精品解析：福建南平市顺昌县第一中学2025-2026学年高二第二学期期中适应性练习数学试卷

顺昌一中2025-2026学年高二第二学期期中适应性练习 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 4. 已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 则的值为（ ） A. 20 B. 18 C. 8 D. 6 5. 某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：g），现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（ ） 附：若，则，，． A. 8186 B. 8400 C. 9974 D. 9987 6. 已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 设函数（其中为自然常数），则“”是“在区间上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 二、多选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 10. 在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（ ） A. 有种不同的节目演出顺序 B. 当个舞蹈节目接在一起时， 有种不同的节目演出顺序 C. 当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序 D. 若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序 11. 已知函数，，下列说法错误的有（ ） A. 函数的极小值为 B. C. 函数有两个零点 D. 函数恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知随机变量，若，则_______． 13. 某学校有A，B两家餐厅，张同学第一天午餐随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6.则张同学第二天去B餐厅用餐的概率为__________. 14. 已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若．求： （1）； （2）． 16. 随机抽取了某中学的200名学生，调查他们是否爱好某项体育运动，得到数据如下： （1）请完成列联表，根据小概率值的独立性检验，分析爱好某项体育运动是否与性别有关； （2）采用样本估计总体的方式，以此样本的频率作为相应事件发生的概率，现从全市中学生中随机抽取4名男生，求抽取的4人中爱好该项运动的人数X的分布列及数学期望． 性别 爱好 不爱好 合计 男 90 120 女 合计 130 200 附表如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 17. 某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 年收入（千元） 59 61 64 68 73 （1）根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数） （2）统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由. 参考数据及公式：，.设，则，. 18. 某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． （1）求的值； （2）探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 19. 已知函数（） （1）若，求函数的极值点； （2）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （3）若，且设，有两个零点，，其中，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺昌一中2025-2026学年高二第二学期期中适应性练习 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】方法一：集合， 又，所以. 方法二：因为，， 所以， 所以. 2. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，求的范围即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 则. 故选：D 3. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数来求斜率即可. 【详解】由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为. 故选：B. 4. 已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 则的值为（ ） A. 20 B. 18 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率之和等于1求得，再根据期望公式和方差公式求出期望与方差，再根据方差的性质即可得解. 【详解】根据分布列可知，解得， ， ， 所以. 故选：B. 5. 某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：g），现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（ ） 附：若，则，，． A. 8186 B. 8400 C. 9974 D. 9987 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布的概率计算，结合互斥事件的概率加法公式，可得答案. 【详解】由题得，则，， 则 ， 因此，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（个）． 故选：A. 6. 已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可. 【详解】表示选出的个代表中有个男生个女生， 则. 故选：B. 7. 设函数（其中为自然常数），则“”是“在区间上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】函数的定义域为 当时，由，得，所以在上单调递增， 当时，在上单调递增， 所以“”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件， 故选：A 8. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论. 【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率， 若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准. 二、多选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项分布的性质进行逐一求解判断即可. 【详解】A，，故A正确； B，，故B错误； C，，故C正确； D，，故D错误. 故选：AC. 10. 在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（ ） A. 有种不同的节目演出顺序 B. 当个舞蹈节目接在一起时， 有种不同的节目演出顺序 C. 当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序 D. 若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用全排列判断A，利用捆绑法判断B，利用插空法判断C，首先考虑个节目全排列，再除以，即可判断D. 【详解】对于A：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，故A正确； 对于B：当个舞蹈节目接在一起时，把个舞蹈节目看成一个元素，与其他个节目全排列， 有种不同的节目演出顺序，而个舞蹈节目本身有种顺序， 所以共有种不同的节目演出顺序，故B错误； 对于C：把个演唱节目排列，有种顺序，再把个舞蹈节目插入到个空挡中，有种方法， 所以共有种不同的演出顺序，故C正确； 对于D：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，其中原来的个节目有种不同的节目演出顺序， 而现在原来的个节目顺序不变，只占其中一种，所以有种不同的节目演出顺序，故D正确， 故选：ACD． 11. 已知函数，，下列说法错误的有（ ） A. 函数的极小值为 B. C. 函数有两个零点 D. 函数恒成立 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数求得的单调区间，即可求得极值，分析可判断A的正误；根据的单调性，代入数据，化简整理，即可判断B的正误；利用导数求得的单调性和极值，根据零点存在性定理，即可判断C的正误；根据极值点的范围，计算分析，可判断D的正误. 【详解】选项A：，，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为，无极小值，故A错误； 选项B：因为在上单调递减， 所以，即， 则，即， 因为在上单调递增， 所以，故B正确； 选项C：， 则， 设，则， 所以在上单调递减， 又，， 所以存在使得， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 所以， 又当时，，， 所以函数只有1个零点，故C错误； 选项D：由选项C得，即恒成立，故D正确. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知随机变量，若，则_______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意，. 13. 某学校有A，B两家餐厅，张同学第一天午餐随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6.则张同学第二天去B餐厅用餐的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令事件表示第天去餐厅，事件表示第天去餐厅，，由全概率公式先求，由即可求解. 【详解】令事件表示第天去餐厅，事件表示第天去餐厅，， 则，， 由全概率公式有， 所以， 故答案为：. 14. 已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先判断为不等式的解，再当时，根据题意令，求导后结合已知条件可得在上递增，且为偶函数，由，得，则将转化为，再利用的奇偶性和单调性可求得结果. 【详解】当时，由，得，则， 所以成立，所以符合， 当时，令，则， 因为， 当时，， 所以在上递增， 因为定义在上的偶函数，所以， 所以，所以为偶函数， 因为，定义在上的偶函数，所以， 所以 由，得，所以， 所以， 因为在上递增， 所以，且，得，且， 综上，，即不等式的解集是， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数奇偶性和单调性的应用，解题的关键是根据题意构造函数，求导后判断函数的单调性，再结合函数的奇偶性解不等式，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若．求： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求出结果； （2）去绝对值，再令即可． 【小问1详解】 ， 令，解得； 令，整理得， 故； 【小问2详解】 令可得， 的展开式通项为，则， 其中且， 当为偶数时，；当为奇数时，. 所以. 16. 随机抽取了某中学的200名学生，调查他们是否爱好某项体育运动，得到数据如下： （1）请完成列联表，根据小概率值的独立性检验，分析爱好某项体育运动是否与性别有关； （2）采用样本估计总体的方式，以此样本的频率作为相应事件发生的概率，现从全市中学生中随机抽取4名男生，求抽取的4人中爱好该项运动的人数X的分布列及数学期望． 性别 爱好 不爱好 合计 男 90 120 女 合计 130 200 附表如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 【答案】（1） 认为爱好该项体育运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 （2） 分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先补全列联表，计算卡方统计量后与临界值比较，判断爱好运动与性别是否有关联. （2）先求男生爱好运动的概率，确定随机变量X服从二项分布，再计算分布列和数学期望. 【小问1详解】 男生不爱好某项体育运动人数为； 女生总人数为，因此女生爱好某项体育运动人数为 ， 女生不爱好人数为；合计不爱好人数为 ，补全后列联表如下： 性别 爱好 不爱好 合计 男 90 30 120 女 40 40 80 合计 130 70 200 设原假设：爱好该项体育运动与性别无关. 则 ， 由于 ，根据小概率值的独立性检验， 推断不成立，即认为爱好该项体育运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 由样本数据可知，抽取1名男生，爱好该项运动的概率为. 随机抽取4名男生为4次独立重复试验，故，的可能取值为0,1,2,3,4， 则，， ，，. 分布列为： 根据二项分布期望公式， . 17. 某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 年收入（千元） 59 61 64 68 73 （1）根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数） （2）统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由. 参考数据及公式：，.设，则，. 【答案】（1） （2）拟合效果符合要求，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设，根据数据计算，根据最小二乘法公式计算即可； （2）先利用（1）的方程计算预测值，再利用残差的定义计算残差平方和判定结果即可. 【小问1详解】 根据农户近5年种植药材的收入情况的统计数据可得： ，， 设，则，所以， 则，. 所以，回归方程为. 【小问2详解】 将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4， 则残差平方和为. 因为，所以回归方程拟合效果符合要求. 18. 某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． （1）求的值； （2）探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 【答案】（1）， （2），第二次，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解. （2）根据全概率公式分析得，再对分奇偶求解. 【小问1详解】 记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，，． . 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故． 证明：当n为奇数时，， 当n为偶数时，，则随着n的增大而减小， 所以，． 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大. 19. 已知函数（） （1）若，求函数的极值点； （2）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （3）若，且设，有两个零点，，其中，求的取值范围. 【答案】（1）极大值点为，极小值点为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，分析函数单调性即可得到极值点； （2）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为在上恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可得解； （3）结合函数零点的概念和韦达定理得到两个根的关系，将表示为关于的函数，令，利用导数求得函数的值域即可得解. 【详解】（1）当时，，定义域为， ， ，得， 当时，，在上单调递减； 当或时，，在和上单调递增. 因此，极大值点为，极小值点为. （2）函数的定义域为. 对求导得. 因为在其定义域内单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 移项可得在上恒成立. 根据基本不等式（，，当且仅当时等号成立）， 对于2，其中，，则， 当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数m的取值范围是. （3）由（2）知，因为有两个零点，， 所以，是方程的两个不相等的正实数根. 根据韦达定理，对于一元二次方程（）， 两根，有，， 则在方程中，，. 因为，所以，且. 已知，即，解不等式， 两边同时除以，得，移项得，即， 因为，所以该不等式恒成立. 解不等式，两边同时乘以（）得， 因式分解得，解得，结合，可得. 设，， ，所以在上单调递减. 则，， ， 所以，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $