(×+1), 即e而 2 所以直线PPn+1的斜率为， 2 可得PRi+y1X发 2 直线P1的方程为y-y。,(X-×), 2x-(yn+y+)y+(yn+yn)ya-2xn=0, 设Pn+2到直线PnPn+1的距离为d, 则d-色4地图s0g的4型 4+ya+1+ya) V4+(y+1+y) _8+&-y图y+ty+8-Y_+yy+tya+1tyy+8y】 4+t V4+(va+1+y) y+yy+3+山_ x剑 8 V4+V+1+y) V4++1wk34+1w 所以PPa+d=t4 k a是， 8 数学试题评分参考第6页（共7页） 所以Sn为定值； 法二： △PnPn+1Pn+2的三个顶点为Pn(xmyn)Pn+1(+1Wn+1)Pn+2(+2yn+2), 可得=(a-名+Wnya+1)=(-a是)， R++=(+28+1Wn+2ynt1)=(a+最)， 所以Sa=lpt.le++Sin(a+iR++a） -支p41.lB+2+2W1-cos2(r1o+2+) ,En1Bt正t2 2 =alB4成42W1- Fo Fol Pot iPo2 +是X+1+)+1+ a是+a+1-2a如3+1 n+1-a) 2 所以S,为定值； 法3： 要证Sn为定值，只需证Sn=Sn+1, 即证△PnPn+1Pn+2与△Pn+1Pn+2Pn+3面积相等， y+22X+2 因为y8+:=21,两式相减得+2V*1=2(+X+1, Yn+2-yn+1 2 即+2+1 y+3w+1 所以直线Pn+1Pn+2的斜率为+1-+壁-2ak+, 2 同理可得直线PmPn+3f的斜率为y+t权=*4年=2+k+1, 所以Pn+1Pn+2/PnPn+3,可得点PnPn+到直线Pn+1Pn+2的距离相等， 所以Sn=Sn+1,即Sn为定值. 数学试题评分参考第7页（共7页）