精品解析：江苏盐城市2026届高三数学考前指导卷

2026届高三考前指导卷 数学试题 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部（ ） A. B. 1 C. D. 3. 的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则tmin后物体的温度℃满足公式（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min后牛奶的温度是50℃，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数()在处取得最小值，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，若直线：（）上存在点，使得，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 10. 设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（ ） A. B. 双曲线的渐近线方程为 C. 双曲线的离心率为 D. 直线的斜率为 11. 设函数，满足：，恒有，则下列结论可能成立的有（ ） A. ，均为上的增函数 B. 为上的减函数且为上的增函数 C. 的极小值点与的极大值点相同 D. 存在最小值且存在最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，点在曲线：上且在第三象限内．若曲线在点处的切线为，则实数________． 13. 甲、乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3．现分别从这两个盒子中随机取一个球，用表示两球上的数字之和，设的期望为，则________． 14. 已知正四棱锥的所有棱长为1，平面满足，且棱，，与的交点分别为，，，则四面体体积的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，． （1）求； （2）若为的中点，且，求△的面积． 16. 如图，在四棱锥中，，，点在上，且． （1）点在线段上，且平面，证明：为线段的中点； （2）若平面与平面所成的角的余弦值为，求的长度． 17. 已知正项等比数列满足且，，成等差数列． （1）求及其的前项和； （2）从，，，…，中任取三项，求这三项按照原顺序排列依然构成等比数列的概率； （3）设每项均不为的数列满足、均为等比数列．证明：为等比数列． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的焦距为，离心率为． （1）求的方程； （2）设为的上焦点，点在上且位于第一象限，关于轴的对称点为． （ⅰ）若直线与轴、的交点分别为、，且，求； （ⅱ）直线、分别交于另一点、，求△面积的最大值． 19. 定义函数（）为的“伴生函数”，其中为的导函数．若区间满足，都有成立，则称在上具有“伴生性质”且为的“伴生区间”．已知（），设的“伴生函数”为． （1）请求出的一个“伴生区间”； （2）若方程有两个不同的实数解，（）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三考前指导卷 数学试题 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ 解不等式得或，∴ 或. ∴ . 2. 若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出即可作答. 【详解】依题意，， 所以的虚部是1. 故选：B 3. 的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】由， 令，解得：， 所以展开式中含项的系数为：. 4. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则tmin后物体的温度℃满足公式（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min后牛奶的温度是50℃，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题设列方程求解即可. 【详解】由，得， 即，则，即. 故选：C 5. 已知函数()在处取得最小值，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】余弦函数的最小值为，， 则，解得， ，取，得， 的最小值为3． 6. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数的定义可知为奇函数，结合导数可判断单调递增，进而原问题化为恒成立，即恒成立，令，借助导数可得最大值进而即得. 【详解】，， 故，单调递增. 又，所以恒成立，等价于，等价于恒成立，即恒成立. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当时，取得最大值， 故 7. 已知点，，若直线：（）上存在点，使得，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理确定点的轨迹，再将“直线上存在满足条件的点”转化为直线与轨迹有公共点，结合点到直线的距离公式求解参数范围. 【详解】∵ 点，，， ∴ 由圆周角定理可知，点的轨迹是以为弦，所对圆周角为的两段圆弧，对应弧的圆心角为. 设轨迹圆的半径为，由弦长公式，代入，得，解得. 两段圆弧的圆心均在的垂直平分线上，由勾股定理可得坐标分别为和，对应圆的方程为、. 直线上存在点满足条件，等价于直线与上述两个轨迹圆中符合的圆弧有公共点. 计算圆心到直线的距离： 对圆，圆心到直线的距离. 令，得，结合解得. 对圆，圆心到直线的距离. 令，结合，解得. 综上，当时，直线上存在满足条件的点，即正实数的取值范围为. 【点睛】方法归纳：解决定角动点轨迹问题，常借助圆周角定理确定动点的轨迹为圆弧，再将直线上存在满足条件的点转化为直线与圆弧有公共点，结合点到直线的距离公式或直线与圆的交点条件求解参数范围. 8. 在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合向量共线得出相关线段比例关系，进而根据三角形的面积公式求解． 【详解】 已知，由共线，设， ，故， ，则， ， ，故，故； 设，则，即，则， ，解得， 由得出，故， 由知，设到的距离为，则， 由知，设到的距离为，则，即， ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由可判断，对于B，由空间向量基本定理可判断，对于C，通过可判断，对于D，通过向量夹角公式可判断. 【详解】设，，， 由题意得：，三个向量两两夹角为， 因此两两点积， 选项A， ，则 ， 因此，A正确； 选项B ，平行六面体中，对比得， ，B错误； 选项C ，， 因此，C错误； 选项D ， ， ； 即； 因此，D正确. 10. 设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（ ） A. B. 双曲线的渐近线方程为 C. 双曲线的离心率为 D. 直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，联立与双曲线方程，求解后即可判断；对于B，设双曲线的右焦点为，连接,由题意可得为等腰直角三角形，从而得，整理可得，即可判断；对于C，结合B可求得，求出离心率即可判断；对于D，求得，即可判断. 【详解】对于A，由，得或， 所以，故A正确； 对于B，设双曲线的右焦点为，连接， 因为关于原点对称，也关于原点对称， 所以四边形为平行四边形， 且， 所以为等腰直角三角形， 所以， 即，， 所以， 整理得， 所以， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为，故B错误； 对于C，由B可知， 所以， 所以， 所以， 所以双曲线的离心率，故C正确； 对于D，因为， 即直线的斜率为，故D正确. 11. 设函数，满足：，恒有，则下列结论可能成立的有（ ） A. ，均为上的增函数 B. 为上的减函数且为上的增函数 C. 的极小值点与的极大值点相同 D. 存在最小值且存在最大值 【答案】BCD 【解析】 【分析】设 ，通过，单调递增，和恒成立矛盾，可判断A，通过举特例判断BCD. 【详解】设 ， 则， ， 选项A，若 均为上的增函数，则，对任意成立， 故恒成立， 但是开口向上的二次函数，判别式， 故存在使，矛盾，A错误； 选项B，设 ，则是上的减函数， 此时：  ， ， 判别式， 则恒成立，是增函数，满足条件，B正确； 选项C，取， 由解析式可知，在同一区间上，单调性相反， 对于，求导得， 令，得， 当时，，单调递增，此时单调递减， 当时，，单调递减，此时单调递增， 当时，，单调递增，此时单调递减， 故为的极小值点，同时是的极大值点，C正确， 选项D，取，显然在上最小值为0，存在最小值； 此时 ，这是定义域为，首项系数为负的四次函数， 时，故在R上必存在最大值，符合条件，D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，点在曲线：上且在第三象限内．若曲线在点处的切线为，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】先设切点，然后对求导，根据切线的斜率求出切点的横坐标，代入曲线方程求出切点的纵坐标，即可得出切点，最后将切点坐标代入切线方程即可求出． 【详解】设，，， 因为曲线在点处的切线为， 所以，解得， 又因为点在第三象限内， 所以，， 因为在切线上， 所以，解得． 13. 甲、乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3．现分别从这两个盒子中随机取一个球，用表示两球上的数字之和，设的期望为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，分别求出对应的概率，再求，最后根据求解即可. 【详解】由题意可得， 且， ，， ， 所以， 所以. 14. 已知正四棱锥的所有棱长为1，平面满足，且棱，，与的交点分别为，，，则四面体体积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，把四面体体积转化为点坐标表达式，再化为一个变量的函数，利用导数求函数的最值. 【详解】正四棱锥 所有棱长均为 1，底面 是正方形，侧棱 ，底面正方形对角线 ，中心为 ，则 底面 ，， 如图建立空间直角坐标系： ，， ， ， ， 向量 ，因为 平面 ，平面 的一个法向量为 ； 设 ，，， ， ， ， 因为 平面 ，故平面 内向量 满足 ， , , , , 化简： , , , 化简： , 解得 ，令 ， ，，则, 得坐标： ， ， ， ， 平面的一个法向量是， ， 所以点B到平面的距离，, ,即 , 即 则 则 所以的面积是 所以 令 ， 得， 当，, 单调递增，当，, 单调递减， 故 ； 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，． （1）求； （2）若为的中点，且，求△的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用三角形内角和为，将表示为，结合诱导公式与正切和角公式计算； （2）由（1）的结果得到，结合正弦定理建立边的比例关系，再利用结合已知中线长及余弦定理求出边长，进而计算三角形面积. 【小问1详解】 因为，所以 ． 因为，所以． 【小问2详解】 因为，且， 所以． 由正弦定理可得． 因为为的中点，且， 所以， 由余弦定理知，所以． 设将其代入得，解得. 所以， 所以 . 16. 如图，在四棱锥中，，，点在上，且． （1）点在线段上，且平面，证明：为线段的中点； （2）若平面与平面所成的角的余弦值为，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）的长度为或 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，连接，由线面平行的性质定理证明，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设，求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的向量公式即可得出答案. 【小问1详解】 连接，过点作交于点，连接， 又因为，所以，所以四点共面， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以为线段的中点； 【小问2详解】 连接，因为，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面所以平面 又因为，所以建立如图所示的空间直角坐标系， 设， ，设平面的法向量为， ， 所以，令，，所以， 所以与平面所成的角的余弦值为， 所以与平面所成的角的正弦值为， 即， 所以，化简可得：， 解得：或，即或， 所以或. 17. 已知正项等比数列满足且，，成等差数列． （1）求及其的前项和； （2）从，，，…，中任取三项，求这三项按照原顺序排列依然构成等比数列的概率； （3）设每项均不为的数列满足、均为等比数列．证明：为等比数列． 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等比数列通项公式，结合已知条件列方程求首项和公比，再求通项与前项和​； （2）先计算总基本事件数，再找出满足条件的等比数列三元组，用古典概型公式计算概率； （3）根据等比数列定义，设、的公比，通过递推关系证明为等比数列. 【小问1详解】 设的公比为，且． 依题意得，解得， 所以，． 【小问2详解】 记事件“这三项按照原顺序排列依然构成等比数列”， 则事件包含如下基本事件：，，；，，；……；，，； ，，；，，；……；，，； ，，；，，；，，；，，； ，，；，，； 则， 于是． 【小问3详解】 因为、均为等比数列， 所以， 整理得， 上述两式相加得， 又数列的每项均不为0，所以为等比数列． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的焦距为，离心率为． （1）求的方程； （2）设为的上焦点，点在上且位于第一象限，关于轴的对称点为． （ⅰ）若直线与轴、的交点分别为、，且，求； （ⅱ）直线、分别交于另一点、，求△面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的焦距与离心率建立方程组，先求出半焦距与长半轴，再通过椭圆中的关系求出短半轴，从而确定椭圆方程，是解析几何中由几何性质求标准方程的常规思路； （2）（i）通过设点的坐标，利用对称关系得到点，再写出直线的方程，分别求出与轴、直线的交点、，结合的条件列方程求解，体现了解析几何中“设点 - 求线 - 联立 - 列方程”的解题流程； （ii）通过联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出点、的横坐标，结合三角形面积比的转化，将的面积用点的坐标表示，再利用基本不等式求最值，综合考查了直线与椭圆的位置关系和最值问题的处理方法． 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，依题意得，解得， 所以，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）依题意设，则，其中，． 由，可得直线的方程为，令，得． 又直线的方程为，联立方程及，解得． 因为及，，，共线，所以， 所以，解得，所以． （ⅱ）联立直线与椭圆的方程得，消去，得 ． 因为在椭圆上，所以，所以 ． 由根与系数的关系得，解得．同理可得． 因为，所以． 又，所以． 因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 综上，面积的最大值为． 19. 定义函数（）为的“伴生函数”，其中为的导函数．若区间满足，都有成立，则称在上具有“伴生性质”且为的“伴生区间”．已知（），设的“伴生函数”为． （1）请求出的一个“伴生区间”； （2）若方程有两个不同的实数解，（）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“伴生函数”定义，先求的导函数，再计算，结合“伴生性质”的条件，直接得出时满足，因此是一个伴生区间，核心是对新定义的理解与导数的基础应用； （2）（i）先化简方程，将问题转化为函数 的零点问题，通过求导分析其单调性，结合零点存在定理，得到 的取值范围，关键是利用导数研究函数的单调性与零点存在条件； （ii）本题通过等价转化要证的不等式，构造辅助函数、，利用导数分析函数的单调性与不等式关系，结合是方程的解的条件，通过放缩与单调性证明不等式，体现了导数在证明不等式中的构造与放缩技巧． 【小问1详解】 当时， 的“伴生函数”为 ， ， 当时， ，，具有“伴生性质”． 故的一个“伴生区间”为． 【小问2详解】 （ⅰ） ，故， 设，， 令，解得；令，解得， 故当时，单调递减；时，单调递增． 因为方程有两个不同的实数解． 所以在上有两个零点，故，即 ， 当时， ，因为 ， 所以． 若，所以，令 ，则 ． 当时， ，所以 在 上恒成立， 因此 在 上单调递增，所以 ，即在上恒成立， 则在上单调递增，则，即当时，． 若，所以，则在上单调递减， 则，所以当时，． 当时，． 当时， ，即 ． 因为 所以 ， 综上，的取值范围． （ⅱ）由为方程的两个解可知：， 要证，即证， 令，， 令，， 则在单调递增，故 ， 所以时，，故M（x）在上单调递增， 则 ． 设 ，令 ， ， 令 ，则 ． 因为，所以，则，所以． 则在上单调递增，，即， 则在上单调递增，所以，即，成立， 因为，则 ， 又，，由（i）的单调性可知在单调递减， 则，即， 故，所以，所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $