精品解析：福建省龙岩市上杭县紫金中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025-2026学年第二学期半期考试卷八年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列图形中，具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，对四个图形逐一分析，再作判断． 【详解】解：具有稳定性，故A符合； 是四边形，不具有稳定性，故B不符合； 是四边形，不具有稳定性，故C不符合； 是四边形，不具有稳定性，故D不符合， 故选：A． 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列出不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义，二次根式的被开方数必须是非负数 ∴， 解得． 3. 已知中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，灵活运用平行四边形对角相等的性质是解题的关键．根据平行四边形的对角相等得到，进而结合求出的度数． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， 故选：． 4. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股数的定义，勾股数需要同时满足两个条件，一是三个数都为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此对选项逐一验证即可得到答案. 【详解】解：∵选项A，不是正整数，∴本选项不符合题意； ∵选项B，三个数均为正整数，且， ∴本选项符合题意； ∵选项C，，，，∴本选项不符合题意； ∵选项D，，， ，∴本选项不符合题意. 5. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、中被开方数含有分母，则此项不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、中被开方数含有分母，则此项不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有能开方的因数，则此项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 6. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减乘除运算，据此逐一判断即可．熟记二次根式的加减乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、不是同类二次根式，无法合并，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意， 故选：D． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 菱形的对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定和性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，原说法正确，不符合题意； B、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，原说法错误，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，原说法正确，不符合题意； 故选B． 8. 如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（　　） A. 12cm B. 12cm C. 24cm D. 24cm 【答案】D 【解析】 【分析】过A作AD⊥BF于D,根据45°角的三角函数值可求出AB的长度，根据含30°角的直角三角形的性质求出斜边AC的长即可. 【详解】如图，过A作AD⊥BF于D， ∵∠ABD=45°，AD=12， ∴=12， 又∵Rt△ABC中，∠C=30°， ∴AC=2AB=24， 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角三角函数值是解题关键. 9. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得， 故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， 故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得， 故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接， 此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和， 所以， 即， 整理：， ， ∴， 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 10. 如图，，是菱形的对角线，点，，分别是边，，上的点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，当 三点共线且时， 最小，利用面积求解即可. 【详解】解：作点关于的对称点，连接，当 三点共线且时， 最小， ∵菱形的对角线， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， 即： . 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：=______． 【答案】2 【解析】 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如果正多边形的一个外角的度数为，那么它的边数是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等，即可计算出边数． 【详解】解：由题意得，根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和为， 正多边形每个外角相等．， 因此该正多边形的边数为． 13. 已知直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为________． 【答案】10或 【解析】 【分析】题中未明确已知两边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长． 【详解】解：分两种情况计算： 当和都为直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理得： 第三边长； 当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理得： 第三边长． 综上，第三边长为10或． 14. 如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠矩形，使点B落在边上点F处，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠性质可得，由矩形性质有，所以．设，则，在直角三角形中，建立勾股定理方程，得，故即可求． 【详解】解：由折叠性质可得：， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，，即 解得：， ∴． 15. 如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，把圆柱展开，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，即，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆柱的展开图中，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，最短路线为， ∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴在中， ， ． 16. 如图，在中，，于点E，于点F，、交于点H，、的延长线交于G，给出下列结论： ①；②点D是中点：③；④若平分，则； 其中一定正确的结论有______．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，①由证明即可；③先证明，从而得到，然后由平行四边形的性质可知；④连接，证是等腰直角三角形，，设，得出，进而得出．②无法证明点D是中点． 【详解】解：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故①正确； 在和中， ， ， ， ， 正确； 连接，如图： 平分， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设， ， ， ， ④正确 ∵是平行四边形， ∴， ∴，， 又， ∴三个角对应相等无法证明全等， ∴无法证明， 即无法证明点D是中点， 故②错误， 综上①③④正确， 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用完全平方公式和二次根式的除法法则计算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 18. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质推出，再结合即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 19. 如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东航行，乙船以30海里/时的速度航行，半小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若、两岛相距17海里，求乙船的航行方向？ 【答案】南偏东 【解析】 【分析】首先计算出甲乙两船的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后求出，即可得解． 【详解】解：如图，由题意可得： ，海里，海里， ∴， ∵海里， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即乙船的航行方向为南偏东． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【解析】 【分析】首先进行分式的化简运算，再把的值代入化简后的式子，即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，上式. 21. 如下图，已知正五边形，，交的延长线于点．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质与平行线的性质，掌握正五边形的内角计算方法，及利用等腰三角形、平行线转化角的关系是解题的关键． 先利用正五边形的性质求出内角及等腰三角形的角，再结合平行线的性质得到相等的角，最后通过角的差计算出的度数． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ， ， ． ． 22. 如图，已知，延长到，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，四边形是矩形，． （1）尺规作图：作菱形，点E，F分别在，上．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点F，于点E，则四边形即为所作菱形． （2）由菱形的性质，设菱形的边长为x，则．在中，由勾股定理即可解出x，即可求出菱形的边长与面积． 【小问1详解】 解：如图所示，菱形为所求；   ∵矩形， ∴，即， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解： 四边形是矩形，，， ， 设菱形的边长为x，则． 在中， ，即， 解得． 菱形的边长为，面积为． 【点睛】本题考查尺规作图：作线段垂直平分线，菱形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理．掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解答本题的关键． 24. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，证明即可； （2）取的中点Q，连接，证明即可； （3）过点B作于点B，交于点G，证明，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：取的中点Q，连接， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵正方形，， ∴， 根据（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：过点B作于点B，交于点G， ∴． ∵，， ∴． ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形相似的判定和性质，三角形中位线，正切函数的应用，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确做出辅助线． 25. 根据以下素材，完成任务一、二、三： 你了解黄金矩形吗？ 问题背景 素材一 长方形就是矩形，它的四个角都是；两组对边平行且相等． 素材二 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感． 世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的帕特农神庙． 素材三 我们在学习二次根式时．常遇到这种分母含有无理数的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简．我们称之为“分母有理化”． 例如： 素材四 黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的 操作 步骤 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图2所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 【第二步】如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图4中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图5）就是黄金矩形． 解决问题 （1）任务一：化简： （2）任务二：请说明矩形是黄金矩形的理由； （3）任务三：如图5，若，连接，求点到线段的距离． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据分母有理化，分子分母分别乘即可化简； （2）设，根据翻折变换、矩形的性质以及勾股定理得到，再根据黄金矩形的定义即可证得结论； （3）首先由黄金矩形的性质得到，然后求出，设点到线段的距离为，然后利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：设，则 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴矩形是黄金矩形； 【小问3详解】 解：设点到线段的距离为， ∵矩形是黄金矩形， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ 即： ， 解得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期半期考试卷八年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列图形中，具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 菱形的对角线互相垂直 8. 如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（　　） A. 12cm B. 12cm C. 24cm D. 24cm 9. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 10. 如图，，是菱形的对角线，点，，分别是边，，上的点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：=______． 12. 如果正多边形的一个外角的度数为，那么它的边数是__________． 13. 已知直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为________． 14. 如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠矩形，使点B落在边上点F处，若，则的长为_______． 15. 如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 16. 如图，在中，，于点E，于点F，、交于点H，、的延长线交于G，给出下列结论： ①；②点D是中点：③；④若平分，则； 其中一定正确的结论有______．（填序号） 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东航行，乙船以30海里/时的速度航行，半小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若、两岛相距17海里，求乙船的航行方向？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如下图，已知正五边形，，交的延长线于点．求的度数． 22. 如图，已知，延长到，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 23. 如图，四边形是矩形，． （1）尺规作图：作菱形，点E，F分别在，上．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 24. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 25. 根据以下素材，完成任务一、二、三： 你了解黄金矩形吗？ 问题背景 素材一 长方形就是矩形，它的四个角都是；两组对边平行且相等． 素材二 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感． 世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的帕特农神庙． 素材三 我们在学习二次根式时．常遇到这种分母含有无理数的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简．我们称之为“分母有理化”． 例如： 素材四 黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的 操作 步骤 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图2所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 【第二步】如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图4中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图5）就是黄金矩形． 解决问题 （1）任务一：化简： （2）任务二：请说明矩形是黄金矩形的理由； （3）任务三：如图5，若，连接，求点到线段的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $